九年级数学第一学期期中试题 (2)
九年级第一学期期中考试数学试卷(含参考答案)
九年级第一学期期中考试数学试卷（含参考答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.1.在下列方程中是一元二次方程的是（）A.x2-2x y+y2=0B. x2-2x=3C. x（x +3）= x2-1D. x + =02.将二次函数y= x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A.y=(x- 2)2+1B.y= (x +2)2+1C. (x- 2)2-1D.y= (x +2)2- 13.一元二次方程x2-2x +5=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断4.对于二次函数y= - (x- 2)2-3，下列说法正确的是（）B A.当x >0时，y随x的增大而增大 B.当x =2时，y有最大值- 3C.图象的顶点坐标为（-2，-7）D.图象与x轴有两个交点5.用配方法解方程x2- 6x- 3=0时，原方程应变形为（）A. (x +3)2=3B. (x +3)2=12C. (x- 3)2=3D. (x- 3)2=126.已知函数y=(x- 1)2+2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A x <1 B. x >1 C. x >-2 D. - 2< x <47.若x1，x2是一元二次方程2x2- 9x +4=0的两根，则x1+ x2的值是（）A. - 2B.2C.D. - 28.二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是（）A. x <-1B. x >3C. -1< x <3D. x <-1 或x >3第8题图第10题图9.某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175 亿元，二月、三月平均增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（）A.50(1+x)2=175B.50+50(1+x)+50(1+x)2=175C.50 (1+x) +50(1+x)2= 175D.50+50(1+x)2=17510.已知二次函数y=ax2+b x+c（a≠0）的图像如图所示，对称轴为直线x=2.则下列结论中正确的是（）A a bc>0 B.4a-b=0 C.9a+3b+c<0 D.5a+c>0二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.方程x2= x的解是____________12.当k______时，y=( k +3)x2- k x+2是关于x的二次函数.13.抛物线y=2(x +1)2-3，的顶点坐标为________，对称轴为直线______14.已知x=1是方程x2+ax-b=0的一个根，则a-b+2023=_____15如图，一段抛物线：y=-x（x -2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C6，若P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m的值为=____三、解答题（一）：本大题共3小题，第16 题10分，第17、18题7分，共24分.16.计算：用适当方法解方程：（1）(x +1)2=5x+5 （2）x2- 4x- 5=017.某次聚会上，同学们互相送照片，每人给每个同学一张照片，一共送出90张照片，问一共有多少位同学参加了聚会？18.已知抛物线y= x2- 2x- 3.（1）求抛物线与两坐标轴的交点坐标（2）求它的顶点坐标。
江苏省徐州市睢宁县2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2023—2024学年度第一学期期中九年级数学试题2023.11满分：140分，时间：90分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．四个选项中只有一个正确选项）1. 已知的半径为，点在内，则的长可能是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：∵的半径为，点在内，∴，即的长可能是．故选：D．2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：因为所以则即故选：D3. 给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（）A. ①③④B. ②C. ②④D. ①④答案：B解析：解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意；②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意；④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意，∴其中正确的是②．故选：B．4. 函数与在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）A. B.C. D.答案：C解析：解：A、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第一、三象限，即，因为的对称轴，故该选项是不符合题意；B、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第二、四象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；C、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第二、四象限，即，因为的对称轴，故该选项是符合题意；D、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第一、三象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；故选：C5. 有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多( )A. 12步B. 24步．C. 36步D. 48步答案：A解析：设矩形田地的长为步，则宽为步，根据题意得，，整理得，，解得或(舍去)，所以．故选A．6. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解：如图所示，连接，∵，∴，∵是的切线，∴，∴，∴的度数为．故选：A．7. 以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）A. B. C. D.答案：B解析：解：连接，∵正六边形的每个外角，∴正六边形的每个内角，∴，，∵∴∴∴正六边形至少旋转的度数为故选：B．8. 二次函数的图像如图所示，若关于的一元二次方程（为实数）的解满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：方程的解相当于与直线的交点的横坐标，∵方程（为实数）的解满足，∴当时，，当时，，又∵，∴抛物线的对称轴为，最小值为，∴当时，则，∴当时，直线与抛物线在的范围内有交点，即当时，方程在的范围内有实数解，∴的取值范围是．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）9. 已知关于的方程的一个根是，则_______．答案：解析：解：∵关于的方程的一个根是，∴，解得：，故答案为：．10. 请在横线上写一个常数，使得关于的方程_______．有两个相等的实数根．答案：9解析：解：，故答案为：9．11. 方程的两根为、，则_______．答案：3解析：解：移项得：，，故答案为：3．12. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．答案：15解析：解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π．故答案为15π．13. 某学习机的售价为2000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为1280元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为________．答案：解析：解：依题意得：，故答案为：．14. 已知拋物线经过点、，则________（填“”“ ”或“”）．答案：解析：解：依题意得：抛物线的对称轴为：，关于对称点的坐标为：，，且抛物线开口向下，，故答案为：．15. 已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是__．答案：且解析：解：由题意可知：且，解得：且，故答案为：且．16. 如图是二次函数的图像，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________（填序号）答案：①②④解析：解：∵抛物线与轴有两个不同交点，∴，故结论①正确；∵对称轴为直线，∴，∴，故结论②正确；由图像知，当时，，∴，故结论③不正确；∵抛物线开口向上，∴，∴，∵抛物线与轴的交点在负半轴，∴，∴，故结论④正确；∴正确的是①②④．故答案为：①②④．17. 如图，在中，，，则能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径是_______．答案：4解析：解：要使能够将完全覆盖的最小圆形纸片，则这个小圆形纸片是的外接圆，作的外接圆，连接，，作交于，如图：，，，，，在中，，，，故答案为：4．18. 如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值_______．答案：解析：解：如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点，∴，则的最小值是的长，∵点是半圆的中点，的半径为，∴等于半圆的一半，∴，∵点是的一个三等分点（靠近点），∴等于的，∴，∵点与点关于直径的对称，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共76分．要求写出解答或计算过程）19. 解方程：（1）；（2）．答案：（1）或（2）或小问1解析：解：则那么或即或小问2解析：解：则故所以即或20. 下表是二次函数的部分取值情况：根据表中信息，回答下列问题：（1）二次函数图象的顶点坐标是_______；（2）求的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（3）观察图象，写出时的取值范围：_______．答案：（1）（2），作图见解析（3）小问1解析：∵抛物线的对称轴为直线，∴二次函数图象的顶点坐标为，故答案为：；小问2解析：把代入中，得：，解得：，如图，小问3解析：由（2）知：二次函数的解析式为，当时，，解得：，，∴抛物线与轴的交点坐标为，，由图可知：当时，二次函数的图象在轴的上方，即，∴时的取值范围为．故答案为：．21. 如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由．答案：直线与相切，理由见解析解析：解：直线与相切．理由：连接、，则，∴，∵是的直径，∴，∴，∵点是的中点，，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴直线是的切线，∴直线与相切．22. 某商店经销一种手提包，已知这种手提包成本价为50元/个．市场调查发现，这种手提包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：．设这种手提包每天的销售利润为元．（1）当这种手提包销售单价定为多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种手提包的销售单价不得高于68元，该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？答案：（1）当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元（2）该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元小问1解析：解：依题意得：，整理得：，当时，有最大值为，答：当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元．小问2解析：当时，，解得：，，，，答：该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元．23. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米．（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．答案：（1）主桥拱所在圆的半径长为5米（2）此时水面的宽度为米小问1解析：∵点是的中点，，∴经过圆心，设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接，设半径，在中，，解得．答：主桥拱所在圆的半径长为5米；小问2解析：设与相交于点，连接，∴，∴，在中，，答：此时水面的宽度为米．24. 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．（1）下列方程是“自然方程”是_______；（填序号）①；②；③．（2）若方程是“自然方程”，求的值．答案：（1）③（2）或小问1解析：解：①，解得：，，则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；②，，∵，∴，则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；③，，或，解得：，，∴，故此选项符合题意；故答案为：③；小问2解析：，，或，解得：，，∵方程“自然方程”，∴，解得：或，∴的值为或．25. 据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为．（1）观察：“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；（2）联想：如图2，在中，，，平分交于点，则_______；（3）迁移：图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹）答案：（1）（2）（3）作图见解析小问1解析：解：如图1，小圆半径是：，大圆半径是：，∴小圆与大圆的半径之比是：，故答案：；小问2解析：∵在中，，，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∴，，∴，，故答案为：；小问3解析：作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，∵垂直平分，是圆的弦，∴线段为圆的直径，∵垂直平分于点，∴点为大圆的圆心，，∵以点为圆心，为半径画弧交圆于点，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，∵平分，由（2）知：，，则小即为所作．26. 如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．（1）填空：_______，_______，_______；（2）在图1中，若点在轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；（3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（3）点的坐标是或或或或或小问1解析：将点代入得，，解得，∴抛物线的解析式：，令，则，解得或1，∴，∴，故答案为：；小问2解析：连接，∵轴交抛物线于点，∴点的纵坐标为，，解得或4，∴，∵点的横坐标为，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，∴的值为；小问3解析：∵，∴抛物线的对称轴为直线，∴点的横坐标为2，分三种情况：①当为直角顶点时，，如图2，过作轴，过作于，过作于，∴，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，点的横坐标为2，∴，解得或，∴点的坐标为或(；②当为直角顶点时，，如图3，过作轴，过作于，过作于，同理，∵，点的横坐标为2，∴，解得或，∴点的坐标为或，；③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，同理，∵，点的横坐标为2，∴，解得或5，∴点的坐标为或；综上所述，点的坐标是或或或或或．。
人教版九年级上册数学期中考试试卷含答案
人教版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．将方程2410x x --=的左边变成平方的形式是（）A ．2(2)1x -=B ．2(4)1x -=C ．2(2)5x -=D ．2(1)4x -=3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（）A ．（1，3）B ．（0，1）C ．（0，—3）D ．（2，1）4．关于方程2450x x -+=的根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法判断5．在平面直角坐标系中，将点M （0，3-）绕原点顺时针旋转90°后得到的点的坐标为（）A ．（0，3-）B ．（3，0）C ．（3-，0）D ．（0，3）6．如图，ABCDE 是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（）可以跟自身重合。
A ．60︒B ．120︒C ．75︒D ．72︒7．将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（）A ．y ＝(x ＋2)2＋1B ．y ＝(x －2)2＋1C ．y ＝(x ＋2)2－1D ．y ＝(x －2)2－18．关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根同为负数，则（）A ．p ＞0且q ＞0B ．p ＞0且q ＜0C ．p ＜0且q ＞0D ．p ＜0且q ＜09．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数28y ax x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．10．如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1).若二次函数y=x 2+bx+1的图像与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b 的取值范围是（）A ．b≤-2B ．b<-2C ．b≥-2D ．b>-2二、填空题11．已知点（2，1）在抛物线y=ax 2上，则此函数的开口方向___________12．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+x+m 2﹣4＝0的一个根为0，则m 值是_____．13．在平面直角坐标系中，点P （—10，a ）与点Q （b ，b+1）关于原点对称，则a+b=____14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下：x…-3-2-101…y…-4-3-4-7-12…则该图象的对称轴是___________15．如图，在等腰直角三角形△ABC中，∠C=90°，AC=，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则线段DC=_____________cm．三、解答题16．抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y≥0，则x的取值范围是___________17．解方程（1）x2+2x—8=0（2）2x2+3x+1=018．在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点均在格点上，（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1（2）线段AC与线段A1C1的位置关系是______________19．王师傅开了一家商店，七月份盈利2500元，九月份盈利3600元，且每个月盈利的平均增长率都相等，求每月盈利的平均增长率．20．已知关于x的方程x2+5x﹣p2＝0．（1）求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为x1、x2，当x1+x2＝x1x2时，求p的值．21．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求△BCD的面积．22．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A 逆时针旋转后，得到△P AB（1）点P与点P’之间的距离；（2）∠APB的度数．23．已知某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售的单价每降低1元，每天就多卖5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）设降价x元，求出每天的销售利润y（元）与x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元时，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）24．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．（1）当DF⊥AC时，求证：BE＝CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在旋转过程中，连接EF，设BE＝x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最小值．25．已知：抛物线l1：y=—x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为直线x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，5—2）（1）求抛物线2l 的函数表达式；（2）P 为直线1x =上一动点，连接PA ，PC ，当PA PC =时，求点P 的坐标；（3）M 为抛物线2l 上一动点，过点M 作直线//MN y 轴，交抛物线1l 于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．参考答案1．C【详解】解：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项错误．故选C.2．C【详解】2410x x --=2445x x +=-()225x -=故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的转换问题，掌握配方法是解题的关键．3．D【解析】【分析】根据抛物线与x 轴的两个交点坐标确定对称轴后即可确定顶点坐标．【详解】解：观察图象发现图象与x 轴交于点(1,0)和(3,0)，∴对称轴为2x =，∴顶点坐标为(2,1)，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据交点坐标确定对称轴，难度不大．4．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式直接判断即可．【详解】解：关于方程2450x x -+=，∵1,4,5a b c ==-=，∴224(4)41540b ac -=--⨯⨯=-＜，∴方程2450x x -+=没有实数根，故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知240b ac -＞，有两个不相等的实数根；240b ac -=，有两个相等的实数根；24＜0b ac -，没有实数根；是解题的关键．5．C【解析】【分析】根据旋转的性质即可确定点坐标．【详解】解：点(0,3)M -绕原点O 顺时针旋转90︒，得到的点的坐标为(3,0)-，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45︒，60︒，90︒，180︒．6．D【解析】【分析】根据正五边形的每个中心角相等且其和为360°即可得到结论．【详解】根据正五边形的性质，每个中心角的相等，则每个中心角的度数为360°÷5=72°，故该图形绕它的中心至少旋转72度可以跟自身重合．故选：D ．【点睛】本题考查了图形的旋转及正多边形的性质，关键是抓住正多边形的中心角相等这一性质，问题即解决．7．B【解析】【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可.【详解】将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是y ＝(x －2)2＋1．故选B.本题考查了抛物线的平移规律，熟记抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”是解决问题的关键.8．A【解析】【详解】试题解析：设x1，x2是该方程的两个负数根，则有x1+x2＜0，x1x2＞0，∵x1+x2=-p，x1x2=q∴-p＜0，q＞0∴p＞0，q＞0．故选A．9．C【解析】【分析】x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一、三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．【点睛】=+在不同情况下所在本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y kx b的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．10．C【解析】根据y=x 2+bx+1与y 轴交于点（0，1），且与点C 关于x=1对称，则对称轴x≤1时，二次函数y=x 2+bx+1与阴影部分一定有交点，据此可求出b 的取值范围.【详解】当二次函数y=x 2+bx+1的图象经过点B （1，0）时，1+b+1=0.解得b=-2，故排除B 、D ；因为y=x 2+bx+1与y 轴交于点（0，1），所以（0，1）与点C 关于直线x=1对称，当对称轴x≤1时，二次函数y=x 2+bx+1与阴影部分一定有交点，所以-2b ≤1，解得b≥-2，故选C.【点睛】本题考查二次函数图象，解题的关键是利用特殊值法进行求解.11．向上【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（2，1）代入抛物线方程，然后解关于a 的方程，求得a 的值，从而可以确定抛物线方程的二次项系数，即可以判断这条抛物线的开口方向．【详解】解：∵点（2，1）在抛物线y=ax 2上，∴点（2，1）满足抛物线方程y=ax 2，∴1＝4a ，解得a ＝14；∴抛物线方程y ＝14x 2的二次项系数a ＝14＞0，∴这条抛物线的开口方向向上．故答案是：向上．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点时，该点一定满足该函数的关系式．12．-2【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入方法解得m=±2，然后根据一元二次方程的定义确定m 的值．【详解】把x=0代入方程（m-2）x 2+（2m-1）x+m 2-4=0得m 2-4=0，解得m=2或m=-2，而m-2≠0，所以m=-2．故答案为-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．13．1-【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得10b =，11a =-，进而可得a b +的值．【详解】解： 点(10,)P a -与点(,1)Q b b +关于原点对称，10b ∴=，111a b =--=-，11101a b ∴+=-+=-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了两个点关于原点对称，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律：点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．14．2x =-【解析】【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以计算出该函数图象的对称轴．【详解】解：由表格可得，当x 取-3和-1时，y 值相等，该函数图象的对称轴为直线3(1)22-+-==-x ，【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性解答．15．2##2-+【解析】【分析】连接CE，延长DC交AB于H，先证明CH⊥AB，由直角三角形的性质可求解．【详解】如图，连接CE，延长DC交AB于H，∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，∴∠ABD＝∠CBE＝60°，BC＝BE＝AC＝DE，∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCE是等边三角形，∠EDB＝45°，∴CE＝BC，∠CEB＝60°，∴CE＝DE，∠DEC＝30°，∴∠EDC＝∠ECD＝75°，∴∠BDH＝∠EDC−∠EDB＝30°，∵∠BDH＋∠DBA＝90°，∴CH⊥AB，又∵∠ACB＝90°，BC＝AC＝2cm，∴AB AC＝4（cm），CH＝AH＝BH＝2（cm），∵CH⊥AB，BH＝2cm，∠BDH＝30°，∴BD=2BH=4cm，=（cm），）（cm），∴DC＝DH−CH＝（【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．16．−3≤x≤1【解析】【分析】函数的对称轴为：x＝−1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（−3，0），即可求解．【详解】解：函数的对称轴为：x＝−1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），则另外一个交点坐标为：（−3，0），故：y≥0时，−3≤x≤1，故答案为：−3≤x≤1．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，及这些点代表的意义及函数特征．17．（1）x1=2，x2=-4（2）x1=-1，x2=-1．2【解析】【分析】（1）利用因式分解法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．【详解】（1）x2+2x—8=0（x-2）（x+4）=0∴x-2=0或x+4=0∴x1=2，x2=-4（2）2x2+3x+1=0（2x+1）（x+1）=0∴2x+1=0或x+1=0∴x1=-12，x2=-1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．18．（1）见解析；（2）平行【解析】【分析】（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；（2）根据中心对称的性质，即可得出平行且相等的关系．【详解】A B C即为所求．解：（1）如图所示，△111（2）由中心对称的性质可知：线段AC与线段A1C1平行且相等，线段AC与线段A1C1的位置关系是平行，故答案是：平行．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图、中心对称图形，解题的关键是熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置．19．20%【解析】【分析】设从七月到九月，每月盈利的平均增长率为x，根据该商店七月份及九月份的盈利额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设从七月到九月，每月盈利的平均增长率为x ，依题意，得：22500(1)3600x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：从从七月到九月，每月盈利的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．20．（1）证明见解析；（2）p ＝【解析】【分析】（1）求出根的判别式△＝25+p 2，根据判别式的意义即可得出无论p 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入x 1+x 2＝x 1x 2，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可．【详解】（1）证明：△＝52﹣4（﹣p 2）＝25+4p 2，∵无论p 取何值时，总有p 2≥0，∴25+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由题意可得，x 1+x 2＝﹣5，x 1x 2＝﹣p 2，∵x 1+x 2＝x 1x 2，∴﹣5＝﹣p 2，∴p ＝【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两实数根分别为x 1，x 2，则有x 1+x 2＝﹣a b ，x 1•x 2＝c a．21．（1）2(1)4y x =--+；（2）6【解析】【分析】（1）设抛物线顶点式解析式2(1)4y a x =-+，然后把点B 的坐标代入求出a 的值，即可得解；（2）令0y =，解方程得出点C ，D 坐标，再用三角形面积公式即可得出结论．【详解】解：（1） 抛物线的顶点为(1,4)A ，∴设抛物线的解析式2(1)4y a x =-+，把点(0,3)B 代入得，43a +=，解得1a =-，∴抛物线的解析式为2(1)4y x =--+；（2）由（1）知，抛物线的解析式为2(1)4y x =--+；令0y =，则20(1)4x =--+，1x ∴=-或3x =，(1,0)C ∴-，(3,0)D ；4CD ∴=，11||43622BCD B S CD y ∆∴=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题．22．（1）6；（2）150︒【解析】【分析】（1）由已知PAC ∆绕点A 逆时针旋转后，得到△P AB '，可得PAC ∆≅△P AB '，PA P A ='，旋转角60P AP BAC ∠'=∠=︒，所以APP ∆'为等边三角形，即可求得PP '；（2）由APP ∆'为等边三角形，得60APP ∠'=︒，在△PP B '中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出90P PB ∠'=︒，可求APB ∠的度数．【详解】解：（1）连接PP '，由题意可知10BP PC '==，AP AP '=，PAC P AB ∠=∠'，而60PAC BAP ∠+∠=︒，所以60PAP ∠'=度．故APP ∆'为等边三角形，所以6PP AP AP '=='=；（2）利用勾股定理的逆定理可知：222PP BP BP '+='，所以∆'BPP 为直角三角形，且90BPP ∠'=︒可求9060150APB ∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，解题的关键是你掌握旋转的图形的大小、形状都不改变．23．（1）252002500,(050)y x x x =-++≤≤；（2）销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；（3）销售单价应该控制在82元至90元之间【解析】【分析】（1）根据“利润=（售价-成本）⨯销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）每天的销售利润不低于4000元，根据二次函数与不等式的关系求出x 的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，以及50100100x ≤-≤，列不等式组即可．【详解】解：（1）由题意得：(10050)(505)y x x =--+，(50)(505)x x =-+，252002500,(050)x x x =-++≤≤，所以252002500,(050)y x x x =-++≤≤；（2）22520025005(20)4500y x x x =-++=--+ ，50a =-< ，∴抛物线开口向下．050x ≤≤Q ，对称轴是直线20x =，∴当20x =时，即销售单价是80元，每天的销售利润最大，最大利润是4500y =最大值；即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；（3）当4000y =时，2400052002500x x =-++，解得：110x =，230x =，∴当1030x ≤≤时，即销售单价在7010090x ≤-≤，每天的销售利润不低于4000元，由每天的总成本不超过7000元，得50(550)7000x + ，解得：18x ≤，82100x ∴≤-，50100100x ≤-≤Q ，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题意，列出相应等式，借助二次函数解决实际问题．24．（1）见解析；（2）BE+CF ＝2，是为定值；（3）S x ﹣1）2，当x ＝1时，S最小值为4.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求∠DEA ＝90°，根据“AAS”可判定△BDE ≌△CDF ，即可证BE ＝CF ；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可证到△EMD ≌△FND ，则有EM ＝FN ，就可得到BE+CF ＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝12BC＝2；（3）过点F作FG⊥AB，由题意可得S△DEF＝S△ABC﹣S△AEF﹣S△BDE﹣S△BCF，则可求S与x 之间的函数解析式，根据二次函数最值的求法，可求S的最小值．【详解】（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∴∠B＝∠C＝60°，BD＝CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°，∴∠DEB＝∠DFC，且∠B＝∠C＝60°，BD＝DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，BMD CNDB CBD DC∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝∴△MBD≌△NCD（AAS）BM＝CN，DM＝DN．在△EMD 和△FND 中，EMD FND DM DN MDE NDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMD ≌△FND （ASA ）∴EM ＝FN ，∴BE+CF ＝BM+EM+CF ＝BM+FN+CF ＝BM+CN＝2BM ＝2BD×cos60°＝BD ＝12BC ＝2（3）过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G，∵BE ＝x∴AE ＝4﹣x ，CF ＝2﹣x ，∴AF ＝2+x ，∵S △DEF ＝S △ABC ﹣S △AEF ﹣S △BDE ﹣S △BCF ，∴S ＝12BC×AB×sin60°﹣12AE×AF×sin60°﹣12BE×BD×sin60°﹣12CF×CD×sin60°＝12×（4﹣x ）×（2+x ）1212×（2﹣x ）∴Sx ﹣1）2（∴当x ＝1时，S【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN 是解决本题的关键．25．（1）215222y x x =--；（2）(1,1)；（3）12【解析】【分析】（1）由对称轴可求得b ，可求得1l 的解析式，令0y =可求得A 点坐标，再利用待定系数法可求得2l 的表达式；（2）设P 点坐标为(1,)y ，由勾股定理可表示出2PC 和2PA ，由条件可得到关于y 的方程可求得y ，可求得P 点坐标；（3）可分别设出M 、N 的坐标，可表示出MN ，再根据函数的性质可求得MN 的最大值．【详解】解：（1） 抛物线21:3l y x bx =-++的对称轴为1x =，12b∴-=-，解得2b =，∴抛物线1l 的解析式为2y x 2x 3=-++，令0y =，可得2230x x -++=，解得1x =-或3x =，A ∴点坐标为(1,0)-，抛物线2l 经过点A 、E 两点，∴可设抛物线2l 解析式为(1)(5)y a x x =+-，又 抛物线2l 交y 轴于点(20,5)D -，552a ∴-=-，解得12a =，2115(1)(5)2222y x x x x ∴=+-=--，∴抛物线2l 的函数表达式为215222y x x =--；（2）设P 点坐标为(1,)y ，由（1）可得C 点坐标为(0,3)，22221(3)610PC y y y ∴=+-=-+，2222[1(1)]4PA y y =--+=+，PC PA = ，226104y y y ∴-+=+，解得1y =，P ∴点坐标为(1,1)；（3）由题意可设215(,2)22M x x x --，//MN y 轴，2(,23)N x x x ∴-++，令221523222x x x x -++=--，可解得1x =-或113x =，①当1113x -< 时，2222153113449(23)(2)4()2222236MN x x x x x x x =-++---=-++=--+，显然411133-< ，∴当43x =时，MN 有最大值496；②当1153x < 时，2222153113449(2)(23)4()2222236MN x x x x x x x =----++=--=--，显然当43x >时，MN 随x 的增大而增大，∴当5x =时，MN 有最大值，23449(512236⨯--=；综上可知在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12．【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点，在（1）中求得A 点的坐标是解题的关键，在（2）中用P 点的坐标分别表示出PA 、PC 是解题的关键，在（3）中用M 、N 的坐标分别表示出MN 的长是解题的关键，注意分类讨论．。
武汉市黄陂区九年级上期中数学复习试卷(二)含解析
2022-2023湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学复习试卷（二）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣12．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠04．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A．45°B．30°C．60°D．75°6．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=257．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A．45°B．60°C．25°D．30°8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=579．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b ﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．方程x2=2x的解是．12．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是度．13．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是．14．太阳从西边出来，这个事件的概率为．15．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求α2+β2的值．16．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，列方程为．三、解答题（共8题，共72分）17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）18．如图所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B （0，3）．求此抛物线所对应的函数关系式．19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．20．已知a、b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，求：a2+2a+b的值．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为；②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为；③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为．22．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．23．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为．（直接填写结果）24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得△PBC 的面积为S，求S的取值范围．2022-2023湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学复习试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x﹣1=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x=0或x﹣1=0，所以x1=0，x2=1．故选C．2．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．3．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1．故选：A．4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系，直接得出两根的积．【解答】解：∵方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，12故选：B．5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A．45°B．30°C．60°D．75°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=180°﹣∠ADE﹣∠ADB=60°．故选C．6．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选C7．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A．45°B．60°C．25°D．30°【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形．【分析】连接OB，根据OC⊥AB，P为OC的中点可得出OP=OB，故∠OBP=30°，由直角三角形的性质得出∠BOP的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，P为OC的中点，∴∠OBP=30°，∴∠BOP=90°﹣30°=60°，∴∠BAC=∠BOP=30°．故选D．8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=57【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目=57，把相关数值代入即可．【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，∴小分支的个数为x×x=x2，∴可列方程为1+x+x2=57．故选B．9．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b ﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象．【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选A．10．一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】利用根的判别式与求根公式直接判断①②；利用代入的方法判断③④即可．【解答】解：①两个方程根的判别式都是△=b2﹣4ac，所以如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根正确；②如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确；③如果m是方程M的一个根，那么m2a+mb+c=0，两边同时除以m2，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误．正确的是①②③共3个．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．方程x2=2x的解是x1=0，x2=．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先移项，利用因式分解法将原式分解因式得出即可．【解答】解：x2=2xx2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，解得：x1=0，x2=．故答案为：x1=0，x2=．12．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是45度．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质并结合一个周角是360°求解．【解答】解：∵一个周角是360度，等腰直角三角形的一个锐角是45度，∴如图，是由一个等腰直角三角形每次旋转45度，且旋转8次形成的．∴每次旋转的度数是45°．13．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是54．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：第1个图案需要小木棒1×（1+3）=4根，第二个图案需要2×（2+3）=10根，第三个图案需要3×（3+3）=18根，第四个图案需要4×（4+3）=28根，…，继而即可找出规律，进一步求出第6个图案需要小木棒的根数【解答】解：拼搭第1个图案需4=1×（1+3）根小木棒，拼搭第2个图案需10=2×（2+3）根小木棒，拼搭第3个图案需18=3×（3+3）根小木棒，拼搭第4个图案需28=4×（4+3）根小木棒，…拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根．当n=6时，n2+3n=62+3×6=54．故答案为：54．14．太阳从西边出来，这个事件的概率为0．【考点】概率的意义．【分析】根据事件的类型判断相应的概率即可．【解答】解：太阳从西边出来为不可能事件，故这个事件的概率为0．故答案为：0．15．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求α2+β2的值．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出α+β=﹣3、αβ=﹣1，利用完全平方公式将α2+β2的变形为只含α+β、αβ的算式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+2=11．16．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，列方程为1185（1﹣x）2=850．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为1185（1﹣x），第二次降价后售价为1185（1﹣x）2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．【解答】解：根据题意得1185（1﹣x）2=850．故答案为1185（1﹣x）2=850．三、解答题（共8题，共72分）17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式x=计算即可．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣3）=13＞0，x==，∴x1=，x2=．18．如图所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B （0，3）．求此抛物线所对应的函数关系式．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案．【解答】解：把点A（4，0），B（0，3）代入二次函数y=﹣x2+bx+c，，解得：，所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质．【分析】由CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，根据垂径定理可得AD=2AF，CD=2CE，∠OEC=∠OFA=90°，然后由AAS判定△COE≌△AOF，继而证得CE=AF，则可证得结论．【解答】证明：∵CD⊥AB，CO⊥AB，∴∠OEC=∠OFA=90°，AD=2AF，CD=2CE，在△OCE和△OAF中，，∴△OCE≌△OAF（AAS），∴CE=AF，∴AD=CD．20．已知a、b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，求：a2+2a+b的值．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣=0，即a2+a=，则a2+2a+b可化为a2+a+a+b=+a+b，然后利用根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，∴a2+a﹣=0，a+b=﹣1，∴a2+a=，∴a2+2a+b=a2+a+a+b=﹣1=．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为（3，﹣1）；②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为（﹣1，3）；③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为（，）．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【分析】（1）根据轴对称图形的性质可知点C的坐标为（3，﹣1）；（2）根据旋转变换图形的性质也可求出点C2的坐标；（3）成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标．【解答】解：（1）点C1的坐标为（3，﹣1）；（2）点C2的坐标为（﹣1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心的坐标为．22．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】先根据旋转的性质得到BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，则可判断△PB P′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=BP=4，∠BP′P=45°，于是可计算出∠PP′C=90°，然后在Rt△PP′C中利用勾股定理计算PC的长．【解答】解：∵△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，∴△PB P′是等腰直角三角形，∴PP′=BP=4，∠BP′P=45°，∴∠PP′C=∠BP′C﹣∠BP′P=135°﹣45°=90°，在Rt△PP′C中，PC===6．答：PP′和PC的长分别为4，6．23．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为2+2．（直接填写结果）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由旋转得到△ABD1≌△ACE1的条件即可；（2）由（1）的结论，在利用勾股定理计算即可；（3）作出辅助线，利用勾股定理建立方程求出即可．【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1=CE1（2）由（1）知△ABD1≌△ACE1，可证∠CPD1=90°∴∠CAD1=45°，∴∠BAD1=135°延长BA交D1E1于F，∴∠D1AF=45°=∠AD1E1，∴AF=D1F==；∵∠AFD1=90°，∴BD1=2．（3）如图作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，∴∠ABP=30°，∴PB=2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．∴△PAB的面积最大值为AB×PG=2+2，故答案为2+2．24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b=+c，点B的横坐标为﹣2c（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得△PBC 的面积为S，求S的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1•x B=，即x B=﹣2c；（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1﹣2c，1﹣c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=﹣x+c，求出c=﹣2，进而得到抛物线的解析式；，易求0＜S＜5；（Ⅱ）（3）分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，由0＜S＜S△ACB当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2），则点F坐标为（x，x﹣2），PF=PG﹣GF=﹣x2+2x，S=PF•OB=﹣x2+4x=﹣（x=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5．﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，∴b=+c，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（x B，0）（点A位于点B的左侧），∴﹣1与x B是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，∴﹣1•x B=，∴x B=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；故答案为： +c；﹣2c；（2）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．设直线BC的解析式为y=kx+c，∵B（﹣2c，0），∴﹣2kc+c=0，∵c≠0，∴k=，∴直线BC的解析式为：y=x+c．∵AE∥BC，∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴×（﹣1）+m=0，解得：m=，∴直线AE得到解析式为：y=x+．由，解得，，∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），∴直线CD的解析式为y=﹣x+c．∵C，D，E三点在同一直线上，∴1﹣c=﹣×（1﹣2c）+c，∴2c2+3c﹣2=0，∴c1=（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，∴b=+c=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）①设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2）．∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=x﹣2．分两种情况：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．∵S△ACB=AB•OC=5，∴0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．∴点F坐标为（x，x﹣2），∴PF=PG﹣GF=﹣（x2﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x2+2x，∴S=S△PFC +S△PFB=PF•OB=（﹣x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴当x=2时，S最大值=4，∴0＜S≤4．综上可知0＜S＜5．11月1日。
无锡市锡山区锡山高级中学实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.32D.32.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.5C.55D.2554.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A .35°B.55°C.65°D.75°5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A.40B.160oC.80 或160oD.40 或1406.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.332OA ≤≤C.323OA ≤≤ D.223OA <≤10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）2033cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高3CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．28.在平面直角坐标系xOy 中，对已知的点A ，B ，给出如下定义：若点A 恰好在以BP 为直径的圆上，则称点P 为点A 关于点B 的“联络点”．（1）点A 的坐标为()2,1-，则在点()11,2P ，21,12P ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，()32,1P -中，O 关于点A 的“联络点”是______（填字母）；（2）直线112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，若点C 关于点D 的“联络点”P 满足1tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；（3）T e 的圆心在y ，点M 为y 轴上的动点，点N 的坐标为()4,0，在T e 上存在点M 关于点N 的“联络点”P ，且PMN 为等腰三角形，直接写出点T 的纵坐标t 的取值范围．省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【详解】根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=32故选：C ．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．2.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（r 为圆半径，d 为点到圆心距离），当r d >，点在圆内；当r d <，点在圆内；当r d =，点在圆上；据此作答即可．【详解】解：∵O 的半径为4，3OP =，∴43>∴点P 在O 内故选：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.C.55D.255【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB 的值，在利用余弦的定义直接计算即可．【详解】解：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，∴222125AB AC BC =+=+=,∴15cos 55AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键．4.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A.35°B.55°C.65°D.75°【答案】B 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，先利用直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，再利用同弧所对的圆周角相等可得35ABD ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【详解】解：连接BD AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，35ACD ∠=︒ ，35ACD ABD ∴∠=∠=︒，9055BAD ABD ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A .40B.160oC.80 或160oD.40 或140【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，分类讨论,根据圆周角定理计算即可．【详解】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B=180°-∠ACB=140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线【答案】A【解析】【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，圆与切线的判定，熟练运用确定圆的条件的性质是本题的关键．【详解】A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确；B、不共线的三点确定一个圆，则B错误；C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误；D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误．故选A7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出cos30︒，cos 45︒及cos60︒的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵53c 4os 0.7A ∠==，余弦函数随角增大而减小，∴133242<<3045A ∴︒<∠<︒．故选：B ．8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+【答案】C 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得ET EC =，连接CT ，证明DCE △和ETC △是等腰直角三角形，求出2TA TC ==，可得结论．【详解】解：如图，连接AC ，BC 、CD ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵ AC BC=，∴AC CB =．∴45CAB ABC ∠=∠=︒．∵ CDDB =，∴122.52CAD DAB BAC ∠=∠==︒∠．∵ AC AC =，∴45∠=∠=︒ADC ABC ．∵CE DE ⊥，∴90CED ∠=︒．∴45ECD EDC ∠=∠=︒．∴1EC DE ==，在EA 上取一点T ，使得1ET EC ==，连接CT ，∴2CT =．∵45ETC TAC ACT ∠=︒=∠+∠，∴22.5TAC TCA ∠=∠=︒．∴2AT TC ==，∴21AE AT TE =+=+．故选：C ．9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.32OA ≤≤C.323OA ≤≤D.223OA <≤【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，因此点A 在 BAC上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，求出3363322AD BC ==⨯=，推出333AD <≤，得到2233333AO ⨯<≤⨯，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，，BAC ∠ 的大小不变，∴点A 在 BAC 上运动（不与B C 、重合），O 是ABC 的重心，D ∴是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，AD ∴垂直平分BC ，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，3363322AD BC ∴===，A 不与BC 、重合，12BC AD ∴<，333AD ∴<≤O 是ABC 的重心，23AO AD ∴=，2233333AO ∴⨯<≤⨯，223AO ∴<≤，故选：D ．10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】①延长BD ，CA 交于点G ，证明BD DG =，根据直角三角形斜边中线的性质得AD BD =，可作判断；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，设AE x =，则,2BF EF x BE ===，2AB AC x x ==，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，证明Rt Rt ACE FCE ≌，得2AC CF a ==，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④延长,BD CA 交于点G ，证明AEC AGB ∽，列比例式，并结合三角函数可作判断．【详解】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵30,90ABC BAC ∠=︒∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵CE 平分ACB ∠，∴30ACD BCD ∠=∠=︒，在Rt BDC 中，90,30BDC BCD ︒︒∠=∠=，∴60DBC ∠=︒，∴ GBC 是等边三角形，∵CD BG ⊥，∴BD DG =，Rt BAG 中，12AD BG BD ==，故①错误；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵CE 平分ACB ∠，90BAC ∠=︒，∴AE EF =，∵90,45BAC ABC ∠=︒∠=︒，∴AB AC =，同理得BEF △是等腰直角三角形，∴BF EF =，设AE x =，则,2BF EF x BE x ===，2AB AC x ==，∴()22222422CE AE AC x x x x =+=+++，∵DEB AEC ∠=∠，90BDE EAC ∠=∠=︒，∴BDE CAE ∽△△，∴222(422)()222ACE BDES CE x S BE x ∆∆+⋅===+，∴(22)ACE BDE S S =+ ，故②错误；③如图3，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，∴.22BF a =，∵90,EAC CFE CE CE ∠=∠=︒=，AE EF =，∴Rt Rt (HL)ACE FCE ≌，∴AC CF =，∵222AB AC BC +=，∴()()22232a a AC a AC++=+∴2AC CF a ==．延长,BD CA 交于点G ，∵,GCD BCD CD BG ∠=∠⊥，∴CBD G ∠=∠，∴32,CG CB a BD DG ===，∴22AG a =，∴21112422222ABD ABG S S a a a =⋅=⨯⨯⨯= ，2124222ABC S a a a =⋅⋅= ，∴ABC ABD S S =△△．故③正确；④如图4，延长,BD CA 交于点G ，∵90,BDE CAE DEB AEC ∠=∠=︒∠=∠，∴ACE DBE ∠=∠，∵90EAC BAG ︒∠=∠=，∴AEC AGB ∽，∴CE AC BG AB=，由③知：2BG BD =，∵tan AC ABC m AB ∠==，∴2CE m BD=，∴2CE m BD =⋅．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线．二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°【答案】54141【解析】【分析】此题考查了求锐角的三角函数值．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．【详解】如图：由a 4tan 5b α==，设45a x x ==，b ，则c ==，故5b cos c x α===12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．【答案】25【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，根据含30︒角所对的直角边等于斜边的一半计算即可求解，掌握含30︒角的直角三角形的性质是解题的关键.【详解】解：根据题意可得，山的高度15025m 2=⨯=，故答案为：25．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．【答案】120【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠A 与∠B ，∠C 的度数即可得出答案．【详解】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形对角互补有2x+7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形对角互补的性质，根据已知得出，∠A+∠C=3x+7x=180°是解题关键．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．【答案】24π【解析】【分析】先求出底面周长，再根据公式求解即可．【详解】解：底面半径为3cm ，则底面周长=6πcm ，∴侧面面积=12×6π×8=24πcm 2．故答案为：24π．【点睛】此题考查了扇形面积计算公式，圆的周长计算公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°【答案】25【解析】【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了三角形外心的性质和圆周角定理，连接OC ，先计算出8OAC ∠=︒，再根据三角形外心的性质得到OA OC =，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出164AOC ∠=︒，接着根据圆周角定理得到82ABC ∠=︒，则利用三角形内角和可计算出50∠=°ACB ，然后根据三角形内心的性质得到BCI ∠的度数．【详解】解：如图，连接OC ，，648CAB OAC ∠=∠=︒ ，8OAC ∴∠=︒，点O 是锐角ABC 的外心，OA OC ∴=，8OCA OAC ∴∠=∠=︒，180164AOC OCA OAC ∴∠=︒-∠-∠=︒，1822ABC AOC ∴∠=∠=︒，18050ACB CAB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒，点I 是锐角ABC 的内心，1252BCI ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：25．16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】3π-【解析】【分析】本题主要考查了圆面积的计算、正方形的性质、全等形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等图形成为解题的关键．如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ，再根据垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式可得31DAF S =- ，然后再根据阴影部分的面积()14O ADF ABCD S S S -- 正方形即可解答．【详解】解：如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ．在Rt OFH △中，2222213F O O H F H =--,∵112AH BH AB ===，∴31AF FH AH =-=-∴()112313122DAF S AD AF =⋅=⨯⨯-=- ，∴图中阴影部分的面积()()()21122231344O ADF ABCD S S S ππ=--=⋅-⨯--=- 正方形．故答案为3π-．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．【答案】()32,0-+或()32,0--##()32,0--或()32,0-+【解析】【分析】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，由全等三角形求出点A '坐标，由点A '在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G 的坐标．【详解】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，如图所示：∵()3,3A -，∴3AM =，3GM a =+，∵点A 绕点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴AG A G '=，90AGA '∠=︒，∴90AGM NGA '∠+∠=︒，∵AM x ⊥轴，A N x '⊥轴，∴90AMG GNA '∠=∠=︒，∴90AGM MAG ∠+∠=︒，∴MAG NGA '∠=∠，在AMG 与GNA ' 中，AMG GNA MAG NGA AG GA ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AMG GNA AAS '≅ ，∴3GN AM ==，3A M GM a '==+，∴3ON a =+，∴(3,3)A a a '++，在Rt ONA ' 中，由勾股定理得：222(3)(3)2a a +++=，解得：32a =-+或32a =--，∴()32,0M -+或()32,0M --．故答案为：()32,0-+，()32,0--．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．【答案】213或7373213【解析】【分析】分BD BA =和BD AD =两种情况进行解答；①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，先证BAD BCE ∽ 可得ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，进而证ABC 和DBE 全等，即AC DE =，然后在Rt DCE V 中，利用勾股定理求出DE 即可；②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，先证ABD CBM ∽ 可得ABD CBM ∠=∠，进而证ABC DBM ∽ 可得12BC DM AB BD ==：：：，则12BC DM =，然后在Rt DCM 中利用勾股定理求出DM 即可．【详解】解：∵ABD △是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，∵BD BA BH AD =⊥，，∴290BAD BDA AD AH BAD ABH ∠=∠=∠+∠=︒，，，∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ABH BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AH ABH AB ∠==,∴42AB AH AD ==，∴12AD AB =：：，∵142CE BC ==，∴12BC CE =：：，∴AD AB BC CE =：：，∵CE CD ⊥，∴90BCE BCD ∠+∠=︒．∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCE ∠=∠，又∵AD AB BC CE =：：，∴BAD BCE ∽ ，∴ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，∴BDA BEC BDA BCE ∠=∠=∠=∠，∴8BC BE ==，∵ABD CBE ∠=∠，∴ABD DBC CBE DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBE ∠=∠，在ABC 和DBE 中，,,BD BA ABC DBE BC BE =∠=∠=,∴()SAS ABC DBE ≌，∴AC DE =，在Rt DCE V 中，64CD CE ==，，由勾股定理得：22213DE CD CE =+=；即213AC =②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，∵BD AD DN AB =⊥，，∴290DAB DBA AB AN ADN BAD ∠=∠=∠+∠=︒，，，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ADN BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AN ADN AD ∠==,∴42AD AN AB ==，∴12AB AD =：：，∵216CM BC ==，∴12BC CM =：：，∴AB AD BC CM =：：，∵CM CD ⊥，∴90BCM BCD ∠+∠=︒，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCM ∠=∠，又∵AB AD BC CM =：：，∴ABD CBM ∽ ，∴ABD CBM ∠=∠，∴ABD CBM DAB BCM ∠=∠=∠=∠，∴216BM CM BC ===，∵ABD CBM ∠=∠，∴ABD DBC CBM DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBM ∠=∠，∵1212AB BD BC BM ==：：，：：，∴AB BD BC BM =：：，∴ABC DBM ∽ ，∴12BC DM AB BD ==：：：，∴12BC DM =在Rt DCM 中，616CD CM ==，，由勾股定理得：DM ==，∴12BC DM ==综上所述：AC 的长为故答案为或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）20cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）72（2）8【解析】【分析】本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的性质并牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．（1）将01π=，cos302= 代入原式，运算结果即可．（2）将tan 451︒=代入原式，运算结果即可．【小问1详解】解：20cos 30π-+312=-+72=【小问2详解】解：21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭415=-+8=20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．【答案】（1）2（2）152【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形的方法是解题的关键．（1）先求出23b c =，进而利用勾股定理求出53BC c =，再根据正切的定义可得答案；（2）先解Rt ADC 得到2155AD =，再解Rt ABC △，得到2cos 3A =，则可解Rt ADC ，得到3155AC =，进而求出91510AB =，则152BD AB AD =-==．【小问1详解】解：在Rt ABC △中，9032ACB b c =︒=∠，，∴23b c =，∴2253BC AB AC c =-=，∴5tan 2BC A AC ==；【小问2详解】解：在Rt ADC 中，5tan 2CD A AD ==，∴2155AD =，在Rt ABC △中，2cos 3AC A AB ==，∴在Rt ADC 中，315cos 5AD AC A ==，∴3915210AB AC ==，∴915215151052BD AB AD =-=-=．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）【答案】（1）60︒（2）43πcm【解析】【分析】（1）连接OB ，结合垂径定理得到»»AB AC =，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到AOB ∠和AOC ∠之间的关系，进而求出AOC ∠的度数；（2）要求劣弧 BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE 的长，进而在Rt BOE 中利用勾股定理求出OE 的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【小问1详解】解：连接OB ，∵OA BC ⊥，∴»»AB AC =，∴AOC AOB ∠=∠，由圆周角定理得，260AOB ADB ∠=∠=︒，∴60AOC AOB ∠=∠=︒．【小问2详解】解：∵OA BC ⊥，∴192BE BC ==，在Rt BOE 中，60AOB ∠=︒，∴2OB OE =，∴2239BE OB OE OE =-==，∴33cm OE =，63cm OB =．∴劣弧 BC 的长()120π6343πcm 180⨯==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．【答案】（1）95（2）724【解析】【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，得出52CH =，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH 垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，证明90APB ∠=︒得出AP CH ∥，PAB BHC ∠=∠，得出3cos cos 5AP PAB BHC AB=∠=∠=，即可得出答案；（2）作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，则2EF BC ==，90BFE ∠=︒，90AFP ∠=︒，求出3cos 5AF PAB AP =∠=，4sin sin 5PF PAB BHC AP =∠=∠=，得到2725AF =，3625PF =，从而得到1425PE =，即可得出答案．【小问1详解】解：如图，连接PB ，，四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，90ABC ∴∠=︒，1322AH BH AB ===，222235222CH BH BC ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH ∴垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，1180902APB HPB HPA HBP HAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，AP BP ⊥ ，CH BP ⊥，C AP H ∴∥，PAB BHC ∠=∠∴，332cos cos 552AP BH PAB BHC AB CH ∴=∠=∠===，3393555AP AB ∴==⨯=，AP ∴的长是95；【小问2详解】解：如图，作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，，90FEC ECB FBC ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形BCEF 是矩形，2EF BC ∴==，90BFE ∠=︒，90AFP ∴∠=︒，324cos sin sin 5552AF PF BC PAB PAB BHC AP AP CH ∴=∠==∠=∠===，，3392755525AF AP ∴==⨯=，4493655525PF AP ==⨯=，274832525CE BF AB AF ∴==-=-=，361422525PE EF PF =-=-=，14725tan 482425PE DCP CE ∴∠===，tan DCP ∴∠的值为724．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．【答案】（1）见解析（2）8120【解析】【分析】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确的作出图形．（1）以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，即可完成作图；（2）证明11BMP CP N ∽，可得11CP MB BP CN =，设1BP x =，则19CP x =-，可得59x x a -=，从而得到2950x x a +=-，由只能作出唯一的点P ，得到该方程有两个相等的实数根，由此进行计算即可得出答案．【小问1详解】解：以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，如图，1P 、2P 即为所求，，如图，连接DN ，1MP ，1NP ，2NP ，2MP ，，由作图可得：AD AN =，ABC 是等边三角形，=60B ∠︒，AB AC ∴=，AB AD AC AN ∴-=-，即BD CN =，B DNC ∴∥，60MDN B ∴∠=∠=︒，由圆周角定理可得：1260MP N MP N MDN ∠=∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，，160MP N ∠=︒ ，11120MPB CP N ∴∠+∠=︒，ABC 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，9BC AB ==，11120BMP MPB ∴∠+∠=︒，11BMP CP N ∴∠=∠，11BMP CP N ∴ ∽，11CPMB BP CN ∴=，设1BP x =，则19CP x =-，59xx a -∴=，259a x x ∴=-，2950x x a ∴-+=，只能作出唯一的点P ，∴该方程有两个相等的实数根，()2Δ94150a ∴=--⨯⨯=，8120a ∴=，故答案为：8120．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接OD ，先根据等腰三角形的性质可得ODA A ∠=∠，CDE E ∠=∠，再根据直角三角形的性质可得90A E ∠+∠=︒，从而可得OD DC ⊥，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接OD ，设()0CD CE x x ==>，先求出A BDC ∠=∠，根据正切的定义可得22AC CE x ==，再在Rt COD 中，利用勾股定理求解即可得．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，OA OD = ，ODA A ∴∠=∠，CD CE = ，CDE E ∴∠=∠，⊥ CE AC ，90A E ∴∠+∠=︒，90ODA CDE ∴∠+∠=︒，()18090ODC ODA CDE ∴∠=︒-∠+∠=︒，即OD DC ⊥，又OD 是O 的半径，∴直线DC 与O 相切．【小问2详解】解：如图，连接OD ，设()0CD CE x x ==>，15AB = ，11522OA OD AB ∴===，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90CDE BDC BDE ∴∠+∠=∠=︒，又90A E ∠+∠=︒ ，CDE E ∠=∠，A BDC ∴∠=∠，1tan 2BDC ∠= ，1tan 2CE A AC∴==，22AC CE x ∴==，1522OC AC OA x ∴=-=-，由（1）已证：OD DC ⊥，∴在Rt COD 中，222OD CD OC +=，即2221515222x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10x =或0x =（不符合题意，舍去），所以CE 的长为10．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、正切、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）【答案】4米【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt △BCN 中，求出CN 、BN ，在Rt △ABE 中用AB 的代数式表示AE ，再根据∠ADC =45°得出CF =DF ，列方程求解即可．【详解】解：过点C 作CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为N 、F ，如图所示：在Rt △BCN 中，CN =BC •sin ∠MBC =2.5×35=1.5（米），BN =BC ×cos 37°=2.5×45=2（米），∵CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，MA ⊥AD ，∴四边形AFCN 为矩形，∴CN =AF =1.5，BN +AB =CF ，在Rt △ABE 中，∵∠AEB =53°，∴∠ABE =90°-53°=37°，AE =AB •tan ∠ABE =AB ×tan 37°=34AB ，∵∠ADC =45°，∴CF =DF ，∴BN +AB =AD -AF =AE +ED -AF ，即：2+AB =34AB +4.5-1.5，解得，AB =4（米）答：匾额悬挂的高度AB 的长约为4米．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法．26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）42cm（2）1517-（3）12613185t <<【解析】【分析】（1）当2t =时，()2cm AP =，()4cm BQ =，()4cm BP =，再由勾股定理进行计算即可；（2）连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t =-，由45DPQ ∠=︒，得出PQM 是等腰直角三角形，证明()AAS PMN MQK ≌得出PN MK =，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()62t x t x -+=-，得出362t x -=，证明MPN DPA ∽得到1623622tt t =-+，求解即可；（3）当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，可得()()22626t t -+=，解得125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，可得()()()2222621226t t t -+=-+，解得61318t =-，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，即可得出答案．【小问1详解】解：当2t =时，()212cm AP =⨯=，()224cm BQ =⨯=，()624cm BP AB AP ∴=-=-=，()22224442cm PQ BP BQ ∴=+=+=，故答案为：42cm ；【小问2详解】解：如图，连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t ∴=-，由作图可知四边形BQKN 是矩形，BN QK ∴=，2cm BQ NK t ==，45DPQ ∠=︒ ，PQM ∴ 是等腰直角三角形，90PMQ ∴∠=︒，PM QM =，90PMN QMK KQM ∴∠=︒-∠=∠，90MNP QKM ∠=︒=∠ ，()AAS PMN MQK ∴ ≌，PN MK ∴=，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()2cm MN NK MK t x QK =-=-=，BN QK = ，()62t x t x ∴-+=-，362t x -∴=，()36cm 2t PN -∴=，()3662cm 22t t MN t -+=-=，MPN DPA ∠=∠ ，90MNP A ∠=︒=∠，MPN DPA ∴ ∽，PN MN AP AD ∴=，即1623622t t t =-+，解得：15317t =+（舍去）或15317t =-，t ∴的值为15317-；【小问3详解】解：如图，当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，，90A B ATQ ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形ABQT 是矩形，6cm QT AB PQ ∴===，()()22626t t ∴-+=，解得：0=t （舍去）或125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；如图，当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，，此时PQ DQ =，()()()2222621226t t t ∴-+=-+，解得：61318t =-或61318t =--（舍去），由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，综上所述，当12613185t <<-时，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点．【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．【答案】（1）533（2）()41,0B （3）253-或3【解析】【分析】（1）连接OD ，得出30DOA ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得AD 的长；（2）连接OM ，设线段AB 交O 于点E ，过点O 作ON AB ⊥于N ，得出四边形ONBM 是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出5,3OE NE ==，在Rt NEO 中，勾股定理求得ON ，Rt OMB 中，勾股定理求得OB ，即可求得点B 的坐标；（3）分类讨论，①当G 在P 点上方时，过点O 作OF BC ⊥于点F ，连接AH ，根据90度角所对的弦是直径，得出AH 是O 的直径，进而勾股定理求得HB ，垂径定理求得HF ，在Rt HOF 中，得出OF ，在Rt GFO 中求得FG ，继而根据GH FG HF =-即可求解；②当G 点在P 点下方时，过点O 作OX HB ⊥，同一法证明点,G X 重合，进而垂径定理即可求解．【小问1详解】如图，连接OD ，∵边AB 恰好与O 相切于点D ，∴OD AB ⊥，∵9030B ACB ∠=︒∠=︒，，∴∥OD BC ，∴30DOA ∠=︒，。
上学期九年级数学期中试题
上学期九年级数学期中试题在初三的时候我们要做准备好我们的数学去考试哦，今天小编就给大家参考一下九年级数学，希望大家来收藏阅读哦九年级数学上册期中试题参考一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)1.二次函数y=x2-2x+2的顶点坐标是A.(1，1)B.(2，2)C.(1，2)D.(1，3)2.平面直角坐标系内与点P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是A.(3，-2)B.(2，3)C.(2，-3)D.(-3，-3)3.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是A.a确定抛物线的开口方向与大小B.若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变D.若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变4.如图，B，C是⊙O上两点，且∠α=96°，A是⊙O上一个动点(不与B，C重合)，则∠A为A.48°B.132°C.48°或132°D.96°5.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为A.2.3B.2.4C.2.5D.2.66.如图，将半径为6cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为A. B. C. 2 D. 34题图 5题图 6题图7.若二次函数y=mx2-4x+m有最大值-3，则m等于A.m=4B.m=-4C.m=1D.m=-18.在平面直角坐标系中，将点P(-3，2)绕点A(0，1)顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为A.(-1，-2)B.(3，-2)C.(1，4)D.(1，3)9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为A. B. C.3 D.9题图 10题图10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0，3)，(x1，0)，其中，2A.②③④B.①②③C.②④D.②③二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是 .12.抛物线的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是_________________.13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，则∠B的度数为 .14.如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，则AB的长为________.第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图15.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S梯形ABCE= cm2.16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 .三、解答题(共8小题，共72分)17.(5分)已知抛物线的顶点坐标是(-1，-4)，与y轴的交点是(0，-3)，求这个二次函数的解析式.18.(8分)如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示.(1) 画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形.(2) 若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为________.19. (7分)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图1)，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m.(1)建立如下的坐标系，求暴雨后水面的宽;(2)一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m(横断面如图2所示)，暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?(注：结果保留根号.)图1 图220.(7分)已知y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x 轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1，x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的两个实数根，且x12+x22=39，求k的值.21.(7分)如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处.(1)说明本次台风会影响B市;(2)求这次台风影响B市的时间.22.(8分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元(x为整数).(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式.(2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少?23.(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且，CE⊥DA交DA的延长线于点E.(1)求证：∠CAB=∠CAE;(2)求证：CE是⊙O的切线;(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半径长.24.(10分)如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在CB，CA上，且CD=CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF.(1)求证：CF= BE，且CF⊥BE;(2)将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角(如图2)，其它条件不变，此时(1)中的结论是否仍成立?并证明你的结论.图1 图225.(12分)如图1，抛物线y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于A(-3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C，且OC=OA.(1)求抛物线解析式;(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC 交于点N.已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值;(3)如图2，D(0，-2)，连接BD，将△OBD绕平面内的某点(记为P)逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′.若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标.图1 图2答案：1-10 A C D C B A B C B D11、(-3，0);12、-117、y=(x+1)2-418、(1)略;(2) (以AC为直径)19、因为当水面宽AB=6m时,水面离桥孔顶部3m,所以点A的坐标是(3,-3).把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a= .把y=-2代入y= x2,得， .解得， .所以，点C、D的坐标分别为( ,-2)、(- ,-2),CD=2 .答:水位上升1m时,水面宽约为2 m.(2)当x=2时，y= ，因为船上货物最高点距拱顶1.5米，且| |<1.5，所以这艘船能从桥下通过.20、解：(1)∵y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x 轴有交点，∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，解得k≤ ;(2)根据题意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，∵x12+x22=39，∴(x1+x2)2-2x1x2=39，∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，∵k≤ ，∴k=-4.21、解：(1)作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，由条件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，∴BD=240× =120<130，∴本次台风会影响B市.(2)如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F 时，台风影响结束.由(1)得BD=240，由条件得BE=BF=130，∴EF=2 =100，∴台风影响的时间t= =2(小时).故B市受台风影响的时间为2小时.22、解：(1)y=50- =-0.1x+62;(2)w=(x-20)(-0.1x+62)=-0.1x2+64x-1240=-0.1(x-320)2+9000，∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元.23、证明：(1)∵ ，∴∠CDB=∠CBD，∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，∴∠CAB=∠CAE;(2)连接OC∵AB为直径，∴∠ACB=90°=∠AEC，又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，∴EC⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.(3)过点C作CF⊥AB于点F，∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，∴AE=AF，在△CED和△CFB中，，∴△CED≌△CFB，∴ED=FB，设AB=x，则AD=x-2，在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，解得，x=5，∴⊙O的半径的长为2.5.24、解：(1)在△ACD和△BCE中，∵ ，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，∵F为AD中点，∠ACD=90°，∴FC=AF= AD，∴CF= BE，∠CAD=∠ACF，∴∠CBE=∠ACF，∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，∴CF⊥BE;(2)此时仍有CF= BE、CF⊥BE，延长CF至G，使FG=CF，连接GA，在△CDF和△GAF中，∵ ，∴△DFC≌△AFG(SAS)，∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，∴AG∥DC，AG=CE，∴∠GAC+∠DCA=180°，又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，∴∠GAC=∠BCE，在△BCE和△CAG中，∵ ，∴△BCE≌△CAG(SAS)，∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，∴CF= BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，∴CF⊥BE.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，将C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)如图1中，∵A(﹣3，0)，C(0，3)，∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，设M(m，-m2-2m+3)，则N(m，m+3)，则MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3，MN=-m2-3m=-(m+ )2+ ，∵a=-1<0， -3∴m=- 时，MN最大，此时S= ;(3)如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等.设B′(t，-t2-2t+3)，则D′(t+1，-t2-2t+3+2)∵B′在抛物线上，则-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，解得，t= ，则B′的坐标为( ， )，P是点B和点B′的对称中心，∴P( ， ).初三九年级数学上学期期中试卷一、选择题(每题4分，共40分).1.下列根式是最简二次根式的是( )A. B. C. D.2.下列计算，正确的是( )A. B. C. D.3.若是方程的一个根，则的值为( )A. B. C. D.4.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )A. B. C. D.5.已知，则的值为( )A. B. C. D.6.下列各组线段的长度成比例的是( )A.2cm，3cm，4cm，5cmB.1cm， cm，2cm， cmC.1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cmD.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm7.如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 .若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )A. B.C. D.8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为( )A. B. C. D.9.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )A.∠C=∠EB.∠B=∠ADEC.D.10.如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，则第2016个三角形的周长为( )A. B. C. D.二、填空题(每题4分，共24分).11.使有意义的的取值范围是.12.方程的根是13.小明的身高为1.6米，他的影长是2米，同一时刻某古塔的影长是5米，则古塔的高度是米.14.已知215.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点G为△ABC的重心，AG=2，则DG= .16.如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB=4，BC=6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5.则①CD=; ②图中阴影部分面积为.三、解答题(共86分).17.计算：(8分)(1)(212-418+348)×52; (2)18-22-82+(5-1)0.18.解方程： (8分)19.先化简，再求值：，其中 (8分)20.已知：关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.(8分)21.求证:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2x 2+y ＝1B ．9y ＝3y ﹣1C ．3x﹣2x 2＝8 D ．2x 2＝1 2．如图，在△ABC 中，已知△ADE ＝△B ，则下列等式成立的是（ ）A ．AE AD AB AC = B ．AD AE AB AC = C ．DE AE BC AB= D ．DE AD BC AC = 3．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（ ）A ．0.3B ．0.7C ．0.4D ．0.24．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-5．在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0上的数为无理数的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．16 6．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或－3 C ．－1 D ．－1或37．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，过点D 分别作BC 和AB 的平行线，交AB 于点E ，交BC 于点H ，连接EH 交BD 于点G ，在AE 上截取EF BE =，连接DF ．下列说法中正确的是（ ）△:1:2GH FD =；△2BD BF BC =⋅；△四边形EBHD 是菱形；△29ADF ABC S S =△△A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE△AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：△△ABC=2△ABF ；△EF=BF ；△S 四边形DEBC =2S △EFB ；△△CFE=3△DEF,其中正确结论的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则AM MD等于（ ）A．35B．23C．38D．4510．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH△AB于点H，连接OH，若△DHO＝20°，则△ADC的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°二、填空题11．已知13a cb d==，则a cb d++的值是_____．12．关于x的方程20x mx+=的一个根是−1，则m的值为______．13．如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，试添加一个条件使四边形ABCD成为矩形．你添加的条件是__．（只填一个即可）14．关于x的方程2(5)410a x x---=有实数根，则a的取值范围是_______．15．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积为_____．16．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为____．17．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF 影长GE 为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB 等于________米．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．三、解答题19．解方程：（1）22284x x x ++=+（2）()()23230x x x -+-=20．如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF.求证：AE ＝AF.21．如图，AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，BAF DAG ∠=∠．（1）求证：AABC DE∽△△；（2）若3DE=，25ADAB=，求BC的长．22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求每次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，若每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？23．如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作//CF BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：ODE FCE≌；（2）求证：四边形ODFC是菱形．24．如图，A、B在一直线上，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，4秒后走到点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F，此时他（EF）的影长为2米，然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H，此时他（GH）处于灯光正下方．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明沿AB方向匀速前进的速度．25．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A（0，3）、B（3、4）、C（2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：ACAM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．含有二个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2．B【解析】【详解】△△A=△A，△ADE=△B，△△AED△△ACB，△AD AEAB AC=，故选B．3．A【解析】【分析】用频率估计概率即可得到答案．【详解】某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是6000.3 2000=．故选：A．【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握大量的重复试验时频率可视为事件发生概率的估计值．4．B【解析】【分析】根据位似变换的概念得到△A1OB1△△A2OB2，△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：△△A1OB1与△A2OB2位似，△△A1OB1△△A2OB2，△△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，△△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，△A1的坐标为（-1，2），△A1OB1与△A2OB2在原点O的两侧，△点A1的对应点A2的坐标为（2，-4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5．C【解析】【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．【详解】解：在6，227-，3.1415，π，0π2个，△从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是21 63 =，故选：C．【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．6．C【解析】【分析】解出一元二次方程，将根代入分式方程即可求出a 的值.【详解】解：解方程2230x x +-=，得：x 1=1，x 2=﹣3，△x=﹣3是方程213x x a=+-的增根， △当x=1时，代入方程213x x a =+-，得：21131a=+-， 解得a=﹣1．故选：C ．【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．7．C【解析】【分析】△由题意可证四边形EBHD 是平行四边形，可得GH EG =，BG DG =，由三角形中位线定理可得EG DF ∥，12GE DF =，可得12GH DF =； △通过证明BDF BCD ，可得BD BF BC BD =，可证2BD BF BC =⋅； △由菱形的判定可证四边形EBHD 是菱形；△条件不足，无法证明．【详解】ED BC ∥，DH AB ∥，∴四边形EBHD 是平行四边形，GH EG ∴=，BG DG =，EF BE =，EG DF ∴∥，12GE DF =， 12GH DF ∴=，即:1:2GH FD =，故△正确； BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，ED BC ∥，EDB DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE DE EF ∴==，90BDF C ∴∠=︒=∠，BDF BCD ∴，BD BF BC BD∴=，即2BD BF BC =⋅，故△正确； BE DE =，∴平行四边形EBHD 是菱形，故△正确； 条件不足，无法证明29ADF ABC S S =△△，故△错误． 故选：C ．8．D【解析】 如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE△△FCG 得EF=FG ，BE△BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于点G ，取AB 的中点H ，连接FH ．△CD=2AD ，DF=FC ，△CF=CB ，△△CFB=△CBF ，△CD△AB ，△△CFB=△FBH ，△△CBF=△FBH，△△ABC=2△ABF．故△正确，△DE△CG，△△D=△FCG，△DF=FC，△DFE=△CFG，△△DFE△△FCG，△FE=FG，△BE△AD，△△AEB=90°，△AD△BC，△△AEB=△EBG=90°，△BF=EF=FG，故△正确，△S△DFE=S△CFG，△S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故△正确，△AH=HB，DF=CF，AB=CD，△CF=BH，△CF△BH，△四边形BCFH是平行四边形，△CF=BC，△四边形BCFH是菱形，△△BFC=△BFH，△FE=FB，FH△AD，BE△AD，△FH△BE，△△BFH=△EFH=△DEF，△△EFC=3△DEF，故△正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．A【解析】【详解】解：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：△四边形MBND是菱形，△MD=MB．△四边形ABCD是矩形，△△A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，△MD=MB=2a-b=53 b，△3553AM bMD b==.故选A．10．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC△BD，又由DH△AB，△DHO＝20°，可求得△OHB 的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得△ABD的度数，然后求得△ADC的度数．【详解】△四边形ABCD是菱形，△OB＝OD，AC△BD，△ADC＝△ABC，△DH△AB，△OH＝OB＝12BD，△△DHO＝20°，△△OHB＝90°﹣△DHO＝70°，△△ABD＝△OHB＝70°，△△ADC ＝△ABC ＝2△ABD ＝140°，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH 是等腰三角形是关键．11．13【解析】【分析】根据比例的性质求解即可．【详解】 解：由13a cb d ==，得3a b =，3c d =，1333a ca cb d ac ++==++， 故答案为13．【点睛】本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．12．1【解析】【分析】把1x =-代入方程20x mx +=，即可求出m 的值．【详解】20x mx +=的一个根是1-，∴把1x =-代入方程20x mx +=得：10m -=，1m ∴=．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解,了解方程解的含义是解题的关键.13．AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）【解析】【分析】根据矩形的判定即可得出答案．【详解】解：根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得△ABC=90°，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得AC=BD ，故答案为：AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握平行四边形和矩形的区别和联系是解决本题的关键． 14．1a ≥【解析】【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．【详解】解：△关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，当50a -=时，即5a =时，原方程为410x --=有实数根；当50a -≠时，即5a ≠时，则240b ac -≥，即2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得：1a ≥，综上，a 的取值范围是1a ≥，故答案为：1a ≥．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．15．24【解析】【分析】连接AC ，根据三角形中位线定理得到EH△AC ，EH=12AC ，得到△BEH△△BAC ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：连接AC，△E、H分别为边AB、BC的中点，△EH△AC，EH＝12AC，△△BEH△△BAC，△S△BEH＝14S△BAC＝18S矩形ABCD，同理可得，图中阴影部分的面积＝12×6×8＝24，故答案为：24．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．12，16，17【解析】【分析】先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．【详解】解：28120x x-+=()()260x x--=，解得12x=，26x=，若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是6，因为2不能构成三角形，此时周长是17，若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底可以是2或6，那么周长是12或16．故答案是：12，16，17．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．17．12【解析】【分析】先利用△BDC△△FGE 得到3.6BC =21.2，可计算出BC=6，然后在Rt△ABC 中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．【详解】解：如图，CD=3.6m ，△△BDC△△FGE ， △BC CD =EF GE， 即3.6BC =21.2， △BC=6，在Rt△ABC 中，△△A=30°，△AB=2BC=12，即树长AB 是12米．故答案为12．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．18 【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH 和MG 的长，再求出MH 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解:如图,作OK△BC ，垂足为点K ，△正方形边长为4，△OK=2，KC=2，△KC=CE ，△CH 是△OKE 的中位线 △112CH OK ==， 作GM△CD ，垂足为点M ，△G 点为EF 中点，△GM 是△FCE 的中位线， △112GM CE ==，()()1115412222MC FC CD DF ==+=⨯+=， △53122MH MC HC =-=-=，在Rt△MHG 中，GH ==【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．19．（1）13x =23x =（2）13x =-或23x =【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）22284x x x ++=+，262x x -=，2226323x x -+=+，2(3)11x -=，3x ∴-=13x ∴=23x =（2）()()23230x x x -+-=，(32)(3)0x x x ---=，(3)(3)0x x ---=，30x ∴--=或30x -=，13x ∴=-或23x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程是解题的关键． 20．证明见解析【解析】【分析】由四边形ABCD 为菱形，可得AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又因为CE=CF ，所以CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．可证△ADE△△ABF ，所以AE=AF ．【详解】证明：△四边形ABCD 为菱形，△AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又△CE=CF ，△CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．在△ADE 和△ABF 中AD AB D B DE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADE△△ABF （SAS ）．△AE=AF ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．21．（1）见解析；（2）152BC =【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质得出B ADE ∠=∠，可证明ABC ADE ； （2）由相似三角形的性质可得到答案．【详解】（1）AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，AF BC ∴⊥，AG DE ⊥，90AFB ∴∠=︒，90AGD ∠=︒，BAF DAG ∠=∠，B ADE ∴∠=∠，BAC DAE ∴∠=∠，ABC ADE ；（2）ABC ADE △△，AD DE AB BC∴=， 25AD AB =，3DE =， 235BC∴=， 152BC ∴=． 22．（1）两次下降的百分率为20％；（2）每件应降价3元【解析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据两次降价，从40降至25.6列方程求解即可； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解即可．【详解】（1）设两次下降的百分率为x ，由题意得：240(1)25.6x -=，解得：10.220x ==％，2 1.8x =（不符合题意，舍去），答：两次下降的百分率为20％；（2）设每件应降价y 元，由题意得：(4030)(488)504y y --+=，整理得：y 2－4y ＋3＝0，解得：11y =，23y =,因为要尽快减少库存，所以3y =，答：每件应降价3元．23．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得△ODE=△FCE ，根据线段中点的定义可得CE=DE ，然后利用“角边角”证明△ODE 和△FCE 全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC 是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：证明：（1）△CF△BD ，△△ODE=△FCE ，△E 是CD 中点，△CE=DE ，在△ODE 和△FCE 中，ODE FCE CE DEDEO CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ODE△△FCE （ASA ）；（2）△△ODE△△FCE ，△OD=FC ，△CF△BD ，△四边形ODFC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，OC=OD ，△四边形ODFC 是菱形．24．(1)答案见解析；(2)1.5米/秒【解析】(1) 利用影长为AD ，进而得出延长AC ，HG 得到O 点，进而求出答案；(2)首先设速度为x 米/秒，然后利用△COG 和△OAH 相似，△EOG 和△OMH 相似得出答案． 【详解】解： (1)如图(2)设速度为x 米/秒根据题意得CG//AH△△COG△△OAH △CG OG AH OH =即：OG63 OH105xx==又△CG//AH，△△EOG△△OMH△CG OG AH OH=即：2x3 2+2x5=△ 1.5x=答：小明沿AB方向匀速前进的速度为1.5米/秒．【点睛】本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，注意从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长是解题关键．25．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，根据对称性质可得A″B即为PA+PB的最小值，根据A″和B点坐标可得直线A″B的解析式，令y=0即可得P点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）△A′B2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B2=42+22=20，△A′B2=A′C′2+C′B2，△△A′BC′是直角三角形，△△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，△PA=PA″，△PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB的最小值，设A″B直线解析式为：y＝kx+b，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝97，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.26．（1）AO=5；（2）证明过程见解析；（3）【解析】【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，△M=△AFM=60°，再求出△MAC=90°，在Rt△ACM中tan△M=ACAM，求出AC；（3）求出△AEM△△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=△AFM的周长为【详解】解：（1）△四边形ABCD是菱形，△AC△BD，OB=OD=12BD，△BD=24，△OB=12，在Rt△OAB中，△AB=13，．（2）如图2，△四边形ABCD是菱形，△BD垂直平分AC，△FA=FC，△FAC=△FCA，由已知AF=AM，△MAF=60°，△△AFM为等边三角形，△△M=△AFM=60°，△点M，F，C三点在同一条直线上，△△FAC+△FCA=△AFM=60°，△△FAC=△FCA=30°，△△MAC=△MAF+△FAC=60°+30°=90°，在Rt△ACM中△tan△M=AC AM，△tan60°=AC AM，．（3）如图，连接EM ，△△ABE 是等边三角形， △AE=AB ，△EAB=60°，由（2）知△AFM 为等边三角形， △AM=AF ，△MAF=60°， △△EAM=△BAF ，在△AEM 和△ABF 中， AE ABEAM BAF AM AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEM△△ABF （SAS ）， △△AEM 的面积为40，△ABF 的高为AO △12BF•AO=40，BF=16， △FO=BF ﹣BO=16﹣12=4△△AFM 的周长为。
2023—2024学年九年级上学期11月期中数学试题+
2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（）2.用配方法解方程x2+6x+4=0时，原方程变形为（）A.(x+3)2=9B. (x+3)2=13C. (x+3)2=5D. (x+3)2=43.二次函数y=﹣x2的图象向右平移2个单位，向上平移5个单位，则平移后的二次函数解析式为（）A.y=﹣(x+2)2+5B.y=﹣(x+2)2﹣5C.y=﹣(x﹣2)2+5D.y=﹣(x﹣2)2﹣54.若关于x的一元二次方程k x2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k≥1且k≠0B.k≥﹣1C.k>﹣1D.k>﹣1且k≠05，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE 的长为（）A.5B.4C.3D.2第5题第7题第9题6.已知二次函数y=3(x﹣1)2+1的图象上有A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1 ＞y2＞y3B.y2＞y1＞y3C. y3＞y1＞y2D.y3＞y2＞y17，如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO.若OC：OB=3：5，则DE的长为（）A.3B. 4C. 6D. 88，某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）A.289(1﹣x) 2=256B.256(1﹣x) 2=289C.289(1﹣2x) 2=256D.256(1﹣2x) 2=2899.在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cmA.1B.7C.1或7D.3或410.已知抛物线y=ax2+b x+c（a<0），经过点（﹣3，0）（1，0）.判断下列结论：①a bc>0；②a﹣b+c<0；③若m是任意实数，则a m2+b≤a﹣bm；④方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根；⑤无论a、b、c取何值，抛物线定过（，0）其中正确结论的个数（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.抛物线y=(x﹣2)2﹣5的顶点坐标是_____12.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣=0两个根为x1、x2，则x1+x2=____13.已知m 是一元二次方程x2﹣x﹣2=0 的一个根，则2022+m2﹣m=_____14.如图，在平面直角坐标系中，若直线y=m x+n与抛物线y=ax2+b x+c交于A（﹣1，p）、B （2，q）则关于x的不等式m x+n<ax2+b x+c的解集是_____15.如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为_____16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α（0° <α<180°）得到△ABC'，BC交AB'于点F，连接BB'，则当△BB'F是等腰三角形时，旋转角α=_____第14题第15题第16题三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题7分，共21分。
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九年级数学第一学期期中试题
姓名：____________ 班级：__________ 学号：_______ 成绩：_________
一．填空题(每小题3分,共30分)
1、命题“若a>b ，则2
2b a >”的逆命题是_________________________________________；
2、方程x 2=3x 的根是___________________________；
3、菱形两条对角线长分别是4和6，则这个菱形的边长为______；
4、如图，□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 （只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）；
5 如图，在RtΔABC,∠ACB=900,∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将ΔACM 沿直线CM
折叠，点A 落在点D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A 等于 度；
(第4题) (第5题) (第6题)
6、如图所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m 2，求甬路的宽度. 若设甬路的宽度为x m ，则x 满足的方程为 .
7、关于x 的方程(a 2 －4)x 2+(a+2)x = 8, 当a_____时，是一元二次方程；当a_________时，是一元一次方程。
8、已知：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥
_______cm.
9、若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD
的形状， 并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小 内角的值等于 。
10、某种冰箱进价为x 元，按进价增加20％销售，后来因产品更新，又以售价的90％削降处理，现在每台冰箱还有 元利润。
二、选择题(每小题3分,共30分)
11、如图，由∠1=∠2，BC=DC ，AC=EC ，得△ABC ≌△EDC 的根据是（ ）
(A) SAS (B) ASA (C) AAS (D) SSS
12、方程2650x x +-=的左边配成完全平方后所得方程为（ ） （A ）14)3(2=+x （B ）14)3(2=-x （C ）2
1)6(2=+x （D ） 以上答案都不对
13、高4米的旗杆在水平地面上的影长5米,此时测得附近一个建筑物的影子长20米,则该建筑物的高是
( )
(A)16米 (B)20米 (C)24米 (D)30米
14、若四边形的对角线相等,那么顺次连结这个四边形各边中点所得的四边形必是( )
(A)梯形 (B)矩形 (C)菱形 (D)正方形
15、用长为100cm 的金属铁丝制成一个矩形框子，框子的面积不能为 （ ）
A ．325cm 2
B ．500cm 2
C ．625cm 2
D ．800cm 2
16、将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到平面图形是（ ）
（A ）矩形 （B ）三角形
（C ）梯形 （D ）菱形
17、一个矩形的两条对角线的交点到小边的距离比到大边的距离多2cm ，若这个矩形的周长是56cm ，则它的面积是（ ）
A 、48cm 2
B 、192cm 2
C 、196cm 2
D 、以上答案都不对
18、如图,从A 地沿北偏东30°方向走100m,到B 地再从B 地向西走200m 到C 地,这时小明
A B C D E F
B A
离A 地 ( ) A 、 150m B 、1003 m
C 、100m
D 、 503 m
19、到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的 （ ）
A.三条中线的交点 B 、三条角平分线的交点 C 、三条高线的交点 D 、三条边的垂直平分线的交点
20、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点.其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）.若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料 ( )
A 、15匹
B 、20匹
C 、30匹
D 、60匹
三、解答题(21题5分,22题～26题每小题7分,共40分)
21、如图，A 、B 是平面上的两个定点，在平面上找一点C ，使△ABC 构成等腰直角三角形，且C 为直角顶
点，请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点。
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(第20题)
22、如图，在ΔABC 中，AC=BC ，∠C=90º，AD 是ΔABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，
（1）已知CD=4cm ，求AC 的长；
（2）求证：AB=AC+CD 。
23、某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，
如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件。
现在要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种服装销售单价确
定多少为宜？这时应进多少服装？
24、有一面积为150m 2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m ），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m ，求鸡场的
D
B A C
图②
长与宽各为多少。
25、如图是某城市部分街道示意图，A 、D 、F 在一直线上，F 是CE 的中点，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站.甲乘1路车，路线是B →A →E →F ；乙乘2路车，路线是B →D →C →F.假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F 站？请说明理由。
F
E
D C
B A
26、图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
(1)单位正三角形的高=_______；面积=_________；
(2)图①中的□ABCD 含有______个单位正三角形；□ABCD 的面积是__________；
(3)求出图①中线段AC 的长(可作辅助线)；
(4)求出图②中四边形EFGH 的面积。