用Abel公式证明一些不等式
a十b十c柯西不等式证明
a十b十c柯西不等式证明摘要：一、柯西不等式的概念二、柯西不等式的基本性质三、柯西不等式的证明方法1.柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）证明2.柯西-阿贝尔（Cauchy-Abel）证明3.哈代-李特尔伍德（Hardy-Littlewood）证明四、柯西不等式在实际问题中的应用正文：柯西不等式（Cauchy Inequality）是数学中一种非常重要的不等式，它涉及到复数和实数的运算。
这个不等式描述了在实数或复数域中，两个数的平方和与它们的乘积之间存在的关系。
具体来说，柯西不等式表明：对于任意实数或复数a、b、c，都有|a·b| ≤ |a|·|b|，其中|a|和|b|分别表示a和b的模。
柯西不等式具有以下几个基本性质：1.柯西不等式对所有的实数和复数都成立。
2.当a、b、c都是实数时，不等式可以取等号，当且仅当a和b同号，且它们的模相等。
3.当a、b、c都是复数时，不等式总是成立的，没有取等号的条件。
关于柯西不等式的证明方法，有多种数学家提出的证明方式，这里我们介绍三种常见的证明方法：1.柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）证明：该证明方法利用了实数或复数的内积和范数之间的关系。
设a、b、c 是实数或复数，且a和b的模都为1，那么有：|a·b| = |(a, b)| = |(a, a) - (b, a)| ≤ |a - b| = |a| - |b|从而得到|a·b| ≤ |a|·|b|。
2.柯西-阿贝尔（Cauchy-Abel）证明：该证明方法利用了实数或复数的微积分性质。
设f(x) = |x|，那么有：|a·b| = f(a·b) ≤ f(|a|) + f(|b|) = |a| + |b|从而得到|a·b| ≤ |a|·|b|。
3.哈代-李特尔伍德（Hardy-Littlewood）证明：该证明方法利用了实数或复数的级数性质。
推广的Abel—Pringsheim定理的若干应用
（） １
可 得
一 １
证 明
记
ａ — ａ６ ｎ ”， 一 ・
∑ｐ
生兰——一
∑Ｓ（ 一Ｐ 川） ｐ
一 ＝
ｐ
＋Ｓ．
由假设 可 知 ｛ ） 递减 趋 于零 ， 且
应 用 Ｏ． ｔｌ 定 理 ， Ｓｏｚ 有
一
１
∑ ａ 一 ∑ （ｂ ・ 一∑ 。 ｎ ）
ｌｍ ａ 一 １， ｉ
ｎ ｌ ＝
（） ６
ｌ
± ± ： ± ： ｌ — － １ ｔ ｏ ： ： ： ｉ ｎｎｔ ）一一ｏ ： ｍ （ － －
．
收敛 ， 么 由 比较 判 别 法 ， 那 就证 得 级数 （ ）收 敛． ４ 遗
憾 的 是 这 种 方 法 是 行 不 通 的 ， 为 由 调 和 级 数 的 发 因
推论 ２ 嘲 设 ｛ ｂ ｝是 正 的递 增 趋 于 ＋ Ｃ Ｘ Ｄ的数
由分 部求 和 公式 ＿ Ｊ ３ ６
１ １ ， ” １ 一
列， 如果∑ ｎ收 则 敛，
ｌ 璺 ± ｉ ｍ
ｎ 。 一 。
∑ ｐ 一 ∑ Ｓ（ 一Ｐ ＋Ｓ 川） ． ｐ
一０
．
一 ＋ 地
证明 在 推 论 ３中 ， Ｐ 即可． 取 一
基 金 项 目 ：０ １ 黑 龙 江 省 高 等 教 育 教 学 改 革 工 程 立 项 项 目 ２１年 作 者 简 介 ： 国铭 （ ９０ ） 男 ， 龙 江 海 伦 人 ， 授 ， 事 数 学 分 析 张 １６ － ， 黑 教 从
和 实 变 函数 的 教 学 ．Ｅｍａ ：ｇ ９ ０ １ ６ ｃ ｒ． ｉ ｚ ｍｌ ６ ＠ ２ ． ｏ ｌ ｎ
级 数 ； ｂ ｌ ｒ ｇｈ ｉ 定 理 ； 部 求 和 公 式 Ａ ｅＰ ｉ ｓｅ — ｎ ｍ 分
Abel变换在证明不等式中的应用
令 ｎ —２ 一 ， ２ １ ｎ 一 一 Ｙ ，３ 。 ａ 一 一 ，
证 明 的一 个 有 利 工 具 ， 多 著 名 的不 等 式 都 可 以通 过 Ａ ｅ 变 很 ｂｌ
换 得 到证 明 ， 键 就 是 通 过 变 形 构 造 出适 当 的 求 积 的 和 的 形 关
决． 以下 就 由 一 些 实 际 应 用 的例 题 来 说 明 Ａｂ ｌ 换 在 证 明不 ｅ变 等式 中的应用．
即只要证明（一 ） 、一 ） 、 ｚ ＋（ ｚ ＋…＋ 筹 ｚ 要 ， 上 ， ， （ 等～一＋署 （一 ｏ ） ． 例 知 ，ｃＲ，证 ＋ ＋ ≥ ． ｌ已 ｎ， ： 导 ｂ∈ 求
原 不 等式 得证 ．
＆（２ ３ ≥ ０ ６ 一ｂ ） ．
用 Ａ ｅ 变 换 证 明 不 等 式 ， 往 先 对 不 等 式 进 行 适 当 的 变 ｂｌ 往
原不等 式成立．
形 ， 之 能 构 造 出 Ａｂ ｌ 换 所 需 要 的 两 组 数 列 ｛ 、 ｂ ） 使 ｅ变 ｎ ｝ ｛ 并
物 体 的重 心及 运动 过程 中重心 高度 的 变化 是 正确 求 解 的关键 ， 而
＆－ ： ／ 由于对 物体 做 功 的 － 力 并不 都 是 铁 链 的 全 部 重 力 ， ， ＇ ｒ － ￣ ｒ 是
一
个 变力 ， 需要 求 变力 的 功． 因此 ， 绳 索 、 条之 类 的 运 动 物体 对 链
即 ＋ｚ ＋． ・ 一） ｚ 一）ｚ 一） ． （ ＋ （ （ ． ＋
我们 不妨 设 ． ≥ ｚ ≥ …≥ ｚ ． ７ ８ 。 令 ｎ 一旦 一 １ 一 旦 一 １ … ， １ —— — １ 口 一 一 １ ，２ ， 口一 一 Ｘ－ ｎ１ ，
阿贝尔公式的应用
一文(见《福建中学数学》2004 年第 7 期)通
过类比,提出下列猜想:
b
a2 + c2
+
c
b2 +a2
+
a
c2 +b2
≥
3 4
;
(1 ' )
a2 + b2 + c2 ≥ 3 ;
(2 ' )
b(1 + b) c(1 + c) a(1 + a) 4
a + b + c ≥9;
(8 ' )
a + bc b + ca c + ab 4
例 2 已知:{an} 是首项是 a1 ,公差是 d 的等 差点数列,{bn} 是首项是 b1 ,公比是 q(q ≠1) 的
等比数列.求{anbn} 的前 n 项和. 解 ∵ an = a1 + ( n −1)d, ai − ai+1 = −d ,
Si
=
b1
1− qi 1− q
(i
= 1,2,3Ln)
> 2
1 2λ
2
2
=
2 8λ
.
即有
(1
xλ + x )λ
+
yλ (1+ y)λ
>
2 8λ
.
同理
yλ (1 + x )λ
+
xλ (1+ y)λ
>
2 4λ
.
将以上两个不等式相加,即可得不等式(5)
的左不等式. 故定理 2 成立.
参考文献
[1] 宋庆,龚浩生.一个不等式的下界估计.中学数学月 刊.2003.2.
证明abel定理
证明abel定理
Abel定理在数学、物理等领域有广泛的应用，下面以abel群循环分解定理为例进行证明：
定理：对于任意Abel群（A,·），其一定可以被分解为若干循环群的积 Zi1Zi2…Zik。
证明思路：（忽略了一些边界和细节，如 A 已经是循环群的情况）如果你看到了，说明它所指的小结论的证明是比较简单的，觉得显然可以略过。
取一元素 x∈A。
根据它，我们试图将 A 划分成若干集合。
我们首先划分出的集合是 S0=⟨x⟨。
Abel定理在不同的领域中可能有不同的表现形式和证明方法，如果你还需要其他证明，请提供更具体的信息，以便我更好地为你解答。
数学竞赛中经常用到的不等式整理,不包含三角不等式
（1）阿贝尔求和公式Abel’s Summation Formula若a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n分别是两个实数数列或复数数列，且S i = a1 + a2 + …+ a i，i = 1，2，…，n则（2）均值不等式AM-GM ( Arithmetic Mean - Geometric Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是非负实数，则…当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（3）均值不等式AM-HM ( Arithmetic Mean - Harmonic Mean ) Inequality 若a1，a2，…，a n是正实数，则当且仅当a1 = a2 = … = a n时等号取到，此不等式为幂均值不等式的一个特殊情况（4）伯努利不等式Bernoulli’s Inequality对任意实数x＞1和a＞1，都有( 1 + x )n＞1 + ax（5）柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，有… … …当且仅当a i与b i都成比例时等号取到，其中i = 1，2，…，n（6）积分形式的柯西-施瓦兹不等式Cauchy - Schwarz’s Inequality for integrals 设a，b为实数且a＜b，且f，g为[a，b] →R的可积分函数，则（7）切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality设实数a1≤a2≤…≤a n，且b1，b2，…，b n为实数若b1≤b2≤…≤b n，则若b1≥b2≥…≥b n，则当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到（8）积分形式的切比雪夫不等式Chebyshev’s Inequality for integrals设实数a，b满足a＜b，函数f，g是[a，b] →R的可积分函数，且具有相同的单调性，则（9）琴生不等式Jensen’s Inequality若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有… …若f ( x )是区间(a，b)上的下凸函数（凹函数），则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，都有当且仅当x1 = x2 = … = x n时等号成立加权形式：若f ( x )是区间(a，b)上的上凸函数，则对任意的x1，x2，…，x n∈( a，b )，且a1 + a2 + … + a n = 1，有……（10）赫尔德不等式Holder’s Inequality设r，s为正实数，且满足1r+ 1s= 1则对任意正实数a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n，都有（11）惠更斯不等式Huygens Inequality若p1，p2，…，p n和a1，a2，…，a n和b1，b2，，b n都是正实数，且p1 + p2 + … + p n = 1，则（12）麦克劳林不等式Mac Laurin’s Inequality对任意正实数x1，x2，…，x n，都有S1≥S2≥…≥S n其中…＜＜…＜αα + β（13）明考夫斯基不等式 Minkowski ’s Inequality 对任意实数a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ，以及任意实数r ≥1，有≤（14）幂均值不等式 Power Mean Inequality设正实数a 1 + a 2 + … + a n = 1，则对于正数x 1，x 2，…，x n ，定义M -∞ = min{x 1，x 2，…，x n }M ∞ = max{x 1，x 2，…，x n }……其中t 是非0实数，则有M -∞≤M s ≤M t ≤M ∞其中s ≤t（15）均方根不等式 Root Mean Square Inequality设a 1，a 2，… ，a n 为非负实数，有… … 当且仅当a 1 = a 2 = … = a n ，b 1 = b 2 = … = b n 时等号取到 均方根又称为平方平均数（16）舒尔不等式 Schur ’s Inequality对任意正数x ，y ，z 以及r ＞0，若存在关系x r ( x y ) ( x z ) + y r ( y z ) ( y x ) + z r ( z x ) ( z y )≥0 通常情况下为r = 1，则有以下结论成立x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) xyz ≥ ( x + y z ) ( y + z x ) ( z + x y )若x + y + z = 1，则xy + yz + zx ≤1＋9xyz 4（17） Suranyi ’s Inequality对任意非负实数a 1，a 2，… ，a n ，都有（18） Turkevici ’s Inequality对任意正实数x ，y ，z ，t ，都有x 4+ y 4 + z 4 + 2xyzt ≥ x 2y 2 + y 2z 2 + z 2t 2 + t 2x 2 + x 2z 2 + y 2t 2（19）加权形式的均值不等式Weighted AM - GM Inequality 对任意非负实数a1，a2，…，a n，以及w1，w2，…，w n，且w1 + w2 + … + w n = 1 都有……当且仅当a1 = a2 = … = a n，b1 = b2 = … = b n时等号取到。
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学哥本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B 具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。
隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。
或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。
然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。
直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。
Abel范畴上平衡对的若干注记
第38卷第4期2020年11月江苏师范大学学报(自然科学版)Journal of Jiangsu Normal University(Natural Science Edition)Vol38，No4Nov，2020文章编号：2095-4298(2020)04-0048-03Abel范畴上平衡对的若干注记何东林，李煜彥〔陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃陇南742500)摘要：设犃是一个Abel范畴,(:r,y)是犃上的一个平衡对.利用同调代数的方法，研究平衡对(狓y)的若干性质和等价刻画，讨论与其相关的2个维数：狓分解维数(狓res.dim(U))和y余分解维数(y cores.dim(U))，其中U为犃中任意对象.证明了对于Abel范畴犃中的任意正合列(《)：0f M fN7T,如果()在函子Hom犃(狓，一)下正合且狓关于扩张封闭，那么以下说法成立：1)若M G狓,则狓res.dim(N)W狓res.dim(L)；2)若N G狓，则狓res.dim(L) W狓res.dim(M)+1;3)若L G狓且狓关于满同态的核封闭，则狓res.dim(M)=j c-res.dim(N).关键词：Abel范畴；平衡对;维数；拉回图中图分类号：O154文献标识码：A doi：103969/j issn2095-4298202004012Some notes of balanced pairs in Abel categoriesHeDonglin，LiYuyan(School of Mathematics&Information Sciences,Longnan Teachers College,Longnan742500, Gansu,China)Abstract:Let A be an Abel category,(狓，y)a balanced pair in犃.Using methods of homology algebras,some properties and equivalent characterizations of balanced pair(狓，y)are investigated in this paper,two dimensions c resolution dimension c-res.dim(犝)and y coresolution dimension y-cores.dim(犝)are discussed with U an arbitrary object of A.It is proved that for any exact sequence()：0f M f N f L f0of A,if()is exact under functors Hom A(c,―)and c is closed under extensions,then the following statements are held:1)if M G c,then c-res.dim(N)^c-res.dim(L)；2)if N G c,then c-res.dim(L)^c-res.dim(AM)+1；3)if L G c and c is closed under kernels of epimorphisms,then c-res.dim(Ad)=c-res.dim(N).Keywords：Abelcategory；balancedpair；dimension；pu l backdiagramHomotopy等价是同调代数理论研究的热点之一，许多学者先后对其进行了研究［1一5］.特别地, Chen［］引入了平衡对的概念，并研究了基于平衡对的Homotopy等价，作为应用，证明了在左Goren-stein环上，Gorenstein投射模的Homotopy范畴与Gorenstein内射模的Homotopy范畴之间存在一个三角等价.Li等［7］引入并讨论了由平衡对(c,y)导出的余挠理论，并证明当y的c分解维数有限时,y 的有界Homotopy范畴包含在c中.基于以上研究背景，本文将讨论平衡对(c,y)的若干性质和等价刻画，并进一步研究与其相关的c分解维数和y余分解维数，以及短正合列中各项的c分解维数与y 余分解维数之间的关系1基本知识和定义文中的A均指Abel范畴，子范畴均指A的关于同构和直和因子封闭的加法全子范畴.P(A)和1(A)分别表示A的所有投射对象和内射对象组成的子范畴.设c是A的一个子范畴，且XGc,M是A中任意对象,称同态aXfM是对象M的右c逼近旧，如果对任意同态p：X'fM(X'Gc),都存在同态7：XfX',使得Y=a.对偶地，可定义M的左c 逼近.如果A中每个对象都存在右c逼近，那么称子范畴c是反变有限的;如果A中每个对象都存在左c逼近,那么称子范畴c是共变有限的.设c是A的一个反变有限子范畴,y是A的一个共变有限子范畴，如果存在复形X2f X j f X l M f0(其中X i G c),且该复形在函子Hom A(c,—)下正合，则称该复形为对象M的一个c分解［7］，记作X°f M.如果存在复形0f M f犢0f 犢1f犢2f…(其中犢G y),且该复形在函子Hom A(—,y)下正合，则称该复形为对象M的一个y余分解［7］，记作M f Y°.记c-res dim(M)=收稿日期：2019-11-10基金项目：甘肃省高等学校创新基金项目(2020A-277),甘肃省高等学校创新能力提升项目(2019B-224) 作者简介：何东林，女，讲师，硕士，主要从事同调代数方面的研究.第4期何东林，等：Abel范畴上平衡对的若干注记49inf{n|存在Hom A(c,—)下正合的复形0f X“f…f X i f X0f M f0(其中&G c)},y-cores.dim(M) =inf{m|存在Hom A(—,y)下正合的复形0—M f 犢0f Y1f…f Y犿f0(其中0G y)},分别称为对象M的狓分解维数和y余分解维数.定义1[]设cy是Abel范畴A的子范畴，称(c,y)是一个平衡对，如果以下条件成立：1)狓在A中是反变有限的狔在A中是共变有限的；2) 对任意MGA,都存在Hom A(—,y)下正合的狓分解---X2f X1f X0f M f0，其中X2G c；3)对任意MG A,都存在Hom A(c,—)下正合的y余分解0fMfY0f Y1f Y2f…，其中0G y.例11)设Abel范畴A具有足够的投射对象和内射对象，则(犘(A),1(A))是一个平衡对.2)设R是一个环犘犘(犚)和P i(犚)分别表示所有纯投射模(即关于纯正合列投射的模)和纯内射模(即关于纯正合列内射的模)组成的左R模范畴的子范畴，则(P p(R)P i(R))是一个平衡对.3)设R是一个n-Gorenstein环，即R是双边Noether环并且双边自内射维数不超过某个非负整数”G p(R)和G i(R)分别表示所有Gorenstein投射模和Gorenstein内射模组成的左R模范畴的子范畴，则(G p(R)G i(R))是一个平衡对.引理1[7]设(c,y)是A上的一个平衡对M 和N是A中任意2个对象，且X°f M和N f Y°分别为M的c分解和N的y余分解，则Ext(M,N)=Ext y(M,N),其中Ext(M,N)=H,(Hom A(X°,N)),Ex t；(M,N)= H,(Hom A(M9Y°)).为了方便，不妨将Abel群Ext(M,N)和Ex t；(M,N)均记为Ex t；(M,N).对任意对象丁GA,如果Ex佇】(犜，犜)=0,则称犜是关自正交的.2主要结果定理1设(c,y)是A上的一个平衡对，则对任意K G c Pl y,都有Exe1(K,K)=0.证由引理1知，对任意对象A G A,X G c和Y G y,有Ex t；(X,A)=0=Ex i(A,Y).从而对任意K G c Q y和任意i>1,都有Ex i(K,K)=0,即ExL(K,K)=0.定理2设(c,y)是A上的一个平衡对，且丁是兴自正交的，则丁的任意直和因子也是兴自正交的.证设犜是犜的任意直和因子，且犜=犜。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我们称（ 1） 式为 Abel 和差变换公式．
（ 二） Abel 分部求和公式
k
∑ 在（ 1） 中令 A0 = 0，Ak = ai ，1 ≤ k ≤ n，得： i =1
∑ ∑ ∑ ( ∑ ) n
n
n －1
akbk = bn ak +
k
ai （ bk － bk+1 ） ．
（ 2）
k =1
k =1
k=1 i=1
k
1
2
=
n
1．
k =1
k
k=1 k
【参考文献】 ［1］刘文芳． Abel 变换在证明不等式中的应用［J］． 中 学生数理化（ 学研版） ，2012（ 1） ： 15． ［2］张 俊． Abel 部 分 和 公 式 在 不 等 式 问 题 中 的 应 用 ［J］． 数学通讯，2010（ 7） ： 63． ［3］潘俊． 用 Abel 求和公式求解数学竞赛问题［J］． 中 学数学研究，2007（ 6） ： 47 － 49．
l =0
i =1
k=1 i=1
[ ( ) ] n－1
n
n －1
k
∑ ∑ ∑ ∑ ≤
an bi +
bi （ ak － ak+1 ）
l =0
i =1
k=1 i=1
n
∑ = n· ak bk ． k =1
三、Abel 公式在其他数列不等式中的应用
例2
n
n －1
∑ ∑ 设
S（ k） n
=
ik ，则
S（ k） i
数学学习与研究 2019. 16
k =1
k =1
k =1
证 由切比雪夫不等式的结构可知，只需证明等式左
边即可．
拓广数列｛ bk ｝ ，使 bn+t = bt （ t = 1，2，…） ，可得到：
n
n
k
k
∑ ∑ ∑ ∑ bi+l =
bi， bi+l ≥ bi；
i =1
i =1
i =1
i =1
ak － ak+1 ≤ 0（ 1 ≤ k ≤ n － 1） ，+1 ）
k =1
k=1 i=1
n
n
∑ ∑ ≤
C2 k +1
|
ak
－ ak+1 | ≤ M·
C2 k +1
=
M·C3n +2
k =1
k =1
=
1 6
M·n（
n
+
1）
（
n
+
2）
．
例 4 若 a1 ，a2 ，…，an ，为两两不同的正整数，则：
∑ ∑ n
k =1
ak k2
≥
n k =1
=
nS
（ n
k）
－
S（ k+1） n
．
i =1
i =1
i
∑ 证 令 ai = 1（ i = 1，2，…，n） ，则 aj = i（ 1 ≤ i ≤ j =1
n）
，再令
S（ k） 0
= 0，则：
n －1
n
∑ ∑ S（ k） i
=
ai
S
（ i
k） －1
i =1
i =1
n －1
i
n
∑ ∑ ∑ =
（
aj ）
1 k
．
证 由分部求和公式，得：
∑ ∑ ∑ ( ∑ ) ( ) n
k =1
ak k2
=
1 n2
n
ak
k =1
+
n －1 k =1
k
ai
i =1
1 k2
－
（
k
1 + 1）
2
∑ ∑ ( ∑ ) ( ) ≥
1 n2
n
k+
k =1
n －1 k =1
k
i
i =1
1 k2
－
（
k
1 + 1）
2
∑ ( ) ∑ =
n
∑ 例 3 已知实数 a1 ，a2 ，…，an ，记 an+1 ，M = max | ak － 1≤k≤n
ak+1 | ，求证：
∑n kak
k =1
≤
1 6
M·n（ n
+ 1） （ n
+ 2） ．
证 由分部求和公式，得：
n
n +1
∑ ∑ kak =
kak
k =1
k =1
∑ ∑ ( ∑ ) n+1
n
= an+1
我们称（ 2） 式为 Abel 分部求和公式．
二、Abel 公式证明切比雪夫不等式
例 1 （ 切比雪夫不等式） 设 a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an ，b1 ≤ b2
≤ … ≤ bn ，则有：
( ) ( ) n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ n· akbk ≥
ak ·
bk ≥ n ak bn－k+1 ．
k =1
高教视野
10
GAOJIAO SHIYE
用 Abel 公式证明一些不等式
◎魏子亮 （ 青海师范大学数学与统计学院，青海 西宁 810008）
【摘要】挪威数学家 Niels Henrik Abel 所提出的 Abel 公 式在数学解题中具有较为广泛的应用． 本文利用 Abel 公式 证明了切比雪夫不等式及其他数列不等式问题．
（
S（ k） i －1
－ S（i k） ）
+
S（ k） n －1
aj
i=1 j=1
j =1
n －1
n
∑ ∑ =
i（ － ik）
+
nS（n
k） －1
=－
ik +1
+
nS（n
k） －1
+ nk+1
i =1
i =1
=
－
S（ k+1） n
+
n（
S（ k） n －1
+ nk）
=
－
S（ k+1） n
+ nS（nk） ．
【关键词】Abel 公式； 数列求和； 数列不等式
一、Abel 公式的两种形式
（ 一） Abel 和差变换公式
设 m ＜ n，m，n ∈ N + ，则有：
n
n －1
∑ ∑ （ Ak － Ak－1 ） bk = An bn － Am－1 bm + Ak （ bk － bk+1 ） ．
k=m
k=m
（ 1）
由分部求和公式（ 2） 可得：
( ) ( ) ( ) n
n
n
∑ ∑ ∑ （ ak） ·
bk =
ai
n －1
∑bi+l
k =1
k =1
i =1
l =0
∑ ( ∑ ) n－1
=
n
ai bi+l
l=0 i=1
∑ [ ∑ ∑ ( ∑ ) ] n－1
=
n
n －1
an bi+l +
k
bi+l （ ak － ak+1 ）