数学(理)卷·2012届宁夏银川一中高三年级第五次月考(2011.12)

银川一中2012届高三年级第五次月考数 学 试 题（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合2{|0,}A x x x x R =-≤∈，集合2{|log 0}B x x =≤，则A 、B 满足（ ） A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B ⊆/且B A ⊆/ 2．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥ ，则,i j夹角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π 3．已知tan 2α=，则2cos 2(sin cos )ααα-的值为（ ） A ．3-B ．3C ．2-D ．24．设,a b 是空间中两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若,a b αα⊂⊂, //,//a b ββ，则//αβB ．若αβ∥，,a b αβ⊂⊂ ,则//a bC ．若,a a b α⊥⊥,则//b αD ．若//a b ，b α⊥，则a α⊥5．“21m -<<”是方程22121x y m m+=+-表示椭圆的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知函数(1)y f x =+是定义域为R 的偶函数，且在[1,)+∞上单调递增,则不等式(21)(2)f x f x -<+的解集为（ ）A ．{|3}x x <B ．1{|3}2x x <<C ．1{|3}3x x -<< D ．1{|3}3x x <<7．由曲线22||||x y x y +=+围成的图形的面积等于（ ）A ．2π+B ．2π-C ．2πD ．4π8．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为 （ ）A．B． CD．9．过双曲线()222210,0-=>>x y a b a b的焦点F 作渐近线的垂线l ，则直线l 与圆:O 222+=x y a 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定10．若),1()2l n(21)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则实数b 的取值范围是 （ ）A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞11．若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0015320653y y x y x ,且当x =y =3时,z =ax +y 取最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-53,32）B ．（-∞，-53）∪（32，+∞）C ．（32,53-）D ．（-∞，-32）∪（53，+∞）12．已知球O 的半径为8，圆M 和圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，若OM =ON =MN =6，则AB =（ ） A ．12 B ．8 C ．6 D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．在等比数列1129119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中=的值为 ． 14．已知抛物线)0(1)0(222222>>=->=b a by a x p px y 与双曲线有相同的焦点F ，点A是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 ．15．不等式x a x a )24()3(2-<-对)1,0(∈a 恒成立，则x 的取值范围是________________．16．已知正方形ABCD 边长为1，图形如示，点E 为边BC 的中点，正方形内部一动点P 满足:P 到线段AD 的距离等于P 到点E的距离，那么P 点的轨迹与正方形的上、下底边及BC 边 所围成平面图形的面积为_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2,2cos 3A a b C π==，求： （1）角B 的值；（2）函数()sin 2cos(2)f x x x B =+-在区间[0,]2π上的最大值及对应的x 值．E18．（本题满分12分）已知数列的等比数列公比是首项为41,41}{1==q a a n ，设*)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{。

（1）求证：}{n b 是等差数列；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n ．19．（本小题满分12分）一个四棱锥P-ABCD 的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图． （1）求四棱锥P-ABCD 的体积：（2）求直线PC 和面PAB 所成线面角的余弦值；（3）M 为棱PB 上的一点，当PM 长为何值时，CM ⊥PA?20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)22,1(P ，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）动直线),(031:R n m n ny mx l ∈=++交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T 。

若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）是定义在[-e ,0）∪（0,e ]上的奇函数，当x ∈（0,e],f （x ）=ax +lnx（其中e 是自然对数的底数，a ∈R ） （1）求f （x ）的解析式； （2）设g （x ）=ln ||||x x ,x ∈[-e ,0）,求证：当a =-1时，f （x ）>g （x ）+21;（3）是否存在实数a ，使得当x ∈[-e ,0）时f （x ）的最小值是3 如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．四、选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑） 22．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （1）求AC 的长； （2）求证：BE ＝EF ．23．选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．24．选修4－5：不等式选讲 已知1|2|1<-x ，1|2|2<-x ．（1）求证：6221<+<x x ，2||21<-x x ；（2）若1)(2+-=x x x f ，求证：||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-．参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本题共4个小题。

每小题5分，共20分） 13．3 14．12+15．x<-1或x>32 16．2411 三、解答题（本题共6小题，总分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）sinA=2sinBcosC ∴sin （B-C ）=0 ……………………（2分）∴B=C ∵A=32π ∴B=6π……………………（4分） （2）)22sin(32cos 232sin 23)(π+=+=x x x x f ……………（6分） ]67,6[62πππ∈+x ∴3)6()(max ==πf x f ……………（10分）即6π=x 时，f （x ）达到最值值3 ……………（12分）18．（1）由已知n n a )41(= ∴b n =3n-2∴b n -b n-1=3n-2-[3（n-1）-2]=3 （n ≥2） ∴{b n }等差（2）c n =a n b n =)23()41(-⋅n n=n S n n n n )41)(23()41)(53()41(7)41(4411132-+-++⋅+⋅+⋅-1432)41)(23()41)(53()41(7)41(4)41(141+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S1132)41)(23()41(-4141 )41)(23(])41()41()41[(34143++--+=--++++=⇒n n n n n n n S∴n n n S )41(32332⋅+-=19．（1）V P-ABCD =31S ABCD ·PD=38（2）以D 为坐标原点，建立 设),,(z y x n =为平面PAB 的法向量)1,0,1(0=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n AB n PA n 取，PC 与n 所成角θ，有 21||||||cos =⋅=n PC n PC θ，PC 与PAB 所成角为θπ-2∴余弦值为23 （3）由M 在棱PB 上，BP BM λ=，得M （λλλ22,22,2--） 210444=⇒=-+-=⋅λλλPA CM 即当|PM|=21|PB|=3时 CM ⊥PA20．（1）1222=+y x（2）i ）若n=0，1 ,0:22=+=y x x l 圆ii ）若m=0,916)31( ,31:22=++-=y x y l 圆且过定点（0,1）iii ）m 091634)2(220310222222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=++≠n mnx x n m y x n ny mx 时 设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），则以AB 为直径的圆的方程为 （x-x 1）（x-x 2）+（y-y 1）（y-y 2）=0∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+)2(918)2(32)2(916)2(3422222122221222212221n m m n y y n m n y y n m n x x n m mn x x 且 ∴圆方程为：0)2(91815)(32)2(3422222222222=+--++++++n m m n y n m n x n m mn y x将（0,1）代入显然成立，故存在T （0,1）符合题意。