2021届云南省昆明市第一中学高三第六次复习检测数学(文)试卷解析
三角函数与解三角形-新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)
三角函数与解三角形一、单选题1．（2021·云南昆明市·高三（文））东寺塔与西寺塔为“昆明八景”之一，两塔一西一东，遥遥相对，已有1100多年历史．东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，在A 点测得：塔在北偏东30°的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，且B 点在北偏东60°．AB 相距80（单位：m ），在B 点测得塔在北偏西60°，则塔的高度CD 约为（ ）mA ．69B ．40C ．35D ．23【答案】B 【分析】根据题意构造四面体C -ABD ,再运用线面位置关系及三角形相关知识求解出相应的线段长即可. 【详解】如图，根据题意，图中CD ⊥平面ABD ,30CAD ∠=︒,30,60,80BAD ABD AB ∠=︒∠=︒=ABD 中，30,60BAD ABD ∠=︒∠=︒， 90ADB ∴∠=︒cos 80?cos30AD AB BAD ∴=∠=︒=又CD ⊥平面ABD ，ACD ∴是直角三角形Rt ACD中，30,90,CAD ADC AD ∠=︒∠=︒=·tan 3040CD AD ∴=︒==，选项B 正确，选项ACD 错误 故选：B.2．（2021·山东枣庄八中高一期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积"中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =现在有周长为10+ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ） A．B．C．D ．12【答案】A 【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得ABC 的三边边长，利用题中公式可求得ABC 的面积. 【详解】由题意结合正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==ABC周长为10+10a b c ++=+4a ∴=，6b =，c =所以S == 故选：A.3．（2021·安徽淮北一中高一月考）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为θ，则cos2θ等于（ ）A ．725B ．725-C ．925D ．925-【答案】B 【分析】根据题意可得出1sin cos 5θθ-=，平方可得24sin 225θ=，即可求出.【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 所以5sin 5cos 1θθ-=，即1sin cos 5θθ-=，两边平方得11sin 225θ-=，即24sin 225θ=. 因为θ是直角三角形中较大的锐角，所以42ππθ<<，所以22πθπ<<，所以7cos 225θ==-. 故选：B.4．（2021·蚌埠铁路中学高三开学考试（文））勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（ ）AB C D 【答案】A 【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3个扇形面积减去2个三角形的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率． 【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积S 曲＝S 扇形CAB +2S 拱＝123π⋅⋅22+2（S 扇形﹣S △ABC ）＝23π⋅3﹣2⋅22＝2π﹣三角形ABC 的面积S △ABC 22所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝ABCS S ∆曲 故选：A ．5．（2021·江苏高一期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，0.618≈，这一比值也可以表示为2sin18m =︒，若228m n +=，=（ ） A．2 B ．4 C ．D ．【答案】C 【分析】由题知28cos 18n =,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为2sin18m =︒，228m n +=, 所以2228288sin 188cos 18n m =-=-=,2sin1822cos1822sin 3622cos54cos54⨯===故选:C6．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））水车（如图1），又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，主要利用水流的动力灌溉农作物，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产，相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，有1700余年历史．下图2是一个水车的示意图，它的直径为3m ，其中心（即圆心）O 距水面0.75m ．如果水车每4min 逆时针转3圈，在水车轮边缘上取一点P ，我们知道在水车匀速转动时，P 点距水面的高度h（单位：m ）是一个变量，它是时间t （单位：s ）的函数．为了方便，不妨从P 点位于水车与水面交点Q 时开始记时()0t =，则我们可以建立函数关系式()()sin h t A t k ωϕ=++（其中0A >，0>ω，2πϕ<）来反映h 随t 变化的周期规律．下面关于函数()h t 的描述，正确的是（ ）A ．最小正周期为80πB ．一个单调递减区间为[]30,70C ．()y h t =的最小正周期为40D ．图像的一条对称轴方程为403t =- 【答案】D 【分析】首先求得()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞，然后结合选项由三角函数的图象和性质判断即可.【详解】依题意可知，水车转动的角速度32(rad /s)46040ππω⨯==⨯， 3324A k +=+，3324A k -+=-+，解得32A =，34k =，由()330sin sin 024h A k ϕϕ=+=+=得1sin 2ϕ=-，又2πϕ<，则6πϕ=-，所以()33sin 24064h t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞.对于选项A ：函数()h t 的最小正周期为2=8040ππ，故A 错误；对于选项B ：当[]30,70t ∈时，719,4061212t ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为3719,21212πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以函数()h t 在[]30,70上不具有单调性，故B 错误； 对于选项C ：()()353340sin 02642h h π=+=≠，所以C 错误；对于选项D ：40333sin 32244h π⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（最小值），所以D 正确.故选：D.7．（2021·江苏南京市·高一期中）托勒密（C .Ptolemy ，约90-168），古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）A ．0.0017B ．0.0454C ．0.5678D ．0.5736【答案】C 【分析】先看左边列找34︒，再往右找对第一行的36'即可. 【详解】由题意查表可得3436︒'的正弦值为0.5678. 故选:C .8．（2021·江苏镇江·高一期中）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知C ，D 为AB 的两个黄金分割点，即AC BD AB AB =．则cos DEC ∠=（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据图形和已知条件表示出,,CE DE CD ，然后用余弦定理求解即可 【详解】由正五角星的对称性知：BC CE DE AD ===， 不妨设BC CE DE AD x ====，则CD AC AD =-， 又AC BC AC AD AB +=+=，AB AC ==则AC AD AC +=，所以AD =，AC AD AD ==，CD AC AD x x =-=-=22222224cos 122x DE CE CDDEC DE CEx +-∠===⨯ 故选：A二、多选题9．（2021·河北唐山·高三开学考试）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+，则（ ）A ．()f x 的最大值为32B ．2π为()f x 的最小正周期C ．π2x =为()y f x =曲线的对称轴 D ．()π,0为曲线()y f x =的对称中心【答案】BD 【分析】分析函数sin y x =与1sin 22y x =不能同时取得最大值可判断A ；由sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x=的最小正周期是2ππ2=可判断B ；计算ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立可判断C ；计算()()2π0f x f x +-=是否成立可判断D ；进而可得正确选项. 【详解】对于A ：若()f x 的最大值为32，则sin y x =与1sin 22y x =同时取得最大值，当sin y x =取得最大值1时，cos 0x =，可得1sin 2sin cos 02y x x x ===取不到12，若1sin 22y x =取得最大值12时，sin 21x =，此时()ππZ 4x k k =+∈，而πsin sin π4y x k ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭1，所以sin y x =与1sin 22y x =不可能同时取得最大值，故选项A 不正确；对于B ：因为sin y x =的最小正周期是2π，1sin 22y x =的最小正周期是2ππ2=， 且()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=+=，()()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x f x +=+++=-+≠所以2π为()f x 的最小正周期，故选项B 正确；对于C ：ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1π1sin sin 2cos sin 222222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，即ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =不是曲线()y f x =的对称轴，故选项C 不正确；对于D ：()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x -=-+-=--，所以()()2π0f x f x +-=对于任意的x 恒成立，所以()π,0为曲线()y f x =的对称中心，故选项D 正确； 故选：BD.10．（2021·江苏）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+ B ．()424881P t t t =-+C ．sin18︒=D ．cos18︒=【答案】BC 【分析】通过求cos3,cos 4,cos5x x x ，来判断出正确选项. 【详解】()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()()222cos 1cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-，所以()3343P t t t =-，A 错误.()()222222cos 4cos 22cos 2sin 22cos 14sin cos x x x x x x x =⋅=-=--()42224cos 4cos 141cos cos x x x x =-+--428cos 8cos 1x x =-+，所以()424881P t t t =-+，B 正确.()cos5cos 4cos4cos sin 4sin x x x x x x x =+=- ()428cos 8cos 1cos 2sin 2cos2sin x x x x x x =-+- ()53228cos 8cos cos 4sin 2cos 1cos x x x x x x =-+--()()53228cos 8cos cos 41cos 2cos 1cos x x x x x x =-+--- 5316cos 20cos 5cos x x x =-+.所以()53cos90cos 51816cos 1820cos 185cos180︒=⨯︒=︒-︒+︒=，由于cos180︒≠，所以4216cos 1820cos 1850︒-︒+=，由于cos18cos30︒>︒，所以223cos 18cos 304︒>︒=，所以由4216cos 1820cos 1850︒-︒+=解得2cos 18︒=，所以sin18︒=，C正确. 2=≠⎝⎭，所以D 错误. 故选：BC 【点睛】三角函数化简求值问题，关键是根据题意，利用三角恒等变换的公式进行化简.11．（2021·全国）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.若选用一个三角函数()f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A ．() 2.5cos 56x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD 【分析】依据题中所给表格，写出()f x 的表达式而判断选项A ，B ；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C ，D. 【详解】依据表格中数据知，可设函数为()sin f x A x k ω=+，由已知数据求得 2.5A =，5k =，周期12T =，所以26T ππω==﹐ 所以有() 2.5sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A 错误；选项B 正确； 由于船进港水深至少要6.25，所以 2. 5sin 5 6.256x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，得1sin 62x π⎛⎫⎪⎝⎭≥， 又024046x x ππ≤≤⇒≤≤，则有5666x πππ≤≤或1317666x πππ≤≤，从而有1 5 x ≤≤或1317x ≤≤，选项C ，D 都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式sin()(||1)x m m ωϕ+≥<关键在于：找准不等式中的函数值m 所对角； 长为一个周期的区间内相位x ωϕ+所在范围.12．（2020·全国高三月考）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD AB BC ⎛= ⎝⎭中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧BE ，EG ，GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（ ）A ．l m n =+B ．2m l n =⋅C ．2m l n =+D ．111m l n=+ 【答案】AB 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求得l ，m ，n ，然后再逐项判断.【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以121)4l π=⨯⨯=.因为3ED =所以12(34m π=⨯⨯=.同理可得124)4n π=⨯⨯=所以l m n =+，2m l n =⋅，2m l n ≠+，111m l n≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误. 故选：AB三、填空题13．（2021·安徽高三开学考试（理））正割（secant ）及余割（cosecant ）这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知0t >，且22sec csc 16x t x +≥对任意的实数,2k x x k Z π⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭均成立，则t 的最小值为__________． 【答案】9 【分析】根据正余割的定义，得到和为1，结合基本不等式1的代入即可求解 【详解】 由题得：22111sec csc x x+=， 所以()22222211sec csc sec csc 16sec csc x t x x t x x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭即：2222csc sec 11sec csc t x xt x x t ≥+++++116t ++5-3，所以9t ≥故答案为：914．（2021·江苏仪征中学高一月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》，作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若AB =ABD △的面积为____________.【答案】【分析】设BD x =，可得出3AD x =，23ADB π∠=，利用余弦定理求出x 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABD △的面积. 【详解】设BD x =，则3AD x =，因为DEF 为等边三角形，则3ADE π∠=，故23ADB π∠=， 在ABD △中，由余弦定理得()222252323cos3AB x x x x π==+-⨯⨯⨯，解得2x =，故6AD =，2BD =，因此，ABD △的面积为1226sin23ABD S π=⨯⨯⨯=△故答案为：15．（2021·安徽阜阳·高一期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O ，筒车的半径为r ，筒车转动的周期为24s ，如图2所示，盛水桶M在0P 处距水面的距离为0h ．4s 后盛水桶M 在1P 处距水面的距离为1h ，若10h h -=，则直线0OP 与水面的夹角为______．【答案】π12【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】如图，过O 作直线l 与水面平行，过0P 作0P A l ⊥于A ，过1P 作1PB l ⊥于B ． 设0AOP α∠=，1BOP β∠=，则，4π2π243βα-=⨯=，π3βα∴=+由图知，0sin P A r α=，1sin PB r β=，0101sin sin P A h h PB r r r βα--=-==，所以πsin sin 3αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ34α-=-，即π12α=．故答案为：π12. 16．（2021·广东深圳·高三）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．【答案】2 【分析】根据题意120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，不妨设PCB α∠=，故,,326CBP ACP CAP πππααα∠=-∠=-∠=-，进而得,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以在BCP 和ACP △中，由正弦定理得sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故sin sin 2sin sin 36πααλππαα⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.【详解】根据题意, 点P 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120︒, 所以120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，设PCB α∠=，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为||||||PA PB PC λ+=所以sin cos sin sin cos sin 2sin sin 36πααααααλππαα⎛⎛⎫- - ⎪⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11==，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 20,2α，)12,⎡∈+∞⎣故实数λ的最小值为2.故答案为：2【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.四、解答题17．（2021·海安市南莫中学高一期中）下图所示的毕达格拉斯树画是由图（i ）利用几何画板或者动态几何画板Geogebra 做出来的图片，其中四边形ABCD ，AEFG ，PQBE 都是正方形.如果改变图（i ）中EAB ∠的大小会得到更多不同的“树形”.（1）在图（i ）中，21AB ,AE ==，且AE AB ⊥，求AQ ；（2）在图（ii ）中，21AB ,AE ==，设(0)EAB θθπ∠=<<，求AQ 的最大值.【答案】（1（2）9. 【分析】（1）由已知条件结合诱导公式求得cos ABQ ∠，在ABQ △中，利用余弦定理，即可求解；（2）由已知条件结合余弦定理，求得BE ，再利用正弦定理、余弦定理及三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）当AE AB ⊥时，BE BQ ==则()cos cos2ABQ ABE π∠=+∠sin AE ABE BE =-∠=-=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos 45413AQ AB BQ AB BQ ABQ =+-⋅∠=++=，所以AQ =（2）在ABE △中，由余弦定理知，2222cos 54cos BE AB AE AB AE θθ⋅=-⋅=+-，所以BE BQ ==在ABE △中，由正弦定理知sin sin AE BEABE θ=∠，可得sin ABE ∠=在ABQ △中，由余弦定理可得2222cos()2AQ AB BQ AB BQ ABE π=+-⋅⋅+∠454cos 4θ=+-+4(sin cos )994πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当3(0,)4πθπ=∈时，AQ 的取最大值9.答：（1）AQ =（2）AQ 的最大值为9.18．（2021·昆明·云南师大附中高一期中）仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂，又深深震撼我们凡俗的心灵．流星是什么？从古至今，人们作过无数种猜测．古希腊亚里士多德说，那是地球上的蒸发物，近代有人进一步认为，那是地球上磷火升空后的燃烧现象．10世纪波斯著名数学家、天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观察同一颗流星，来测定其发射点的高度．如图，假设地球是一个标准的球体，O 为地球的球心，AB 为地平线，有两个观测者在地球上的A ，B 两地同时观测到一颗流星S ，观测的仰角分别为SAD α∠=，SBD β∠=，其中，90DAO DBO ∠=∠=︒，为了方便计算，我们考虑一种理想状态，假设两个观测者在地球上的A ，B 两点测得30α=︒，15β=︒，地球半径为R 公里，两个观测者的距离3RAB π=． 1.73 1.5≈）（1）求流星S 发射点近似高度ES ；（2）在古希腊，科学不发达，人们看到流星以为这是地球水分蒸发后凝结的固体，已知对流层高度大约在18公里左右，若地球半径6370R ≈公里，请你据此判断该流星S 是地球蒸发物还是“天外来客”？并说明理由．【答案】（1）0.5ES R =公里；（2）该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”，理由见解析. 【分析】（1）由已知条件在ASB △中利用正弦定理求出1)AS R =，在SAC 中再利用余弦定理求出OS ，从而可得ES OS R =-；（2）由（1）求出的值可得流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，从而可得结论 【详解】 （1）因为3AB R π=，则60AOB ∠=︒，所以AOB 为等边角形，所以AB R =．又因为90DAO DBO ∠=∠=︒，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以30∠=∠=︒DAB DBA ，所以60SAB ∠=︒，45SBA ∠=︒，75ASB ∠=︒．在ASB △中，由正弦定理：sin 75sin 45AB AS =︒︒，得()sin 4530sin 45R AS ︒=︒+︒， 解得1)AS R =，在SAC 中，由余弦定理：2222222212cos 1)1)(42OS SA OA SA OA SAO R R R R ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭．所以 1.5OS R =≈≈，所以0.5ES OS R R =-=公里．（2）0.53185ES R ≈≈公里，所以流星S 发射点近似高度为3185公里，远远大于对流层最高近似高度18公里，所以该流星不是地球蒸发物，而是“天外来客”．（言之有理即可）．19．（2021·奉新县第一中学高一月考）重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O 为吸引游客，准备在门前两条小路OA 和OB 之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知π6AOB ∠=，弓形花园的弦长AB =M ，π6MAB MBA ∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA 、OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA 、OB 的长度，才使得喷泉M 与山庄O 的距离的值最大？【答案】（1）OA θ=，6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）当OA OB =OM 取最大值4+ 【分析】（1）本题可通过正弦定理得出OA θ=、6OB πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）本题首先可根据题意得出2AM BM ==，然后通过余弦定理得出2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，通过转化得出222283OM πθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，最后通过50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为sin sin sin OA OB AB OAB AOBθ==∠∠，π6AOB ∠=，AB =所以56OAB πθ∠=-，OA θ=，566OB ππθθ⎛⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为AB =π6MAB MBA ∠=∠=，所以2AM BM ==， 在OMB △中，由余弦定理易知2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛⎫=+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即2248sin 4cos 666OM πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭248sin 2428224cos 22286333ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122sin 2282283233πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=-++⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦，因为50,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2272,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 23πθ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即512πθ=时， 2OM 取最大值28+OM 取最大值4+此时51264OA πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 512643OB ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当OA OB =时，OM 取最大值4+ 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.20．（2021·江苏省镇江中学）古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求sin3︒的近似值(结果保留π).（2）正n 边形的边长为a ，内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，求证：2tan2a R r nπ+=.【答案】（1）60π；（2）详见解析.【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，易知 1,2AB a nπθ==，然后在Rt OAB 中，利用三角函数的定义求得R ，r ，利用三角恒等变换证明.【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为3︒， 因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积， 所以11211sin 32π⨯⨯⨯⨯≈ sin 360π≈；（2）设O 为内切圆的圆心，OA ，OB 分别为外接圆和内切圆的半径R ，r ，则,OA R OB r ==， 如图所示：所以1,2AB a nπθ==， 在Rt OAB 中，sin AB OAθ=，即12sin an Rπ=，所以2sin a R n π=， cos OB OA θ=，即cos r n Rπ=，所以coscos 2sin a n r R n nπππ==， 所以1cos cos2sin 2sin 2sina a a n n R r n n nπππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+=， 22cos 24sincos2tan222a a nnnnππππ==.21．（2021·上海徐汇·高一期末）主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周国的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线f(x)=Asin (2π3x +φ)(A >0,0≤φ<π)，其中的振幅为2，且经过点（1，－2）（1）求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)； （2）证明：g(x)+g(x +1)+g(x +2)为定值． 【答案】（1）f(x)=2sin (2π3x +5π6), g(x)=−2sin (2π3x +5π6)；（2）证明见解析.【分析】（1）首先根据振幅为2求出A ，将点（1，-2）代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.【详解】（1）∵振幅为2，A >0，∴A =2，f(x)=2sin (2π3x +φ)，将点（1，-2）代入得：−2=2sin (2π3+φ)⇒sin (2π3+φ)=−1，∵0≤φ<π，∴2π3+φ∈[2π3,5π3)，∴2π3+φ=3π2⇒φ=5π6，∴f(x)=2sin (2π3x +5π6)，易知g(x)与f(x)关于x 轴对称，所以g(x)=−2sin (2π3x +5π6).（2）由（1）g(x)=−2sin (2π3x +5π6)=−2sin (2π3x +π3+π2)=−2cos (2π3x +π3)g(x)+g(x +1)+g(x +2)=−2cos (2π3x +π3)−2cos (2π3x +π)−2cos (2π3x +2π3+π)=−2cos (2π3x +π3)+2cos2π3x +2cos (2π3x +2π3)=−2(cos2π3x ⋅12−sin2π3x ⋅√32)+2cos2π3x +2[cos2π3x ⋅(−12)−sin2π3x ⋅√32]=0.即定值为0.22．（2021·合肥市第六中学高一期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD 的区域进行改造，如图所示，其中4DC a =米，2DA a =米，ABC 为正三角形.改造后BCD △将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，ABD △将作为对三国历史文化的介绍区域.（1）当3ADC π∠=时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积；（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD △的面积的最大值.【答案】（1）()22m ；（2）(()224m a +.【分析】（1）由余弦定理求得AC ，再由正弦定理求得ACD ∠，求出BC BC ⊥，易得面积；（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，用余弦定理表示出2AC ，用正弦定理表示出sin α，再用余弦定理表示出cos α，然后表示出BCD △的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin ,cos ,AC αα，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值． 【详解】解析：（1）2222cos3AC AD DC AD DC π=+-⋅⋅，∴AC =，又sin sin3ACADACD π=∠，∴1sin 2ACD ∠=，易知ACD ∠是锐角，所以6π∠=ACD ，∴2BCD π∠=，()2214m 2BCD S a =⨯⨯=△，（2）不妨设ADC θ∠=，ACD α∠=，于是由余弦定理得()222016cos AC a θ=-①，22sin sin sin sin AC a a ACθαθα=⇒=②， 22222124168cos cos 8AC a a AC a aAC a a aAC+=+-⋅⇒=③， ∴14sin 23BCDS a AC πα⎛⎫=⨯⨯⋅+ ⎪⎝⎭△2(sin cos cos sin )33a AC ππαα=⋅+2222sin 128a AC a AC AC AC θ⎡⎤+=⋅⎢⎥⎣⎦((2222sin 4sin 43a a a πθθθ⎛⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎝⎝≤⎭，当且仅当5 326πππθθ-=⇒=时取等号，∴BCD S △最大值为(()224m a +.【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．。
云南省昆明市第六中学2021年高三数学文测试题含解析
云南省昆明市第六中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）且S n=++…+，则S n的整数部分的所有可能值构成的集合是（）A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}参考答案：A【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．可得：a n+1﹣a n=＞0，可得：数列{a n}单调递增．可得a2=，a3=，a4=.=＞1， =＜1．另一方面： =﹣，可得S n=++…+=3﹣，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）（n∈N*）．可得：a n+1﹣a n=＞0，∴a n+1＞a n，因此数列{a n}单调递增．则a2﹣1=，可得a2=，同理可得：a3=，a4=．=＞1， =＜1，另一方面： =﹣，∴S n=++…+=++…+=﹣=3﹣，当n=1时，S1==，其整数部分为0；当n=2时，S2=+=1+，其整数部分为1；当n=3时，S3=++=2+，其整数部分为2；当n≥4时，S n=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．综上可得：S n的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}．故选：A．2. 在边长为2的菱形ABCD中，，E是BC的中点，则A. B. C. D.参考答案：D【分析】选取向量为基底，用基底表示，然后计算．【详解】由题意，，．故选D．【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．3. 已知集合，，则等于（A）（B）（C）（D）参考答案：C略4. 已知集合，,若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）参考答案：A5. 右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A． B． C． D．参考答案：D6. 函数y=（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数y为奇函数，它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，结合所给的选项得出结论．【解答】解：由于函数y=（x3﹣x）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．7. 已知第一象限内的点M既在双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．2+参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF1F2为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵设C1的左，右焦点分别为F1、F2，若C2的焦点为F2，∴抛物线的准线方程为x=﹣c，若△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，由于点M也在抛物线上，∴过M作MA垂直准线x=﹣c则MA=MF2=F1F2，则四边形AMF2F1为正方形，则△MF1F2为等腰直角三角形，则MF2=F1F2=2c，MF1=MF2=2c，∵MF1﹣MF2=2a，∴2c﹣2c=2a，则（﹣1）c=a，则离心率e===1+，故选：C8. （2）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A9. 已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是（）A. B. C. D.参考答案：A10. 已知函数，且，，，则（）A．B． C. D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数y＝f(x)是R上的偶数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 参考答案：2－x＋112. 在平面直角坐标系数xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线x﹣y+m=0上存在点P，使得2PA=PB，则实数m的取值范围是．参考答案：[﹣2，2]【考点】直线的一般式方程．【分析】设P（x，x+m），由2PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4﹣x2，可得：m=﹣x±，x∈[﹣2，2]．通过三角函数代换即可得出．【解答】解：设P（x，x+m），∵2PA=PB，∴4|PA|2=|PB|2，∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，化为（x+m）2=4﹣x2，∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，∴m=﹣x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，∴m=﹣2cosθ±2sinθ=±2sin（θ±）∈[﹣2，2]，实数m的取值范围是[﹣2，2]，故答案为[﹣2，2]．13. 已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______.参考答案：2由，所以。
云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试文科数学附答案解析
机密＊启用前【考试时间：9月7日15: 00一17:00】昆明第一中学2021届高中新课标高三第一次摸底测试文科数学命题：昆一中数学命题小组审题：杨昆华凹婷波彭力刘皖明李文清梁云虹王在方毛孝宗王佳文李露陈泳序注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.巳知集合A=切I x 2 + y 2 = If , 集合B=i yly=丘｝，则AnB =A . [ 0 , 1 ] B [ -1 , 1 ]C. [ -1,0)D. [ -1,0]2. 复数z满足z·i =l..+鸟，则复数z在复平面内对应的点的坐标为2 2A. (1,0)B. (0,1)C.(-1 , 0)D.(0, -1)3. 抛物线y 2= 4x 的焦点到双曲线x 2-y 2 = 1的渐近线的距离为1 A. —互B. —2 2互2✓ c D.24已知l a 』是公差为一的等差数列，S n 为数列l a 』的前n项和，若a 2'a 4'a s成等比数列，则S 1=2A. 9 B. 14 C. 12 D 165. 我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：198******** 0 00 0 0 0 0 0 0等高堆积条形图119876543210 000000000 等高堆积条形图2文科理科．男口女根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是A. 样本中的男生数量多千女生数噩B.样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C. 对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D. 对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数6. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等两位数的回文数有11,22 ,33, …, 99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是男女．文科口理科A.40 B.307阅读右面的程序框图，则输出的s =A.15B. 4C.31D. 58.已知圆C :x 2 + y 2 -4x -2y = 0与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A,B 两点，则弦C.20 D.10长I A B I =A. J s B.5c.2J s D.3迈 1 9函数y = ln x + -的值域为ln x A. (-00 , -2] B. [ 2, + 00) C. (-00 , -2] U [ 2, + oo) D.[ -2, 2]10. 在三棱锥S -ABC 中，平面S AB _1_平面ABC,1::-.ABC 是边长为3的等边三角形，1::-.SAB是以AB 为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为A. 321T B.16'lT C. 247T D. 12,r 文数．第1页（共4页）11.已知函数f (x) = si n (wx飞）(w > 0, I 炉＜于）的最小正周期是1T'把它图象向右平移千个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数．现有下列结论：心函数f (x)的图象关于直线X = -卢对称文数．第2页（共4页）昆明市第一中学2021届摸底考试参考答案（文科数学）一、选择题题号123456789101112答案A DB BC A C A CD A B 1.解析：因为集合{}[]2211,1A x x y =+==-，集合{}[)0,B y y x ===+∞，所以[]0,1A B =I ，选A ．2.解析：因为221313i 12222⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1i i z ==-，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()0,1-，选D ．3.解析：因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为22102211d ±==+，选B ．4.解析：设数列{}n a 的公差为d ，由题意21=d ，8224a a a ⋅=，()()()d a d a d a 731121++=+整理得d a d 12=，故211=a ，所以1421717=+=d a S ，选B ．5.解析：由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A 错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，选C ．6.解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8。
2021届云南省昆明一中高三高中新课标第一次摸底测试数学(文)试题
A. B.14C.12D. 16
5.我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图
根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是
A.样本中的男生数量多于女生数量
(1)求曲线C2的普通方程和直线l的参数方程;
(2)求 的值.
23. [选修4 -5:不等式选讲](10分)
已知函数 .
(1)当a= 1时,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求实数a的取值范围。
昆明市第一中学2021届摸底考试
参考答案（文科数学）
一、选择题
A.40B.30C.20D.10
7.阅读右面的程序框图，则输出的S =
A.15
B.4
C.31
D.5
8.已知圆C: 与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,则弦长
A. B.5C. D.
9.函数 的值域为
A.(-∞，-2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2] [2,+∞)D.[-2,2]
10.在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面ABC,∆ABC是边长为3的等边三角形,∆SAB是以AB为斜边的直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为
A.32πB.16π .C.24πD.12π
11.已知函数 的最小正周期是π,把它图象向右平移
个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论:
①函数f(x)的图象关于直线x= 其对称.②函数f(x)的图象关于点( ,0)对称
③函数f(x)在区间 上单调递减④函数f(x)在 上有3个零点
云南省昆明市第一中学高三第六次月考数学(文)试题
云南省昆明市第一中学高三第六次月考数学（文）试题一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 记全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，图中阴影部分所表示的区域为，由于，，故，故选A．2. 复数（是虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，虚部为1.故选B．3. 某地区想要了解居民生活状况，先把居民按所在行业分为几类，然后每个行业抽取的居民家庭进行调查，这种抽样方法是（）A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分类抽样D. 分层抽样【答案】D【解析】由题意，对居民进行职业分类，再进行等量抽取，属于分层抽样。
故选D。
4. 已知，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又当时，，所以，故选A。
5. 已知圆：与圆：交于，两点，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】公共弦方程为：，即，故选B。
6. 一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，该几何体是由一个边长为的正方体截去一个底面积为，高为的一个三棱锥所得的组合体，如图，所以，故选D．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的定义域为且，故选C．8. 若函数（其中）满足对，都有成立，则的值是（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】由题可知，是的一条对称轴，所以是函数的最值，所以或，故选B。
9. 已知，，则下列大小关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，可取，，则，排除A；，排除C；，排除D.因为，所以，故选B．10. 已知函数在处取得极值，令函数，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框内可填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，而，解得，故．由程序框图可知，当时，即结束时，条件为“”故选B．11. 已知正三角形三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又，所以，所以，所以，故选C。
2021届云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试数学(文)试题(解析版)
2021届云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ={}221x x y +=，集合B = {y y =，则A B =（ ）A ．[0，1]B ．[- 1，1]C ．[-1，0)D ．[- 1，0]【答案】A【解析】先根据圆的范围和值域的求法，化简两个集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合{}[]2211,1A x x y =+==-，集合{[)0,B y y ===+∞，所以[]0,1AB =，故选：A ． 【点睛】本题主要考查结合的基本运算以及值域的求法和圆的范围，属于基础题.2．复数z 满足122z i ⋅=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．(1，0) B ．(0，1)C ．(1-，0)D ．(0， 1-)【答案】D【解析】求出左边复数的模，利用除法运算化简复数z ，可得复数z 的坐标，从而可得答案. 【详解】因为12z i ⋅=1==， 所以1iz i ==-，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()0,1-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的模与复数的除法运算，考查了复数的坐标表示，属于基础题.3．抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．2【答案】B【解析】根据抛物线方程求出焦点，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线距离求解. 【详解】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d ==， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了抛物线，双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，属于容易题. 4．已知{}n a 是公差为12的等差数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和，若248,,a a a 成等比数列，则7=S （ ） A ．194B ．14C ．12D ．16【答案】B【解析】由248,,a a a 成等比数列，可得2428a a a =⋅，再利用等差数列的通项公式化简可得112a =，12d =,再利用等差数列前n 项和公式即可得7S .【详解】解设数列{}n a 的公差为d ，由题意12d =， 由248,,a a a 成等比数列,所以2428a a a =⋅，()()()211137a d a d a d +=++整理得21d a d =，故112a =，所以7172114S a d =+=. 故选:B 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题. 5．我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C．对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D．对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数【答案】C【解析】由等高条形图的特点和性质进行判断，【详解】由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，故选：C．【点睛】本题主要考查了独立性检验中利用等高条形图判断两个变量之间的差异，属于基础题. 6．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】A【解析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8， 中间一位数均有10种可能，所以有41040⨯=个， 故选：A 【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．阅读下面的程序框图，则输出的S =（ ）A ．15B ．4C ．31D ．5【答案】C【解析】根据程序框图逐次计算可得输出的S 的值. 【详解】第一次判断前，2,2S i ==； 第二次判断前，6,3S i ==； 第三次判断前，15,4S i ==；第四次判断前，31,5S i ==，执行判断后，满足54>，终止循环，故31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果，此类问题，可模拟计算机逐次计算即可，计算时注意判断条件是否满足.本题属于基础题.8．已知圆C : 22420x y x y +--=与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，则弦长AB =（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】A【解析】分别令0x =和0y =，从而求出A ，B 两点的坐标，由两点的距离公式可求出弦长. 【详解】令0y =，解得4x =或0；令0x =，解得2y =或0.所以(4,0)A ，(0,2)B ，所以AB =故选:A 【点睛】本题考查了两点的距离公式，属于基础题.本题的关键是求出A ，B 两点的坐标. 9．函数1ln ln y x x=+的值域为（ ） A ．(-∞，-2] B ．[2，+∞)C ．(-∞，-2] [2，+∞)D ．[-2，2]【答案】C【解析】利用基本不等式可求该函数的值域. 【详解】当1x >时，1ln 2ln y x x =+≥，当01x <<时，[11ln (ln )()2ln ln y x x x x ⎤=+=--+-≤--⎥⎦， 所以函数的值域为][(,22-∞-⋃，)+∞，故选：C ． 【点睛】本题考查函数值域、基本不等式，注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.10．在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为3的等边三角形，△SAB 是以AB 为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．16π .C ．24πD ．12π【答案】D【解析】先根据题意确定三棱锥外接球的球心为△ABC 外接圆圆心，再根据正弦定理求得求半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】由题意，△SAB 是以AB 斜边的直角三角形，以三角形SAB 所在平面截球所得的小圆面圆心在AB 中点，又因为平面SAB ⊥平面ABC ，所以平面ABC 截球所得平面即为大圆.因为△ABC 是边长为3的正三角形，其外接圆半径3R ==锥外接球的半径R =，其表面积24π12πS R ==， 故选：D 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力，属基础题.11．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论： ①函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称.；②函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；④函数()f x 在3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点.正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④C ．②③D ．②【答案】A【解析】利用函数()y f x =的最小正周期以及平移后的函数的奇偶性求出ω、ϕ的值，可求得函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误；当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，解方程()0f x =可判断④的正误. 【详解】因为函数()y f x =的最小正周期为π，则22πωπ==，则()()sin 2f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后得到函数2sin 2sin 233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于函数2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()23k k Z πϕπ-=∈，可得2,3k k Z πϕπ=+∈. 22ππϕ-<<，1k ∴=-，则3πϕ=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭. 对于命题①，()min sin 2sin 1121232f f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①正确； 对于命题②，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②正确；对于命题③，当212x ππ-≤≤-时，42332x πππ-≤-≤-， 所以，函数()y f x =在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，③正确； 对于命题④，当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82333x πππ≤-≤，由()0f x =可得23x ππ-=或223x ππ-=，解得23x π=或76x π=，④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性、单调性与零点个数的判断，同时也考查了利用正弦型函数的周期和图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21xf x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1，2) B ．(232，2)C ．23(,2)-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)【答案】B【解析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x∈-时()f x的图象，由()f x的奇偶性和周期性作出()f x的图象，关于x的方程()log(2)0af x x-+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x与log(2)ay x=+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log(22)3log(62)3aa+<⎧⎨+>⎩，解得2322a<<，故选:B．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.二、填空题13．若x，y满足约束条件33040x yx yx y+-≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则z =2x +y的最大值是__________.【答案】6【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线20x y z+-=可得z的最大值. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由40x yx y+-=⎧⎨=⎩可得22xy=⎧⎨=⎩，故()2,2A.平移动直线2z x y=+至()2,2A处时，z取得最大值，且最大值为2226⨯+=．故答案为：6.【点睛】本题考查线性规划，注意利用它来求最值时，应挖掘目标函数的几何意义，本题属于基础题.14．已知(2,3),(1,3)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_________. 【答案】12【解析】利用数量积的几何意义可求投影的值. 【详解】a 在b 方向上的投影是()2221331213a bb⋅-⨯+⨯==+．故答案为：12. 【点睛】本题考查数量积的几何意义，考查学生对概念的理解与掌握，本题属于基础题. 15．函数4()3ln f x x x x=+-在(1,(1))f 处的切线方程为_______ 【答案】6110x y +-=【解析】先求导数()'f x ，计算切线斜率(1)k f '=和切点坐标，再利用点斜式写出切线方程即可． 【详解】 因为243()1f x x x'=--，所以切线斜率(1)6k f '==-， 又因为43ln11(1)15f -=+=，所以切点为()1,5，所以所求切线方程为56(1)y x -=--，即6110x y +-=． 故答案为：6110x y +-=． 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的方程，属于基础题.16．如图，正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，线段AC 1上有两个动点E 、F ，且EF 3=，给出下列四个结论:①CE ⊥BD②三棱锥E - BCF 的体积为定值③∆BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形 ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线 其中，正确的结论是____________ 【答案】①②③④【解析】根据棱柱的结构特征和线面关系逐项排除即可. 【详解】因为BD ⊥平面1ACC ，所以BD CE ⊥，故①对；因为点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故②对；线段EF 在底面ABCD 上的正投影是线段GH ，所以△BEF 在底面ABCD 内的正投影是△BGH .又因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 是定值，从而△BGH 的面积是定值，故③对；设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故④对. 所以正确结论是①②③④．故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查命题的真假判断，解题时要认真审题，要熟练掌握棱柱的结构特征，线与面之间的关系.三、解答题17．某杜区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区中随机抽取了18名男性居民和12名女性居民，对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类:甲类(不参加体育锻炼)、乙类(参加体育锻炼)，调查结果如下表:（1）根据上表中的统计数据，完成下面的2 ×2列联表:（2）通过计算判断是否有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关?【答案】（1）表格见解析；（2）没有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关. 【解析】（1）根据调查结果完成列联表即可；K，与附表对照，即可判断.（2）根据22⨯列联表计算2【详解】解：（1）填写的22⨯列联表如下男性居民女性居民合计（2）计算()223036615803.8095921181221K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 因为3.8095 3.841<.所以没有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关. 【点睛】本题考查了利用独立性检验解决实际问题，属于基础题.18．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且cos 2cos()A B C =+ （1）求A ；（2）若a ∆ABC ABC 的周长.【答案】（1）π3A =；（2）. 【解析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简整理得cos A 的方程并求得cos A ，再根据A 的范围求得A 即可；（2）利用面积公式求出bc ，再结合余弦定理求出b c +，即得ABC 的周长. 【详解】解：（1）因为cos2cos A A =-，所以22cos cos 10A A +-=解得1cos 2A =或1-（舍）， 又因为0πA <<，所以π3A = .（2）因为1sin 2ABCSbc A =⋅=，所以2bc =， 又因为2222cos a b c bc A =+-⋅，所以223b c bc =+-， 从而得2()33b c bc +-=，因为2bc =，所以3b c +=，所以ABC 的周长为. 【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式，以及诱导公式和二倍角的余弦公式，属于中档题.19．如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且AB =AD =12CD = 1，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明:平面BCE ⊥平面BDE ; （2）求六面体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）由勾股定理可得BC BD ⊥，再由面面垂直得到ED ⊥平面ABCD ，即可得到BC ED ⊥，从而得到BC ⊥平面BDE ，即可得证； （2）根据ABCDEF V =六面体+B ADEF V -四棱锥E BCD V -三棱锥计算可得； 【详解】解：（1）证明：因为//AB CD ，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===，可得2BD BC ==2CD =，所以BC BD ⊥又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，四边形ADEF 是正方形，ED AD ⊥，ED ⊂平面ABCD ，可得ED ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则BC ED ⊥， BD ，ED ⊂平面BDE ，BD ED D =，故BC ⊥平面BDE ，BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDE ．（2）ABCDEF V =六面体+B ADEF V -四棱锥E BCD V -三棱锥13BCD ADEF S AB S ED ∆=⋅+⋅正方形（）111122132=⨯+（）23=． 所以六面体ABCDEF 的体积为23.【点睛】本题考查面面垂直的判定，以及几何体体积的计算，属于中档题. 20．已知点Q 是圆M :22(1)16x y ++=上一动点(M 为圆心)，点N 的坐标为(1，0)，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的轨迹方程;（2）直线l 过点P (4，0)交曲线E 于点A ，B ，点B 关于x 的对称点为D ，证明:直线AD 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据中垂线性质得CQ CN =，即得4CM CN +=，最后根据椭圆定义求方程;（2）先设直线AD 的方程y kx m =+，并与椭圆方程联立，再根据A ，B ，P 共线，结合韦达定理求得m k =-，即得定点. 【详解】解：（1）因为线段QN 的中垂线交线段QM 于点C ，则CQ CN =， 所以42CM CN CM CQ QM MN +=+==>=， 由椭圆定义知：动点C 的轨迹为以原点为中心的椭圆， 其中：24a =，22c =，又222=3b a c =-，所以曲线E 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设()11,D x y ，()22,A x y ，则()11,B x y -，由题意知直线AD 的斜率必存在， 设直线AD 的方程为：y kx m =+，由22+143y kx m x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()()222438430k mk m x x +++-=，故()()()2222221222122641643303408434343m k k m k m mk x x k m x x k ⎧∆=-+->⇒+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩因为A ，B ，P 共线，其中()224,PA x y =-，()114,PB x y =-- 所以()()()212144x y y x --=-，整理得()()12122480kx x m k x x m +-+-=， 则()()22224388044343k m mk m k m k k ⋅--⋅+-=++-，解得m k =-，此时2330k∆=+>则直线AD 的方程为：()1y k x =-， 所以直线AD 恒过定点()1,0 【点睛】本题考查椭圆标准方程、椭圆定义、直线过定点，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()(ln )()f x x x ax a R =-∈ （1）当a = 1时，求函数f (x )的单调区间;（2）若函数f (x )有两个极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为()0,+∞，无单调递增区间；（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）求出()f x '，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）令()()h x f x ='，则()h x 有两个不同的零点，利用导数讨论()h x 的单调性并结合零点存在定理可得实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）当1a =时，()(ln )f x x x x =-，函数()f x 的定义域为()0,+∞，1()ln (1)ln 21f x x x x x x x'=-+-=-+，设()ln 21g x x x =-+，则112()2x g x x x'-=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 为增函数； 当1,+2x ⎛⎫∈∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 为减函数． 所以111()()ln11ln 0222g x g ≤=+-=<，即()0f x '<， 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,+∞，无单调递增区间. （2）因为()(ln )f x x x ax =-(0)x >，所以()ln 21f x x ax '=-+，令()ln 21h x x ax =-+， 由题意可知()h x 在()0,+∞上有两个不同零点． 又()12ax h x x-'=， 若0a ≤，则()0h x '>，故()h x 在()0,+∞上为增函数， 这与()h x 在()0,+∞上有两个不同零点矛盾，故0a >. 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 为增函数； 当1,+2x a ⎛⎫∈∞⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 为减函数． 故max 11()ln 22h x h a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为()h x 在()0,+∞上有两个不同零点，故1ln02a>即112a >即102a <<. 取1112e a <<，120a h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在11,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭有一个零点，取2112a a >，21122ln 1h a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()2ln 21,2s x x x x =-+>，则()()21220x s x x x-'=-=<， 故()s x 在()2,+∞为减函数，因为12a>，故122ln12ln 232310a a-+<-<-=-<， 故210h a ⎛⎫⎪⎭<⎝，故()h x 在211,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点， 故()h x 在()0,∞+上有两个零点， 故实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数单调性和函数的零点，后者应该利用导数研究单调性并结合零点存在定理来判断，本题属于较难题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y =''⎧⎨=⎩得到曲线C 2，直线l 过点P (-1，0)C 2交于A ，B 两点. （1）求曲线C 2的普通方程和直线l 的参数方程; （2）求PA PB ⋅的值.【答案】（1）1,1.2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；2214x y +=；（2）127. 【解析】(1)由变换规则可得12x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入曲线1C 可得C 2的普通方程，由已知条件即可写出直线的参数方程.(2) 设A ，B 所对应参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入曲线2C ，结合韦达定理和参数的几何意义即可求出PA PB ⋅的值. 【详解】（1）由2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得12x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入曲线1C 得：()2212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭，所以曲线2C 的普通方程为2214x y +=.因为直线l 过点(1,0)P -，斜率为3， 所以l的参数方程为1,1.2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （2）设A ，B 所对应参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入曲线2C 得:27120t --=，则(247120∆=+⨯⨯>，且12127t t =-，所以，1212127PA PB t t t t ⋅=⋅==. 【点睛】本题考查了伸缩变换，考查了直线的参数方程，考查了参数的几何意义. 23．已知函数()22,0f x x x a a =+-->. （1）当a = 1时，求不等式f (x )≥2的解集;（2）若f (x )的图象与x 轴围成的三角形的面积大于6，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()1,+∞. 【解析】(1)代入1a =，通过讨论去掉绝对值号，从而求出解集.(2)讨论x 的取值范围，去掉函数的绝对值号，从而可得图象与x 轴所围成的三角形三个顶点的坐标，进而可求出面积表达式，由题意可写出关于a 的不等式，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）1a =时，由不等式()2f x ≥可得：()2212f x x x =+--≥，可化为：22222x x x <-⎧⎨--+-≥⎩ 或212222x x x -≤≤⎧⎨++-≥⎩ 或12222x x x >⎧⎨+-+≥⎩，解得：x ∈∅ 或213x ≤≤ 或 12x <≤，即：223x ≤≤，则不等式的解集为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）因为22,2,()322,2,22,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以()f x 的图象与x 轴所围成的三角形，三个顶点分别为22,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(),2B a a +，()22,0C a +， 由题意，()()122222623a a a -⎡⎤+-+>⎢⎥⎣⎦，整理得：2450a a +->， 因为0a >，所以解得：1a >，所以，实数a 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，同时也考查了利用绝对值函数与坐标轴围成的三角形面积求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。
云南省昆明市第一中学2021届高三第六次复习检测英语试题
昆明一中2021届高三联考第六期语文参考答案及解析Ht末tps:/四/pa位n.bai提du.co取m/s/1QeiFtslIQUeAJcT2IBgesw码aake第一部分：听力（满分 30 分）1-5 CBACC 6-10BCABC 11-15 CACBA 16-20 CAABA第二部分： 阅读理解 (共两节，满分 40 分)第一节 (共15小题；每小题2分，满分30分)21~25 ADCAC 26~30 DDBDB 31~35 CADCB第二节 （共 5 小题；每小题 2 分，满分 10 分）36~40 GEAFD第三部分：英语知识运用第一节：完形填空（共 20 小题：每小题 1.5 分，满分 30 分）41-45 BADCB46-50DCDDB51-55 ACABC 56-60 ABCDA第二节（共 10 小题；每小题 1.5 分，满分 15 分）61. inconvenient 62. will be met 63. what 64. another 65. wealthy 66. to bridge 67. of 68 having weighed69. amply 70. be reached 第四部分：写作（共两节，满分 35 分）第一节：短文改错（共 10 小题：每小题 1 分，满分 10 分）Last Saturday morning, I was walking along the beach. On it was many holidaymakers, some of which werewere whomsearching for shells and others taking a walk.I was looking for a place to sit on while I heard a cry for help. A little girl dropped into the water, struggle upwhen strugglingand down. Seeing this, I dashed forward and jumped into the water. I swam as fast as I could toapproach him.herFinally, I managed to return to the shore with the girl. With the help of other tourists, the girl was been pulledonto the shore, pale and safe. Words failed to express her grateful to me and others.but gratefulness或gratitudeThe world we live in is a big family whose members are sure to meet the variety of difficulties. We should doaeverything we can∧help each other to make it peaceful!to第二节：书面表达（满分 25 分）NoticeAimed at arousing us students’ awareness of obeying traffic rules, a social practice, organized by our school, will be held next week, whose theme is “Obey the traffic rules, do as a civilized student.”There are some arrangements as follows. Every class divided into three groups should arrive at the crossroads assigned at 7 am, after which Group one set about hanging the traffic slogans, while Group two will help the police clear the traffic. The rest will distribute the hand-made brochures concerning traffic regulations to passers-by, reminding them of being civilized residents.Everyone is expected to be punctual and takes an active part in it.the Students’ Union 【答案解析】第二部分阅读理解第一节A语篇导读】应用文。
云南昆明一中2021届高三新课标第一次测试数学(文科)试题(含答案解析)
昆明第一中学2021届高中新课标高三第一次摸底测试文科数学注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区城内，写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={}221x x y +=，集合B = {y y =，则A B =（ ）A. [0，1]B. [- 1，1]C. [-1，0)D. [- 1，0] 【答案】A【解析】 【分析】先根据圆的范围和值域的求法，化简两个集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合{}[]2211,1A x x y =+==-，集合{[)0,B y y ===+∞， 所以[]0,1A B =，故选：A ．【点睛】本题主要考查结合的基本运算以及值域的求法和圆的范围，属于基础题.2. 复数z 满足12z i ⋅=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. (1，0)B. (0，1)C. (1-，0)D. (0， 1-)【答案】D【解析】【分析】求出左边复数的模，利用除法运算化简复数z ，可得复数z 的坐标，从而可得答案.【详解】因为122z i ⋅=+1=， 所以1iz i ==-， 所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()0,1-，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的模与复数的除法运算，考查了复数的坐标表示，属于基础题.3. 抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为（ ）A. 12B. C. D. 2 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线方程求出焦点，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线距离求解.【详解】因为抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线为0x y ±=， 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d == 故选：B ．【点睛】本题主要考查了抛物线，双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，属于容易题.4. 已知{}n a 是公差为12的等差数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和，若248,,a a a 成等比数列，则7=S （ ） A. 194B. 14C. 12D. 16【答案】B【解析】 【分析】由248,,a a a 成等比数列，可得2428a a a =⋅，再利用等差数列的通项公式化简可得112a =，12d =,再利用等差数列前n 项和公式即可得7S .【详解】解设数列{}n a 的公差为d ，由题意12d =， 由248,,a a a 成等比数列,所以2428a a a =⋅，()()()211137a d a d a d +=++整理得21d a d =， 故112a =，所以7172114S a d =+=. 故选:B 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.5. 我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（ ）A. 样本中的男生数量多于女生数量B. 样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C. 对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D. 对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数【答案】C【解析】【分析】由等高条形图的特点和性质进行判断，【详解】由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A 错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，故选：C ．【点睛】本题主要考查了独立性检验中利用等高条形图判断两个变量之间的差异，属于基础题.6. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）A. 40B. 30C. 20D. 10【答案】A【解析】【分析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2， 中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有41040⨯=个，故选：A【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 阅读下面的程序框图，则输出的S =（ ）A. 15B. 4C. 31D. 5【答案】C【解析】 【分析】根据程序框图逐次计算可得输出的S 的值.【详解】第一次判断前，2,2S i ==；第二次判断前，6,3S i ==；第三次判断前，15,4S i ==；第四次判断前，31,5S i ==，执行判断后，满足54>，终止循环，故31S =.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图计算输出结果，此类问题，可模拟计算机逐次计算即可，计算时注意判断条件是否满足.本题属于基础题.8. 已知圆C : 22420x y x y +--=与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，则弦长AB =（ ）A. B. 5 C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别令0x =和0y =，从而求出A ，B 两点的坐标，由两点的距离公式可求出弦长.【详解】令0y =，解得4x =或0；令0x =，解得2y =或0.所以(4,0)A ，(0,2)B ，所以AB = 故选:C【点睛】本题考查了两点的距离公式，属于基础题.本题的关键是求出A ，B 两点的坐标.9. 函数1ln ln y x x =+的值域为（ ） A. (-∞，-2] B. [2，+∞)C. (-∞，-2][2，+∞) D. [-2，2] 【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可求该函数的值域.【详解】当1x >时，1ln 2ln y x x =+≥，当01x <<时，[11ln (ln )()2ln ln y x x x x ⎤=+=--+-≤--⎥⎦， 所以函数的值域为][(,22-∞-⋃，)+∞，故选：C ．【点睛】本题考查函数值域、基本不等式，注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题.10. 在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为3的等边三角形，△SAB 是以AB 为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 32πB. 16π .C. 24πD. 12π 【答案】D【解析】【分析】先根据题意确定三棱锥外接球的球心为△ABC 外接圆圆心，再根据正弦定理求得求半径，最后根据球表面积公式得结果.【详解】由题意，△SAB 是以AB 斜边的直角三角形，以三角形SAB 所在平面截球所得的小圆面圆心在AB中点，又因为平面SAB ⊥平面ABC ，所以平面ABC 截球所得平面即为大圆.因为△ABC 是边长为3的正三角形，其外接圆半径3R ==，故该三棱锥外接球的半径R =，其表面积24π12πS R ==， 故选：D【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力，属基础题. 11. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：①函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称.；②函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；④函数()f x 在3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点. 正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ②③D. ② 【答案】A【解析】【分析】利用函数()y f x =的最小正周期以及平移后的函数的奇偶性求出ω、ϕ的值，可求得函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误；当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，解方程()0f x =可判断④的正误. 【详解】因为函数()y f x =最小正周期为π，则22πωπ==，则()()sin 2f x x ϕ=+， 将函数()y f x =图象向右平移3π个单位后得到函数2sin 2sin 233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()23k k Z πϕπ-=∈，可得2,3k k Z πϕπ=+∈. 22ππϕ-<<，1k ∴=-，则3πϕ=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.对于命题①，()min sin 2sin 1121232f f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①正确； 对于命题②，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②正确； 对于命题③，当212x ππ-≤≤-时，42332x πππ-≤-≤-， 所以，函数()y f x =在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，③正确； 对于命题④，当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82333x πππ≤-≤， 由()0f x =可得23x ππ-=或223x ππ-=，解得23x π=或76x π=，④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性、单调性与零点个数的判断，同时也考查了利用正弦型函数的周期和图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12. 已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21x f x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1，2)B. (232，2)C. 23(,2)-∞(2， +∞)D. (2，+∞) 【答案】B【解析】【分析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a+<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围. 【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象，关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<， 故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ， y 满足约束条件33040x y x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则z =2x +y 的最大值是__________.【答案】6【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线20x y z +-=可得z 的最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由40x y x y +-=⎧⎨=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩，故()2,2A .平移动直线2z x y =+至()2,2A 处时，z 取得最大值，且最大值为2226⨯+=．故答案为：6.【点睛】本题考查线性规划，注意利用它来求最值时，应挖掘目标函数的几何意义，本题属于基础题.14. 已知(2,3),(1,3)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_________.【答案】12【解析】【分析】利用数量积的几何意义可求投影的值.【详解】a 在b 方向上的投影是()2221331213a b b⋅-⨯+⨯==+． 故答案为：12. 【点睛】本题考查数量积的几何意义，考查学生对概念的理解与掌握，本题属于基础题.15. 函数4()3ln f x x x x=+-在(1,(1))f 处的切线方程为_______ 【答案】6110x y +-=【解析】【分析】先求导数()'f x ，计算切线斜率(1)k f '=和切点坐标，再利用点斜式写出切线方程即可．【详解】因为243()1f x x x '=--，所以切线斜率(1)6k f '==-， 又因为43ln11(1)15f -=+=，所以切点为()1,5， 所以所求切线方程为56(1)y x -=--，即6110x y +-=．故答案为：6110x y +-=．【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的方程，属于基础题.16. 如图，正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，线段AC 1上有两个动点E 、F ，且 EF 3=3，给出下列四个结论:①CE ⊥BD②三棱锥E - BCF 的体积为定值③∆BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线其中，正确的结论是 ____________【答案】①②③④【解析】【分析】根据棱柱的结构特征和线面关系逐项排除即可.【详解】因为BD ⊥平面1ACC ，所以BD CE ⊥，故①对；因为点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故②对；线段EF 在底面ABCD 上的正投影是线段GH ，所以△BEF 在底面 ABCD 内的正投影是△BGH .又因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 是定值，从而△BGH 的面积是定值，故③对；设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面 ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故④对. 所以正确结论是①②③④．故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查命题的真假判断，解题时要认真审题，要熟练掌握棱柱的结构特征，线与面之间的关系.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 某杜区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区中随机抽取了18名男性居民和12名女性居民，对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类:甲类(不参加体育锻炼)、乙类(参加体育锻炼)，调查结果如下表:（1）根据上表中的统计数据，完成下面的2 ×2列联表:（2）通过计算判断是否有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关?附22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++()2P K k0.100.050.01【答案】（1）表格见解析；（2）没有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关. 【解析】【分析】（1）根据调查结果完成列联表即可；（2）根据22⨯列联表计算2K ，与附表对照，即可判断. 【详解】解：（1）填写的22⨯列联表如下（2）计算()223036615803.8095921181221K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 因为3.8095 3.841<.所以没有95%的把握认为参加体育锻炼与否跟性别有关. 【点睛】本题考查了利用独立性检验解决实际问题，属于基础题.18. 已知ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且cos 2cos()A B C =+ （1）求A ；（2）若a ∆ABC 的面积为2，求ABC 的周长.【答案】（1）π3A =；（2）. 【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简整理得cos A 的方程并求得cos A ，再根据A 的范围求得A 即可；（2）利用面积公式求出bc ，再结合余弦定理求出b c +，即得ABC 的周长. 【详解】解：（1）因为cos2cos A A =-，所以22cos cos 10A A +-=解得1cos 2A =或1-（舍）， 又因为0πA <<，所以π3A = .（2）因为13sin 2ABCSbc A =⋅=，所以2bc =， 又因为2222cos a b c bc A =+-⋅，所以223b c bc =+-， 从而得2()33b c bc +-=，因为2bc =，所以3b c +=，所以ABC 的周长为3+3.【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式，以及诱导公式和二倍角的余弦公式，属于中档题. 19. 如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且AB =AD =12CD = 1，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明:平面BCE ⊥平面BDE ; （2）求六面体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】【分析】（1）由勾股定理可得BC BD ⊥，再由面面垂直得到ED ⊥平面ABCD ，即可得到BC ED ⊥，从而得到BC ⊥平面BDE ，即可得证；（2）根据ABCDEF V =六面体+B ADEF V -四棱锥E BCD V -三棱锥计算可得； 【详解】解：（1）证明：因为//AB CD ，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===，可得2BD BC ==2CD =，所以BC BD ⊥又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，四边形ADEF 是正方形，ED AD ⊥，ED ⊂平面ABCD ，可得ED ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则BC ED ⊥，BD ，ED ⊂平面BDE ，BD ED D =，故BC ⊥平面BDE ，BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDE ．（2）ABCDEF V =六面体+B ADEF V -四棱锥E BCD V -三棱锥13BCD ADEF S AB S ED ∆=⋅+⋅正方形（）111122132=⨯+（）23=． 所以六面体ABCDEF 的体积为23.【点睛】本题考查面面垂直的判定，以及几何体体积的计算，属于中档题. 20. 已知点Q 是圆M :22(1)16x y ++=上一动点(M 为圆心)，点N 的坐标为(1，0)，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的轨迹方程;（2）直线l 过点P (4，0)交曲线E 于点A ，B ，点B 关于x 的对称点为D ，证明:直线AD 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据中垂线性质得CQ CN =，即得4CM CN +=，最后根据椭圆定义求方程;（2）先设直线AD 的方程y kx m =+，并与椭圆方程联立，再根据A ，B ，P 共线，结合韦达定理求得m k =-，即得定点.【详解】解：（1）因为线段QN 的中垂线交线段QM 于点C ，则CQ CN =， 所以42CM CN CM CQ QM MN +=+==>=，由椭圆定义知：动点C 的轨迹为以原点为中心的椭圆， 其中：24a =，22c =，又222=3b a c =-，所以曲线E 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设()11,D x y ，()22,A x y ，则()11,B x y -，由题意知直线AD 的斜率必存在， 设直线AD 的方程为：y kx m =+，由22+143y kx m x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()()222438430k mk m x x +++-=，故()()()2222221222122641643303408434343m k k m k m mk x x k m x x k ⎧∆=-+->⇒+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩因为A ，B ，P 共线，其中()224,PA x y =-，()114,PB x y =-- 所以()()()212144x y y x --=-，整理得()()12122480kx x m k x x m +-+-=， 则()()22224388044343k m mk m k m k k ⋅--⋅+-=++-，解得m k =-，此时2330k∆=+>则直线AD 的方程为：()1y k x =-， 所以直线AD 恒过定点()1,0【点睛】本题考查椭圆标准方程、椭圆定义、直线过定点，考查综合分析求解能力，属中档题. 21. 已知函数()(ln )()f x x x ax a R =-∈ （1）当a = 1时，求函数f (x )的单调区间;（2）若函数f (x )有两个极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为()0,+∞，无单调递增区间；（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）求出()f x '，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）令()()h x f x ='，则()h x 有两个不同的零点，利用导数讨论()h x 的单调性并结合零点存在定理可得实数a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，()(ln )f x x x x =-，函数()f x 的定义域为()0,+∞，1()ln (1)ln 21f x x x x x x x'=-+-=-+，设()ln 21g x x x =-+，则112()2x g x x x'-=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 为增函数； 当1,+2x ⎛⎫∈∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 为减函数． 所以111()()ln11ln 0222g x g ≤=+-=<，即()0f x '<， 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,+∞，无单调递增区间. （2）因为()(ln )f x x x ax =-(0)x >，所以()ln 21f x x ax '=-+，令()ln 21h x x ax =-+， 由题意可知()h x 在()0,+∞上有两个不同零点． 又()12ax h x x-'=， 若0a ≤，则()0h x '>，故()h x 在()0,+∞上为增函数， 这与()h x 在()0,+∞上有两个不同零点矛盾，故0a >. 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 为增函数； 当1,+2x a ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 减函数．故max 11()ln 22h x h a a ⎛⎫==⎪⎝⎭， 因为()h x 在()0,+∞上有两个不同零点，故1ln02a>即112a >即102a <<. 取1112e a <<，120a h e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在11,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭有一个零点，取2112a a >，21122ln 1h a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令()2ln 21,2s x x x x =-+>，则()()21220x s x x x-'=-=<， 故()s x 在()2,+∞为减函数，因为12a >，故122ln 12ln 232310a a-+<-<-=-<， 故210h a ⎛⎫⎪⎭<⎝，故()h x 在211,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点， 故()h x 在()0,∞+上有两个零点， 故实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数单调性和函数的零点，后者应该利用导数研究单调性并结合零点存在定理来判断，本题属于较难题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4 -4:坐标系与参数方程]22. 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y=''⎧⎨=⎩得到曲线C 2，直线l 过点P (-1，0)，斜率为3，且与曲线C 2交于A ，B 两点. （1）求曲线C 2的普通方程和直线l 的参数方程; （2）求PA PB ⋅的值.【答案】（1）1,1.2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；2214x y +=；（2）127. 【解析】【分析】(1)由变换规则可得12x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入曲线1C 可得C 2的普通方程，由已知条件即可写出直线的参数方程.(2) 设A ，B 所对应参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入曲线2C ，结合韦达定理和参数的几何意义即可求出PA PB ⋅的值.【详解】（1）由2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得12x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入曲线1C 得：()2212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭，所以曲线2C 的普通方程为2214x y +=.因为直线l 过点(1,0)P -， 所以l的参数方程为1,21.2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （2）设A ，B 所对应参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入曲线2C 得:27120t --=，则(247120∆=+⨯⨯>，且12127t t =-，所以，1212127PA PB t t t t ⋅=⋅==. 【点睛】本题考查了伸缩变换，考查了直线的参数方程，考查了参数的几何意义.[选修4 -5:不等式选讲]23. 已知函数()22,0f x x x a a =+-->. （1）当a = 1时，求不等式f (x )≥2的解集;（2）若f (x )的图象与x 轴围成的三角形的面积大于6，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()1,+∞.【解析】【分析】(1)代入1a =，通过讨论去掉绝对值号，从而求出解集.(2)讨论x 的取值范围，去掉函数的绝对值号，从而可得图象与x 轴所围成的三角形三个顶点的坐标，进而可求出面积表达式，由题意可写出关于a 的不等式，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）1a =时，由不等式()2f x ≥可得：()2212f x x x =+--≥，可化为：22222x x x <-⎧⎨--+-≥⎩ 或212222x x x -≤≤⎧⎨++-≥⎩ 或12222x x x >⎧⎨+-+≥⎩，解得：x ∈∅ 或213x ≤≤ 或 12x <≤，即：223x ≤≤，则不等式的解集为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）因为22,2,()322,2,22,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以()f x 的图象与x 轴所围成的三角形，三个顶点分别为22,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(),2B a a +，()22,0C a +， 由题意，()()122222623a a a -⎡⎤+-+>⎢⎥⎣⎦，整理得：2450a a +->， 因为0a >，所以解得：1a >，所以，实数a 的取值范围为()1,+∞.【点睛】本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，同时也考查了利用绝对值函数与坐标轴围成的三角形面积求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。
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绝密★启用前
2021届云南省昆明市第一中学高三第六次复习检
测数学（文）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．复数1i z i =
-的虚部为（） A ．12 B ．12- C ．12i D ．1
2
i - 答案：B
思路：化简复数z =1122
i -，即可得答案； 解：i i 1z =-(1)(1)(1)i i i i --=-+--111222i i -==-，所以复数z 的虚部为12
-， 故选：B.
2．已知集合{}22,4,A a
=，{}2,6B a =+，若B A ⊆，则a =（） A ．-3
B ．-2
C ．3
D ．-2或3 答案：C
思路：因为B A ⊆得到64a +=或者26a a +=，但是算出a 的值后，要将a 值代回去检验是否满足集合的互异性的条件.
解：因为B A ⊆，
若64a +=，则2a =-，24a =，集合A 中的元素不满足互异性，舍去； 若26a a +=，则3a =或-2，因为2a ≠-，所以3a =.
故选C.
点评：根据集合之间的包含关系求解参数的值时，一定要记得将参数的值代回集合中检验是否会有重合的元素，如果有重合的情况就要舍掉这个参数的取值，切记集合的三要素：确定性，互异性，无序性.
3．已知向量()1,2a =，()5,2a b -=，则b =（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 答案：A
思路：首先求出b 的坐标，即可得解；
解：解：因为()1,2a =，()5,2a b -=
所以()()()()1,25,24,0b a a b =--=-=-，所以4b =，
故选：A.
4．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表学校到省里参加奥林匹克数学竞赛，A 被选中的概率是（） A ．12 B ．13 C ．23 D ．1
答案：C
思路：首先求出从A ，B ，C 三个同学中选2名的全部基本事件，再找到A 被选中的基本事件，利用古典概型公式即可得到答案.
解：从A ，B ，C 三个同学中选2名代表学校到省里参加奥林匹克数学竞赛， 共有AB ，AC ，BC ，3个基本事件，
A 被选中共有2个基本事件，概率23
P =
. 故选：C 5．甲、乙、丙做同一道题，仅有一人做对.甲说：“我做错了.”乙说：“甲做对了.”丙说：“我做错了.”如果三人中只有一人说的是真的，以下判断正确的是（）
A ．甲做对了
B ．乙做对了
C ．丙做对了
D ．以上说法均不对 答案：C
思路：根据合情推理，分别假设甲、乙、丙做对了，逐一判断即可.
解：假设甲做对了，则乙、丙做错，则乙、丙的说法正确，不符合题意；
假设乙做对了，则甲、丙做错，则甲、丙说法正确，不符合题意；
假设丙做对了，则甲、乙做错，则乙、丙说法错误，甲说法正确，符合题意. 丙做对，
故选：C.
6．若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实数b =（）
A ．-4
B ．-2
C ．2e
D ．e 答案：A
思路：设切点()00,2ln x x ，写出切线方程0022ln 2x y x x =+-，从而可得01x e
=，代
入切线方程即可求解.
解：设l ：2y ex b =+与曲线2ln y x =相切于点()00,2ln x x ，
则()00
2f x x '=，所以的方程为()00022ln y x x x x -=-， 则0022ln 2x y x x =+-，故022e x =，解得01x e
=， 则直线l ：24y ex =-，所以4b =-，
故选：A.
7．在R 上函数()f x 满足()()2f x f x +=，且()2,103,01x a x f x x x +-≤<⎧=⎨-≤<⎩
，其中
a R ∈，若()()5 4.5f f -=，则a =（）
A ．2.5
B ．3.5
C ．4.5
D ．5.5
答案：C
思路：分析出函数()f x 的周期为2，可得出()()51f f -=-，()()4.50.5f f =，结合()()5 4.5f f -=可得出关于a 的等式，由此可解得实数a 的值.
解：因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 的周期为2，
又因为()()512f f a -=-=-，()()4.50.5 2.5f f ==， ()()5 4.5f f -=，所以2 2.5a -=，即 4.5a =，
故选：C.
8．cos36cos72︒︒=（）
A ．18
B ．16
C ．14
D ．12
答案：C
思路：利用二倍角公式sin 22sin cos ααα=和诱导公式()sin 180sin αα︒-=即可化简得解. 解：因为sin 72cos72sin1441cos36cos722sin 364sin 364︒︒︒︒︒=
==︒︒， 故选：C.
9．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（）。