圆锥曲线几何性质精华
圆锥曲线知识点总结6篇
圆锥曲线知识点总结6篇第1篇示例：圆锥曲线是解析几何学中非常重要的概念，它们分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中，圆锥曲线具有丰富的性质和应用，掌握其基本知识对于理解其在几何、物理、工程等多个领域的应用至关重要。
本文将对圆锥曲线的基本性质和特点进行详细总结。
我们从圆锥曲线的定义入手。
圆锥曲线是平面上一点到一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比为常数的点的轨迹。
根据这个定义，椭圆的准线是实直线，双曲线的准线是虚直线，而抛物线的准线是平行于其自身的直线。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种。
椭圆的定义是到焦点和准线的距离之比小于1的点构成的轨迹。
椭圆具有对称性，其焦点到准线的垂直距离之和恒等于两焦距之和，这个性质被称为焦点定理。
椭圆还有面积、周长等重要性质，在几何中有重要的应用。
抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种，其定义是到焦点和准线的距离相等的点构成的轨迹。
抛物线具有对称性，其焦点到准线的垂直距离恰好等于焦距。
抛物线是一种非常重要的曲线，常见于物理学和工程学中的抛物线运动、光学、无线电通信等领域。
除了上述基本性质外，圆锥曲线还有许多重要的定理和性质。
焦点、准线、焦距、离心率等概念是理解圆锥曲线的重要基础。
圆锥曲线的方程形式也是研究和应用圆锥曲线的关键，椭圆和双曲线的标准方程分别为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1和x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，而抛物线的标准方程为y^2 = 2px。
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，掌握其基本性质和定理对于理解几何学、物理学和工程学中的问题有重要意义。
通过对圆锥曲线的学习，我们不仅可以深入理解几何形体的性质，还可以应用圆锥曲线的知识解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
加强对圆锥曲线知识的学习和应用是十分必要的。
第2篇示例：圆锥曲线是解析几何中最重要的一类曲线，它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种。
这些曲线在数学和物理学等领域中有着重要的应用，是我们熟悉的常见数学概念之一。
圆锥曲线的经典性质总结
圆锥曲线的经典性质总结(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--椭圆 必背的经典结论1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结一、椭圆1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．2、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程 b y x a=±a y x b=±3、等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .4、共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x1、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =范围 0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．4、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；5、焦点弦：AB =21x x ++p四、圆1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422FE D -+。
高中圆锥曲线性质总结全面经典
高中圆锥曲线性质总结全面经典
一、椭圆的性质
* 椭圆是固定点到平面上所有点的距离之和等于常数的轨迹。
* 椭圆具有两个焦点和长轴、短轴。
焦距定理：椭圆上任意一
点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度。
* 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越圆。
二、双曲线的性质
* 双曲线是固定点到平面上所有点的距离之差等于常数的轨迹。
* 双曲线具有两个焦点和两个虚焦点。
焦距定理：双曲线上任
意一点到两个焦点的距离之差等于常数的绝对值。
* 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线越扁。
三、抛物线的性质
* 抛物线是固定点到平面上所有点的距离等于常数的轨迹。
* 抛物线具有一个焦点和一个直线称为准线。
焦点到准线的距
离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
* 抛物线的离心率等于1，且离心率为1的抛物线为特殊情况。
四、圆形的性质
* 圆是平面上所有距离中心点相等的点的集合。
* 圆的半径是由圆心到圆上任意一点的距离。
* 圆上的弧度是由半径对应的圆心角所确定，弧度等于圆心角
的度数除以360度再乘以2π。
以上是高中圆锥曲线的性质总结。
希望对你有帮助！。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是数学中的一类重要曲线，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
由于其独特的性质和广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。
本文将对圆锥曲线的基本概念、性质和常见类型进行总结和归纳。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面和一个固定点（焦点F）以及一个固定直线（准线L）共同确定的曲线。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线分为椭圆、抛物线和双曲线三类。
1. 椭圆：椭圆是焦点到准线的距离之和恒定于两倍焦半径的轨迹。
椭圆具有对称性，焦点位于椭圆的两个焦点之间。
2. 抛物线：抛物线是焦点到准线的距离等于焦半径的轨迹。
抛物线具有对称轴，焦点位于抛物线的焦点上方或下方。
3. 双曲线：双曲线是焦点到准线的距离之差恒定于两倍焦半径的轨迹。
双曲线也具有对称性，焦点位于双曲线的两个焦点之间。
二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有一系列重要的性质，为研究和应用圆锥曲线提供了基础。
1. 对称性：椭圆和双曲线具有两个关于准线和两个焦点的对称轴，抛物线具有一个关于准线的对称轴。
2. 焦距和半焦距：焦距是焦点到对称轴的距离，半焦距是焦距的一半。
焦距对于不同类型的圆锥曲线有不同的计算方法，但都是相对于准线和对称轴计算的。
3. 焦半径：焦半径是焦点到曲线上点的距离，焦半径对于同一曲线上不同点的值是相等的。
4. 离心率：离心率是焦半径与半焦距的比值，用e表示。
对于椭圆，离心率范围在0和1之间；对于抛物线，离心率等于1；对于双曲线，离心率大于1。
5. 焦点和准线的关系：焦点和准线的位置关系决定了曲线的类型。
当焦点在准线上时，曲线是抛物线；当焦点在准线之上时，曲线是椭圆；当焦点在准线之下时，曲线是双曲线。
三、常见类型的圆锥曲线。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
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圆锥曲线的几何性质四川省仪陇新政校区 魏登昆一、椭圆的几何性质（以22ax+22by =1（a ﹥b ﹥0）为例）1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=⎫⎪⇒+++=⎬+=⎪⎭即24ABF C a =2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2tan2θ∙b（2）（S ⊿PF1F2）max = bc（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F 中∵ 22212124cos 2P F P F cP F P F θ+-=⋅∴ ()2121212c o s 2P F P F P F P F P F θ⋅=+-⋅∴ 21221cos bPF PF θ⋅=+∴ 1222112sin cos tan 21cos 2PF F bS b θθθθ-=⨯⋅=⋅+（2）（S ⊿PF1F2）max =m ax 122c h bc⨯⨯=（3 ()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF ca ex a ex ca cPF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+当0x =0时 cos θ有最小值2222a c a- 即∠F 1PF 2最大xx3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ， 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有 1P F F P= M 为1F F 中点 ∴ 212O M F F ==()1212P F P F +=a所以M 的轨迹方程为 222x y a +=4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。
令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM=()2111112222PF a PF a PF a r =-=-=-∴ 圆M 与圆O 内切∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵1212121222F R F R F R F R I R ce P IP FP FP F P F a +=====+ ∴IR P I= e6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。
证明：令()()1122,,,A x y B x y 到准线的距离为1,d d 以为直径的圆的圆心为M 到准线的距离为d 。
∵ ()21221222A F ed A F B F e d d B F ed =⎫⇒+=+⇒⎬=⎭()()1212122AB R e d d R e d d ==+⇒=+xxyxx∵ ()1212d d d =+∵ 01e ∴ R d∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离7、A 为椭圆内一定点，P 在椭圆上，则： （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣ 证明：连接11,,AP AF PF∵ ()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-∵ 111A F AP P F A F -≤-≤ ∴12122a AF AP PF a AF -≤+≤+ ∴ （∣PA ∣+∣PF 2∣）max =2a+∣AF 1∣ （∣PA ∣+∣PF 2∣）min =2a-∣AF 1∣8、A 为椭圆内一定点，P 是椭圆上的动点，则 （∣PA ∣+ePF 2）min = A 到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有PF PF e d de=⇒=∴（∣PA ∣+ePF 2）min =()m inPA d + = A 到右准线的距离.9、焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x =±a 上。
证明：令☉I 与⊿PF 1F 2三边所在的直线相切于M 、N 、A∵ P M P N=22F N F A = ∴ 111221P F P N F M F F F N F A+=+=∵11F M F A=xx∴ 1122P F P N F F F N+=+∵ 22F N F A = ∴ 121222P F P N F N F F F N F A++=++ ∵ 22F N F A =∴ 2222a c F A =+ ∴2a c F A=+即为椭圆顶点。
∴ 焦点⊿PF 1F 2的旁心在直线 x =±a 上10、P 是椭圆上任意一点，PF 2的延长线交右准线于E ，K 是准线 上另一任意点，连结PK 交椭圆于Q ，则KF 2平分∠EF 2Q 证明：令P,Q 到准线的距离为12,d d2122212122222212P F e d P F Q F P F d Q F d d Q F d P F P K e d Q F Q K d P Kd Q K ⎫⎫=⎪⎪⎪⎪⇒=⇒=⎬⎪⎪=⇒=⎬⎪⎭⎪⎪=⎪⎭ 由三角形外角平分线性质定理有KF 2平分∠EF 2Q11、)(2112定值ba BFAF=+证明：令()()1122,,,A x y B x y当A B 的斜率存在时，设直线A B 方程为(y k x c =-∵()22222222222222(2)0y k x c b x a k x k cx c k a b x y ab =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+⎪⎩ x Ex22222222222()20b a k x a k c xa k ca b⇒+-+-= ∴ 22122222a k c x x b a k+=+ 2222212222a k c ab x x b a k-=+∴12121111AF a ex BF a ex AF BF a ex a ex =-⎫⎪⇒+=+⎬=---⎪⎭()()122212122a e x x a ae x x e x x -+=-++ =2222222222222222222222222222222222222222222222()a k cc a k ca ea b a k a b a k a k c a k c a b a k c c a k c a b a ae e a ae b a k b a k b a k a b a k--⋅++=---+-+++++ 32222422222242222222a k ab ak ca k ab a kc c k b c +-=+-+- ()2222224222222222222akacabak a k b a b b ck b a c-++==+-+-()()22222121a k a bbk+==+当A B 的斜率存在时，222112a a a A FB Fbbb+=+=∴)(2112定值ba BFAF=+12、AB 是椭圆的任意一弦，P 是AB 中点， 则22ab K K OP AB -=∙（定值）证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y则()1202x x x +=()1202y y y +=∵()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b abx y ab⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭()()()()2121221212y y bx x x x a y y -+⇒=--+ x∵ ()()1212A B y y k x x -=-，00O Py k x =∴ 221A B O Pb k k a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭∴ 22A B O Pb k ka⋅=-13、椭圆的短轴端点为B 1、B 2，P交长轴于N 、M 两点，则有∣OM ∣*∣ON ∣ =a 2证明：()()()()()1210020,,0,,0,,,0B b B b N x P x y M x -∴ ()()()()2002210011,,,,,,B P x y b B M x b B P x y b B N x b =-=-=+=∵ 由于2B 、P 、M 共线 ∴000220x y b bxx x by b--=⇒=--∵ 由于()()100200,,,P F c x y P F c x y =---=--、P 、N 共线 ∴000110x y b bxx x by b+=⇒=+∴ 222200222200x b x b O M O N A B y by b-⋅==--∵22222222000002222221x y x b y b x aababb y-+=⇒=⇒=-∴ 2O M O N a⋅=14、椭圆的长轴端点为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点， 连结A 1P 、A 2P 并延长，交一准线于N 、M 两点，则M 、N 与对应准线的焦点张角为900证明：令()221200,,,,,a a M y N y P x y c c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1,0A a - ()2,0A ax∴()()100200221122,,,,,,,A P x a y A P x a y a a A M a y A N a y c c =+=-⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵ 由于1A 、P 、M 共线∴ 20001210()ay a x a y cy ay x aac⋅++=⇒=++∵ 由于2,,A P N 共线∴ 20002220()ay a x a y c y ay x aac⋅--=⇒=--∴ 22242200012222000()()aay a y a y a a cc c y y x ax ax ac⋅-⋅+-==⋅-+-∵2222000222221x y y b abx aa+=⇒=--∴ 24221222b a a cy y ac-=-⋅42b c=-∵ 21412222,,a FM c y c b FM FN y y c a FN c y c ⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎪⇒⋅=+⎬⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎭∴ 0F M F N ⋅=∴ M 、N 与对应准线的焦点张角为90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦该准线对应的焦点。
证明：设20,a M y c ⎛⎫⎪⎝⎭则A B 的方程为20221axy y c a b+= x即021y y x cb+=必过点(),0c16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。
证明：设()00,P x y ，则过P 点的切线l ：00221x x y y ab+=，直线l 的法线x 交轴于Q直线l 的法向量为：0022,x y n a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭∵()()100200,,,PF c x y PF c x y =---=--∴222220002PF c x y cx =++-2222200022b x c x cx b a=+-++42220022a c x a cx a+-=()2022acx a-=同理 21P F ()2022acx a+=∵ 22000122cx x y n PF a b --⋅=- 22220022cx x b x b aa--=-+202a c xa--=同理2022a cxn PF a-+⋅= ∴ 202222022c o s a c x n P F a F P Q a c x P F n n a -+⋅∠==-⋅⋅1n = 22222022cos a cx n P F a F P Q a cx P F n n a-+⋅∠==⋅-⋅⋅1n = ∴ 12F PQ F PQ ∠=∠即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。