《线性代数》电子教程之五逆矩阵
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《线性代数》逆矩阵
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
逆矩阵的定义和计算公式
逆矩阵的定义和计算公式
嘿，朋友们！今天咱来聊聊逆矩阵呀！这逆矩阵就像是数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开好多难题的大门呢！
你想想看，矩阵就像是一个整齐排列的队伍，里面的数字都有自己的位置和作用。
那逆矩阵呢，就像是这个队伍的“反面”力量。
比如说，你往前走，那逆矩阵就可以让你倒着走回去，神奇吧！
逆矩阵的定义呢，简单来说，就是对于一个给定的方阵，如果存在另一个方阵，它们相乘的结果是单位矩阵，那这个另一个方阵就是原来方阵的逆矩阵啦。
哎呀，是不是有点绕？别着急，咱慢慢来理解。
举个例子呀，就好像你有一把钥匙可以打开一扇门，那这个逆矩阵就是能把打开的门再关上的那把特殊钥匙。
它和原来的矩阵相互配合，能起到很特别的作用呢。
那怎么求逆矩阵呢？这可有一些计算公式和方法哦。
就像是你要找到那把特殊钥匙，得知道一些窍门一样。
通过一些计算步骤，我们就能找到那个神奇的逆矩阵啦。
比如说，对于一个2×2 的矩阵，它的逆矩阵就可以通过一个特定的公式来计算。
是不是感觉很有趣？
咱再深入一点说，逆矩阵在很多数学和实际问题中都有大用处呢！比如说在工程中，在计算机科学里，都少不了它的身影。
它就像一个隐藏的高手，默默发挥着重要的作用。
你说，这逆矩阵是不是很厉害？它就像是数学宝藏中的一颗璀璨明珠，等待我们去发掘和利用。
所以啊，朋友们，可别小瞧了逆矩阵哦！好好去了解它，掌握它，让它为我们解决更多的难题，创造更多的奇迹呀！逆矩阵，真的是数学世界中一个超级有趣又超级有用的存在呢！。
线性代数逆矩阵重点精讲
2A 2A 2 E E E
故2A+E可逆，且(2AE)1AE
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 A 1 A A 1AE 2、若A可逆，则 (A1)1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 (A)1(A1) 4、若A可逆，数k 0, 则 k A可逆，且(kA)1 1 A1
k
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
(AB )1B1A1
3、若A可逆，则 A 可逆，且 (A)1(A1)
证明： A(A1)(A1A) EE 且 (A 1 )A (A 1 )A E E 即 A(A1)(A1)AE 故 A 可逆，且 (A)1(A1)
k
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
(AB )1B1A1
证明： (A)BB (1A1)A(BB1)A1AEA1 AA 1E
且 ( B 1 A 1 ) A ) ( B 1 B ( A 1 A ) B B 1 E B 1 B E 即 ( AB)( B 1 A1 ) (B 1A 1)A ( )B E 故AB可逆。且 (AB )1B1A1 注意：若A、B不是同阶方阵，该结论不成立
A11 A12
AA2221
5 3
12
例如
3 1 0 A 2 1 1
2 1 4
3 1 0 A 2 1 1
2 1 4
则 A11(1)11
1 1
1 5
4
A12(1)12
2 2
1 10
4
A13(1)1322
证明题：设方阵A满足A23AEO证明A可逆，且
A13EA
因为 A(3EA)3AEA2 3AA2E
故2A+E可逆，且(2AE)1AE
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 A 1 A A 1AE 2、若A可逆，则 (A1)1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 (A)1(A1) 4、若A可逆，数k 0, 则 k A可逆，且(kA)1 1 A1
k
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
(AB )1B1A1
3、若A可逆，则 A 可逆，且 (A)1(A1)
证明： A(A1)(A1A) EE 且 (A 1 )A (A 1 )A E E 即 A(A1)(A1)AE 故 A 可逆，且 (A)1(A1)
k
5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且
(AB )1B1A1
证明： (A)BB (1A1)A(BB1)A1AEA1 AA 1E
且 ( B 1 A 1 ) A ) ( B 1 B ( A 1 A ) B B 1 E B 1 B E 即 ( AB)( B 1 A1 ) (B 1A 1)A ( )B E 故AB可逆。且 (AB )1B1A1 注意：若A、B不是同阶方阵，该结论不成立
A11 A12
AA2221
5 3
12
例如
3 1 0 A 2 1 1
2 1 4
3 1 0 A 2 1 1
2 1 4
则 A11(1)11
1 1
1 5
4
A12(1)12
2 2
1 10
4
A13(1)1322
证明题：设方阵A满足A23AEO证明A可逆，且
A13EA
因为 A(3EA)3AEA2 3AA2E
线性代数-逆矩阵
10 2
可逆,由(2.3.3)式,
X (2E A)1 B (2E A) * B | 2E A |
1 3
0 3 0
2 2 1
11 2 2 1 1 3 0 3 3 1 0 3 1 1
2.3.2 正交矩阵 前面所讨论的矩阵都是在任意给定的
一个数域P上进行的,本段将介绍一种在实
其中
A
2
1
0 ,
X y ,
b 1.
，
1 1 0
z
1
由于
111
| A | 2 1 0 1 0,
110
从而A可逆,应用（2.3.5）式,有
x 1 1 1 1 2
y 2 1 0 1
z
1
1
0
1
0 1 1 2 2
0 1 2 1 3 ,
§2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵 上一节我们定义了矩阵的加法、减法
和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法 呢?回答是否定的.但是我们可以换个角度 去考虑这个问题.
在代数运算中,如果数a≠0,其倒数a-1 可由等式
a a 1 a 1 a 1
来刻画.在矩阵的乘法运算中,对于任意n阶 方阵A,都有
例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明 A+E可逆，并求(A+E)-1.
证 由A2+3A-2E=O,有
(A E)(A 2E) 4E O,
即 (A E)(A 2E) 4E,
于是
1
(A E)( (A 2E)) E.
，
4
， 根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且
( A E)1 1 ( A 2E) 4
例2.3.1 求方阵
可逆,由(2.3.3)式,
X (2E A)1 B (2E A) * B | 2E A |
1 3
0 3 0
2 2 1
11 2 2 1 1 3 0 3 3 1 0 3 1 1
2.3.2 正交矩阵 前面所讨论的矩阵都是在任意给定的
一个数域P上进行的,本段将介绍一种在实
其中
A
2
1
0 ,
X y ,
b 1.
，
1 1 0
z
1
由于
111
| A | 2 1 0 1 0,
110
从而A可逆,应用（2.3.5）式,有
x 1 1 1 1 2
y 2 1 0 1
z
1
1
0
1
0 1 1 2 2
0 1 2 1 3 ,
§2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵 上一节我们定义了矩阵的加法、减法
和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法 呢?回答是否定的.但是我们可以换个角度 去考虑这个问题.
在代数运算中,如果数a≠0,其倒数a-1 可由等式
a a 1 a 1 a 1
来刻画.在矩阵的乘法运算中,对于任意n阶 方阵A,都有
例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明 A+E可逆，并求(A+E)-1.
证 由A2+3A-2E=O,有
(A E)(A 2E) 4E O,
即 (A E)(A 2E) 4E,
于是
1
(A E)( (A 2E)) E.
，
4
， 根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且
( A E)1 1 ( A 2E) 4
例2.3.1 求方阵
线性代数-逆矩阵
一：逆矩阵的概念与性质
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵. A的逆矩阵记作 A1. 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2, 1 1 1 2 1 2 AB BA E, B是A的一个逆矩阵.
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.
2
A1 1 A E .
An1 An2
A2n Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
注意： A*的元素与矩阵A的代数余子式之间的位置关系（下标）
例题：求如下矩阵的伴随矩阵。
1)
A
a c
b d
,
2)
1 0 0 A 1 1 1,
1 2 3
解： 1)
A*
A11 A12
A21 A22
d c
b a
A11 A21 A31 1 0 0
2
又由A2 A 2E 0
A 2E A 3E 4E 0
A
2E
1 4
A
3E
E
A
2E
1
A 2E 1 A 3E 1,
故A 2E可逆.
4
且 A 2E 1 1 A 3E 3E A .
4
4
例5 解矩阵方程 1 1 5 X 3 2;
1 4 1 4
2
X
1 1
一：逆矩阵的概念与性质
人民大2024线性代数与概率论(第五版)课件 方阵的逆矩阵
0 1
0 0
1 0
0 1
0 1
0
0 0
1 0
0
0
0
1
0
−1
1
−1 0
1
1
−
2
2
1
0
3
22
例3
所以三阶方阵A的逆矩阵
1
A-1= 0
0
−1
1
2
0
0
1
−
2
1
3
23
例4
1
已知三阶方阵A= −1
−1
1
0
−1
1
−1
0
(1)判别三阶方阵A是否可逆?
(2)若三阶方阵A可逆,则求逆矩阵A-1.
24
例4
解: (1)计算三阶方阵A的行列式
31
解矩阵方程
考虑矩阵方程
AX=B
在方阵A可逆条件下,矩阵方程AX=B等号两端皆左
乘逆矩阵A-1,得到它的解为
X=A-1B
32
解矩阵方程
考虑矩阵方程
XA=B
在方阵A可逆条件下,矩阵方程XA=B等号两端皆右
乘逆矩阵A-1,得到它的解为
X=BA-1
33
例6
解矩阵方程
2
1
1
1
X=
2
−1
2
4
解:所给矩阵方程的解为
零,这时将第1行的适当若干倍分别加到其他
各行上去,使得第1列除第1行第1列元素外,其
余元素皆化为零
17
求逆矩阵
✓ 步骤2
在矩阵( )经步骤1得到的矩阵中,不妨设第2行第2
列元素不为零,这时将第2行的适当若干倍分别加到
0 0
1 0
0 1
0 1
0
0 0
1 0
0
0
0
1
0
−1
1
−1 0
1
1
−
2
2
1
0
3
22
例3
所以三阶方阵A的逆矩阵
1
A-1= 0
0
−1
1
2
0
0
1
−
2
1
3
23
例4
1
已知三阶方阵A= −1
−1
1
0
−1
1
−1
0
(1)判别三阶方阵A是否可逆?
(2)若三阶方阵A可逆,则求逆矩阵A-1.
24
例4
解: (1)计算三阶方阵A的行列式
31
解矩阵方程
考虑矩阵方程
AX=B
在方阵A可逆条件下,矩阵方程AX=B等号两端皆左
乘逆矩阵A-1,得到它的解为
X=A-1B
32
解矩阵方程
考虑矩阵方程
XA=B
在方阵A可逆条件下,矩阵方程XA=B等号两端皆右
乘逆矩阵A-1,得到它的解为
X=BA-1
33
例6
解矩阵方程
2
1
1
1
X=
2
−1
2
4
解:所给矩阵方程的解为
零,这时将第1行的适当若干倍分别加到其他
各行上去,使得第1列除第1行第1列元素外,其
余元素皆化为零
17
求逆矩阵
✓ 步骤2
在矩阵( )经步骤1得到的矩阵中,不妨设第2行第2
列元素不为零,这时将第2行的适当若干倍分别加到
第5讲 矩阵的逆(PPT)
第五讲 逆矩阵
一 逆矩阵的定义 二 逆矩阵的求法 三 矩阵可逆的充要条件 四 逆矩阵的性质
一 逆矩阵的定义
在实数的运算中， 当实数a 0时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵B
推论:
所以: (AB )1B 1A1 (ABC)1C 1B 1A1 (ABCD)1D-1 C 1B 1A1
注意顺序， 和转置相似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明 AA1 E
A A1 1
因此 A1 A 1 .
例 设A为三阶矩阵且|A|＝2，则
使得
AB BA E,
则矩阵 B称为A的可逆矩阵或逆阵.
实数a的倒数性质 aa1 a1a 1
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1. 说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
2E
1A
4
3E
E
A
2E
1
故A 2E可逆. 且 A 2E 1 1 A 3E
4
练习：若n阶矩阵满足
A2 2A 3E 0
A是否可逆？若可逆，求A的逆。
解：由等式可得，
A（A+2E ) E 3
A1 A+2E (3)
二 逆矩阵的求法（待定系数法）
一 逆矩阵的定义 二 逆矩阵的求法 三 矩阵可逆的充要条件 四 逆矩阵的性质
一 逆矩阵的定义
在实数的运算中， 当实数a 0时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵B
推论:
所以: (AB )1B 1A1 (ABC)1C 1B 1A1 (ABCD)1D-1 C 1B 1A1
注意顺序， 和转置相似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明 AA1 E
A A1 1
因此 A1 A 1 .
例 设A为三阶矩阵且|A|＝2，则
使得
AB BA E,
则矩阵 B称为A的可逆矩阵或逆阵.
实数a的倒数性质 aa1 a1a 1
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1. 说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
2E
1A
4
3E
E
A
2E
1
故A 2E可逆. 且 A 2E 1 1 A 3E
4
练习：若n阶矩阵满足
A2 2A 3E 0
A是否可逆？若可逆，求A的逆。
解：由等式可得，
A（A+2E ) E 3
A1 A+2E (3)
二 逆矩阵的求法（待定系数法）
线性代数 第五讲 矩阵的逆35页PPT
线性代数 第五，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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1 2 3 A 2 2 1
3 4 3
11
22 M11 2, M12 3, M13 3 4
1 2 3 A 2 2 1
3 4 3
12
M11 2, M12 3, M13 2,
23 M21 4 3
1 2 3 A 2 2 1
3 4 3
13
1 2 3
M11 2, M12 3, M13 2,
解 析：这是一个求三阶矩阵的逆矩阵的例子，要 利用公式 A1 1 A .
A
123 1 2 3 A 2 2 1 0 2 5 2 0,
3 4 3 0 2 6
所以 A1 存在，再计算 A 的余子式，
9
21 M11 4 3
1 2 3 A 2 2 1
3 4 3
10
21 M11 2, M12 3 3
证明
7
四、例题
例1
求二阶矩阵A
a c
b d
的逆矩阵.
解 A ad bc,
M11 d, M12 c, M21 b, M22 a,
A
d c
b a
,
所以，
当
A
0
时，有
A1
ad
1
bc
d c
b a
.
说明 此例的结果应作为公式记住.
8
例2 求方阵
的逆阵.
1 2 3 A 2 2 1
3 4 3
A
A12
A21 An1
AБайду номын сангаас2
An
2
A1n
A2n
Ann
称为 A 的伴随矩阵。
由行列式展开定理
AA A A A E
5
证 根据伴随阵的性质，有
AA A A A E,
当 A 0时，有
A( 1 A ) ( 1 A )A E,
A
A
根据矩阵可逆的定义知，矩阵 A 可逆，且
A1 1 A . A
A 2 2 1 3 4 3
M21 6, M22 6, M23 2,
M31 4, M32 5, M33 2,
得，
M11 M21 M31
A M12 M22 M32
M13 M23 M33
2 6 4 3 6 5 ,
2 2 2
根据余子式和代 数余子式的关系
14
2 6 4
3
2 2 4
3 1 3
,
B
2 5
1 , 3
C
1 2 3
3 0, 1
求矩阵X使其满足 AXB C.
123
A 2
2
1 2 0,
2 B
1 1 0,
53
343
A1, B1都存在 .
18
2 6 4
A1
1
2
3 2
6 2
5 , 2
B1 3 5
1, 2
由 AXB C A1 AXBB 1 A1CB1
《线 性 代 数》
电子教案之五
1
第
主要内容
五 讲
❖可逆矩阵的概念、性质、矩阵可逆的充要条件， 以及逆矩阵的求法；
逆
矩
阵
基本要求
❖理解可逆矩阵的概念、性质，熟悉矩阵可逆的充 要条件，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵；
2
一定、义逆矩阵的定义和记号
第 三 节
对于 n 阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵 B，使
AB BA E,
E为3阶单位阵，求X .
20
由于
A
B
1 0
1 1 1 1,
得
0 0 1
A B 1 0, 故A B可逆，且
1 1 2
( A B)1 0 1 1,
0 0 1
1 0 0 A 1 1 0,
1 1 1
0 1 1 B 1 0 1,
1 1 0
于是， 用 ( A B)1 左乘、右乘 ( A B)X ( A B) E
6
说明
➢这两个定理给出了矩阵可逆的一个充要条件：
矩阵 A可逆 A 0.
➢定理2给出了计算逆矩阵的一个方法：
1）计算 A ,
2）计算 A ,
3）写出 A1 , A1 1 A . A
➢根据这个充要条件，可以将定义中的条件改进
为AB E (或BA E) :
若 AB E (或BA E), 则 B A1.
证 矩阵 A可逆，所以有 A1使 AA1 E ，故
AA1 E 1 0,
即 A A1 0, 所以 A 0.
定理2（充分条件）
若 A 0，则矩阵 A可逆，且
A1 1 A , A
其中 A为矩阵 A 的伴随阵.
4
伴随矩阵的定义由：|A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成
矩阵的转置矩阵
A11
A 可逆 A1 1 A
A 可逆 A 可逆 , ( A )1 ( A1)
16
六、矩阵方程的求法
1. 矩阵方程的求法
设 A、B 为可逆矩阵，
AX C A1左乘两边 X A1C;
XA C A1右乘两边 X CA1;
AXB
C
A1左乘两边 B 1右乘两边
X
A1CB1 .
17
例4
设
1 A 2
则称矩阵 A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩
阵，简称逆阵.
逆 说明
矩 阵
➢此定义表明只有方阵才可能有逆阵；
➢如果矩阵 A是可逆的，那么它的逆矩阵唯一，
因此，我们把矩阵 A 的逆矩阵记作 A1，即
若 AB BA E, 则 B A1.
证明
3
三、方阵可逆的条件
定理1（必要条件）
若矩阵 A可逆，则 A 0.
，先计算
M
，
ij
15
五、逆矩阵的运算规律 ➢若 A可逆，则 A1 亦可逆，且 ( A1 )1 A;
➢若A可逆，数 0，则 A 亦可逆，且
(A)1 1 A1;
➢若 A、B 为同阶矩阵且均可逆，则 AB 亦可逆，
且 ( AB)1 B1 A1;
➢若 A可逆，则 AT 亦可逆，且 ( AT )1 ( A1 )T .
的两边，得
1 2 5
X ( A B)1 E( A B)1 (( A B)1 )2 0 1 2.
0 0 121
例5 设方阵 A 满足 A2 A 2E O,
证明 A 和 A+2E 都可逆 , 并求其逆.
证 A2 A 2E O A( A E) 2E
X
A1CB 1
1 2
2 3 2
6 6 2
4 1 5 2 2 3
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
1 2 2
3 5
1 2
2 10
10
1 4 4
19
练习 设矩阵X 满足
AX B X
其中矩阵
A
2 2
2 2
2 0 0 1 2B, 0 1 0,
2 2 2 1 0 0
所以
A 3 6 5 ,
1 3 2
2 2 2
A1
1 A
A
3 1
2
3 1
5
2 1
.
验证
AA1
1 2
说明
3
2 2 4
3 1 3
1 3
1
2
3 3 1
5
2
2 1
1
1
. 1
✓利用这个公式求矩阵的逆矩阵，计算量较大,
很容易出错， 为了减少出错
而不是直接计算Aij.