高二数学简单的线性规划问题3
高二数学线性规划练习题
高二数学线性规划练习题线性规划是数学中的一个重要分支，它在资源分配、生产计划、经济分析等领域有着广泛的应用。
对于高二学生来说，掌握线性规划的基本概念和解题技巧是非常必要的。
以下是一些线性规划的练习题，供同学们练习：练习题1：某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要2小时的机器时间和1小时的人工时间，每生产一件产品B需要1小时的机器时间和3小时的人工时间。
工厂每天有10小时的机器时间和15小时的人工时间可供使用。
如果生产一件产品A的利润是5元，生产一件产品B的利润是6元，问如何安排生产计划以使利润最大化？解答提示：1. 设x为生产产品A的数量，y为生产产品B的数量。
2. 根据题目条件列出两个不等式：2x + y ≤ 10（机器时间限制）和x + 3y ≤ 15（人工时间限制）。
3. 确定可行域，即满足上述两个不等式的x和y的取值范围。
4. 计算目标函数Z = 5x + 6y在可行域边界上的值，找到最大值。
练习题2：某农场主有600平方米的土地，计划种植小麦和玉米。
每平方米小麦的收益是20元，每平方米玉米的收益是30元。
如果农场主希望种植小麦的收益至少是玉米收益的2倍，如何分配土地以使总收益最大化？解答提示：1. 设小麦种植面积为x平方米，玉米种植面积为y平方米。
2. 根据题目条件列出不等式：x + y = 600（土地面积限制）和20x≥ 2 * 30y（收益限制）。
3. 确定可行域，即满足上述不等式的x和y的取值范围。
4. 计算目标函数Z = 20x + 30y在可行域边界上的值，找到最大值。
练习题3：一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。
生产产品1需要4小时的机器时间和2小时的人工时间，生产产品2需要3小时的机器时间和1小时的人工时间。
公司每天有24小时的机器时间和12小时的人工时间。
如果产品1的利润是每件100元，产品2的利润是每件150元，如何安排生产计划以使利润最大化？解答提示：1. 设产品1生产数量为x，产品2生产数量为y。
简单的线性规划9.20
简单的线性规划（第一课时）二元一次不等式表示平面区域教学目的：1．理解二元一次不等式表示平面区域；2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3．会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。
教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y-1=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y) x+y-1=0})问题3:点集{(x,y) x+y-1≠0}在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x,y) x+y-1>0}与点集{(x,y) x+y-1>0}又表示什么图形呢?【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是什么图形?一、归纳猜想在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：即在直线x+y-1=0在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内。
问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A（2,0），B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面叙述的哪个区域内？问题2：请把A、B、C、D四点的坐标代入x+y-1中，发现所得的值的符号有什么规律？（看几何画板）由此引导学生归纳猜想：对直线l的右上方的点（x，y），x+y-1>0都成立;对直线l左下方的点(x，y),x+y-1<0成立.二、证明猜想如图，在直线x+y-1=0上任取一点P(x过点P作垂直于y轴的直线y= y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y),都有x> x0, y= y0,所以, x+y> x0+ y0=0,所以, x+y-1> x0+ y0 -1=0,即x+y-1>0,1=0 因为点P(x0,y0)是直线x+y-1=0所以,对于直线x+y-1=0同理, 对直线l: x+y-1=0左下方的点(x,y),x+y-1<0成立所以,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1>0}是在直线x+y-1=0右上方的平面区域,类似地,在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式x+y-1<0的解为坐标的点的集合{(x,y) x+y-1<0}是在直线x+y-1=0左下方的平面区域.提出:直线-x+y-1=0的两侧的点的坐标代入-x+y-1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号”吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.三、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，• （1）二元一次不等式Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0某一侧所 • 有点组成的平面区域,Ax +By +C <0则表示直线另一侧所有点组成 • 的平面区域; (同侧同号,异侧异号) （2）有等则实,无等则虚;（3）试点定域,原点优先.四、例题：例1:画出不等式x -y +5>0表示的平面区域;分析：先作出直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点验证不等式x -y +5>0所表示的平面区域.解:先画直线x -y +5=0为边界（画成实线），再取原点（0，0）代入x -y +5中，因为0-0+5>0,所以原点在不等式x -y +5>0所表示的平面区域内,不等式表示的区域如图所示.(看幻灯片)反思归纳:(1)画线定界(注意实、虚线);(2)试点定域.【随堂练习】（1）画出不等式x +y >0表示的平面区域；（2）画出不等式x ≤3表示的平面区域. （让学生完成） 例2：画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域.x -y分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)
《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。
本节的教学重点是线性规划问题的图解法。
数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。
二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。
三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。
从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。
从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。
应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
六、教学过程。
高二数学线性规划 测试题
高二数学线性规划 测试题一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1．设直线l 的方程为：)0(0≠=++b c by ax ,则点集{0|),(>++c by ax y x }的图形是 （ ）A ．l 上方的平面区域B ．l 下方的平面区域C ．b>0时是l 上方的平面区域，b<0时是l 下方的平面区域D ．b>0时是l 下方的平面区域，b<0时是l 上方的平面区域2．已知x ,y 满足约束条件y x z x y x y x 42,3005+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥+≥+-则的最小值为（ ）A ．5B ．－6C ．10D ．－10 3．不等式0)3)(12(<-++-y x y x 表示的平面区域是（ ）A B C D4．图中的平面区域（包括边界）可用不等式组表示为 （ ）A ．22≤≤-xB ．⎩⎨⎧≤≤≤≤-1022y xC ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤+121121y x y xD ．⎩⎨⎧≥-≤≤--0)1(2)1(2y y x y 5．目标函数y x z -=3，将其看成直线方程时z 的意义是（ ）A ．该直线的纵截距B ．该直线纵截距的相反数C ．该直线的横截距D ．该直线横截距的相反数6．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥+0220401y x x x 下，目标函数y x z-=（ ）A ．有最小值，也有最大值B ．有最小值，无最大值C ．无最小值，有最大值D ．无最小值，也无最大值 7．在△ABC 中，三个顶点的坐为A （2，5）B （－1，2），C （1，0）点P （x ,y ）在△ABC33内部及其边界上运动，则使z =x +y 取得最大值和最小值的x ，y 值分别有 （ ）A ．一组和一组B ．一组和无数组C ．无数组和一组D ．无数值和无数组8．已知点A （5，2），B （1，1），C （1，522），P （x ,y ）在△ABC 表示的区域内（包括边界）且目标函数)0(>+=a y ax z 取得最大值的最优解有无穷多个，则a 值为 （ ）A ．41 B ．53 C ．4 D ．35 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）9．已知点集)0,0(},052,2,012|),{(O y x x y y x y x A 则点≤-++≤≥-+=与集合A 的关系为 ，点M （1，1）与集合A 的关系为 .10．已知点P （－1，2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-ky x 表示的平面区域内，则k 的取值范围是 .11．已知点（x ,y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x 表示的平面区域内，则y x +-2的取值范围为.12．用不等式组表示图中的平行四边形区域为 . 三、解答题（本大题共6题，共78分）13．画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-≥+-020022y x y x y x 所表示的平面区域.（12分）14．设R 为平面上以A （4，1） B （－1，－6） C （－3，2）三点为顶点的三角形区域（包括边界及内部）试求（x ,y ）在R 上变动时函数y x z 34-=的最大值和最小值.（12分）15．求y x z 2+=的最小值及取得最小值时y x ,的值，使式中y x ,的值满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥636300y x y x y x（12分）16．某化工厂生产A 、B 两种产品，按订单要求每天生产A 、B 产品均不少于5t ，已知生产1tA 产品需要用煤9t ，用电4kw ·h ，用工3个；生产1tB 产品需要用煤4t ，用电5kw ·h ，用工10个，已知1tA 产品价值为7万元，1tB 产品价值为12万元，但该厂有关资源均有一定限度，每天用煤不可超过300t ，用电不可超过200kw ·h ，用工不可超过300个，则该厂每天生产A 、B 产品各多少，才能既保证完成生产任务；又能让产值最高？（14分）17．如图，在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20确定，N 是随t变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，设M 和N 的公共面积是)(t f .求证：21)(2++-=t t t f .（14分）18．某厂用甲、乙两种原料生产A 、B 两种产品，已知生产1tA 产品，1tB 产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示。
线性规划问题(Linear Programming)
3.解：设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z，则 约束条件为 80 x 40 y 320 x y 6 x 0 y 0
目标函数为
z=60x+20y
做出可行域如图所示： 作
l0 :3x y 0
将l向上平移，当l过M点时，z取得最大 值。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得 2、 2、点定域（代入特殊点验证） 实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个 特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
练习
1：画出下列不等式所表示的平面区域：
解：设x，y分别是计划生产甲、乙两种
混合肥料的车皮数，则x，y所满足的数
学关系式为
4 x y ≤ 10 18 x 15 y ≤ 66 x≥0 y≥0
分别画出不等式组中， 各不等式所表示的区域.
y
然后取交集，就是不等 式组所表示的区域。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O
关于x,y一次不等 式组的约束条件
2 x y 50 x 10 y 20
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的
任何一个满足 不等式组的 （x,y）
可行解
可行域
解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数； 2.画：画出线性约束条件所表示的可行域； 3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； 4.求：通过解方程组求出最优解； 5.答：作出答案。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，它是线性代数的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
线性规划是一种优化问题，通过数学模型和计算方法，寻觅使目标函数达到最大或者最小的变量值。
在实际应用中，线性规划可以用于资源分配、生产计划、投资决策等方面。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是需要最大化或者最小化的线性函数，约束条件是限制变量取值范围的线性不等式或者等式，可行解是满足所有约束条件的变量取值组合。
二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和对偶理论等。
其中，图形法适合于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代计算方法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。
对偶理论是线性规划的一个重要理论基础，通过对原始问题和对偶问题的转化和求解，可以得到最优解。
三、线性规划的应用案例1. 资源分配问题：某公司有限定的人力和物力资源，需要合理安排生产计划，以最大化利润。
通过线性规划，可以确定各项生产任务的分配比例，使得总利润最大化。
2. 投资决策问题：某投资者有一定的资金，希翼通过投资股票和债券来获取最大的回报。
通过线性规划，可以确定投资比例，使得预期收益最大化。
3. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户处，希翼通过合理的运输方案，使得运输成本最小。
通过线性规划，可以确定货物的运输路径和运输量，使得总运输成本最小化。
四、线性规划的局限性线性规划在实际应用中存在一定的局限性。
首先，线性规划的模型假设目标函数和约束条件均为线性关系，但实际问题中往往存在非线性关系。
其次，线性规划的解法可能存在多个最优解或者无解的情况，需要结合实际情况进行判断。
此外，线性规划对数据的准确性要求较高，对于不确定性较大的问题，可能需要引入其他方法进行处理。
总结：高中线性规划是数学课程中的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
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例题总结
线性规划问题大致可以分为两种类型: 一种是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安 排这些资源能使完成任务量最大，收到的效益最大； 第二类是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完 成这项任务的人力，物力资源量最小。解决这两类问题 的共同点是寻求在约束条件下，某项整体指标的最大值。
1 3
有 一
规格类型 钢板类型
张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
A规格
2 1
B规格
1 2
C规格
1 3
第一种钢板 第二种钢板
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种 钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N* 目标函数为 z=x+y 作出可行域（如图）
解得交点M的坐标为(12.4,34.4)
5x+4y=200 10x+4y=300 600x+1000y=0
答:(略)
练习: P70
2
课时小结:
线性规划问题可以按照下列步骤求解： 找出全部 列出目 作出 求出 回答实 约束条件 标函数 可行域 最优解 际问题
例题分析
例2
要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每
批
钢 管 ， 长 度 都 是 4 0
0
1.在解线性规划应用问题时，其一般思维过程如下：
（1）设出决策变量，找出线性规划的约束条件和线性目标函数； （2）利用图像，在线性约束条件下找出决策变量，使目标函数 达到最大或最小；
小 结
2. 解线性规划应用问题的一般模型是：先列出约束条件组，再求
线性目标函数的最大值或最小值。
简单线性规划 第三课时
复习引入
1.解线性规划问题的步骤：
1.画:画可行域
2.移:平移找出纵截距最大或最小的直线
3.求:求出最优解
4.答:作出答案
例题分析
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1吨需消耗A种矿
石10吨、B种矿石5吨、煤4吨；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4吨、 B种矿石4吨、煤9吨.每1吨甲种产品的利润是600元,每1吨乙种产品的利 润是 1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A种矿石不超过 300吨、消耗B种矿石不超过200吨、消耗煤不超过360吨.甲、乙两种产 品应各生产多少(精确到0.1吨),能使利润总额达到最大?
{
例题分析
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0， y∈N*
15
y
{
打网格线法
B(3,9)
目标函数t = x+y
9
A(18/5,39/5)
C(4,8)
x+y =0
0
x
7.5
2x+y=15
18
x+2y=18
ห้องสมุดไป่ตู้
x+3y=27
27
作出一组平行直线t = x+y， 当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移， 经过可行域内的整点 B(3,9) 和 C(4,8) 且和原点距离最近的直线是 x+y=12，它们是最优解. 答:(略)
分析:将已知数据列成下表:
消耗量 资 源
产
品
甲产品 (1t) 10 5 4 600
乙产品 (1t) 4 4 9 1000
资源限制 (t) 300 200 360
A种矿石(t)
B种矿石(t) 煤(t)
利 润 (元 )
例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x 吨、y吨,利润总额为z元,那么 10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y. 作出以上不等式组所表示的可行域
{
由
y
75
平移找解法
50 40
M (12.4,34.4) 4x+9y=360
30 40
作出一组平行直线 600x+1000y=t， 经过可行域上的点 M 时 , 目标函数 在 y 轴 上 截 距 最 大 . 此 时 z=600x+1000y取得最大值.
x
90
{
5x+4y=200 4x+9y=360
0
3. 线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，
这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划 问题不能用图解法来解；
4. 求线性规划问题的最优整数解时，常用打网格线和调整优值的
方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其 他直线的斜率关系要把握准确。
新笔趣阁中文是唐朝为表彰功臣而建筑的绘有功臣图像的高阁。位于唐朝皇宫内三清殿旁的一个不起眼的小楼，后因“笔趣阁中文二十四功臣” 而闻名于世，可惜毁于战乱。 笔趣阁中文 笔趣阁中文 jfh51mdg 唐贞观十七年二月，唐太宗李世民为怀念当初一同打天下的众位功臣（当时已有数位辞世，还活着的也多已老迈），命阎立本在新笔趣阁中文内 描绘了二十四位功臣的图像，皆真人大小，褚遂良题字，时常前往怀旧。后又有四位皇帝在笔趣阁中文图像功臣。现在能看到的总共132副画像， 除去重复画像，总共100人左右。画像全部面向北方，阁中有中隔，隔内北面写“功高宰辅”，南面写“功高侯王”，隔外面次第功臣。伴随着唐 王朝的灭亡，笔趣阁中文消失在历史的长河之中。 女，还像以前在湖广总督府里那样嗔笑拌嘴，年夫人高兴得嘴都合不拢。只是刚刚还沉浸在相逢的喜悦之中，眨眼间却是被这迫在眉睫的两桩婚 事搅得愁眉不展。凝儿，天仙般的闺女，娘亲的心尖尖，怎么样才能不被宫里选中？怎么样才能如愿做了宗室嫡妻？还有这玉盈，今年都要十六 了，再不嫁人，既要被人说三道四，又难觅如意夫君。耽误了玉盈的终生，怎么对得起她亲生爹娘的在天之灵？可是现在年府这个样子，又怎么 离得开她？二公子还没有再娶续妻，谁来做这个大当家？总不能拱手交由那个妾室张氏趁机掌权？第壹卷 第十七章 难题 两个如花似玉的姑娘 让年夫人愁上加愁，可是还有第三桩愁事，不但年夫人愁，年总督更是忧心忡忡、心急如焚。这次京城之行，年老夫妇的壹个重要任务，就是拜 访雍亲王爷。无论从哪个方面来讲，作为刚刚划入门人的第壹个新年，他们务必登门拜访，这不仅仅是礼节问题，更主要的是表明立场的问题。 这也是这个新年，年老夫妇来到京城，而不是三个儿女回湖广的最最重要的原因。拜访的帖子递进雍亲王府已经有八天了，还没有消息传过来， 弄得年家上上下下都坐立不安，心里七上八下。凭谁都猜不出来，这王爷打的是什么主意？是帖子没有送到他的手中，还是他有其它的重要事情， 安排不开时间？就在壹家人惴惴不安、胡乱猜测，以为王爷会驳了拜见的帖子时，终于，腊月二十九，王府小太监过来传话儿，拜访时间定在了 大年初六。壹听是这么壹个回话儿，完全出乎众人的意料，壹家人全都惊呆了！按理，拜访壹定是要在年前完成，年后登门拜访，想都不敢想的 事情，那是非常失礼的行为。但是，这个时间又是王爷亲自定下的日子，爷没有时间接见，总不能擅闯吧？可这个时间，真真就是壹个烫手的山 芋，接也不是，不接也不是。明摆着是王爷对年家非常不满，所以故意选了这个么壹个尴尬的时间来给年家人出难题。按王爷定的时间去吧？不 合礼数；不去吧？那就更加失礼。而且今天已经是腊月二十九，明天就是大年三十，王爷壹家还要参加皇上的宫宴，因为年总督也要出席宫宴， 所以他非常清楚，明天王府是不会见客的。而王爷选在今天这个时间来传话，这不是明摆着要他在全城的官员中间留下天大的笑柄吗？自接了回 话下来，大半天的时间里，年家老老少少，上上下下，全都心急如焚，茶饭不思，时间壹点壹点地流逝，竟是谁也没有想出壹个万全之策来。见 玉盈心事重重的样子进了自己的房间，冰凝奇怪姐姐这是怎么了：“怎么，这么聪明、能干的玉盈姐姐也遇见难事儿了？”“别闹了，爹娘还有 大哥、二哥都愁坏了。”“啊？什么事儿愁成这个样子？”“还不是拜访雍亲王府的事情，王府回话儿了，让大年初