有限元复习问题.doc
有限元复习题及答案
1.弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，研究对象要广泛得多。
2.理想弹性体的五点假设？连续性假设，完全弹性假设，均匀性假设，各向同性假定，小位移和小变形的假定。
3.什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？工程实际中，对于一些几何形状、载荷以及约束条件都对称于某一轴线的轴对称体，其体内所有的位移、应变和应力也都对称于此轴线，这类问题称为轴对称问题。
通常采用圆柱坐标系r、θ、z分析。
这是因为，当弹性体的对称轴为z轴时，所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与无θ关。
4.梁单元和杆单元的区别？杆单元只能承受拉压荷载，梁单元那么可以承受拉压弯扭荷载。
具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承当的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元那么根本上适用于各种情况〔除了楼板之类〕，且经过适当的处理〔如释放自由度、耦合等〕，梁单元也可以当作杆单元使用。
5.薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
平面应力问题有三个独立的应力分量和三个独立的应变分量，薄板弯曲问题每个结点有三个自由度，但是只有一个是独立的其余两个可以被它表示。
6.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。
7.有限单元法的收敛性准那么？完备性要求，协调性要求。
完备性要求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，那么有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式，或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项，单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。
有限元法复习题
1、有限元法是近似求解（连续）场问题的数值方法。
2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。
3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。
4、以（节点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。
5、以（节点力）为基本未知量的求解方法称为力法。
7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。
8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。
9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。
10、平面刚架有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）、（？？？）。
11、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（）。
12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。
13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。
15h、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。
16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。
17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。
18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。
19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（1）。
20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。
21、节点编号时，同一单元相邻节点的（编号）尽量小。
25、单元刚度矩阵描述了（节点力）和（节点位移）之间的关系。
矩形单元边界上位移是（线性）变化的。
从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（ C ）。
力法 B、位移法 C、应变法 D、混合法下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（ D ）。
可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。
解题步骤可以系统化，标准化。
容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。
需要适用于整个结构的插值函数。
有限元(复习参考)
一．简答题：1.有限单元法和里兹法的区别：有限单元法：(1) 将连续的求解域离散为有限个单元组合体，利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域上待求的未知场函数。
(2)数学意义上，是把微分方程的连续形式转化为代数形式方程组。
里兹法：在整个求解域上，直接从泛函出发，通过假设试探函数，求得问题的近似解。
2. 泛函的两个基本点：(1)泛函有它的定义域，这个定义域是指满足一定条件的函数集。
(2)泛函](xy具有明确的对应关系，泛函的值是由一条可取曲线 与可取函数)[y的整体性质决定的，它表现在“积分”上。
3. 有限单元法的基本步骤：(1)结构或物体的离散化。
(2)选取单元内的场变量插值函数。
(3)进行单元分析，求单元特性矩阵和单元特性列阵。
(4)进行整体分析，组装整体特性矩阵和整体特性列阵，建立整体方程。
(5)计算单元内部的场变量。
4. 选取插值函数的原则：(1)广义坐标的个数与单元自由度数一致。
(2)为提高单元精度，插值多项式应尽量选取完全多项式。
有时完全多项式的项数与单元自由度数并不相同，这时可以增加单元的节点个数以使单元的自由度数和完全多项式的项数相同；还可以减少多项式的项数，以使问题变得简单，但此时应注意保持多项式的对称性。
5. 收敛准则：准则1 完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数为m阶，则有限单元法收敛的条件之一是单元内场函数的插值函数至少是m次完全多项式，或者说插值函数必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。
准则2 协调性要求。
如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在相邻单元的交界面上应有函数直到m - 1阶的连续导数。
6. 等参变换的定义：将局部(自然)坐标中几何形状规则的单元变换为整体坐标系中几何形状扭曲的单元。
当坐标变换和函数插值采用相同的节点，为等参单元；当坐标变换节点数多于插值函数节点数，为超参变换；当坐标变换节点数少于插值函数节点数，为亚参变换。
7. 等参单元基本思想：用相同数目的节点参数和相同的插值函数来定义单元的形状以及单元内的场变量。
有限元法复习题
《有限元法》复习题一.单选题1.平面刚架单元坐标转换矩阵的阶数为（）A．2⨯2 B．2⨯4 C．4⨯4 D．6⨯62.图示的四根杆组成的平面刚架结构，用杆单元进行有限元分析，单元和节点的划分如图示，则总体刚度矩阵的大小为（）A.8⨯8阶矩阵B.10⨯10阶矩阵C.12⨯12阶矩阵D.16⨯16阶矩阵3.坐标转换矩阵可归类为（）A.正交矩阵B.奇异矩阵C.正定矩阵D.对称矩阵4.图示弹簧系统的总体刚度矩阵为（）A111123222444340000k kk k k k kk k k kk k k-⎡⎤⎢⎥-++-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥-+⎣⎦B.11112222444340000k kk k k kk k k kk k k-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥-+⎣⎦C.111123232244343400k kk k k k k kk k k kk k k k-⎡⎤⎢⎥-++--⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥--+⎣⎦D.11112232244343400k kk k k k kk k k kk k k k-⎡⎤⎢⎥-+--⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥--+⎣⎦5.确定已知三角形单元的局部码为1(e),2(e),3(e)，对应总码依次为3，6，4，则其单元的刚度矩阵中的元素k24应放在总体刚度矩阵的( )。
A.1行2列B.3行12列C.6行12列D.3行6列6.对一根只受轴向载荷的杆单元，k12为负号的物理意义可理解为（）A.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相同B.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的载荷与其方向相反C.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相同D.当节点2沿轴向产生位移时，在节点1引起的位移与其方向相反7.平面桁架中，节点3处铅直方向位移为已知，若用置大数法引入支承条件，则应将总体刚度矩阵中的（）A.第3行和第3列上的所有元素换为大数AB.第6行第6列上的对角线元素乘以大数AC.第3行和第3列上的所有元素换为零D.第6行和第6列上的所有元素换为零8.在任何一个单元内（）A.只有节点符合位移模式B.只有边界点符合位移模式C.只有边界点和节点符合位移模式D.单元内任意点均符合位移模式9.平面应力问题中(Z轴与该平面垂直)，所有非零应力分量均位于（）A.XY平面内B.XZ平面内C.YZ平面内D.XYZ空间内12.刚架杆单元与平面三角形单元（）A.单元刚度矩阵阶数不同B.局部坐标系的维数不同C.无任何不同D.节点截荷和位移分量数不同13.图示平面结构的总体刚度矩阵［Ｋ］和竖带矩阵［K*］的元素总数分别是（）A.400和200B.400和160C.484和200D.484和16014.在有限元分析中，划分单元时，在应力变化大的区域应该（）A.单元数量应多一些，单元尺寸小一些B.单元数量应少一些，单元尺寸大一些C.单元数量应多一些，单元尺寸大一些D.单元尺寸和数量随便确定15.在平面应力问题中，沿板厚方向（）A.应变为零，但应力不为零B.应力为零，但应变不为零C.应变、应力都为零D.应变、应力都不为零16.若把平面应力问题的单元刚度矩阵改为平面应变问题的单元刚度矩阵只需将（）A. E换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ2)B. E换成E/(1-μ2)，μ换成μ/(1-μ)C. E换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ2)D. E换成E/(1-μ)，μ换成μ/(1-μ)17.图示三角形单元非节点载荷的节点等效载荷为（）A.F yi=-100KN F yj=-50KN F yk=0B. F yi=-80KN F yj=-70KN F yk=0C. F yi=-70KN F yj=-80KN F yk=0D. F yi=-50KN F yj=-100KN F yk=018.半斜带宽矩阵r行s列的元素对应于竖带矩阵元素( )。
有限元期末考试题及答案
有限元期末考试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 代数方程答案：B2. 在有限元分析中，单元的划分是基于什么原则？A. 单元数量B. 单元形状C. 问题域的几何特性D. 计算资源答案：C3. 下列哪项不是有限元分析中常用的单元类型？A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 圆形单元答案：D二、填空题4. 有限元方法中，______是指将连续的物理域离散成有限数量的小区域，这些小区域称为单元。
答案：离散化5. 在进行有限元分析时，通常需要定义材料属性，包括______、密度和弹性模量等。
答案：泊松比三、简答题6. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：定义问题域、离散化问题域、选择单元类型、定义材料属性、构建全局刚度矩阵、施加边界条件、求解线性代数方程、提取结果。
7. 解释什么是有限元分析中的收敛性，并说明影响收敛性的因素。
答案：收敛性是指随着单元数量的增加，有限元分析结果逐渐接近真实解的性质。
影响收敛性的因素包括单元的类型、形状、大小以及网格的布局等。
四、计算题8. 假设有一个长度为2米的杆，两端固定，中间施加了一个向下的力F=1000N。
如果杆的材料是钢，其弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，请计算杆的弯曲位移。
答案：首先，根据Euler-Bernoulli梁理论，可以写出弯曲位移的方程为：\[ w(x) = \frac{F}{384EI} L^3 \]其中，\( w(x) \) 是位移，\( F \) 是施加的力，\( L \) 是杆的长度，\( E \) 是弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。
对于一个矩形截面，\( I \) 可以表示为：\[ I = \frac{bh^3}{12} \]假设杆的截面宽度为b，高度为h，代入上述公式，可以计算出位移。
有限元复习题答案
1、何为有限元法？其基本思想是什么？有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。
基本思想是化整为零集零为整。
2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。
3、单元、节点的概念？节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？结构离散化、单元分析、整体分析5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？位移法、力法、混合法本课程讲授位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。
描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。
弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。
7、何为平面应力问题和平面应变问题？平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。
b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。
平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。
b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。
1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。
②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？①单元的数量要根据计算精度的要求和计算机的容量来确定，因此在保证精度的前提，力求采用较少的单元。
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1. 有限元法是一种数值方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 偏微分方程答案：D2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的基本原则？A. 网格应尽量均匀B. 网格应避免交叉C. 网格应尽量小D. 网格应适应几何形状答案：C3. 有限元方法中，单元的局部刚度矩阵可以通过以下哪种方式获得？A. 直接积分B. 矩阵乘法C. 线性插值D. 经验公式答案：A二、填空题1. 有限元方法中，______ 是指将连续的域离散化成有限数量的小单元。
答案：离散化2. 在进行有限元分析时，______ 是指在单元内部使用插值函数来近似求解场变量。
答案：近似3. 有限元法中，______ 是指在单元边界上满足的连续性条件。
答案：边界条件三、简答题1. 简述有限元法的基本步骤。
答案：有限元法的基本步骤包括：（1）定义问题域；（2）离散化问题域，生成网格；（3）为每个单元定义局部坐标系和形状函数；（4）组装全局刚度矩阵和载荷向量；（5）施加边界条件；（6）求解线性代数方程；（7）提取结果并进行后处理。
2. 描述有限元分析中的单元类型有哪些，并简述每种单元的特点。
答案：常见的单元类型包括：（1）一维单元，如杆单元和梁单元，特点是沿一个方向传递力；（2）二维单元，如三角形和四边形单元，特点是在平面内传递力；（3）三维单元，如四面体和六面体单元，特点是在空间内传递力。
每种单元都有其特定的形状函数和刚度矩阵。
四、计算题1. 给定一个简单的一维弹性杆问题，其长度为L，两端固定，中间施加集中力P。
使用有限元法求解该杆的位移和应力分布。
答案：首先，将杆离散化为一个单元。
使用一维杆单元的局部刚度矩阵和形状函数，可以推导出全局刚度矩阵。
然后，施加边界条件，即杆的两端位移为零。
最后，将集中力P转换为等效节点载荷，求解线性代数方程，得到节点位移。
应力可以通过位移和杆的截面特性计算得出。
有限元课程问题汇总(完整版)(1)
1、有限元方法与传统力学方法的比较，有限元的一般概念及基本思路。
叙述有限元方法的基本步骤。
答：比较：运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。
即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。
概念：有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。
该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。
有限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
（在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。
）有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正；⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。
2、掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。
答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。
在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。
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1・有限元程序设计的基本原理是什么？实际上就是最小势能原理，不同之处，即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场儿何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。
2•有限元程序的具体实现步骤？请以杆系结构为例子进行阐述说明。
Ansys步骤：1进入ANSYS； 2设置计算类型；3选择单元类型；4定义材料参数；5定义截面; 6生成几何模型；7网格划分；8模型施加约束；9分析计算；10结果显示；11退岀系统。
3•你所了解的有限元软件都有哪些？Ansys/abuqe/markd 等4•计算力学涉及哪些领域？计算力学的应用范围已扩大到固体力学、岩土力学、水力学、流体力学、生物力学等领域。
5•解决计算固体力学的静力问题都有哪些常用方法？在固体力学领域应用最广泛的数值方法是有限元法，其他数值方法还有有限差分法、加权残量法、边界元法、有限条法、自由网格法等。
6•为什么要采用有限元方法来解决工程问题？与常规解析方法有什么不同？运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而口行实现，这是常规解析方法无法实现的。
7•从物理模型到有限元求解结果，中间存在哪些可能误差？冇限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为冇限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，I何冇限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行Z有效的工程分析手段。
按位移法求解的有限元法中，应力解答的精度要小于位移解答精度的原因：应用位移元进行有限元分析时，未知场函数是位移，从系统平衡方程解得的是各个结点的位移值。
而应变矩阵｛〃｝是插值函数｛2｝对坐标进行求导后得到的矩阵。
求导一次，插值多项式的次数就降低一次。
所以通过导数运算得到的应变｛可和应力匕｝精度较位移&｝降低了，即利用以上两式得到的应变和应力的解答可能具有较大的误差。
应力解的误差表现于：①单元内部不满足平衡方程②单元与单元的交界面上应力一般不连续③在力的边界上一般不满足力的边界条件用非协调单元反而比协调单元精度高的原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个口由度。
在假定了单元的位移函数后，口由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约朿和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续体的整体刚度随Z增加，离散后的｛K｝较小。
&有限元分析的两种典型力学模型是什么？我们目前常用的模型是哪类？集中参数模型（弹簧一质点体系）、基于连续力学模型（梁、桁架、板壳）9•杆系结构包括那些类型？哪些结构可以采用杆系结构模拟，请举例说明。
用杆件相互连接组成的几何不变体系。
如连续梁、桁架、刚架、拱、悬索结构、网架结构等。
10 •有限元法的基本思路？有限元方法的基本思路：在具备大规模计算能力的前提卞，将复朵的几何物体等效离散为一系列的标准形状儿何体，再在标准的儿何休上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。
有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程 （即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求 解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正；⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。
□•掌握直接刚度法，掌握单元刚度矩阵合成整体刚度矩阵，掌握子块搬家。
12 •能够釆用直接刚度法求解简单的桁架结构受力。
作业一（去年考题）P99 P10513 •掌握桁架单元的整体坐标和单元坐标的转换过程。
作业一（去年考题）P99 P10514•势能，应变能和外力功之间的关系是什么？势能二应变能■外力功15 •求解数学模型的三种模式？强形式：偏微分方程+边界条件；弱形式：加权余量法、迦辽金法；变分形式：瑞利•里兹法16•了解加权余量法的基本概念和实现流程，掌握迦辽金法（Galerkin 加权残值法）的计算。
加权余量法求解流程：初步选取尝试函数、构造近似解2•结合问题的边界条件对尝试函数进行 修正，以简化求解3.写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数）4.令权余数表达式在各尝试函 数下为0,得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解。
迦辽金法（Galerkin 加权残值法）：作业二第1题，P56。
17•了解变分原理的基本概念。
18•弹性力学对应的变分原理是什么？我们常用的是哪一种？弹性力学对应的变分原理是能量法，具体有最小势能原理和最小余能原理，其屮最小势能原理用 于位移法，是以位移作为基本的未知数；最小余能原理用于力法，以应力作为基本未知数求解。
目前 常用的是最小势能原理。
19•什么是最小势能原理，其表述?设有满足位移边界条件BC （u ）的许可位移场，其中真实的位移场血使物体的总势能取最小值, 即…min [□（%） = "—W]Ui^BC （u ）20•了解最小势能原理的变分基础，掌握杆系以及梁单元的变分原理及其推导过程 P65 （作业二）。
1、杆单元，左边固定，右边施加一集小力-般（软心吨）考虑到许可位移场的性质，它事先已满足位移边界条件，因此在位移边界上，它的微分增量为零, 即 &/（0） = 0由变分方法，对泛函取极值，令^n=o du P\5u(L)-(EA —) .&/(())dx v*O311 = EJ —)&/rfv + |(£J —) dx dx由于是变分增量，具有任意性，要是上式恒满足，则有:Setting tlie coefficients of 8il in (OZ) and 8n at L to zero seperately, => Euler Equation — (EA^-) = 0 0 < x < Zdx dx—d" 小 『 EA --------------- p = 0, at x = Zdx 2、受均布外荷载简支梁的平面弯曲问题EI 衣F< BC(u):也弘冃BC(p): M|x .o =EIv M U=OML ■产EIvJ=0该问题的最小势能原理，其数学变分提法为：设有满足位移边界条件的许可位移场函数f(x),其 屮真实的一•组『(x)使得以下泛函取极小值，即应变能外力功势能s)[n刃-川訂严(班畑-仏(E0诫]下面来证明，由(2・55)式所得到的5(%)就是真实的解。
n Natural b.c.min 如必(U )rw))这就是力的边界条件BC®）（2・51）、（2・52）式，以及平衡方程（249）式。
若再对（2-56）取一次变分，即求取势能口的二次变分，有由于EI>0t 则有 护口 >0以上的符号6为变分符号（即复合函数求微分），对上式右端的第一项作两次分部积分，有■ 4 •d^vIT (2-57)二［M2您）］1“ -［M/（鈴］|“乜5九.+莎九。
+JEI （售）乳必将（2・57）代0（2-56）中，考虑到许可位移场性质（248）（它满足位移边界条件，因此在位移边界上，它 的微分增量为零），即，5九.0 = /九・产°，则（2-56）$为領=［M2懐）］鳥-［M 力懐）］+J ［EI （务）-如6浪由最小势能原理，对系统的势能口取极值，令 旳=0(2-58：(2-59：懐)]|询-[M2懐)]+J[EI (器)-如•血=0 (2-60：由于乳及6（懐）具有任意性，要使（2・60）式恒满足，贝9必有A/|r .0=O (2-61：(2-62：EI( d 4； d.r 4)-^o =° (2-63；/口 = Elj (2-64：(2-65；21 •了解一般弹性问题的最小势能原理的变分过程。
P6722•求解弹性问题，采用微分形式和积分形式有哪些不同之处？最常用的是哪种形式？求解过程、函数的耍求及形式、泛函形式、技术关键、难易程度、求解精度、方程的最后形式、方法的规范性、方法的通用性、解题范围不同。
由于工程问题非常复朵，要求所采用的方法具有较好的规范性、较低的难度、较低的函数连续性要求、较明确的物理概念、较好的通用性。
而基于最小势能原理的积分形式求解方法具有较明显的综合优势。
23 •虚功原理的概念？变形体屮满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零，即卩人人严4=°。
24 •纯弯梁的假设？当杆件受一对方向相反、作用面位于杆的纵向对称平面内的力偶作用时，杆件将发生弯曲变形，受弯杆件常简称为梁。
梁发生纯弯时，其横截面上只有弯矩一种内力。
根据平截面假定，梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍垂直于挠曲后的梁轴线。
25•什么是铁木辛柯梁，与经典梁的区别？铁木辛柯梁：位移挠度的一阶导数连续，如果对挠度函数和截而转角进行独立插值，并且考虑剪切变形的影响，这样所构造出来的梁单元。
普通梁未考虑剪切变形的影响，而铁木辛柯梁考虑了剪切变形的影响，并对挠度函数进行独立插值。
铁木辛柯梁的挠度值包含了弯曲和剪切引起的变形，月•长细比越小，对剪切变形的影响越大。
26•什么叫做剪切闭锁，可以采用什么方法处理和避免?剪切闭锁：除非W是常数（没冇弯曲变形），否则，dw/dx- ¥不会为零。
避免产生剪切闭锁的方法：减缩积分、假设剪切应变、替代插值函数。
27•单元的刚度存储有哪些方法？掌握半带宽的计算。
（去年考）带宽：反应非零数据集中程度的一个指标。
半带宽存贮法:存贮上三角形（或下三角形）半带宽以内的元素。
半宽带的计算:% =（第i个单元屮节点编号的最大差值+1）x2则整体刚度矩阵的最大半宽带为d = max{J.} （i= 123,4 …屮）i对于2D问题，A = 2,对于3D问题，2 = 328•平面三节点三角形单元的特性？与四边形相比，其精度如何？三节点三角形单元：是常应变单元，应变矩阵和应力矩阵为常数，对于应变梯度较大的区域，单元划分应适当密集，否则不能反映岀应变的真实变化，从而导致较犬的误差。
而四节点矩形单元，其应变和应力为一次线形变化，这种单元的位移模式是完备和协调的，因而比三节点常应变单元的精度咼。