2015年第二十七届五羊杯数学竞赛培训试题(四)答案
2015届五羊杯培训题(2)答案
(2)除以 9 的余数显然为 1,注意弃九算法. 注 2 本题的数字和的计算方法还有很多,请自思之! 注 3 计算余数时,也可以直接利用下面的结果:任九个连续自然数组成的多位数必是 9 的倍数. 8、仔细观察下面算式的结构特点,并回答下列各题:
能形成几种不同形状的大长方体呢?请同学们自己解决之. 12、一列数,前面的四个数字分别是 1,9,9,8,……以后的每一个数字都是它前面的三个 数字的和的个位数字.请问: (1)这列数中能否出现 1,9,9,9?为什么? (2)这列数的第 2015 个数字是几? 解析 (1)不可能.注意如果使用周期理论来求解的话,试验次数较多,但我们如果只关心 其奇偶性的变化的话,则计算会简化很多.1;1,1,0,0;1,1,0,0;….奇,奇,偶,偶的变化规律, 周期为 4,所以不可能会出现 1,1,1,1,即四个奇数连续出现的情况. (2)这是一道复杂的周期问题,试验次数较多,周期为 124(略).
第二十七届广东“五羊杯“数学竞赛高年级组培训题目
2015 年第二十七届广东“五羊杯”数学竞赛
小学高年级组培训试题及解析
二、有趣的自然数 2015(二) 7、从 1 开始的连续自然数组成多位自然数1234567891011...201420152014...987654321 . 试分别计算下列问题: (1)这个多位自然数的数字和是多少? (2)这个多位数除以 9 的余数是多少? 解析 本题主要考察自然数的数字和的概念及计算方法. (1)这里我们采用组合法计算. 可以先不考虑 2000 以上的自然数,将 (1,1998), (2,1997),..., (999,1000),1999 ,共分成 1000 对,每一对的数字和为 28Байду номын сангаас所以 1—1999 组成的多位数的数字和为 28000,则原数的数字和为
2015年高中数学竞赛试题精选及答案
已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM△O B M ，则四面体1O ADM 的体积为748（江苏2007夏令营）在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面C C BB 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线 已知x 为锐角，则22cos sin33=+x x 是4π=x 的（充要条件）同信一寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。
①A 既不在修指甲，也不在看书；②B 既不在听音乐，也不在修指甲；③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲；④D 既不在看书，也不在修指甲；⑤C 既不在看书，也不在听音乐。
若上面的命题都是真命题，问她们各在干什么？答：ABCD 分别在听音乐；看书；修指甲；梳头发 已知)1(3tan m +=α，且βαββα,,0t a n )t a n (t a n 3=++⋅m 为锐角，则βα+的值为3π=︒-︒︒-︒︒+)5tan 5(cot 10sin 20sin 220cos 12330cos =︒=函数d cx bx ax x x f ++++=234)(，若3)3(,2)2(,1)1(===f f f ，那么)4()0(f f +的值为（28 ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且31cos =A 。
（1）求A CB 2cos 2sin2++的值；（2）若3=a ，求bc 的最大值。
（-1/9； 9/4） 若m 、{}22101010n x x aa a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ 90 ）圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2.斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离. 515满足20073+++=x x y 的正整数数对（x ，y ）恰有两对设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（45）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
2015年全国高中数学联合竞赛一式参考答案及平分标准
2015年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。
1.设a 、b 为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为2.若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足),2,1(i 1,111⋅⋅⋅=++==+n n z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为4.在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ,边DC 上（包含D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =，则向量与向量的数量积⋅的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+=y x y x y x K 所对应的平面区域的面积为7.设w 是正实数，若存在)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+wb wa ，则w 的取值范围是8.对四位数)9,,0,91(≤≤≤≤d c b a abcd ，若d c c b b a ><>,,，则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,则称abcd 为Q 类数.用)(),(Q N P N 分别表示P 类数和Q 类数的个数，则)()(Q N P N -的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本小题满分16分）若实数c b a ,,满足cbacba424,242=+=+，求c 的最小值。
10.（本小题满分20分）设4321,,,a a a a 是4个有理数，使得{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji求4321a a a a +++的值。
自编五羊杯试题及解析
“五羊杯”初中数学竞赛初一试题一、 选择题（4选1型，每小题选对得5分，否则得0分. 本大题满分50分.）1、规定)1(1......)2()1(1)1(1*+⨯+++⨯+++⨯=b b a a a a b a ，（其中，**b ,a N N b a ∈∈<且）那么=2011*1（ ）. A.20122011 B.20112010 C.201211+ D.201111+ 2、求5011370132451413791⨯+⨯+⨯= （ ）. A.6514 B.458 C.1311 D.11759 3、某校举办数、理、化三种学科竞赛. 其中，参加数学竞赛的学生有57人，参加化学竞赛的学生有78人，参加物理竞赛的学生有66人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有13人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的学生有8人，既参加化学竞赛又参加物理竞赛的学生有5人. 三种竞赛都参加的学生有3人. 则报名参加学科竞赛的学生一共有（ ）人.A.201B.175C.178D.1814、有一家商店卖苹果，14个小时内卖出了782个，其中第一个小时卖出了23个，第二个小时卖出了56个，如果测算这家商店每个小时卖出的苹果数目，则（ ）不成立.A.必有连续2个小时至少卖了118个苹果B.必有连续3个小时至少卖了176个苹果C.必有连续4个小时至少卖了235个苹果D.必有连续6个小时至少卖了353个苹果5、右图中可以数出（ ）个长方形. A. 450 B.350 C.225 D.1256、已知2008年2月1日是星期五，那么，2008年5月4日是（ ）.A.星期一B.星期五C.星期六D.星期日7、已知现在是中午12点整，那么，经过（ ）分钟后，时针与分针第一次反向（即两针夹角为0180）.A.11360 B.11270 C.13360 D.13270 8、已知下面图形经过折叠后可围成一个正方体，则所围成的正方体中，“竞”字的对面是（ ）字.A. 赛B. 学C. 数D. 理9、小陈在玩“扫雷”游戏，下图是“扫雷”游戏的一部分，规则如下：图中数字n 表示在以该数字为中心的8个方格中有n 个地雷(n=1,2,3)，笑脸表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A 、B 、C 、D 四个方格未被探明，其它地方为安全区，没有地雷（包括有数字的方格）。
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
因式分解—配方法和拆添项法参考答案
第 1 页 共6 页 因式分解的配方法和拆添项法参考答案知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。
配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。
A 卷一、填空题1、分解因式：_______________893=+-x x .（拆项法） 答案：()()812-+-x x x解析：原式()()()()()=---+=---=+--=18111818823x x x x x x x x x x ()()812-+-x x x提示：本题的关键是将x 9-拆为x -和x 8-.2、分解因式：_______________12224=-+++a ax x x .（添项法） 答案：()()1122++--++a x x a x x解析：原式()()=--+=-+-++=22222241212a x x a ax x x x ()()1122++--++a x x a x x提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。
3、分解因式：____________________15=++x x .（添项法） 答案：()()11232+-++x x x x解析：原式()()()()()111111222232225+++++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x x x x x x ()()11232+-++=x x x x提示：本题的关键是将通过添加2x ，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
，构造立方差公式，进而提取公因式分解。
4、（第15届“希望杯”初二试题）分解因式：_____________232432234=++++b ab b a b a a . 答案：()222ab b a ++解析：原式()()=+++++=22334224222b a ab b a b b a a ()()()=++++22222ab b a ab ba()222ab b a++提示：本题的关键是将通过拆项223b a ，构造完全平方公式。
2015年第二十七届_五羊杯_数学竞赛初中三年级试题
初中三年级试题
考试时间: 90 分钟 满分: 100 分
一、选择题 (4 选 1 型, 选对得 4 分, 否则得 0 分, 本大题满分
40 分)
√
1. 已知 a2 + b2 − 4a − 6b + 13 = 0 , 求代数式 √
a+b √
b−2 a
的值为 ( )
3. B 【解析】通; (a + b) − 2ab =
ab + (a + b) + 1 8
. 3
4. A
【解 析】由 题 得: m2 + 2015m + 8 = 0 ⇒ m2 =
−2015m − 8 n2 + 2015n + 8 = 0 ⇒ n2 = −2015n − 8
17. 如图, 在正方形 ABCD 中, 点 P 和 Q 为正方形内
的两点, 且 P B = P D , QB = AB , ∠CBP = ∠QBP , 则
∠BQP =
.
A. 120◦ B. 138◦ C. 142◦ D. 145◦
二、填空题 (每小题填对得 5 分, 不填、多填、少填、填错、仅部
分填对均得 0 分, 本大题满分 40 分).
.
三、解答题 (每小题 10 分, 要写出解答过程, 本大题满分 20 分)
19. 一块地能被 a 块相同的正方形地砖所覆盖, 如果用 较小的相同正方形地砖, 那么需要 a + 68 块这样的地砖才能 覆盖该块地, 已知 a 以及地砖的边长都是整数, 求 a.
20. 按下列规则扩充新数: 已有 a, b 两数, 可按规则 c = ab + a + b , 扩充一个新数, 而 a, b, c 三个数中任取两数, 按规则又可以扩充为一个新数, ……每扩充为一个新数叫做一次操作. 现有 2 和 4 (1) 求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数; (2) 能否通过上述规则扩充得到新数 2015, 并说明理由.
2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
5. 已知实数 x, y 满足关系式 xy x y 1，则 2 2 .
B. 6 4 2 .
C.1.
D. 6 4 2 .
【答】B.
设 x y t ， 则 由 题 设 条 件 可 知 xy x y 1 t 1 ， 所 以 x, y 是 关 于 m 的 一 元 二 次 方 程
则 5n2 3n 5 125m2 15m 5 120m2 15m 5(m2 1) .
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ m2 1是 3 的倍数，∴ m 3k 1或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
∴ n 5(3k 1) 15k 5或 n 5(3k 2) 15k 10 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（5＋20＋35＋50＋65＋80＋95）＋（10＋25＋40＋55＋70＋85）
A. 8. 【答】C.
B. 12.
C. 16.
D.24.
依题意，有 n m2 bm c (m 8)2 b(m 8) c ，于是可得 b 8 2m ．
∵抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点，∴ b2 4c 0 ，∴ c 1 b2 (4 m)2 . 4
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
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23、平面上有 2015 条直线，它们最多有多少个不同的交点？ 解析 从简单情况出发，先考虑 2 条，3 条……直线的情况， 直线条数 1 2 3 4 交点最多的个数 1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4
从上面的简单情况可以看出， 平面上 n 条直线最多有： 1+2+3+4+……+ （n-1） 个 不 同 的 交 点 . 由 于 平 面 上 有 2015 条 直 线 ， 因 此 最 多 有 1+2+3+ … … +2014=2029105 条直线.
(a b c) 2 等于(
(A)100
). (B)81 (C)64 (D)49
解析 其中 a 2, b 4, c 3 ,所以答案选择 B. 27、 一个多位自然数,亿位上的数字为既不是合数也不是质数的自然数;千万 位是比 10 小的最大合数;百万位是比 10 小的最大奇数;十万位为不是偶数的最小 质数的平方;万位上是 6,千位上是偶数中的质数,其他位上的数字都是 0.那么这 个数写作 读作 作 ,改写成以万为单位的数是 , ; 四舍五 入到亿位 的近似数 记 .
S阴 =SDHB +SDGB +SEFB 1 12 1 12 1 12 = ( ) 12+ ( ) 12+ ( ) 12 2 3 2 4 2 4 =24+18+18 =60
解析 答案显然为 A;那么自然数中有最高位吗?最低位是哪位啊?与此相关 的知识点请重点看一下位值原则. 22、(2014 年第二十六届“五羊杯”数学竞赛小学五年级组试题第四题)自 然界的水有液态、 气态、固态三种状态,这三种状态在一定条件下可以相互转化. 1 现在已知一块冰溶化成水后体积减少 ,那么这些水再凝结成冰时,体积增加的 11 百分比为( ). (A)12％ (B)11％ (C)10％ (D)9％ 解析 本题主要考查单位分数、 分数意义和百分比等基本概念,可以利用设数 法将此问题具体化. 由题意可知,水和冰的体积比为 10:11.当水再凝结成冰时,体积增加的百分 比为:
解析 D,考察长方形、正方形和圆的周长和面积等基本概念;当周长一定时,
围成的几何图形中圆的面积是最大的. 25、下列几种说法中,正确的有( )个.
(1)0 不是自然数 ; (2) 2 是最小的质数 ; (3)1 即不是质数 , 也不是合数 ; (4) 将 0.65 分解质因数可得 0.65 5 0.13 ; (5)任意两个不同的质数互素, 即其最大公约 数为 1; (6) 任意二个整数 a, b ,其和 a b 与差 a b 的奇偶性相同;(7)2.4 和 2.40 大 小相等,但它们的计数单位却不相等;(8)最小自然数、最小质数、最小的合数之 和等于 6. (A)8 (B)7 (C)6 (D5 解析 其中(1)和(4)是错的,其他的几种说法都对,所以答案选择 C. 26、如果长方形、正方形、正三角形(等边三角形)分别有 a, b, c 条对称轴,则
解析 199962000;读作一亿九千九百九十六万二千;2 亿;19996.2 万.本题融 整数的改写、质数和合数及四舍五入等概念为一体,是对同学们数学基本概念综 合应用能力的考查. 28、两个质数的和乘以它们的差得 24,那么这两个质数分别是多少? 解析 考虑到 24 1 24 2 12 3 8 4 6 ,利用奇偶性分析可知 ,只有第二 种分解是合理的,所以问题可以转化为熟知的和、差问题,这样可得一个是 7,一个 是 5.
题目虽然简 单,也要 仔细呦！
第二十七届广东“五羊杯“数学竞赛高年级组培训题目
小学中年级组培训试题参考答案
19、在一根长木棍上，有两种刻度线，它们分别将木棍分成 10 等分、12 等 分。如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 解析 由于木棍的端点处没有刻度线， 所以， 不妨设木棍长为 60 厘米。 那么， 与两种刻度线相对应的每一份长分别是：60÷10=6（厘米） ，60÷12=5（厘米） ， 在木棒上是 5 厘米的刻度线有：12-1=11（条） ；在木棒上是 6 厘米的刻度线有： 10-1=9（条） ；根据 5 和 6 的最小公倍数是 30，可算出第一、第二种刻度线重复 的条数应是 60÷30=2（条） ，但在木棒上重复的条数是：2-1=1（条） ，那么刻度 线共： （10-1）＋（12-1）-1=19（条） ，沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被 锯成：19+1=20（段）. 20、某校参加数学竞赛有 120 名男生，80 名女生.参加语文竞赛有 120 名女 生，80 名男生.已知该校总共有 260 名学生参加了竞赛，其中有 75 名男生两科 竞赛都参加了， 那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是多少人？ 解析 两科都参加的人数是 200+200-260=140（人） ，两科都参加的女生人数 是 140-75=65 （人） ， 所以只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生是 80-65=15 （人）. 21、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有 4 名学 生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分 学生达到优秀的项目、人数如下表： 短跑 游泳 篮球 短跑、游泳 游泳、篮球 篮球、短跑 短跑、游泳、篮球 6 6 5 2
17 18 15 求这个班的学生数.
解析 4+17+18+15 中有两项达到优秀的学生被 算了 2 次，应当从统计中去掉 1 次，成为 4+17+18+15-6-6-5.但其中三项达到优秀的人，开始 被算了 3 次，然后又被去掉 3 次，所以应将这部分 人 数 加 进 来 ， 即 全 班 人 数 是 4+17+18+15-6-6-5+2=39. 22、如右图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，且边长均为 2cm.又 E 点是正方形 ABCD 的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面 积 S. 解析 考虑正方形 EFGH 的特殊位置， 即它的各边与正方形 ABCD 的各边 对应平行的情况。此时，显然有 S=2×2×1/4=1.
第二十七届广东“五羊杯“数学竞赛高年级组培训题目
2015 年第二十七届广东“五羊杯”数学竞赛
小学高年级组培训试题参考答案
四、基本概念的考察(一) 在小学竞赛数学中,数学概念的准确理解与灵活应用是解决某些实际问题的 重要途径之一,本专题的培训目地主要是通过下面的基础练习,强化数学基本概 念理解的重要性. 说明 下列各选择题均为四选一型,即四个选项中只有一个是正确的. 21、小数部分的最高位是( (A)十分位 (B)万分位 ). (C)亿分位 (D)个位
24、如下图，正方形 ABCD 的边长为 12,P 是边 AB 上的任意一点，M， N，J，H 分别是边 BC, AD 上的三等分点，E，F．G 是边 CD 上的四等分点， 图中阴影部分的面积是多少？ 解析 特殊值方法 因为 P 是边 AB 上的任意一点，那么我们可以找 P 与 B 重合时的状态如右下图：
(11 10) 10 100 ﹪ 10 ﹪.
23、某一运动员在一跑道上练习长跑,如果速度比原来提高了 1℅,那么,跑 同样的距离时间会减少( (A)1％ (B)10％ ). (基本运算与分数意义和百分比等基本概念融合在一 起,和第 22 题类似,也可以利用设数法将问题具体化后进行求解. 24、用一根铁丝围成正方形或长方形或圆,若它们的面积分别用 a, b, c 表示, 则下面几个不等式中,( (A) a b c )成立. (B) a c b (C) b a c (D) c a b