二倍角与半角的正弦,余弦和正切
倍角公式和半角公式口诀
倍角公式和半角公式口诀倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。
半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。
正文：在三角函数中，倍角公式和半角公式是非常重要的公式之一。
它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。
下面我们将分别介绍倍角公式和半角公式的口诀，并举例说明其应用。
倍角公式口诀是一种简单易记的口诀，可以帮助我们快速记忆倍角公式的变化规律。
首先我们来看倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。
这个口诀告诉我们，在倍角公式中，正弦和余切的正负取决于原角的正负，而余弦和正切的正负则与原角的正负相反。
这个口诀的记忆方式非常简单直观，让人很容易就能记住倍角公式的正负变化规律。
接下来我们通过一个具体的例子来说明倍角公式的应用。
假设我们需要计算sin(2x)的值，其中x是一个已知的角度。
根据倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，我们可以利用已知角度x的正弦值和余弦值来求得sin(2x)的值，而无需直接求解sin(2x)的正弦值。
这样一来，我们可以大大简化计算的复杂度，提高计算效率。
接下来我们来看半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。
这个口诀告诉我们，在半角公式中，正弦、余弦、正切和余切的正负变化规律。
根据这个口诀，我们可以很容易地记住半角公式的正负变化规律，从而在实际计算中更加得心应手。
接下来我们通过一个具体的例子来说明半角公式的应用。
假设我们需要计算sin(x/2)的值，其中x是一个已知的角度。
根据半角公式sin(x/2) = ±√[(1-cos(x))/2]，我们可以利用已知角度x的余弦值来求得sin(x/2)的值，而无需直接求解sin(x/2)的正弦值。
5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(2)教案
5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切（2）教案教学目的：1、掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根据2α所在象限正确选择公式中的正、负号； 2、会根据具体情况灵活运用公式。
用半角的正切公式时，往往选用αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan ；教学重点：半角公式的应用教学过程： （一）、引入 一、（设置情境）气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。
这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。
二、（双基回顾）αααcos sin 22sin =； ααα22sin cos 2cos -=； ααα2tan 1tan 22tan -=（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出2tan,2cos,2sinααα的表达式？探索研究证明：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=二、概念或定理或公式教学（推导）在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的1、在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得：2sin 21cos 2α-=α∴2cos 12sin 2α-=α2、在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得：12cos 2cos 2-α=α∴2cos 12cos 2α+=α3、以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2开方得：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半。
三角函数的二倍角与半角公式
三角函数的二倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，涉及到角度与三角比的关系。
在求解三角函数值时，常常用到二倍角与半角的公式。
本文将介绍三角函数的二倍角与半角公式，以及它们的应用。
1. 二倍角公式在三角函数中，二倍角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的二倍角的三角函数值的公式。
我们用角θ 表示已知角，角2θ 表示其二倍角。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。
1.1 正弦的二倍角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其二倍角2θ 的正弦值可以表示为：sin 2θ = 2sin θ cos θ这个公式表明，求解正弦的二倍角可以通过利用已知角的正弦、余弦和两者之积来计算。
1.2 余弦的二倍角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其二倍角2θ 的余弦值可以表示为：cos 2θ = cos² θ - sin² θ这个公式可以改写为：cos 2θ = 2cos² θ - 1 = 1 - 2sin² θ根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦、正弦和两者之积来求解余弦的二倍角值。
1.3 正切的二倍角公式已知角θ 的正切值为tan θ，其二倍角2θ 的正切值可以表示为：tan 2θ = (2tan θ)/(1 - tan² θ)这个公式表明，正切的二倍角可以通过已知角的正切值来计算。
2. 半角公式半角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的一半角的三角函数值的公式。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的半角公式。
2.1 正弦的半角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其半角θ/2 的正弦值可以表示为：sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)在这个公式中，正负号取决于角的象限。
2.2 余弦的半角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其半角θ/2 的余弦值可以表示为：cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)同样地，正负号取决于角的象限。
高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦,余弦和正切xsb
高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦、余弦和正切【知识梳理】1、二倍角公式： αααc o s s i n 22s i n =；)(2αSααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan1tan 22tan -=；)(2αT降幂公式：1cos 22cos 2-=αα αα2sin 212cos -=)(2αC ' 升幂公式：22cos 1sin22cos 1cos 22αααα-=+=2、半角公式：α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan,2cos 12cos,2cos 12sin3、万能公式：2tan12tan2tan ,2tan12tan1cos ,2tan12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）； （2）三角比名互化(切割化弦)； （3）公式变形使用（ta n ta n αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±；（4）三角比次数的降升(降幂公式：21c o s 2c o s 2αα+=，21c o s 2s in 2αα-=与升幂公式：21c o s 22c o s αα+=，21c o s 22sin αα-=)；【方法总结】 三角比的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！第二看三角比的名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.（5）式子结构的转化(对角、三角比名称、式子结构化同) ； （6）常值变换主要指“1”的变换（221sinc o s x x =+22se cta nta n c o t x x x x=-=⋅ta ns in 42ππ===）（7）正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内在联系――“知一求二”，若sin cos x x t ±=，则sin cos x x =212t -±，特别提醒：[2,2]t ∈-．【例题精讲】例1、不用计算器，求下列各式的值（1）15cos 15sin ； （2）8sin8cos22ππ-； （3）5.22tan 15.22tan 22-； （4）75sin 212-．变式练习：求下列各式的值（１）)125cos125)(sin125cos 125(sin ππππ-+ （２）2sin2cos44αα-（３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例2、已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值例3、已知π<α<π2，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71-，求2α + β【辅助角公式】()22s in c o s s in a x b x ab x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由2222s in ,c o s b a a ba bθθ==++ ,ta n b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用.变式练习：已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0求证：α＋2β＝2π例4、 已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2tanα和tan α的值例5、已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 31-，求sin(α + β)的值变式练习：已知12c o s (),s in (),923ααββ-=--=且,022ππαπβ<<<<，求c o s ()αβ+的值。
三角函数中的倍角公式与半角公式
三角函数中的倍角公式与半角公式三角函数是数学中的重要概念，在几何和物理学中有着广泛的应用。
在三角函数中，倍角公式和半角公式是其中两个重要的公式。
本文将详细介绍三角函数中的倍角公式和半角公式，以及它们的应用。
一、倍角公式倍角公式是指将一个角的两倍表示成该角的三角函数的形式。
三角函数的倍角公式主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ正弦函数的倍角公式可以通过三角函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ令α = β = θ，可以得到：sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ化简后得到正弦函数的倍角公式。
2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ余弦函数的倍角公式也可以通过三角函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ - sinαsinβ令α = β = θ，可以得到：cos(θ + θ) = cosθcosθ - sinθsinθ化简后得到余弦函数的倍角公式。
3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)正切函数的倍角公式可以通过正弦函数和余弦函数的倍角公式推导得出。
将正弦函数和余弦函数的倍角公式代入正切函数的定义式，经过简化和化简可以得到正切函数的倍角公式。
二、半角公式半角公式是指将一个角的一半表示成该角的三角函数的形式。
与倍角公式类似，三角函数的半角公式也包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]正弦函数的半角公式可以通过正弦函数和余弦函数的和差公式推导得出。
根据和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ令α = θ/2，β = θ/2，可以得到：sin(θ/2 + θ/2) = sin(θ/2)cos(θ/2) + cos(θ/2)sin(θ/2)化简后得到正弦函数的半角公式。
高中数学-必修二6.2.2二倍角公式-知识点
1、熟记二倍角公式及其常用变形.
（1）正弦：sin2α=2sinαcosα。常用变形：①sinα=2sin cos ；②(sinα±cosα)2=1±sin2α。
（2）余弦：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α。常用变形-降幂公式：①cos2α= ，②sin2α= 。
5、积化和差公式（容易由两角和或差的正/余弦公式反向推导得出）
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]
6、和差化积公式：
（3）正切：tan2α= 。
2、题型：给角求值。典例：求sin10°sin50°sin70°。方法：变形，凑配，逆用公式。原式=cos80°cos40°cos20°= = （分子连续逆用正弦二倍角公= ；②cos = ；③tan = = = 。
4、万能公式：sinα= ，cosα= ，tanα= 。
①sinα+sinβ=2sin cos
②sinα-sinβ=2cos sin
③cosα+cosβ=2cos cos
④cosα-cosβ=-2sin sin
★记忆口诀：①角的顺序都是α，β， ， ；②公式的左边：一加二减，三加四减。③三角函数名：赛赛赛口；赛赛口赛；口口口口；口口赛赛。④第4个公式，有负号。
二倍角与半角的正弦、余弦和正切
+ sin( )] sin( )] + cos( )] ) cos( )]
， 代入得： 2 2 1 1 sin cos [sin( ) sin( )] (sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2
cos
2
2 tan 2 cos 2
sin
sin
sin
2 tan 1 tan
2 , cos
2
2 , tan 2
2 tan 1 tan
2
2
2
2
sin 证：1） 2 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 cos2 sin 2 1 tan 2 cos 2 2 2 2） cos 1 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 2 sin cos 2 tan sin 2 2 2 3） tan cos cos2 sin 2 1 tan 2 2 2 2
tan tan 2 tan tan 2 (T2 ) 1 tan tan 1 tan 2
2
因为 sin cos 1 ，所以公式 (C 2 ) 可以变形为
二倍角与半角的正弦余弦和正切ppt课件
∴原等式成立
例4、求证：tan tan 2 tan 2
4 4 tan tan
4 4
tan
4
4
1
tan
4
tan
4
tan
2
1
tan
4
cot
4
2 tan 2 右边
∴原等式成立
例5、化简：(1) 1 sin10；
1 sin 10
解： 1 sin 10 sin 2 5 cos2 5 2sin 5cos5
ex4、 设等腰三角形底角的正弦值为3，
5
求其顶角的正弦、 余弦和正切值．
ex5、 已知sin 2 4，求sin4 cos4 ．
5
ex6、求证：1 sin 4 cos4 cot2 1 sin 4 cos4
2
24
三、例题与练习
例1、若cos 4 (0 )，求sin 2、cos2、tan 2.
5
2
解：cos 4，0 sin 3
5
2
5
sin 2 2sin cos 2 3 4 24
5 5 25
cos 2 2cos2 1 2 ( 4)2 1 7
5
25
24
tan 2
sin 2 cos 2
2sin x 2
sin
cos x
x 2
2 cos
x 2
8 5
2
2
cos x 4 25
cos x 2cos2 x 1 7 2 25
例7、 若2 3是方程x2 (tan cot )x 1 0的一个根， 求 sin 2和cos4．
解： x1 x2 1 另一根为2 3
tan cot 4
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“”(第一课时)的教学设计
董 晴
（实习学校：上海市华师大附属东昌中学）
一、教学目标
（一）知识与技能
1.熟练掌握二倍角的正弦，余弦和正切公式；
2.正确运用公式求值，化简三角式子和证明三角恒等式。
（二）过程与方法
通过实例，体会角与角之间的转化和公式之间的内在技巧，掌握公式变换的技能。
（三）情感、态度与价值观
领悟转化的数学思想。
二、教学重点和难点
（一）教学重点
二倍角的正弦，余弦以及正切公式和公式的灵活运用。
（二）教学难点
二倍角的正弦，余弦以及正切公式的灵活运用。
三、教学设计说明
二倍角的正弦，余弦以及正切公式是在两角和的正弦，余弦和正切公式的基础上推导出来的，它其实是两角和的正弦，余弦和正切公式中两个角相等的特例情况。
举出等腰三角形中的一个实例，是学生对二倍角公式的一个初步体会，然后把角的范围推广到任意角，这样学生对于二倍角公式的推导过程就有了一个直观的了解。
习题的训练重点有两个，第一点，希望学生对于二倍角的概念能有一个熟练的认识程度，能够体会角与角之间的相对性。
第二点，希望学生能够熟练掌握二倍角公式的逆用。
在训练的过程中，让学生体会数学的奇妙。
四、教学过程
（一）复习回顾
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
++=-
（二）引入
引例 等腰三角形ABC 的底角的余弦值是
35
，那么顶角的正弦值是多少？
【说明】已知等腰三角形底角的余弦值，求顶角的正弦值就会就等于求底角的二倍角的正弦值，即sin 22cos sin A A A =，然后把角的范围由锐角推广到任意角。
（三）公式推导
我们令αβ=，则由两角和的正弦，余弦和正切公式得出二倍角公式。
sin()αβ+ sin 2α
cos()αβ+ cos 2α
tan()αβ+−−→−=βαtan 2α
sin 22sin cos ααα=
22cos 2cos sin ααα=-
22tan tan 21tan ααα
=
-
【说明】
1.对sin α，cos α而言，R α∈。
2.对tan 2α的式子而言，要同时考虑tan 2α，tan α存在以及分母不为零的情况下α的取值范围。
（三）公式变形 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
【说明】由三角恒等式中1的活用，从而把余弦的二倍角化成了单角的表示形式，变形公式的好处就是只须知晓一个角的一个三角比，就可以求出其二倍角的余弦值。
（四）角与倍角的关系
(1)sin 42sin____cos____α=
22(2)cos cos ____sin ____2α
=-
22tan____(3)tan 21tan ____
α=
- 【说明】经由练习，是学生去体会角与倍角之间的关系。
这为以后倍角与半角的灵活转换做了一个基础的铺垫。
（五）习题训练
例1 设3(
,)2παπ∈，5sin 13
α=-，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。
【选题目的】二倍角公式的直接运用，让学生掌握公式并学会基本的公式运用。
例2 计算求解
（1）22cos 75sin 75-
（2）2sin15cos15 （3）22tan 22.51tan 22.5-
（4）2312sin
8π- （5）22cos 14
π
- （6）cos 2sin 2αα
（7）
22tan 2tan 12
α
α- （8）52sin cos 11212
ππ- （9）35cos cos cos cos 128812ππππ
【选题目的】
1.二倍角公式学生在能直接运用的基础上，要掌握公式的逆用。
2.观察二倍角公式的形式特征，经由变形，能够化出二倍角公式，这是需要学生掌握的技能。
3.三角比这一章是知识紧密相连的一章节，故诱导公式和二倍角公式的混合使用，也是学生需要注意和掌握的一种习题类型。
例3 证明
（1）21sin 2(sin cos )ααα+=+
（2）44cos sin cos 2ααα-=
（3）
11tan 1tan 1tan ααα
-=-+
【选题目的】
学会用二倍角公式做简单的证明，在证明的过程中体会二倍角公式的变形。
（五）小结
1.二倍角的正弦，余弦和正切公式的推导。
2.二倍角的正弦，余弦和正切公式。
3.二倍角的正弦，余弦和正切公式的灵活运用。
（六）作业
《一课三练》二倍角正弦，余弦和正切公式的第一课时。
五、板书设计
图5 板书设计
六、教学反思
1．节奏比较平缓，比较没有波动
一节课应该有起有伏，需要老师去控制。
哪些题目去让学生表现，哪些又应该强调，哪些该快速带过，用学生自己去完成。
由于是新上课缺乏表现，我更多的是倾向于自己去讲，而且有那种想把我自己所知道的全部都传授给学生的意思。
这样内容的确是很多的，但学生说话的机会就少了，他们就忘了自己去学，更多的是去模仿老师，以及就坐着看老师怎样做，自己不动手了。
节奏的平缓会使得整节课听起来一直处于一个调子上，这样等学生适应了这种节奏的话就会变得无聊，可能会开小差，可能会作自己的事情。
这样听课效率就大大降低了。
2．控制课堂，督促学生
教师的舞台是讲台，但是老师的眼神应该注意学生。
学生走神了应该提醒，当然以怎样的方式提醒，这是值得探究的问题，但不能不注意。
学生在底下做习题的时候，老师应该下讲台巡视，可以看看学生做题的方法，有细节的不足之处应该指出，这样就做到了时刻以学生为主体。