精品高一数学必修4课时练：两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
高中数学必修四课时作业5：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
必修四第3章 三角恒等变形3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.已知一元二次方程0332=--x x 的两个根为βαtan ,tan ，求)(cos 3)cos()sin(3)(sin 22βαβαβαβα+-++-+的值__________．2.已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值． 3.求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan (π6－θ)＋tan (π6＋θ)＋3tan (π6－θ)tan (π6＋θ)． 4.函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．－12 C.12D ．1 5.若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值 7．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8.已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D.24259．对任意向量a 、b ，在下式中：①a ＋b ＝b ＋a ；②(a ＋b )＋c ＝b ＋(a ＋c )；③|a ＋b |＝|a |＋|b |；④|a ＋b |≤|a |＋|b |，恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知π<θ<32π，则12＋1212＋12cos θ＝________．参考[答案]：1.【[答案]】-32.【[答案]】∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213. ∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. 3.【[答案]】(1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.[来源:Z,xx,] (2)原式＝tan [(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan (π6－θ)tan (π6＋θ)]＋3tan (π6－θ)tan (π6＋θ)＝ 3. 4.【[答案]】B5.【[答案]】A6.【[答案]】解：(1)由B ＝C ,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a ＝13. (2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2 A －1＝－79. 故sin 2A ＝2sin A cos A ＝429. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218. 7.【[答案]】D8.【[答案]】A9.【[答案]】C10.【[答案]】sin θ4。
人教新课标版数学高一必修4限时练两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)限时练周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1323 C.723 D.163．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A ．－13 B.13C ．－3D ．3 4．若tan 28°tan 32°＝m ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3m B.3(1－m ) C.3(m －1) D.3(m ＋1)5．已知tan α＝lg 10a ，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10 6．已知tan α和tan ⎝⎛⎭⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝ab7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则∠B 等于( )A ．30°B ．45°C ．120°D ．60°二、填空题8.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________. 9．已知sin 2α＝35(π2＜2α＜π)，tan(α－β)＝12， 则tan(α＋β)＝________.10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝__________.11．已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. 三、解答题12．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12， (1)求tan α的值；(2)求sin(α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos(α＋β)的值．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．答案精析1．A2．C [tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝35－141＋35×14＝723.] 3．B [a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2 ＝13.] 4．B [由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°) ＝3(1－m )．]5．C [∵α＋β＝π4， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1， tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg 10a ＋lg 1a ＝1－lg 10a lg 1a， 1＝1－lg 10a lg 1a， ∴lg 10a lg 1a＝0. lg 10a ＝0或lg 1a＝0. 得a ＝110或a ＝1.] 6．C [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－b a， tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝c a .tan ⎣⎡⎦⎤α＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1－tan αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－b a 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .] 7．D [由公式变形得：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B )＝－tan C (1－tan A tan B )＝－tan C ＋tan A tan B tan C .∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C＝tan A tan B tan C ＝3 3.∵tan 2B ＝tan A tan C ，∴tan 3B ＝3 3.∴tan B ＝3，B ＝60°.] 8. 3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.9．－2解析 ∵sin 2α＝35，π2＜2α＜π， ∴tan 2α＝－34. tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan(α－β)1＋tan 2αtan(α－β)＝－34－121＋⎝⎛⎭⎫－34×12＝－5458＝－2. 10.17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6.∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13， tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12， tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD＝12－131＋12×13＝17. 11．1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 12．解 (1)∵tan(π4＋α)＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2， ∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. (2)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β ＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin(β－α)cos(β－α) ＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 13．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7， tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角， ∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。
人教版高中数学必修4课时卷 两角和与差的正弦、余弦公式2
课时提升卷(二十七)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.(2013·嘉兴高一检测)若tanα=3，tanβ=，则tan(α-β)等于( )A. B.- C.3 D.-32.(2013·蚌埠高一检测)设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是( )A.tanβtanα<1B.sinα+sinβ<C.cosα+cosβ>1D.tan(α+β)<tan3.若tan 28°·tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°= ( )A.mB.(1-m)C.(m-1)D.(m+1)4.(2013·菏泽高一检测)在△ABC中，∠C=120°，tanA+tanB=，则tanAtanB的值为( )A. B. C. D.5.已知sinα=且α为锐角，tanβ=-3且β为钝角，则角α+β的值为( )A. B. C. D.二、填空题(每小题8分，共24分)6.(2013·普宁高一检测)设tan(α+β)=，tan=，则tan= .7.若(tanα-1)(tanβ-1)=2，则α+β= .8.(2013·潍坊高一检测)化简的结果为.三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.已知α，β均为锐角，且tanβ=，求tan(α+β)的值.10.已知A+B=45°，求证：(1+tanA)(1+tanB)=2，并应用此结论求(1+ tan1°)(1+tan2°)…(1+tan43°)(1+tan44°)的值.11.(能力挑战题)设tanα，tanβ是方程ax2-(2a+1)x+(a+2)=0(a≠0)的两根，求证：tan(α+β)的最小值是-.答案解析1.【解析】选A.由于tanα=3，tanβ=，故tan(α-β)====.2.【解析】选D.取特例，令β=α=可得，tan(α+β)=，tan=，所以tan(α+β)>tan，所以D不正确.【变式备选】在△ABC中，若0<tanAtanB<1，则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.形状不能确定【解析】选B.因为0<tanAtanB<1，所以tanA>0，tanB>0，tanA+tanB>0，所以tanC=-tan(A+B)=-<0，所以角C为钝角，△ABC为钝角三角形.3.【解析】选B.tan(28°+32°)=tan 60°===，所以tan 28°+tan 32°=(1-m).【变式备选】化简tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan10°tan60°的值等于( ) A.1 B.2 C.tan10° D.tan20°【解析】选A.因为tan(10°+20°)=，所以tan20°+tan10°=tan30°(1-tan20°tan10°)，所以原式=tan10°tan20°+tan60°(tan20°+tan10°)=tan10°tan20°+tan60°tan30°(1-tan20°tan10°)=tan10°tan20°+1-tan20°tan10°=1.4.【解析】选B.∠C=120°，则A+B=60°，又tan(A+B)=，故=，tanAtanB=.5.【解析】选B.sinα=，且α为锐角，则cosα=，tanα=；所以tan(α+β)===-1，又α+β∈，故α+β=.6.【解析】因为tan=tan====.答案：7.【解析】(tanα-1)(tanβ-1)=2⇒tanαtanβ-tanα-tanβ+1=2⇒tanα+tanβ=tanαtanβ-1⇒=-1，即tan(α+β)= -1，所以α+β=kπ-，k∈Z.答案：kπ-，k∈Z8.【解析】原式===tanβ.答案：tanβ9.【解析】tanβ===tan，因为α，β均为锐角，所以-<-α<，0<β<，又y=tanx在上是单调函数，所以β=-α，即α+β=，tan(α+β)=1.10.【解题指南】由A+B=45°结合两角和的正切公式得(1+tanA)(1+tanB)=2，再利用所给式中两角和为45°的个数得结果即可.【解析】因为tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)，且A+B=45°，即tanA+tanB=1-tanAtanB，所以(1+tanA)(1+tanB)=tanA+tanB+1+tanAtanB=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2，即(1+tanA)(1+tanB)=2.因为1°+44°=45°，2°+43°=45°，…，22°+23°=45°，所以(1+tan1°)(1+tan44°)=2，(1+tan2°)(1+tan43°)=2，…，(1+tan22°)(1+tan23°)=2，所以原式=2×2×2×…×2=222.11.【证明】由tanα，tanβ是方程的两根得Δ=(2a+1)2-4a(a+2)≥0，则a≤，a≠0，又tanα+tanβ=，tanαtanβ=，所以tan(α+β)==--a≥--=-.所以tan(α+β)的最小值是-.关闭Word文档返回原板块。
高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 含答案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.(2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________.2．两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan α·tan β＝______________________________________________________________.(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈，sin α＝，则tan 的值等于( ) (π2，π)35(α＋π4)A. B ．7 C ．－ D ．－7 17172．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) 45A. B ．－ C ．－7 D ．－ 4343173．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( ) 1213π23π2A.B.C.D. π43π45π47π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.tan 20°36．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝，则tan A tan B 的值为( ) 233A. B. C. D. 14131253题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7.＝________. 1＋tan 75°1－tan 75°8．已知tan ＝2，则的值为________． (π4＋α)12sin αcos α＋cos 2α9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则＝________. sin (α＋β)cos (α－β)10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________. cos α－sin αcos α＋sin α三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋tan B tan C ＝，且tan A ＋tan B ＋1＝tan A tan B ，3333试判断△ABC 的形状．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为，. 210255求tan(α＋β)的值．能力提升 13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 121714．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝，sin(A －B )＝. 3515(1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1) (2) tan α＋tan β1－tan αtan βtan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－ tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) －1 tan α－tan βtan (α－β)作业设计1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝，tan A ·tan B ＝， 5313∴tan(A ＋B )＝，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－， 5252∴C 为钝角．] 5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°33＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°) 333＝tan 30°＝1.]36．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝，3∴tan(A ＋B )＝＝，即＝，解得tan A ·tan B ＝.] tan A ＋tan B 1－tan A tan B 32331－tan A tan B3137．－38. 23解析 ∵tan ＝2，∴＝2， (π4＋α)1＋tan α1－tan α解得tan α＝. ∴＝＝＝＝. 1312sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2αtan 2α＋12tan α＋119＋123＋1239．－ 32解析 ＝＝＝＝－. sin (α＋β)cos (α－β)sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin βtan α＋tan β1＋tan αtan β31＋(－3)3210．1解析 tan β＝＝. cos α－sin αcos α＋sin α1－tan α1＋tan α∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴＝1，∴tan(α＋β)＝1. tan α＋tan β1－tan αtan β11．解 由tan B ＋tan C ＋tan B tan C ＝，33得tan B ＋tan C ＝(1－tan B tan C )．3∴tan(B ＋C )＝＝， tan B ＋tan C 1－tan B tan C 3又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝. π3又tan A ＋tan B ＋1＝tan A tan B ，33∴tan A ＋tan B ＝－(1－tan A tan B )， 33∴tan(A ＋B )＝＝－， tan A ＋tan B 1－tan A tan B 33而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝，又∵A ＋B ＋C ＝π， 5π6∴A ＝，B ＝C ＝.∴△ABC 为等腰三角形． 2π3π612．解 由条件得cos α＝，cos β＝. 210255∵α，β为锐角，∴sin α＝＝， 1－cos 2 α7210sin β＝＝. 1－cos 2 β55因此tan α＝＝7，tan β＝＝. sin αcos αsin βcos β12tan(α＋β)＝＝＝－3. tan α＋tan β1－tan α·tan β7＋121－7×1213．解 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝>0. tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β13而α∈(0，π)，故α∈(0，)． π2∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π. 17π2∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0， 12∴－π<α－β<－. π2∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝1， tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)∴2α－β＝－. 3π414．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝，sin(A －B )＝， 3515∴Error!⇒Error!⇒＝2，所以tan A ＝2tan B . tan A tan B (2)解 ∵<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝，∴tan(A ＋B )＝－，即＝－. π23534tan A ＋tan B 1－tan A tan B 34将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2 B －4tan B －1＝0.解得tan B ＝，舍去负值，得tan B ＝. 2±622＋62∴tan A ＝2tan B ＝2＋.设AB 边上的高为CD . 6则AB ＝AD ＋DB ＝＋＝. CD tan A CD tan B 3CD 2＋6由AB ＝3，得CD ＝2＋.∴AB 边上的高等于2＋. 66。
【探究导学课】人教版高中数学必修4课时练：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(含答案解析)
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课后提升作业二十七两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知α∈,sinα=,则tan的值等于()A. B.7 C.-D.-7【解析】选A.因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-,所以tanα==-,所以tan===.2.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan等于()A. B.C. D.【解析】选C.tan=tan==.3.直线l1:x-2y+1=0,倾斜角为α,直线l2:x+3y-1=0,倾斜角为β,则β-α=()A. B.C.-D.-【解析】选B.由题意可知,tanα=,tanβ=-,所以0<α<,<β<π.所以0<β-α<π,所以tan(β-α)===-1,所以β-α=.【补偿训练】已知=,则tan的值为()A. B.- C. D.-【解析】选C.tan===.4.若(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,则tan(α-β)的值为()A. B. C.4D.12【解析】选C.因为(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,所以4tanα-16tanαtanβ+1-4tanβ=17,所以tanα-tanβ=4(1+tanαtanβ),所以tan(α-β)==4.5.A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定【解析】选A.因为tanA+tanB=,tanA·tanB=,所以tan(A+B)=,所以tanC=-tan(A+B)=-,所以C为钝角.6.(2016·成都高一检测)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=,则tanAtanB的值为()A. B.C. D.【解析】选B.因为C=120°,所以tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC=-tan120°=.又因为tan(A+B)=,所以=所以1-tanAtanB=,tanAtanB=.7.(2016·石家庄高一检测)设tanα=(1+m),tan(-β)=(tanα·tanβ+m),且α,β为锐角,cos(α+β)的值为()A. B.C.-D.【解析】选D.由题意知tanα+tanβ=-tanαtanβ,即=,所以tan(α+β)=,又0<α+β<π,则α+β=,从而cos(α+β)=.8.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3,tan2B=tanAtanC,则角B=()A.30°B.45°C.60°D.120°【解题指南】利用已知条件和tan(A+C)=构建关于tanB的方程,求tanB,再求角B.【解析】选C.因为A+B+C=180°,所以tan(A+C)=-tanB,又tanA+tanB+tanC=3,所以tanA+tanC=3-tanB,又tan2B=tanAtanC,所以由tan(A+C)=得-tanB=,tan3B=3,故tanB=,B=60°.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2015·江苏高考)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.【解析】tanβ=tan[(α+β)-α]=.因为tanα=-2,tan(α+β)=,所以上式==3.答案:310.已知α,β均为锐角,且tanβ=,则tan(α+β)=.【解析】因为tanβ==.所以tanβ+tanαtanβ=1-tanα.所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1.所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ.所以=1,所以tan(α+β)=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知tan=2,tanβ=,(1)求tanα的值.(2)求的值.【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将tan=2左边展开,转化为关于tanα的方程求tanα.(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开sin(α+β),cos(α+β),化简原式,然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切,并用公式求值.【解析】(1)因为tan=2,所以=2,所以=2,解得tanα=.(2)====tan(β-α)===.12.已知tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0的两根,试求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.【解析】由已知有所以tan(α+β)===.所以sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)====-3.【能力挑战题】是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tan tanβ=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tan tanβ=2-同时成立.由(1)得+β=,所以tan==.又tan tanβ=2-,所以tan+tanβ=3-,因此tan,tanβ可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根.解得:x1=1,x2=2-.若tan=1,则α=,这与α为锐角矛盾.所以tan=2-,tanβ=1,所以α=,β=.所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.关闭Word文档返回原板块。
高中数学必修四课时作业1：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)一、基础过关1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7C ．－17D ．－7[答案] A2．已知tan (α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A.1318 B.1323C.723D.16[答案] C[解析] tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723.3．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( ) A.π4B.3π4C.5π4D.7π4[答案] C4．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 [答案] A[解析] ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13， ∴tan (A ＋B)＝52，∴tan C ＝－tan (A ＋B)＝－52， ∴C 为钝角．5.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. [答案] － 36．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为______． [答案] 23[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 7．求值：(1－tan 59°)(1－tan 76°)．解 原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.二、能力提升8．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10°D .3tan 20°[答案] A[解析] 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°) ＝3×33＝1. 设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.[答案] －105[解析] 因为tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝12，所以tan θ＝－13， 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－ 11＋tan 2θ＝－31010，sin θ＝1－cos 2θ＝1010， 则sin θ＋cos θ＝1010－31010＝－105. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan (α＋β)＝________. [答案] 1[解析] ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α. ∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan (α＋β)＝1. 11．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1. 证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C 2＝90°. ∴A ＋B 2＝90°－C 2. ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tan C 2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B 2·tan C 2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C 21－tan A 2tan B 2＝1， ∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2. 即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求：(1)tan (α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan (β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan (α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4. 三、探究与拓展是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝23π；(2)tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解 若α＋2β＝23π，则α2＋β＝π3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又∵tan α2tan β＝2－3， ∴tan α2＋tan β＝3－3， ∴tan α2，tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根， ∴x 1＝1，x 2＝2－ 3.∵若tan α2＝1，但由于α是锐角，即0<α2<π4，故这是不可能的， ∴tan α2＝2－3，tan β＝1. ∵0<β<π2， ∴β＝π4，α＝2π3－2β＝π6， ∴存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.。
2018高中数学必修四课件：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式2 精讲优练课型 精品
种变形？
提示：tan( ) tan tan ，
1 tantan
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).
【解析】1.原式= tan60 tan15
1 tan60 tan15
=tan(60°-15°)
=tan45°=1.
tan 1 11 3 2 1 1 1
11 27 1 ( 2
1.
1) 7
1， 3
所以
32
所tan以
1， 7
( ，)，又 (0， )，2 (0， )，
2
4
2
2 (，0)，所以2 3 . 4
【补偿训练】是否存在锐角α和β，使 2 2 ①，且
3
tan tan 2 3 ②同时成立？若存在，求出α和β的值；
1 3tan15
2.求值
(1) tan 11 =________.
12
(2)tan17 tan28 tan17tan28 =________.
【解题探究】1.典例1中，所求的式子能否化为 tan tan
1 tan tan
的形式？
提示：可以，原式可化为 tan60 tan15 .
1 tan60 tan15
2
2
2
时，有前一个式子两边同乘以1-tanαtanβ可得后一个式子，当
tanα·tanβ=1时， kk∈，Z，tan(α+β)无意义，所以
2
tanα·tanβ≠1，所以后一个式子两边同除以1-tanαtanβ可得前一
个式子成立，故两式等价.
2.已知α，β都是锐角，tan 1 , tan 1，则α+β的值为( )
高中数学必修四课件 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
【训练 1】 求值：
1＋tan (1)1－tan
1155°°；(2)tan
10°＋tan
35°＋tan
10°tan
tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)
＝1－tan 10°tan 35，
所以 tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1．
题型二 条件求值问题
【例2】 (1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α
＋β)的值为( )
＝15，即t1a＋n αta－n α1＝15，解得 tan α＝32.
法二 因为 tanα－54π＝15，所以 tan α＝tanα－54π＋54π ＝1t－antαan－α54－π5＋4πttaann5454ππ＝1－15＋15×1 1＝32.
（2）由条件知ssiinn
α＋cos α－cos
αα＝ttaann
【训练 2】 (1)已知 tanα－54π＝15，则 tan α＝________.
（
2
）
已
知
sin sin
α＋cos α－cos
α α
＝
3 ， tan(α
－
β)
＝
2
，则
tan(β － 2α) ＝
________．
解析
(1)法一
因为 tanα－54π＝15，所以1t＋antαan－αttaann545π4π
答案 －1
(3)求值：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝________． 解析 ∵tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)， ∴原式＝ 3－ 3tan 23°tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3．
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时目标1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.537.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. 8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1作业设计1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3tan 30°＝1.]6．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B＝3，解得tan A ·tan B ＝13.]7．－ 3 8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．－32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.10．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， 得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝3，又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3.又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6.∴△ABC 为等腰三角形．12．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2 α＝7210，sin β＝1－cos 2 β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0.而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)．∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1，∴2α－β＝－3π4.14．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎨⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎨⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan Atan B ＝2，所以tan A ＝2tan B .(2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34.将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2 B －4tan B －1＝0.解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD .则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD2＋6.由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.。