江西省赣州市九年级上数学期中考试卷含答案
2023_2024学年江西省赣州市章贡区九年级上册期中数学模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年江西省赣州市章贡区九年级上册期中数学模拟测试卷说明：1.本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟。
2请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。
一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）1.用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（）2680x x -+=A. B. C. D.()2628x +=()2628x -=()231x +=()231x -=2.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有深远影响.下列图形“杨辉三角”，“赵爽弦图”，“中国七巧板”，“刘微割圆术”中，是中心对称图形的是（）AB C D3.若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）1x =20x x m ++=A.0， B.0，0C.，D.2，22-2-2-4.在正方形网格中有，绕O 点按逆时针旋转90°后的图案应该是（）ABC △ABC △A B C D5.如图，是的内接三角形，且AB 是的直径，点P 为上的动点，且ABC △O O O ，的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是（）60BPC ∠=︒OA.6B.12C. D.6+6.二次函数（a ，b ，c 为常数，且）中的x 与y 的部分对应值如下表：2y ax bx c =++0a ≠x 1-013y1-353下列结论：①；②当时，y 的值随x 值的增大而减小；③3是方程0ac <1x >的一个根；④当时，.其中正确结论()210ax b x c +-+=13x -<<()210ax b x c +-+>的个数是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）7.关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是______.240x x k -+=8.抛物线与x 轴只有一个公共点，则c 的值为______.22y x x c =++9.如图，在中，弦AB ，CD 相交于点P .若，，则的度数是O 48A ∠=︒80APD ∠=︒B ∠______.10.已知m 、n 是一元二次方程的两个根，则的值为______.2250x x +-=22m mn m ++11.如图，平面直角坐标系中有两个二次函数的图象，其顶点P ，Q 皆在x 轴上，且有一水平线与两图象相交于A 、B 、C 、D 四点，各点位置如图所示，若，10AB =，，则PQ 的长度为______.5BC =6CD =12.已知抛物线，M 是抛物线上一动点，以点M 为圆心，1个单位长度为半20.25y x x =--径作.当与x 轴相切时，点M 的坐标为______.M M 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（本题满分6分，每小题3分）（1）解方程：220x x -=（2）如图，在中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，，，垂O OD AB ⊥OE AC ⊥足分别为D ，E .求证：四边形ADOE 为正方形，14.如图，和都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线.ABC △ECD △（1）可以看作是由△______绕着点______，逆时针旋转______°得到；BCE △（2）试证明这两个三角形全等.15.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置O 竖直安装一根顶部A 带有喷水头的水管，如图，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m ，那么水管OA 的高度应为多少？16.如图，点A ，B 在上，点O 是的圆心，请你仅用无刻度的直尺，在图1和图2中O O 分别画出以点B 为顶点，与互余的圆周角（保留作图痕迹）A ∠图1图2（1）图1中，点C在上；（2）图2中，点C在内.OO17.随着我国经济的强劲复苏，外出旅游的人越来越多.某景区游容人数逐月增加、2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.已知关于x的一元二次方程.()222130x m x m m---+=（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根：（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值.1x2x122152x xx x+=-19.如图1，已知是的内接三角形，AB为直径，，D为上一点.ABC△O38A∠=︒ AB图1图2（1）当点D为的中点时，连接DB，DC，求和的大小；AB ABC∠ABD∠（2）如图2，过点D作的切线，与AB的延长线交于点P，且，连接ODP ACDC ，OC ，求的大小.OCD ∠20.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.21:F y x bx c =++()3,0A -()1,0B图1图2图3（1）求抛物线的表达式；1F （2）如图2，抛物线与抛物线关于原点O 成中心对称，请直接写出抛物线的表达式2F 1F 2F 为______；（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移m 个单位，得到抛物线，当抛物线经过点2F 3F 3F A 时，求m 的值.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.为加强劳动教育，落实五育并举.某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本21000m y （单位：元）与其种植面积x （单位：）的函数关系如图所示，其中；2/m 2m 200700x ≤≤乙种蔬菜的种植成本为50元.2/m（1）当______时，元；x =2m 35y =2/m （2）设2023年甲乙两种蔬菜种植总成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预21000m计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a 为何值时，2025年的种植总成本为28920元？%a 22.如图1，已知AB 是的直径，且，BM 切于点B ，点P 是上的一个O 20AB =O O 动点（不经过A ，B 两点），连接PA ，过点O 作交BM 于点Q ，过点P 作OQ AP 于点C ，交QO 的延长线于点E ，连接AE ，PQ .PE AB ⊥图1（备用图）（1）求证：；PEBM （2）试判断PQ 与的位置关系，并给予证明；O （3）随着点P 的移动，四边形PAEO 能否为菱形，若能，请说明点E 与的位置关系，O 并求出PE 的长；若不能，请说明理由.六、解答题（本大题共12分）23.已知二次函数()2:230L y mx mx m =+-≠（1）以下有关二次函数L 的性质结论序号正确的有______.（填序号）①二次函数的开口向上；②二次函数的对称轴是直线；1x =-③二次函数的图象经过定点和；()0,3-()2,3--④函数值y 随着x 的增大而减小.（2）若二次函数的图象关于点中心对称得到二次函数G 的图2:23L y mx mx =+-(),0m 象，则称这两个二次函数关于点成对称抛物线.(),0m①求抛物线G 的表达式（用含m 的式子表示）：②若抛物线G 的顶点纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系式H ，求出这个函数关系式；若二次函数L 与函数H 的图象有交点，请结合图象求出m 的取值范围.九年级数学试题答案一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）1.D2.B3.C4.A5.C6.B6.［解析］把，，分别代入，得解得()1,1--()0,3()1,52y ax bx c =++1,3,5,a b c c a b c -+=-=++=⎧⎪⎨⎪⎩1,3,3.a b c ⎧=-==⎪⎨⎪⎩∴，其图象的对称轴为直线.233y x x =-++()31.521x =-=⨯-由，可知①正确.1330ac =-⨯=-<抛物线的开口向下，当时，y 的值随x 的增大而减小，故②错误.233y x x =-++ 1.5x >由表可知在抛物线上，则.()3,32y ax bx c =++933a b c ++=当时，，3x =()21933330ax b x c a b c +-+=+-+=-=所以3是方程的一个根，故③正确.()210ax b x c +-+=不等式可变形为，即.从表格中给出的数据可以()210ax b x c +-+>2ax bx c x ++>y x >看出，当或3时，；由图象知，当时，，故④正确.故选B.1x =-y x =13x -<<y x >二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）7.8.19.32°10.011.84k ≤12.或或()2,1-()21---()21-+-三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解：……………………1分()20x x -=或……………………2分0x =20x -=∴，……………………3分10x =22x =（2）证明：∵，，AB AC ⊥OD AB ⊥OE AC ⊥∴，，90DAE ODA OEA ∠=∠=∠=︒12AD AB =12AE AC =∴四边形ADOE 为矩形……………………4分∵AB AC =∴……………………5分AD AE=∴四边形ADOE 为正方形……………………6分14.解：（1）ACD ，C ，60.…………………………3分（2）证明：∵和都是等边三角形ABC △ECD △∴，，AC BC =CD CE =60ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠即ACD BCE ∠=∠∴……………………6分DAC EBC≌△△15.解：抛物线的解析式为……………………1分()213y a x =-+把代入，得：()3,0……………………2分()23130a -+=解得：……………………3分34a =-∴抛物线的解析式为……………………4分()23134y x =--+当时，……………………5分0x =94y =答：水管的设计高度应为米.……………………6分9416.解:图1图2如图1，为所求.……3分如图2，为所求DBC ∠FBE ∠.……6分17.解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，根据题意，得：……1分()21.612.5x +=……2分解得：，（不合题意，舍去）10.25x =2 2.25x =-……3分答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.……4分（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a 万人，根据题意，得：，()2.12510 2.510.25a +≤+解得：，0.1a ≤……5分答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.……6分四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.（1）证明：∵()()22222143168141(0m m m m m m ∆=----+=-+=⎡⎣-⎤⎦≥）∴无论m 为何值，方程总有实数根.……3分（2）利用根与系数的关系可得：，……5分1221x x m +=-2123x x m m=-+∵()21212211212122212252x x x x x x x x x x x x x x +-+=+=-∴……6分()()2222123532m m m m m---+=--+解得：，……8分11m =225m =19.解：（1）如图1，连接OD ，∵AB 是的直径，O ∴.90ACB ∠=︒∵，38BAC ∠=︒∴.9052ABC BAC ∠=︒-∠=︒∵D 为的中点， AB ∴.AD AD =∴.1180902AOD BOD ∠=∠=⨯︒=︒∴.…………………………4分1452ABD AOD ∠=∠=︒图1（2）如图2，连接OD ，∵，，OA OC =OC OD =∴，.38OAC OCA ∠=∠=︒OCD ODC ∠=∠设.OCD ODC x ∠=∠=︒∴.()38ACD OCA OCD x ∠=∠+∠=+︒∵DP 为的切线，O ∴.OD DP ⊥∴.()9090CDP ODC x ∠=︒-∠=-︒∵，DP AC ∴.CDP ACD ∠=∠即，9038x x -=+解得.26x =∴.…………………………8分26OCD ∠=︒图220.解：（1）将点和点代入，得：()3,0A -()1,0B 2y x bx c =++，93010b c b c -+=++=⎧⎨⎩解得：，23b c ==-⎧⎨⎩∴；…………………………3分223y x x =+-（2）或；……………………5分223y x x =-++()214y x =--+略解：∵，()222314y x x x =+-=+-.抛物线的顶点，()1,4--顶点关于原点的对称点为，()1,4--()1,4.抛物线的解析式为，2F ()214y x =-+∴；223y x x =-++（3）依题意，有抛物线的解析式为，3F 223y x x m =-+++因抛物线经过点，3F ()3,0A -∴9630m --++=∴…………………………8分12m =21.解：（1）500；…………………………2分略解：当时，设甲种蔬菜种植成本y （单位；元）与其种植面积x （单位：200600x ≤≤2/m ）的函数关系式为，2m y kx b =+把，代入得：，()200,20()600,402002060040k b k b +=+=⎧⎨⎩解得，12010k b ⎧==⎪⎨⎪⎩∴，11020y x =+当时，，600700x <≤40y =∴当时，，解得.35y =1351020x =+500x =（2）当时，，20600x ≤≤()()21110501000400420002020W x x x x =++-=-⎪+⎛⎫⎝⎭∵，1020>∴抛物线开口向上，∴当时，W 有最小值，最小值为42000，400x =此时，；……………………4分10001000400600x -=-=当时，，600700x ≤≤()405010001050000W x x x =+-=-+∵，100-<∴当时，W 有最小值为：，700x =107005000043000-⨯+=∵，4200043000≤∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种为时，W 最小；……………6分2400m 2600m （3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为（元），则甲种蔬菜的种植成本为5060030000⨯=（元），420003000012000-=由题意得：，()()2212000110%300001%28920a -+-=整理得：，()21%0.64a -=∴，（不符合题意，舍去），%0.220%a ==% 1.8a =∴，20a =答：当a 为20时，2025年的总种植成本为28920元.……………………9分22.解：（1）证明：∵BM 切于点B ，AB 是的直径，O O ∴，BM AB ⊥∵，PE AB ⊥∴；……………………2分PE BM （2）PQ 是的切线.……………………3分O 证明：∵，OQ AP ∴，.EOA OAP ∠=∠POQ APO ∠=∠∵，OA OP =∴.OAP APO ∠=∠∴.EOA POQ ∠=∠∵，EOA BOQ ∠=∠∴.POQ BOQ ∠=∠∵，，OP OB =OQ OQ =∴.……………………4分POQ BOQ ≌△△∴.90OPQ OBQ ∠=∠=︒∴PQ 是的切线.……………………5分O（3）能，点E 在上，如图3.……………………6分O 当点E 在上时，即PE 是的弦，O O ∵，PE AB ⊥∴.EC CP =∴.AE AP =∴.AOE AOP ∠=∠∵，∴.OE AP AOE OAP ∠=∠∴.AOP OAP ∠=∠∴.AP OP =∴.AE AP OP OE ===∴四边形PAEO 为菱形.……………………8分∴为等边三角形.POA △∵，PE AB ⊥∴.152OC OA ==在中，，Rt POC △PC ==∴……………………9分PE =图323.解：（1）②③；…………………………………………2分配方得：，顶点；()()213y m x m =+-+()1,3m ---①m 不确定，所以开口方向不确定；②对称轴；1x =-③根据对称性知抛物线经过定点与；④抛物线并非单调递增或递减.()0,3-()2,3--（2）①抛物线L 的顶点，对称中心，()1,3m ---(),0m∴二次函数G 的顶点为，开口方向相反，故；()21,3m m ++a m =-∴二次函数G 的解析式为.……………………4分()2213y m x m m =---++②∵二次函数G 的顶点坐标为，()21,3m m ++∴设，可得，21x m =+12x m -=∴函数H 的解析式为.……………………7分11533222x y m x -=+=+=+讨论若二次函数L 与函数H 有交点：ⅰ）当时，根据二次函数L 图象的性质，则一定有交点；0m >……………………9分ⅱ）当时，联立得0m <()25,222 3.0x y y mx mx m ⎧=+⎪⎨⎪=+-<⎩∴，则x 有解：()2241110mx m x +--=，即；()241880m m ∆=-+≥2168010m m ++≥由2680101m m ++=解得，1m=2m =∵，且，得：2168010m m ++≥0m <；……………………11分m ≤0m ≤<综上所述，m 的取值范围是：或……………………12分0m >m ≤0m ≤<。
2021-2022学年-有答案-江西省赣州市某校初三(上)期中考试数学试卷-(1)
2021-2022学年江西省赣州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 下面图形中，是中心对称图形的是( )A. B.C. D.2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A.ax2+bx+c=0B.1x2+1x−2=0C.3x2+2x=x2+1D.3x2+2y+1=03. 二次函数y=3(x+2)2+4的顶点是( )A.(2,4)B.(−2,4)C.(2,−4)D.(−2,−4)4. 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≅△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H 点的坐标是( )A.(1,−1)B.(2,−1)C.(2,−2)D.(1,−2)5. 如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD=8cm，EM=8cm，则⊙O的半径为( )D.4A.5B.3C.1036. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax−b和二次函数y=ax2−b的图象大致为( )A. B.C. D.二、填空题̂的中点，CE⊥AB于点E，如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，交于下列结论：①∠BAD=∠ABC，②GP=GD，③点P是△ACQ的外心，④BC//GD.其中正确结论是________（只需填写序号）．三、解答题解方程(1)x2−2x−1=0；(2)已知点P(a−2,−1)与点Q(−3,1−b)关于原点对称，求a，b的值．已知关于x的一元二次方程x2−6x+(4m+1)=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2−x1x2=3，求m的值．已知一个二次函数图象的顶点是(2,−4)，且过(0,4) .(1)求这个二次函数的表达式；(2)当y的值随x值的增大而增大时，求x的取值范围？如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺(只能画线)按要求画图．(1)在图1中，画出△ABC的三条高的交点P；(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高CD．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90∘，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE= CF．(1)求证：Rt△ABE≅Rt△CBF；(2)若∠CAE=30∘，求∠ACF的度数.如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB=∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E.(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；(2)若CB=4，CD=8，①求圆的半径②求ED的长.某商品的每件利润为10元时，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)当每件商品的售价涨多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？已知一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，求此时m的值．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD−DC−CB，使C、D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？在Rt△ABC中∠ACB=90∘，∠A=30∘，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．(1)如图1，DE与BC的数量关系是________；(2)如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60∘，得到线段DF，连接BF，请猜想DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若点P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE，BF，BP三者之间的数量关系．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图(1)，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；(3)如图(2)，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年江西省赣州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称图形的定义来解答即可，即在平面内，把一个图形绕某个点旋转180∘，如果能与原来的图形重合，则这个图形叫中心对称图形.【解答】解：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.A，不是中心对称图形，故A错误；B，是中心对称图形，故B正确；C，不是中心对称图形，故C错误；D，不是中心对称图形，故D错误.故选B．2.【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】根据一元二次方程的定义分析即可解答.【解答】解：A，因为当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故A错误；B，因为1x2+1x−2=0不是整式方程，所以不是一元二次方程，故B错误；C，因为3x2+2x=x2+1符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故C正确；D，因为3x2+2y+1=0含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故D错误.故选C.3.【答案】B【考点】二次函数的三种形式【解析】根据二次函数的解析式来解答即可.【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3(x+2)2+4，由顶点式的意义得，它的的顶点是：(−2,4).故选B.4.【答案】B【考点】中心对称中的坐标变化【解析】根据中心对称的性质，连结两组对应点，它们的交点即为H点，然后写出H点坐标即可．【解答】解：∵△ABC≅△DEF关于点H成中心对称，∴点H在线段AD和CF上，连接AD和CF，它们相交于点H，则H点坐标为(2,−1).故选B．5.【答案】A【考点】勾股定理垂径定理【解析】根据垂径定理和勾股定理来解答即可.【解答】解：如图，连接OC，由题意可知，O在EM上，EM⊥CD，∴CM=MD，∵CD=8cm，EM=8cm，CD=4cm，∴OM=EM−OE=8−OE，CM=12∴在Rt△OCM中，OC2=CM2+OM2,∵OM=8−OE，OC=OE，∴OC2=42+(8−OC)2,解得OC=5.故选A.6.【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系一次函数图象与系数的关系【解析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,−b)∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一，三象限，故C选项错误；当a<0时，二次函数开口向下，一次函数经过二，四象限，故A选项错误.故选D．二、填空题【答案】②③【考点】三角形的外接圆与外心圆心角、弧、弦的关系平行线的判定【解析】利用圆心角、弧、弦的关系来判断①；连接BD，利用切线性质来求得三角形相似，根据三角形相似的性质来判断②；延长CE与⊙O交于点F，利用垂径定理，三角形外接圆的外心来判断③；根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定来求解④.【解答】解：如图，̂的中点，∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD̂=CD̂≠BD̂，∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；∴AC连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90∘，∠EPA+∠EAP=∠EAP+∠GPD=90∘，∴∠GPD=∠GDP，故②正确；̂中点，即AF̂=AĈ，∵弦CF⊥AB于点E，∴A为CF̂中点，又∵C为AD̂=CD̂，∴AF̂=CD̂，∴AC∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACQ=90∘，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；̂≠BD̂，∠ADG=∠ABD，∵AĈ≠BĈ，∴AD∴∠ABD≠∠BAC，∴∠ADG≠∠BAC，又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，∴∠ADG≠∠PQC，∴CB与GD不平行，故④错误.故答案为：②③.三、解答题【答案】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，(x−1)2=2，x−1=±√2，x1=1+√2，x2=1−√2.(2)∵ 点P(a−2，−1)与点Q(−3，1−b)关于原点对称，∴ a−2=3，1−b=1．解得a=5，b=0.【考点】解一元二次方程-配方法关于原点对称的点的坐标【解析】运用配方法解答，先把常数项移到右边，然后两边同时加上1，左边配成完全平方形式，然后用直接开平方法解答即可.根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，(x−1)2=2，x−1=±√2，x1=1+√2，x2=1−√2.(2)∵ 点P(a−2，−1)与点Q(−3，1−b)关于原点对称，∴ a−2=3，1−b=1．解得a=5，b=0.【答案】解：(1)由题意：Δ=b2−4ac≥0，62−4(4m+1)≥0，解得：m≤2.=6，(2)由x1+x2=−ba=4m+1，x1x2=cax1+x2−x1x2=6−(4m+1)=3，解得m=1．2【考点】根的判别式根与系数的关系【解析】【解答】解：(1)由题意：Δ=b2−4ac≥0，62−4(4m+1)≥0，解得：m≤2.=6，(2)由x1+x2=−bax1x2=c=4m+1，ax1+x2−x1x2=6−(4m+1)=3，．解得m=12【答案】解：(1)因为顶点为(2,−4)，所以设二次函数解析式为y=a(x−2)2−4，把点(0,4)代入解得a=2，所以二次函数解析式为y=2(x−2)2−4．(2)因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，所以当x>2时，y的值随x值的增大而增大．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质【解析】无无【解答】解：(1)因为顶点为(2,−4)，所以设二次函数解析式为y=a(x−2)2−4，把点(0,4)代入解得a=2，所以二次函数解析式为y=2(x−2)2−4．(2)因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，所以当x>2时，y的值随x值的增大而增大．【答案】解：(1)如图所示：点P就是三条高的交点；(2)如图所示：CD就是AB上的高．【考点】作图—复杂作图圆周角定理【解析】（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90∘画图即可；（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．【解答】解：(1)如图所示：点P就是三条高的交点；(2)如图所示：CD就是AB上的高．【答案】(1)证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵{AE=CFAB=CB，∴Rt△ABE≅Rt△CBF(HL)．(2)解：∵AB=CB，∠ABC=90∘，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠ACB=45∘，又∵∠CAE=30∘，∴∠EAB=∠CAB−∠CAE=45∘−30∘=15∘，且由(1)得，Rt△ABE≅Rt△CBF,∴∠BCF=∠EAB=15∘，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45∘+15∘=60∘.【考点】等腰三角形的性质与判定直角三角形全等的判定全等三角形的性质【解析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≅Rt△CBF．【解答】(1)证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵{AE=CFAB=CB，∴Rt△ABE≅Rt△CBF(HL)．(2)解：∵AB=CB，∠ABC=90∘，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠ACB=45∘，又∵∠CAE=30∘，∴∠EAB=∠CAB−∠CAE=45∘−30∘=15∘，且由(1)得，Rt△ABE≅Rt△CBF,∴∠BCF=∠EAB=15∘，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45∘+15∘=60∘.【答案】解：(1)直线CD与圆相切，连接OD,∵ OA=OD=OB,∴ ∠DBA=∠BDO,∠CAD=∠ADO，∵ AB是圆的直径，∴ ∠ADB=90∘，∴ ∠DAB+∠DBA=90∘，∵ ∠CDB=∠CAD，∴ ∠CDB+∠BDO=90∘，∴ OD⊥CE，∵OD为⊙O半径，∴ CD与⊙O相切.(2)设半径为r，在Rt△COD中，r2+82=(r+4)2，解得r=6，∵AE与⊙O相切，∴∠CAE=90∘，AE=DE，由勾股定理AE2+AC2=CE2，代入数据解得AE=12，即ED=12.【考点】切线的判定切线的性质勾股定理【解析】(1)直线CD与圆相切，连接OD,求得∠DAB+∠DBA=90∘，∠CDB+∠BDO=90∘，即可求得结论；【解答】解：(1)直线CD与圆相切，连接OD,∵ OA=OD=OB,∴ ∠DBA=∠BDO,∠CAD=∠ADO，∵ AB是圆的直径，∴ ∠ADB=90∘，∴ ∠DAB+∠DBA=90∘，∵ ∠CDB=∠CAD，∴ ∠CDB+∠BDO=90∘，∴ OD⊥CE，∵OD为⊙O半径，∴ CD与⊙O相切.(2)设半径为r，在Rt△COD中，r2+82=(r+4)2，解得r=6，∵AE与⊙O相切，∴∠CAE=90∘，AE=DE，由勾股定理AE2+AC2=CE2，代入数据解得AE=12，即ED=12.【答案】解：(1)由题意得：y=(10+x)(180−10x)=−10x2+80x+1800.(2)y=−10(x−4)2+1960，所以当x=4时，y有最大值1960，答：当涨4元时，月利润最大为1960．【考点】二次函数的应用【解析】【解答】解：(1)由题意得：y=(10+x)(180−10x)=−10x2+80x+1800.(2)y=−10(x−4)2+1960，所以当x=4时，y有最大值1960，答：当涨4元时，月利润最大为1960．【答案】解：(1)由一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，得Δ=b2−4ac=(−4)2−4k>0，解得k<4，所以k的取值范围是k<4.(2)由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0，得x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3，一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，当x=1时，把x=1代入x2+mx−1=0，得1+m−1=0，解得m=0，，当x=3时，把x=3代入x2+mx−1=0，得9+3m−1=0，解得m=−83综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，m=0或−83．【考点】根的判别式一元二次方程的解【解析】(1)根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；(2)根据解方程，可得x2−4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．【解答】解：(1)由一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，得Δ=b2−4ac=(−4)2−4k>0，解得k<4，所以k的取值范围是k<4.(2)由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0，得x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3，一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，当x=1时，把x=1代入x2+mx−1=0，得1+m−1=0，解得m=0，当x=3时，把x=3代入x2+mx−1=0，得9+3m−1=0，解得m=−83，综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，m=0或−83．【答案】解：(1)由图象和题意可得：M(12, 0)，P(6, 6)．(2)设抛物线解析式为：y=a(x−6)2+6∵抛物线y=a(x−6)2+6经过点(0, 0)，∴0=a(0−6)2+6，即a=−16.∴抛物线解析式为：y=−16(x−6)2+6，即y=−16x2+2x．(3)设A(m, 0)，则B(12−m, 0)，C(12−m, −16m2+2m)D(m, −16m2+2m)．∴ “支撑架”总长AD+DC+CB=(−16m2+2m)+(12−2m)+(−16m2+2m)=−13m2+2m+12=−13(m−3)2+15．∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．【考点】二次函数的应用待定系数法求二次函数解析式二次函数的最值【解析】（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为(m, 0)，用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．【解答】解：(1)由图象和题意可得：M(12, 0)，P(6, 6)．(2)设抛物线解析式为：y=a(x−6)2+6∵抛物线y=a(x−6)2+6经过点(0, 0)，∴0=a(0−6)2+6，即a=−16.∴抛物线解析式为：y=−16(x−6)2+6，即y=−16x2+2x．(3)设A(m, 0)，则B(12−m, 0)，C(12−m, −16m2+2m)D(m, −16m2+2m)．∴ “支撑架”总长AD+DC+CB=(−16m2+2m)+(12−2m)+(−16m2+2m)=−13m2+2m+12=−13(m−3)2+15．∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．【答案】DE=√32BC(2)DE=√32(BP+BF).在Rt△ABC中∵∠A=30∘，D为AB中点，∴CD=CB=DB，即∠CDB=60∘，又∵∠PCF=60∘，∴∠CDP=∠DPF，在△CDP与△BDF中{CD=BD，∠CDP=∠BDF，DP=DF，∴△CDP≅△BDF，∴CP=BF，BP+BF=CP+PB=CB，由(1)得DE=√32BC，即DE=√32(BP+BF).(3)补全图象如图所示，DE=√32(BF−BP)，同理可证△CDP≅△BDF，∴CP=BF，BF−BP=CP−PB=CB，∴DE=√32(BF−BP).【考点】直角三角形斜边上的中线勾股定理旋转的性质全等三角形的判定全等三角形的性质与判定作图—基本作图【解析】(1)因为D是1B的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=BD，因为∠A=30∘，故∠B=60∘，故△BCD是等边三角形，故BC=BD；因为DE⊥BC，故在Rt△BDE中，D E=BDsin60∘=BD×√32=√32BD=32BC.(2)根据旋转角等于60∘，可得∠CDP=∠BDF，根据已知条件，可证△CDP≅△BDF(SAS)，根据全等三角形的性质，可得CP=BF，根据CP+BP=BC和（1）中结论，可得三者关系．(3)与(2)思路一样，可得结果.【解答】解：(1)∵因为D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=BD，∵∠A=30∘，故∠B=60∘，∴△BCD是等边三角形，∴BC=BD，∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠A=30∘，∴在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE=√3BE，∴DE=√32BC.故答案为：DE=√32BC.(2)DE=√32(BP+BF).在Rt△ABC中∵∠A=30∘，D为AB中点，∴CD=CB=DB，即∠CDB=60∘，又∵∠PCF=60∘，∴∠CDP=∠DPF，在△CDP与△BDF中{CD=BD，∠CDP=∠BDF，DP=DF，∴△CDP≅△BDF，∴CP=BF，BP+BF=CP+PB=CB，由(1)得DE=√32BC，即DE=√32(BP+BF).(3)补全图象如图所示，DE=√32(BF−BP)，同理可证△CDP≅△BDF，∴CP=BF，BF−BP=CP−PB=CB，∴DE=√32(BF−BP).【答案】解：(1)当y=−x2−2x+3中y=0时，有−x2−2x+3=0，解得：x1=−3，x2=1，∵A在B的左侧，∴ A(−3, 0)，B(1, 0)．当y =−x 2−2x +3中x =0时，则y =3，∴ C(0, 3)．∵ y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴ 顶点D(−1, 4)．(2)作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．∵ C(0, 3)，∴ C′(0, −3)．设直线C′D 的解析式为y =kx +b ，则有{b =−3，−k +b =4，解得：{k =−7，b =−3，∴ 直线C′D 的解析式为y =−7x −3，当y =−7x −3中y =0时，x =−37，∴ 当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为(−37, 0)． (3)设直线AC 的解析式为y =ax +c ，则有{c =3，−3a +c =0，解得：{a =1，c =3，∴ 直线AC 的解析式为y =x +3．假设存在，设点F(m, m +3)，△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90∘时，P(m, −m−3)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴−m−3=−m2−2m+3，解得：m1=−3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为(2, −5)；②当∠AFP=90∘时，P(2m+3, 0)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴0=−(2m+3)2−2×(2m+3)+3，解得：m3=−3（舍去），m4=−1，此时点P的坐标为(1, 0)；③当∠APF=90∘时，P(m, 0)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴0=−m2−2m+3，解得：m5=−3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为(1, 0)．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2, −5)或(1, 0)．【考点】待定系数法求一次函数解析式二次函数综合题二次函数图象上点的坐标特征【解析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F(m, m+3)，分∠PAF=90∘、∠AFP=90∘和∠APF=90∘三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．【解答】解：(1)当y =−x 2−2x +3中y =0时，有−x 2−2x +3=0，解得：x 1=−3，x 2=1，∵ A 在B 的左侧，∴ A(−3, 0)，B(1, 0)．当y =−x 2−2x +3中x =0时，则y =3，∴ C(0, 3)．∵ y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴ 顶点D(−1, 4)．(2)作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．∵ C(0, 3)，∴ C′(0, −3)．设直线C′D 的解析式为y =kx +b ，则有{b =−3，−k +b =4，解得：{k =−7，b =−3，∴ 直线C′D 的解析式为y =−7x −3，当y =−7x −3中y =0时，x =−37， ∴ 当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为(−37, 0)．(3)设直线AC 的解析式为y =ax +c ，则有{c =3，−3a +c =0，解得：{a =1，c =3，∴ 直线AC 的解析式为y =x +3．假设存在，设点F(m, m +3)，△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90∘时，P(m, −m−3)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴−m−3=−m2−2m+3，解得：m1=−3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为(2, −5)；②当∠AFP=90∘时，P(2m+3, 0)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴0=−(2m+3)2−2×(2m+3)+3，解得：m3=−3（舍去），m4=−1，此时点P的坐标为(1, 0)；③当∠APF=90∘时，P(m, 0)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴0=−m2−2m+3，解得：m5=−3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为(1, 0)．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2, −5)或(1, 0)．。
江西省赣州市蓉江新区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
江西省赣州市蓉江新区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.方程2x2−6x−9=0的一次项系数为()A. 2B. 6C. 9D. −63.抛物线y=(x+1)2的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2+bx+c，则b、c的值为()A. b=6，c=7B. b=−6，c=−11C. b=6，c=11D. b=−6，c=114.已知x=0是一元二次方程(m−2)x2+m2=4的根，则m的值为()A. 2B. −2C. ±2D. ±45.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，连接AA1，若∠AA1B1=15°，则∠B的度数是()A. 75°B. 60°C. 50°D.45°6.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B，与y轴的正半轴交于点C.下列结论：①abc>0，②4a−2b+c>0，③2a−b>0，④3a+c>0，其中正确结论的个数为()A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.若y=(n2+n)x n2−n是二次函数，则n=______ ．8.如果α、β是一元二次方程x2+3x−1=0的两个根，那么α2+2α−β的值是_____．9.如图，把Rt△AOB绕点O逆时针旋转到△COD的位置，若旋转角是42°，则∠BOC的度数为____________．10.已知二次函数y=−12x2−7x+152，若自变量x分别取x1、x2，x3，且0<x1<x2<x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系是．11.点P是抛物线y=−x2−2x−5上一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM+PN的最小值是___．12.已知：如图，AB，CD为直线，DF交AB于E，EG交CD于O.若∠BEF=124°，∠D=56°，∠DEO=60°，则∠COE的度数为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）13.解方程：(1)x2+4x+2=0(2)x(x−3)=−x+3．14.关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2=0的两个实数根是x1和x2(1)求m的取值范围；(2)若|x1+x2|=x1x2−1，求m的值．15.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)若P为x轴上方抛物线上一点，且三角形PAB面积为20，求P点坐标．16.已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．(1)如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．17.已知函数图象如图所示，抛物线与x轴交于点(−5,0)，(−1,0)。
江西省赣州市赣县届九级上期中数学试卷含答案解析
2016-2017学年江西省赣州市赣县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0中c＜0，该方程的根的情况是（）A．方程没有实数根 B．总有两个不相等的实数根C．有两相等实数根 D．方程的根的情况与c有关4．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A．45°B．60°C．65°D．70°5．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆，△ABC的最小覆盖圆是其外接圆，那么长为8cm、宽为6cm的矩形的最小覆盖圆半径是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．一元二次方程4（x﹣1）2﹣9=0的解是．8．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于度．9．如图，⊙O的直径CD⊥弦EF，垂足为点G，∠EOD=58°，则∠DCF=．10．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，已知直径AD=6，∠ABC=∠DAC，则AC的长为．12．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．按要求做题：（1）解方程：3x2+x=3x+1（2）计算：﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）14．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．15．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？16．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，求图中阴影部分面积．17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．19．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？20．如图△ABC是⊙O内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C与A、B不重合）设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．21．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解．（1）求M点的坐标．（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．五、（本题10分）22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．①线段DE与AC的位置关系是．（不需证明）②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．六、（本题12分）23．如图，点A、点E的坐标分别为（0，3）与（1，2），以点A为顶点的抛物线记为C1：y1=﹣x2+n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2=ax2+bx+c，且抛物线C2与y轴交于点P（0，）．（1）分别求出抛物线C1和C2的解析式，并判断抛物线C1会经过点E吗？（2）若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；（3）在（2）的x的取值范围内，设新的函数y3=y1﹣y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值，求出这个最大值．2016-2017学年江西省赣州市赣县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】利用轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可．【解答】解：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是，故选B2．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0中c＜0，该方程的根的情况是（）A．方程没有实数根 B．总有两个不相等的实数根C．有两相等实数根 D．方程的根的情况与c有关【考点】根的判别式．【分析】先求出△，判断△的正负，即可得出选项．【解答】解：x2﹣3x+c=0，△=（﹣3）2﹣4×1×c=9﹣4c，∵c＜0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选B．4．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A．45°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理求出∠DOB，根据等腰三角形性质求出∠OCD=∠ODC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：连接OD，∵∠DAB=20°，∴∠BOD=2∠DAB=40°，∴∠COD=90°﹣40°=50°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC==65°，故选C．5．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆，△ABC的最小覆盖圆是其外接圆，那么长为8cm、宽为6cm的矩形的最小覆盖圆半径是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm【考点】三角形的外接圆与外心；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质和圆周角定理得到BD是矩形的最小覆盖圆的直径，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴BD是矩形的最小覆盖圆的直径，∵AB=6，AD=8，∴BD==10，∴矩形的最小覆盖圆半径是5cm，故选：D．6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．【解答】解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．一元二次方程4（x﹣1）2﹣9=0的解是．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】先把方程变形得到（x﹣1）2=，然后两边开方得到x﹣1=±，再解两个一次方程即可．【解答】解：∵（x﹣1）2=，∴x﹣1=±，∴x1=﹣，x2=．故答案为x1=﹣，x2=．8．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于35度．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的意义，找到旋转角∠BOD；再根据角相互间的和差关系即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，∴∠BOD=80°，∵∠AOB=45°，则∠AOD=80°﹣45°=35°．故填35．9．如图，⊙O的直径CD⊥弦EF，垂足为点G，∠EOD=58°，则∠DCF=29°．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先根据垂径定理得出=，可得出∠DCF=∠EOD，进而可得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径CD⊥弦EF，∴=，∴∠DCF=∠EOD=×58°=29°．故答案为：29°．10．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，已知直径AD=6，∠ABC=∠DAC，则AC的长为．【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．【分析】连接CD，则△ACD是等腰直角三角形，据此即可求得AC的长．【解答】解：连接CD，则∠D=∠ABC，∵∠ABC=∠DAC，∴∠D=∠DAC，∵AD是圆的直径，∴∠ACD=90°，∴△ACD是等腰直角三角形．∴AC=AB=6×=3．故答案是：3．12．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为9或10．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】讨论：当a=2或b=2时，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0可求出对应的n的值；当a=b时，根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4×（n﹣1）=0，解得n=10．【解答】解：当a=2或b=2时，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得4﹣12+n﹣1=0，解得n=9；当a=b时，△=（﹣6）2﹣4×（n﹣1）=0，解得n=10，所以n的值为9或10．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．按要求做题：（1）解方程：3x2+x=3x+1（2）计算：﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；有理数的混合运算．【分析】（1）先变形为x（3x+1）﹣（3x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（2）先进行乘方运算，再计算括号内的减法运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算．【解答】解：（1）x（3x+1）﹣（3x+1）=0，（3x+1）（x﹣1）=0，所以x1=﹣，x2=1；（2）原式=﹣4+8÷（﹣8）﹣2×（﹣）=﹣4﹣1+=﹣．14．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k的取值范围；（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，即4k＞﹣9，解得；（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；如果k=﹣1，原方程为x2﹣3x+1=0，解得，，．（如果k=﹣2，原方程为x2﹣3x+2=0，解得，x1=1，x2=2）15．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？【考点】垂径定理的应用．【分析】先根据垂径定理求出AD的长，设OA=rcm，则OD=（r﹣2）cm，再根据勾股定理求出r的值即可．【解答】解：作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB=8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为2cm，∴AD=AB=4cm．设OA=rcm，则OD=（r﹣2）cm在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm；即铅球的半径OA的长为5cm．16．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，求图中阴影部分面积．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，∵，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质．【分析】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，=，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图1，直径CD为所求；（2）如图2，弦AD为所求．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．19．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意建立直角坐标系，点（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组，求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离．【解答】解：以A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的函数关系式为：y=ax2+bx+c．将（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）代入y=ax2+bx+c得：，解得：．∴抛物线的表达式为：y=2x2﹣4x+2.5；∵y=2x2﹣4x+2.5=2（x﹣1）2+0.5∴抛物线的顶点坐标为（1，0.5），∴绳子的最低点距地面的距离为0.5m．20．如图△ABC是⊙O内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C与A、B不重合）设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．【解答】解：（1）连接OB，∵∠OAB=α=35°，∴∠OBA=35°，∴∠AOB=110°，∴β=∠AOB=55°；（2）α+β=90°．∠AOB=180°﹣2α，β=∠AOB=90°﹣α，∴α+β=90°．21．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解．（1）求M点的坐标．（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．【考点】切线的性质；坐标与图形性质；圆周角定理．【分析】（1）过点M作ME⊥x轴于点E，连接MC，解出方程后可知OA=1，OB=3，然后即可求出OE 的长度，由于C是切点，所以MC是半径，又因为MC=OE，从而可知⊙M的半径，利用垂径定理即可求出M的坐标．（2）由于点P的位置不确定，需要分两种情况进行讨论，可根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．【解答】解：（1）过点M作ME⊥x轴于点E，连接MC，∵OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解，∴解得x=1或x=3，∴OA=1，OB=3，∴A（1，0），B（3，0）由垂径定理可知：AE=BE，∴E（2，0），∴OE=2，AE=1，∵⊙M与y轴切于点C，∴MC是⊙M的半径，∴MC=OE=2，∴由勾股定理可知：ME=，∴M的坐标为（2，）；（2）连接MB、AM当点P在x轴上方时，由（1）可知：AM=2，AE=1，∴∠AME=30°，∴由垂径定理可知：∠AMB=60°，∴由圆周角定理可知：∠APB=∠AMB=30°，当点P在x轴下方时，∴由圆内接四边形的性质可知：此时∠APB=180°﹣30°=150°五、（本题10分）22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC．（不需证明）②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．【考点】三角形综合题；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．【解答】解：（1）①DE∥AC，理由如下：如图2，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质可得，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2，故答案为：①DE∥AC；②S1=S2；（2）如图3，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2．六、（本题12分）23．如图，点A、点E的坐标分别为（0，3）与（1，2），以点A为顶点的抛物线记为C1：y1=﹣x2+n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2=ax2+bx+c，且抛物线C2与y轴交于点P（0，）．（1）分别求出抛物线C1和C2的解析式，并判断抛物线C1会经过点E吗？（2）若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；（3）在（2）的x的取值范围内，设新的函数y3=y1﹣y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值，求出这个最大值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．【分析】（1）待定系数法分别求解可得，再求出x=1时，y1的值即可判断抛物线C1是否经过点E；（2）分别求出两函数y随x的增大而减小时x的范围可得答案；（3）将y1、y2代入y3=y1﹣y2整理成一般式，再配方成顶点式可得答案．【解答】解：（1）根据题意将点A（0，3）代入y1=﹣x2+n，得：n=3，∴y1=﹣x2+3；∵抛物线C2的顶点坐标为（1，2），∴设抛物线C2的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将点P（0，）代入，得：a+2=，解得：a=，∴抛物线C2的解析式为y2=（x﹣1）2+2=x2﹣x+，当x=1时，y1=﹣12+3=2，∴抛物线C1经过点E；（2）在y1=﹣x2+3，当x＞0时，y随x的增大而减小，在y2=（x﹣1）2+2中，当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当0＜x＜1时，抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小；（3）y3=y1﹣y2=﹣x2+3﹣（x2﹣x+）=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+，∵0＜x＜1，∴当x=时，函数y3有最大值，最大值为．2017年3月2日。
江西省赣州市会昌县2019-2020学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每題3分，共18分）1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D）不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C）【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.把抛物线212y x =-先向左平移1个单位,再向下平移2个单位长度后,所得的函数表达式为( ) A. 21(1)22y x =-++ B. 21(1)22y x =-+- C. 21(1)22y x =--+ D. 21(1)22y x =--- 【答案】B【解析】由“左加右减）上加下减”的原则可知,将抛物线y =212x -先向左平移1个单位）再向下平移2个单位长度）所得函数解析式为：y =()21122x -+-. 故选B.3.用配方法解一元二次方程x 2）6x+8=0时，则方程变形正确的是（ ）A. ）x）3）2=17B. ）x+3）2=17C. ）x）3）2=1D. ）x+3）2=1 【答案】C【解析】【分析】首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可．【详解】解：移项，得x2-6x=-8，配方，x2-6x+9=1，则（x-3）2=1．故选C．.【点睛】本题考查了配方法解方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．4.中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（）A. 200（1+2x）＝1000B. 200+2x＝1000C200（1+x2）＝1000 D. 200（1+x）2＝1000【答案】D【解析】【分析】根据增长率的概念列方程即可.【详解】解：由题意可得，200（1+x）2＝1000，故选D．【点睛】本题主要考查二次函数在增长率中的应用,关键在于增长的年数.5.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（）A. （﹣3，0）B. （3，0）C. （1，0）D. （﹣2，0）【答案】A【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称性求出与x 轴的另一个交点坐标．【详解】解：二次函数y=ax 2+4ax+c 的对称轴为：x=-42a a=-2） ∵二次函数y=ax 2+4ax+c 的图象与x 轴的一个交点为（-1）0））∴它与x 轴的另一个交点坐标是（-3）0））故选A）【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性．6.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为x =1，经过点（-1，0），有下列结论：①abc ＜0；②a +c ＞b ；③3a +c =0；④a +b ＞m （am +b ）（其中m ≠1）其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】先根据图象的开口确定a, c 的符号，利用对称轴知b 的符号（a<0）c>0）b>0 ），根据图象看出x=1）x=-1）x=m 时y 的值，从而得出答案．【详解】∵抛物线开口向下，∴a）0） ∵抛物线的对称轴为直线1,2b x a=-= ∴b=）2a）0）∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c）0）∴abc）0，所以①正确；∵x=）1时，y=0）∴a）b+c=0）即a+c=b，所以②错误；把b=）2a代入a）b+c=0中得3a+c=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1且m≠1，∴x=1时，函数的最大值为a+b+c）∴a+b+c）am2+mb+c）即a+b）m）am+b），所以④正确．故选C）【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数a决定抛物线的开口方向，,a b共同决定了对称轴的位置，常数项c决定了抛物线与y轴的交点位置.二、填空题（每题3分，共18分）7.二次函数y=﹣x2﹣2x+3的顶点坐标为_____．【答案】（﹣1，4）【解析】【详解】解：二次函数y=-x2-2x+3=-（x2+2x+1）+4=-(x+1)2+4∴二次函数y=-x2-2x+3图像的顶点坐标为（-1，4)故答案为：（-1，4）．8.在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为_____．【答案】（2，3）．【解析】【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点P的对称图形P′，可得所求点的坐标．【详解】如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．9.若A（﹣4，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝（x+2）2+1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系用“＞”连接起来是_____．【答案】y3＞y1＞y2．【解析】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=-2，图象开口向上，根据二次函数图象的对称性可得C（1，y3）与（﹣5，y3）关于对称轴对称，利用在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】∵二次函数y＝（x+2）2+1，∴开口向上，对称轴为x＝﹣2，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，C（1，y3）与（﹣5，y3）关于对称轴对称，因为﹣5＜﹣4＜﹣3，故y2＜y1，于是y3＞y1＞y2．故答案为：y3＞y1＞y2．【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．10.如图，一块矩形铁皮长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．【答案】11．【解析】试题分析：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240，解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去），答：这块铁片的宽为11cm．故答案为11．考点：一元二次方程的应用．11.如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是_______°）【答案】50．【解析】【详解】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，∴CO=AO，由旋转角为40°，可得∠AOC=∠BOD=40°，∴∠OAC=（180°-∠AOC）÷2=70°，∠BOC=∠AOD-∠AOC-∠BOD=20°，∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°，在△AOB中，由内角和定理得∠B=180°-∠OAC-∠AOB=180°-70°-60°=50°故答案是：50．12.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是________．（1）OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；（3）BE+BF=OA ；（4）在旋转过程中，当∠BEF 与∠COF 的面积之和最大时，AE=34．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC）∠OBE=∠OCF=45°）∠BOC=90°）∴∠BOF+∠COF=90°）∵∠EOF=90°）∴∠BOF+∠COE=90°）∴∠BOE=∠COF）在△BOE 和△COF 中，BOE COF OB OCOBE OCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝） ∴△BOE ≌△COF）ASA））∴OE=OF）BE=CF）∴EF=OE ；故正确；）2）∵S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOE =S △BOE +S △COF =S △BOC =14S 正方形ABCD ） ∴S 四边形OEBF ）S 正方形ABCD =1）4；故正确；）3）∴OA ；故正确；）4）过点O作OH⊥BC）∵BC=1）∴OH=12BC=12）设AE=x，则BE=CF=1-x）BF=x）∴S△BEF+S△COF=12BE•BF+12CF•OH=12x）1-x）+12）1-x）×12=-12）x-14）2+932）∵a=-12）0）∴当x=14时，S△BEF+S△COF最大；即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=14；故错误；故答案为（1））2））3））三．解答题（共84分）13.解下列方程（1）x2﹣6x＝0（2）2x2﹣5x+2＝0【答案】（1）x1＝0，x2＝6；（2）x1＝12，x2＝2．【解析】【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x=0或x-6=0，然后解两个一次方程即可；（2）利用因式分解法把方程化为2x-1=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】（1）x（x﹣6）＝0，x＝0或x﹣6＝0，∴x1＝0，x2＝6；（2）（2x﹣1）（x﹣2）＝0，2x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x 1＝12，x 2＝2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．14.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +3的图象经过点A （3，0）和点B （4，3）． （1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象顶点坐标和对称轴．（3）直接画出函数的图象（不列表）．【答案】（1）y ＝x 2﹣4x +3；（2）抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为x ＝2；（3）见解析．【解析】【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y=ax 2+bx+3得关于a 、b 的方程组，然后解方程组即可；（2）先把一般式配成顶点式，即可求解；（3）利用描点法画函数图象．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （3，0）和点B （4，3）．∴933016433a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）∵y ═x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为x ＝2．（3）如图，【点睛】本题考查了确定二次函数的表达式、二次函数的顶点、对称轴及作函数的图象，能对函数表达式的正确的进行配方是关键．15.如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转150°，得到△DBE．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，在图中标出字母，并在图下方表示出所画图形）．（1）在图①中，画一个等边三角形；（2）在图②中，画一个等腰直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）如图①中，延长EB交AC的延长线于F，可得∠A=∠ABF=60°，故△ABF为等边三角形．（2）如图②中，连接AD交EB于H，由题意可知AB=BD，）ABC=30°，故∠ADB=∠BAD=15°，可求得∠EDH=45°，即可得△EDH为等腰直角三角形．【详解】（1）如图①中，延长EB交AC的延长线于F．△ABF即为所求．（2）如图②中，连接AD交EB于H，△EDH即为所求．【点睛】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AB，以BD为对称轴将△ABD翻折，点A的对应点为A′，连接A′C，得到图2．推理证明（1）求证：四边形A′BDC是矩形；实践操作（2）图1中将△ABD或△BDC进行平移、旋转或轴对称变换，重新构造一个特殊四边形．要求：①画出图形，标明字母；②写出构图过程及构造的特殊四边形的名称．（不要求证明）【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与DC，AD与BC的关系，根据轴对称的性质，可得BD⊥AB，A′B=AB，根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平移的性质，平行四边形的判定，可得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC．又∵△ABD与△A′BD关于BD对称，BD⊥AB，∴A′B＝AB＝DC，A′B∥DC，∴四边形A′BDC是平行四边形，∵A ′D ＝AD ，∴A ′D ＝BC ，∴四边形A ′BDC 是矩形；（2）答案不唯一，如：如图，将△BCD 沿DA 方向平移，得到△D ′B ′C ′，由平移可得，DD ′∥BB ′且DD ′＝BB ′，∴四边形DD ′B ′B 是平行四边形．【点睛】本题考查了几何变换类型，解题的关键是利用轴对称的性质的出BD ⊥AB ，A′B=AB ，利用平移的性质得出DD′∥BB′且DD′=BB′．17.关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】）1）12k ≤））2）3k = 【解析】试题分析：）1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；）2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 18.在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的位置如图所示．（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；（2）分别写出顶点A关于x轴对称的点A′的坐标、顶点B关于y轴对称的点B′的坐标及顶点C关于原点对称的点C′的坐标；（3）求线段BC的长．【答案】（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；（2）点A′的坐标为：（-4，-3），B′的坐标为：（-3，0），点C′的坐标为：（2，-5）；（3）．.【解析】【分析】（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可；（2）利用关于坐标轴对称点的性质分别得出答案；（3）直接利用勾股定理得出答案．【详解】（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；（2）如图所示：点A′的坐标为：（-4，-3），B′的坐标为：（-3，0），点C′的坐标为：（2，-5）；（3）线段BC．【点睛】此题主要考查关于坐标轴对称点的性质,勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．19.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0?(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．【答案】(1)x1＝1，x2＝3；(2)当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0；(3)当x＞2时，y随x的增大而减小．【解析】【分析】（1）根据图象与x轴交点的坐标即可得到方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）由于抛物线是轴对称的图形，根据图象与x轴交点的坐标即可得到对称轴方程，由此再确定y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．【详解】解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；（2）不等式ax2+bx+c＞0时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y的值＞0，当x＜1或x＞3时，y＜0．（3）图中可以看出对称轴为x=2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小；20.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，在两个点运动过程中，请回答：（1）经过多少时间，△PBQ的面积是5cm2？（2）请你利用配方法，求出经过多少时间，四边形APQC 面积最小？并求出这个最小值．【答案】（1）经过1秒，能使△PBQ 的面积等于5cm 2；（2）经过3秒时，四边形APQC 面积最小，最小值为15 cm 2．【解析】【分析】（1）设运动时间为t 秒，根据题意表示出BP 、BQ 的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；（2）根据四边形APQC 面积=△ABC 的面积-△PBQ 的面积，求出表示四边形APQC 面积的式子，再配方，然后根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）设运动时间为t 秒，8÷2=4，则0≤t≤4，根据题意得：12PB •BQ ＝5， 即12（6﹣t ）•2t ＝5， t 2﹣6t +5＝0，解得t 1＝1，t 2＝5（不符合题意，舍去），所以t ＝1．故经过1秒，能使△PBQ 的面积等于5cm 2；（2）设运动时间为t 秒，根据题意得：∵S 四边形APQC ()211=68-6-t 2t=t -6t+2422⨯⨯⋅＝()2315t -+， ∴当t ＝3秒时，S 四边形APQC 的最小值为15 cm 2．【点睛】考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解及能正确的对二次函数进行配方是关键．21.如图，已知∠ABC 中，AB ＝AC ，把∠ABC 绕A 点顺时针方向旋转得到∠ADE ，连接BD ，CE 交于点F ． （1）求证：∠AEC∠∠ADB ；（2）若AB ，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】）1）由把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，可得AD）AE）AB）AC）∠DAE）∠BAC，则∠DAB）∠EAC，可证△AEC≌△ADB））2）由AC∥DB，可得∠ABD）∠BAC）45°可得△ADB为等腰直角三角形，可求DB的长度，且DF）AC）AB），所以BF的长可求．详解】）1）∵把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE）∴AD）AE）AB）AC）∠DAE）∠BAC）∴∠DAB）∠EAC，且AD）AB）AE）AC）∴△AEC≌△ADB））2）∵ADFC是菱形，∴）AD∥CF）DF∥AC）∴∠DBA）∠BAC）45°）∵AD）AB）∴∠DBA）∠BDA）45°）∴∠DAB）90°）∴BD2）AD2+AB2）∴BD）2）∴.【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，本题关键是证△DAB为直角三角形．22.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；求x为何值时y的值为1920；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少．【答案】（1）x=2；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．【解析】【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可．【详解】解：（1）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；令y=1920得：1920=﹣10x2+80x+1800x2﹣8x+12=0，（x﹣2）（x﹣6）=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，（2）由（1）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x=802(10)-⨯-=4时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．【点睛】本题考查考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．23.如图，抛物线经过点A(4，0)、B(﹣2，0)、C(0，﹣4)(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1)y ＝2142x x --；(2)存在，M 1(1，﹣92)，M 2(3，﹣52). 【解析】【分析】 (1)设交点式为y ＝a(x ﹣4)(x+2)，然后把(0，﹣4)代入求出a 即可；(2)设M(a ，2142a a --)，连接OM ，则S △ACM ＝S △OCM +S △OAM ﹣S △OAC ＝3，可得出关于a 的方程，解方程即可求出点M 的坐标.【详解】解：(1)设抛物线解析式为：y ＝a(x ﹣4)(x+2)，把(0，﹣4)代入得a×(﹣4)×2＝﹣4，解得a ＝12， ∴抛物线解析式为：y ＝2142x x --； (2)设M(a ，2142a a --)，连接OM ，∵S △ACM ＝S △OCM +S △OAM ﹣S △OAC ＝3， ∴2111OC a OA a a 4222⎛⎫⋅+⋅-++ ⎪⎝⎭﹣12OC OA ⋅＝3， ∴a 2﹣4a+3＝0，解得：a 1＝3，a 2＝1.∴M1(1，﹣92)，M2(3，﹣52).【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及三角形的面积，利用点的坐标表示线段的长度是解题的关键．。
江西省赣州市章贡区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）2．下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°5．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝55°，若P为上一点，∠AOP＝73°，OP∥CB，则∠OBC的度数为（）A．30°B．35°C．37°D．55°6．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为（）①若点P（﹣3，m），Q（3，n）在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k＝0的一个根为1，则k的值是．8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B 关于原点O对称，则ab＝．9．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是．10．若抛物线y＝x2与直线y＝x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2＝0的解为．11．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为．12．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为．三、解答题（共6小题，共30分）13．解方程：3（x﹣2）＝5x（x﹣2）14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接BB'，若∠A'B'B ＝20°，求∠A的度数．15．如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）请仅用无刻度的直尺在图1中作出∠BAC的平分线；（2）请仅用无刻度的直尺在图2中的线段BC上取一个点P，使CP＝EF．16．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+1．（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A（﹣1，6），求二次函数的表达式；（3）若抛物线与坐标轴只有两个交点，求a的值．17．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．18．将两块全等的含30°角的直角三角板按如图1所示的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C ＝30°．固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转（旋转角小于90°）至如图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．（1）当旋转角等于20°时，∠BCB1＝°；（2）当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝24，求k的值．20．赣县田村素称“灯彩之乡”，田村花灯源于唐代，盛于宋朝，迄今已有1300多年历史了，某公司生产了一种田村花灯，每件田村花灯制造成本为20元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）、每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：销售单价x（元）30313240销售量y（件）40383620（1）根据表中数据的规律、分別写出每日销售量y（件）、每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作∠BCP＝∠BAC，交AB的延长线于点P，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，连接OC、AD、BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若OC＝5，OE＝1，求PC的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．今年以来，因生猪受到猪瘟的影响，导致多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至9月20日，猪肉价格不断上涨，9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱．（1）问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克30元的猪肉进货，按9月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？23．如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°（1）计算：求BC的长；（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．①求∠CC1A1的度数；②求四边形A1BCC1的面积；（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．六、（本大题共12分）24．已知：抛物线C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），抛物线C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+1与抛物线C2：y＝（x﹣）2+2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D．（1）已知抛物线①y＝﹣x2﹣2x，②y＝（x﹣3）2+3，③y＝（x﹣）2+2，④y＝x2﹣x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是（请在横线上填写抛物线的数字序号）；（2）如图1，当m＝1，n＝2时，证明AC＝BD；（3）如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BDC．①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，请求出m的值．2019-2020学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．故选：A．2．下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形；故选：D．3．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A．4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故选：A．5．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝55°，若P为上一点，∠AOP＝73°，OP∥CB，则∠OBC的度数为（）A．30°B．35°C．37°D．55°【解答】解：∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，∵∠AOP＝73°，∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝110°﹣73°＝37°，∵OP∥CB，∴∠OBC＝∠POB＝37°，故选：C．6．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为（）①若点P（﹣3，m），Q（3，n）在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而点P（﹣3，m）比Q（3，n）到直线x＝﹣1的距离小，∴m＞n；所以①错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝3，∴a﹣b+c＝3，∴a﹣2a+c＝3，即c＝a+3，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k＝0的一个根为1，则k的值是1．【解答】解：把x＝1代入2x2﹣x﹣k＝0得2﹣1﹣k＝0，解得k＝1．故答案为1．8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B 关于原点O对称，则ab＝12．【解答】解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a＝﹣4，b＝﹣3，则ab＝12．故答案为：12．9．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是相离．【解答】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，∵r＝5，∴d＞r，∴⊙P与x轴的相离．故答案为：相离．10．若抛物线y＝x2与直线y＝x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2＝0的解为﹣1或2．【解答】解：∵y＝x2与直线y＝x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），∴消去y得到x2﹣x﹣2＝0的解为x＝﹣1或2，故答案为﹣1或2．11．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为1．【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝2，∴AD＝CD＝1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，∴∠DAO＝∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF＝AD＝1，故答案为：1．12．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x＝2±，∴P（2+，1）或（2﹣，1），当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，解得：x1＝x2＝2，∴P（2，﹣1），则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．故答案为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．三、解答题（共6小题，共30分）13．解方程：3（x﹣2）＝5x（x﹣2）【解答】解：5x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0（x﹣2）（5x﹣3）＝0∴x﹣2＝0或5x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝．14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接BB'，若∠A'B'B ＝20°，求∠A的度数．【解答】解：由旋转的性质可知：BC＝CB′，∵∠BCB′＝90°，∴∠CB′B＝45°，∴∠CB′A′＝∠CB′B﹣∠BB′A′＝45°﹣20°＝25°，∴∠CA′B′＝90°﹣25°＝65°，由旋转的性质可知∠A＝∠CA′B′＝65°．15．如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）请仅用无刻度的直尺在图1中作出∠BAC的平分线；（2）请仅用无刻度的直尺在图2中的线段BC上取一个点P，使CP＝EF．【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求．理由：连接CD．∵BC是⊙O的切线，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，∴AD平分∠BAC．（2）如图2中，连接EC，OD，EC交OD于G，作直线FG交线段BC于点P，点P即为所求．16．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+1．（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A（﹣1，6），求二次函数的表达式；（3）若抛物线与坐标轴只有两个交点，求a的值．【解答】解：（1）对称轴x＝﹣＝﹣＝2，∴抛物线的对称轴为x＝2；（2）把点A（﹣1，6），代入y＝ax2﹣4ax+1得，a＝1，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1；（3）∵抛物线与坐标轴只有两个交点，抛物线有交点（0，1），∴抛物线与x轴只有一个交点，即△＝0，∴（﹣4a）2﹣4•a×1＝0，解得a＝或a＝0（舍去），∴a＝．17．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．18．将两块全等的含30°角的直角三角板按如图1所示的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C ＝30°．固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转（旋转角小于90°）至如图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．（1）当旋转角等于20°时，∠BCB1＝160°；（2）当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．【解答】解：（1）当旋转角等于20°时，则∠A1CA＝20°，∴∠BCB1＝90°+90°﹣20°＝160°．故答案为160；（2）当旋转角等于30度时，AB与A1B1垂直，理由如下：当AB与A1B1垂直时，∠A1ED＝90°∴∠A1DE＝90°﹣∠A1＝90°﹣30°＝60°．∵∠A1DE＝∠A+∠DCA，∴∠DCA＝60°﹣30°＝30°．即当旋转角等于30度时，AB与A1B1垂直．故答案为160．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝24，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣k﹣2）＞0，解得：k＜3；（2）∵x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣k﹣2，又∵x12+x22﹣x1x2＝24，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝24，∴[2（k﹣1）]2﹣3（k2﹣k﹣2）＝24，解得：k1＝﹣2，k2＝7，∵k＜3，∴k＝﹣2．20．赣县田村素称“灯彩之乡”，田村花灯源于唐代，盛于宋朝，迄今已有1300多年历史了，某公司生产了一种田村花灯，每件田村花灯制造成本为20元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）、每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：销售单价x（元）30313240销售量y（件）40383620（1）根据表中数据的规律、分別写出每日销售量y（件）、每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b则解得：∴每日销售量y（件关于销售单价x（元）之间的函数表达式为y＝﹣2x+100；∴w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000∴每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣2x2+140x﹣2000；（2）∵w＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450∴当销售单价为35元时，每日能获得最大利润450元．21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作∠BCP＝∠BAC，交AB的延长线于点P，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，连接OC、AD、BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若OC＝5，OE＝1，求PC的长．【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°∴∠BAC+∠OBC＝90°，∵∠BCP＝∠BAC，∴∠OCB+∠BCP＝90°，即∠OCP＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线；（2）解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD∴＝，∴∠ABD＝∠DCB，∵∠BCP＝∠BAC，∠BAC＝∠BDC，∠BAD＝∠BCD，∴∠PCB＝∠BDC，∠ABD＝∠BCD，∴∠BDC+∠ABD＝∠BCD+∠PCB，即∠PEC＝∠PCE，∴PC＝PE，设PC＝PE＝x，则OP＝x+1，在Rt△OPC中，OP2＝OC2+PC2，∴（x+1）2＝52+x2，解得x＝12，∴PC＝12．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．今年以来，因生猪受到猪瘟的影响，导致多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至9月20日，猪肉价格不断上涨，9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱．（1）问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克30元的猪肉进货，按9月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？【解答】解：（1）今年9月20日猪肉的价格＝100÷2.5＝40（元/千克）．设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得：（1+60%）x＝40，解得：x＝25．答：今年年初猪肉的价格为每千克25元．（2）设每千克降价y元，则日销售（100+20y）千克，依题意，得：（40﹣30﹣y）（100+20y）＝1120，整理，得：y1＝2，y2＝3，∵尽可能让顾客优惠，∴y＝3，∴40﹣y＝37．答：应该每千克定价为37元．23．如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°（1）计算：求BC的长；（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．①求∠CC1A1的度数；②求四边形A1BCC1的面积；（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．∵∠C＝45°，AC＝4，∠AHC＝90°，∴AH＝CH＝4，∵AB＝5，AH＝4，∴BH＝＝＝3，∴BC＝BH+CH＝3+4＝7．（2）①如图2中，∵BC＝BC1，∴∠BC1C＝∠C＝45°，∵∠A1C1B＝∠C＝45°，∴∠CC1A＝45°+45°＝90°．②＝+＝×7×4+×7×7＝．（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝+7＝．六、（本大题共12分）24．已知：抛物线C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），抛物线C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+1与抛物线C2：y＝（x﹣）2+2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D．（1）已知抛物线①y＝﹣x2﹣2x，②y＝（x﹣3）2+3，③y＝（x﹣）2+2，④y＝x2﹣x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是①与③；①与④（请在横线上填写抛物线的数字序号）；（2）如图1，当m＝1，n＝2时，证明AC＝BD；（3）如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BDC．①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，请求出m的值．【解答】（1）解：①y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+12，②y＝（x﹣3）2+3＝（x﹣3）2+（）2，③y＝（x﹣）2+（）2，④y＝x2﹣x+＝（x﹣）2+（）2，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；故答案为①与③；①与④；（2）证明：当m＝1，n＝2时，抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+1，抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，∴A（﹣1，1），B（2，4），∵AC∥BD∥y轴，∴点C的横坐标为﹣1，点D的横坐标为2，当x＝﹣1时，y＝（x﹣2）2+4＝13，则C（﹣1，13）；当x＝2时，y＝﹣（x+1）2+1＝﹣8，则D（2，﹣8），∴AC＝13﹣1＝12，BD＝4﹣（﹣8）＝12，∴AC＝BD；（3）①抛物线C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），则A（﹣m，m2）；抛物线C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），则B（n，n2）；当x＝﹣m时，y＝（x﹣n）2+n2＝m2+2mn+2n2，则C（﹣m，m2+2mn+2n2）；当x＝n时，y＝﹣（x+m）2+m2＝﹣2mn﹣n2，则D（n，﹣2mn﹣n2）；∴AC＝m2+2mn+2n2﹣m2＝2mn+2n2，BD＝n2﹣（﹣2mn﹣n2）＝2mn+2n2，∴AC＝BD；∴四边形ACBD为平行四边形，∵∠BEO＝∠BDC，而∠EHF＝∠DHG，∴∠EFH＝∠DGH＝90°，∴AB⊥CD，∴四边形ACBD是菱形；②∵抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，则B（2，4），∴n＝2，∴AC＝BD＝2mn+2n2＝4m+8，而A（﹣m，m2），∴C（﹣m，m2+4m+8），∴BC2＝（﹣m﹣2）2+（m2+4m+8﹣4）2＝（m+2）2+（m+2）4，∵四边形ACBD是菱形，∴BC＝BD，∴（m+2）2+（m+2）4＝（4m+8）2，即（m+2）4＝15（m+2）2，∵m＞0，∴（m+2）2＝15，∴m+2＝，∴m＝﹣2．。
2022-2023学年江西省赣州市九年级(上)期中数学试卷
2022-2023学年江西省赣州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）3．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝4x2上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y14．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝18B．（x﹣4）2＝14C．（x﹣8）2＝64D．（x﹣4）2＝15．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（）A．30°B．35°C．40°D．45°6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）7．（3分）点P（﹣1，3）关于原点对称的点的坐标是．8．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为．9．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+9＝0的两个根，则x1+x2的值为．10．（3分）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为．11．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若它与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，当函数值y＜0时，x取值范围是．12．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）x2+4x+3＝0．14．（6分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求方程的另一个根．15．（6分）有一块方角形的钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两个部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出两种方法）．16．（6分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝8m，EM＝8m，求⊙O的半径．17．（6分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为2万件，2021年12月的销量为2.42万件．（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的关系式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）．19．（8分）如图，在平面直角坐标中，A（1，1），△ABC的顶点均在格点上．（1）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应C'的坐标；（2）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1．（3）求△A1B1C1的面积．20．（8分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（Ⅰ）求∠ODC的度数；（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，该商品每天的利润为2090元？（3）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？22．（9分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y 轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥l2轴交直线BC于点N，求MN的最大值．六、（本大题共12分）23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式：；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以B，C，E，F为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共6题，每小题3分，共18分）1．D；2．A；3．C；4．A；5．B；6．B；二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）7．（1，﹣3）；8．y＝2（x﹣2）2+3；9．7；10．100°；11．﹣1＜x＜3；12．（﹣2，0）或（2，10）；三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）x1＝0，x2＝4；（2）x1＝﹣1，x2＝﹣3．；14．（1）a＜3；（2）﹣3．；15．见解答．；16．⊙O的半径为5m．；17．（1）10%；（2）2.662万件．；四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．；19．（﹣1，5）；20．；五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（1）w＝﹣10x2+200x+1250；（2）39或31元；（3）35元．；22．（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+5；抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）MN有最大值．；六、（本大题共12分）23．y＝﹣x2+2x+3；（1，2）。
【其中考试】江西省赣州市某校初三(上)期中考试数学试卷答案与详细解析
江西省赣州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 已知⊙O的直径为10，OP=6，则点P与⊙O的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定2. 如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A.72∘B.108∘C.144∘D.216∘3. 如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG=50∘，P点可能是圆心的是( )A. B.C. D.4. 如图所示，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠P=70∘，则∠ACB的度数为( )A.50∘B.55∘C.60∘D.65∘5. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( )A.5000(1+2x)=7500B.5000(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=75006. 如图，现要在抛物线y=x(4−x)上找点P(a, b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b=5，则点P的个数为0；乙：若b=4，则点P的个数为1；丙：若b=3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对二、填空题二次函数y=−x2−2x+3的图象的顶点坐标为________．已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是________．如图，△ABC中，∠C=30∘．将△ABC绕点A顺时针旋转60∘得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=________∘．已知一元二次方程x2−kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为________.如图，已知点A(2, 0)，B(0, 4)，C(2, 4)，D(6, 6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0∘<α<180∘)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．三、解答题如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE绕着点A 顺时针旋转到与△ABF重合．(1)求AE的长；(2)求EF的长．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160∘，求∠BCD的度数．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m−2=0．(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2=1，求m的值．如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB =3m ，弓形的高EF =1m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ⌢所在圆O 的半径r ．如图1，2点A ，B 是⊙O 上的两点，请只用无刻度的直尺按下列要求画图：(1)在图1中，过点B 画AB 的垂线；(2)在图2中，AB 是⊙O ′ 的直径，现要求在⊙O 上的点B 左侧确定点C ，使得AB̂=BC ̂.（保留作图痕迹，不写作法）如图，将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转a 度到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F ．(1)求证：△BCF ≅△BA 1D ；(2)当∠C =a 度时，判定四边形A 1BCE 的形状并说明理由．图1是抛物线彩虹桥，图2是示意图，在图2中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点E ，左右两条抛物线关于y 轴对称，经过测(x−30)2+5．算，右边抛物线的表达式为y=−120(1)直接写出左边抛物线的解析式；(2)已知三条钢梁的顶点M，E，N与原点O连成的四边形OMEN是菱形，求钢梁最高点离桥面的高度OE的长．如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；(2)AF=EF.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−1,5)，B(−3,1)和D(3,−1)，请按下列要求画图并填空．(1)将线段AB绕某点顺时针旋转180∘后，点B落在点D上，画出旋转后所得的线段CD；则四边形ABCD形状是________；旋转中心的坐标为________.(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90∘，画出旋转后所得的线段AE，并求△BDE的面积；(3)在y 轴上找出点F ，使△ABF 的周长最小，并直接写出点F 的坐标为________.某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A =α，请用含α的代数式表示∠E ．(2)如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ⌢=BD ⌢，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连接BF 并延长交CD 的延长线于点E ．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．(3)如图3，在(2)的条件下，连接AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径，求∠AED 的度数.参考答案与试题解析江西省赣州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．【解答】解：∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5，∵OP=6>5，∴点P在圆外．故选A．2.【答案】B【考点】旋转对称图形【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72∘，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A，C，D都正确，不能与其自身重合的是B．故选B．3.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵∠FEG=50∘，当P点是圆心时，由圆周角定理，得∠FPG=2∠FEG=100∘．故选C．4.【答案】B【考点】切线的性质圆周角定理【解析】连接OA、OB，如图，根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，则利用四边形内角和计算出∠AOB＝110∘，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．【解答】解：连接OA，OB，如图，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90∘，∴∠AOB+∠P=180∘，∵∠P=70∘，∴∠AOB=110∘，∠AOB=55∘．∴∠ACB=12故选B.5.【答案】C【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：根据题意，可列方程为5000(1+x)2=7500.故选C.6.【答案】C【考点】二次函数的三种形式二次函数图象上点的坐标特征【解析】求出抛物线的顶点坐标为(2, 4)，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：y=x(4−x)=−x2+4x=−(x−2)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(2, 4)，∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确.故选C.二、填空题【答案】(−1, 4)【考点】二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．【解答】解：∵y=−x2−2x+3=−(x2+2x+1−1)+3=−(x+1)2+4，∴顶点坐标为(−1, 4)．故答案为：(−1, 4)．【答案】5【考点】切线的性质直线与圆的位置关系【解析】根据圆切线的性质即可求出⊙O的半径．【解答】解：若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径长，即⊙O的半径为5．故答案为：5.【答案】90【考点】旋转的性质三角形内角和定理【解析】根据旋转的性质可知∠CAF=60∘；然后在△CAF中利用三角形内角和定理可以求得∠CFA=90∘，即∠AFB=90∘．【解答】解：∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转60∘得到的，∴∠CAF=60∘.又∵∠C=30∘，∴在△AFC中，∠CFA=180∘−∠C−∠CAF=90∘，∴∠AFB=90∘．故答案为：90．【答案】±4【考点】根的判别式【解析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵一元二次方程x2−kx+4=0有两个相等的实数根，∴Δ=(−k)2−4×1×4=0，解得：k=±4．故答案为：±4.【答案】(4, 2)【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，∴点P坐标为(4,2)．故答案为：(4,2).【答案】15∘或60∘或150∘【考点】角的计算旋转的性质【解析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．【解答】解：分情况讨论：①当DE⊥BC时，∠BAD=180∘−60∘−45∘=75∘，∴α=90∘−∠BAD=15∘；②当AD⊥BC时，α=90∘−∠C=90∘−30∘=60∘．③当AE⊥BC时，∠EAB=90∘−∠CBA=30∘，α=180∘−∠EAB=150∘.故答案为：15∘或60∘或150∘.三、解答题【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90∘，∴三角形ADE为直角三角形.∴AE=√AD2+ED2=√52+12=√26.(2)由旋转变换的性质可知，△ADE≅△ABF，∴△AFE是等腰直角三角形，∴EF=√2AE=2√13．【考点】勾股定理正方形的性质旋转的性质等腰直角三角形【解析】无无【解答】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90∘，∴三角形ADE为直角三角形.∴AE=√AD2+ED2=√52+12=√26.(2)由旋转变换的性质可知，△ADE≅△ABF，∴△AFE是等腰直角三角形，∴EF=√2AE=2√13．【答案】解：∵∠BOD=160∘，∠BOD=80∘，∴∠BAD=12在圆内接四边形ABCD中，∠BCD+∠BAD=180∘，∴∠BCD=100∘．【考点】圆内接四边形的性质【解析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180∘，即可求出答案．【解答】解：∵∠BOD=160∘，∠BOD=80∘，∴∠BAD=12在圆内接四边形ABCD中，∠BCD+∠BAD=180∘，∴∠BCD=100∘．【答案】(1)证明：∵ Δ=(2m +1)2−4×1×(m −2)=4m 2+4m +1−4m +8=4m 2+9>0，∴ 无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.(2)解：由根与系数的关系得出{x 1+x 2=−(2m +1)，x 1x 2=m −2，由x 1+x 2+3x 1x 2=1得−(2m +1)+3(m −2)=1，解得m =8．【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】（1）根据根的判别式得出△＝(2m +1)2−4×1×(m −2)＝4m 2+9>0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2＝−(2m +1)，x 1x 2＝m −2，代入x 1+x 2+3x 1x 2＝1得出关于m 的方程，解之可得答案．【解答】(1)证明：∵ Δ=(2m +1)2−4×1×(m −2)=4m 2+4m +1−4m +8=4m 2+9>0，∴ 无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.(2)解：由根与系数的关系得出{x 1+x 2=−(2m +1)，x 1x 2=m −2，由x 1+x 2+3x 1x 2=1得−(2m +1)+3(m −2)=1，解得m =8．【答案】解：∵ 弓形的跨度AB =3m ，EF 为弓形的高，∴ OE ⊥AB 于F ，∴ AF =12AB =32m ， ∵ AB̂所在圆O 的半径为r ，弓形的高EF =1m ， ∴ AO =r ，OF =r −1，在Rt △AOF 中，由勾股定理可知：AO 2=AF 2+OF 2，即r 2=(32)2+(r −1)2，解得r =138(m)．【考点】勾股定理垂径定理的应用【解析】根据垂径定理可得AF =12AB ，再表示出AO 、OF ，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵弓形的跨度AB=3m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB于F，∴AF=12AB=32m，∵AB̂所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m，∴AO=r，OF=r−1，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=(32)2+(r−1)2，解得r=138(m)．【答案】解：(1)如图即为所求.连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，∴CB⊥AB.(2)如图即为所求.连接BO交⊙O′于D点，连接AD并延长交⊙O于C点，连接BC，则AB̂=BĈ.【考点】作图—复杂作图圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图即为所求.连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，∴CB⊥AB.(2)如图即为所求.连接BO交⊙O′于D点，连接AD并延长交⊙O于C点，连接BC，则AB̂=BĈ.【答案】(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF与△BA1D中，{∠A1=∠C,A1B=BC,∠A1BD=∠CBF,∴△BCF≅△BA1D(ASA).(2)解：四边形A1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1B1C1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=a，∴∠DEC=180∘−a，∵∠C=a，∴∠A1=a，∴∠ABC=360∘−∠A1−∠C−∠A1EC=180∘−a，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，∴四边形A1BCE是平行四边形，∴A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形．【考点】旋转的性质等腰三角形的判定与性质全等三角形的判定菱形的判定与性质【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≅△BA1D；（2）由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180∘−α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360∘−∠A1−∠C−∠A1EC=180∘−α，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．【解答】(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF与△BA1D中，{∠A1=∠C,A1B=BC,∠A1BD=∠CBF,∴△BCF≅△BA1D(ASA).(2)解：四边形A1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1B1C1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=a，∴∠DEC=180∘−a，∵∠C=a，∴∠A1=a，∴∠ABC=360∘−∠A1−∠C−∠A1EC=180∘−a，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，∴四边形A1BCE是平行四边形，∴A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形．【答案】解：(1)由题意得：y=−120(x+30)2+5.(2)连接MN，∵四边形OMEN是菱形，∴MN垂直平分OE，又M(−30, 5)，∴OE=10m．【考点】二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质菱形的性质二次函数的应用【解析】（1）根据题意可得出y与x的二次函数．连接MN，可知四边形OMEN是菱形，易求OE的长．【解答】解：(1)由题意得：y=−120(x+30)2+5.(2)连接MN，∵四边形OMEN是菱形，∴MN垂直平分OE，又M(−30, 5)，∴OE=10m．【答案】证明：(1)∵AC=BC，∴∠BAC=∠B，∵DF//BC，∴∠ADF=∠B，又∠BAC=∠CFD，∴∠ADF=∠CFD，∴BD//CF,∴四边形DBCF是平行四边形．(2)如图，连接AE，∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，∴∠AEF=∠B，∴四边形AECF是⊙O的内接四边形，∠ECF+∠EAF=180∘，∵BD//CF，∠ECF+∠B=180∘，∠EAF=∠B，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF.【考点】平行四边形的判定等腰三角形的判定圆内接四边形的性质【解析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC=∠B，利用平行线证明∠ADF=∠B，利用圆的性质证明∠BAC=∠CFD，再证明BD/CF.即可得到结论；（2）如图，连接AE，利用平行线的性质及圆的基本性质∠AEF=∠B，再利用圆内接四边形的性质证明∠EAF=2B，从而可得结论．【解答】证明：(1)∵AC=BC，∴∠BAC=∠B，∵DF//BC，∴∠ADF=∠B，又∠BAC=∠CFD，∴∠ADF=∠CFD，∴BD//CF,∴四边形DBCF是平行四边形．(2)如图，连接AE，∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，∠AEF=∠B，∴四边形AECF是⊙O的内接四边形，∠ECF+∠EAF=180∘，∵BD//CF，∠ECF+∠B=180∘，∠EAF=∠B，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF.【答案】平行四边形,(0,0)(2)AE如图所示.E(3,3)，连接BE，在△BDE中，BD=√62+22=2√10，DE=4，BE=√62+22=2√10，∴△BDE为等腰三角形，底边DE上的高为3−(−3)=6，∴△BDE的面积为：0.5×6×4=12.(0,4)【考点】坐标与图形变化-旋转作图-旋转变换勾股定理三角形的面积关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)作图如图.四边形ABCD 为平行四边形.旋转中心为(0,0).故答案为：平行四边形；(0,0).(2)AE 如图所示.E(3,3)，连接BE ，在△BDE 中，BD =√62+22=2√10，DE =4，BE =√62+22=2√10，∴ △BDE 为等腰三角形，底边DE 上的高为3−(−3)=6，∴ △BDE 的面积为：0.5×6×4=12.(3)作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接BA ′交y 轴于点F .由图知点F 的坐标为(0,4).故答案为：(0,4).【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，将表中数据(55, 70)，(60, 60)代入得：{55k +b =70，60k +b =60，解得{k =−2，b =180，∴ y 与x 之间的函数表达式为y =−2x +180．(2)由题意得：(x −50)(−2x +180)=600，整理得：x 2−140x +4800=0，解得x 1=60，x 2=80，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．(3)设当天的销售利润为w 元，则：w =(x −50)(−2x +180)=−2(x −70)2+800，∵ −2<0，∴ 当x =70时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【考点】待定系数法求一次函数解析式二次函数的应用一元二次方程的应用——利润问题【解析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【解答】解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，将表中数据(55, 70)，(60, 60)代入得：{55k +b =70，60k +b =60，解得{k =−2，b =180，∴ y 与x 之间的函数表达式为y =−2x +180．(2)由题意得：(x −50)(−2x +180)=600，整理得：x 2−140x +4800=0，解得x 1=60，x 2=80，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．(3)设当天的销售利润为w 元，则：w =(x −50)(−2x +180)=−2(x −70)2+800，∵ −2<0，∴ 当x =70时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【答案】解：(1)∵ BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ， ∴ ∠E =∠ECD −∠EBD =12(∠ACD −∠ABC) =12∠A =12α.(2)图1，延长BC 到点T ，∵ 四边形FBCD 内接于⊙O ，∴ ∠FDC +∠FBC =180∘，又∵ ∠FDE +∠FDC =180∘，∴ ∠FDE =∠FBC ，∵ DF 平分∠ADE ，∴ ∠ADF =∠FDE ，∵ ∠ADF =∠ABF ，∴ ∠ABF =∠FBC ，∴ BE 是∠ABC 的平分线，∵ AD ⌢=BD ⌢，∴ ∠ACD =∠BFD ，∵ ∠BFD +∠BCD =180∘，∠DCT +∠BCD =180∘， ∴ ∠DCT =∠BFD ，∴ ∠ACD =∠DCT ，∴ CE 是△ABC 的外角平分线，∴ ∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．(3)如图，连接CF ，∵ ∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角， ∴ ∠BAC =2∠BEC ，∵ ∠BFC =∠BAC ，∴ ∠BFC =2∠BEC ，∵ ∠BFC =∠BEC +∠FCE ，∴ ∠BEC =∠FCE ，∵ ∠FCE =∠FAD ，又∵∠FDE=∠FDA，FD=FD，∴△FDE≅△FDA(AAS)，∴DE=DA，∴∠AED=∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90∘，∴∠AED+∠DAE=90∘，∴∠AED=∠DAE=45∘.【考点】三角形的角平分线圆与圆的综合与创新全等三角形的性质与判定【解析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90∘，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≅△FDA(AAS)，由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90∘，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出AEAC=AG CD ，求出ADAC=45，设AD＝4x，AC＝5x，则有(4x)2+52＝(5x)2，解得x=53，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．【解答】解：(1)∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E=∠ECD−∠EBD=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A=12α.(2)图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC=180∘，又∵∠FDE+∠FDC=180∘，∴∠FDE=∠FBC，∴ ∠ADF =∠FDE ，∵ ∠ADF =∠ABF ，∴ ∠ABF =∠FBC ，∴ BE 是∠ABC 的平分线，∵ AD ⌢=BD ⌢，∴ ∠ACD =∠BFD ，∵ ∠BFD +∠BCD =180∘，∠DCT +∠BCD =180∘， ∴ ∠DCT =∠BFD ，∴ ∠ACD =∠DCT ，∴ CE 是△ABC 的外角平分线，∴ ∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角． ∠BAC 的遥望角．(3)如图，连接CF ，∵ ∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角， ∴ ∠BAC =2∠BEC ，∵ ∠BFC =∠BAC ，∴ ∠BFC =2∠BEC ，∵ ∠BFC =∠BEC +∠FCE ， ∴ ∠BEC =∠FCE ，∵ ∠FCE =∠FAD ，∴ ∠BEC =∠FAD ，又∵ ∠FDE =∠FDA ，FD =FD ， ∴ △FDE ≅△FDA(AAS)， ∴ DE =DA ，∴ ∠AED =∠DAE ，∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ADC =90∘，∴ ∠AED +∠DAE =90∘， ∴ ∠AED =∠DAE =45∘.。
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绝密★启用前2016-2017学年度学九年级上学期数学期中考试卷考试范围：与期中考试相同；考试时间：100分钟；命题人：刘小明题号一二三四五总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或02．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．123．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①③④4．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x25．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．12第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）7．关于x的一元二次方程2(21)51x a x a ax+-+-=+的一次项系数为4，则常数项为：.8．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=______．9．抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是．10．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为______．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．12．自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：25x x-＞0．解：设25x x-=0，解得：1x=0，2x=5，则抛物线y=25x x-与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=25x x-的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即25x x-＞0，所以，一元二次不等式25x x-＞0的解集为：x＜0或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式25x x-＜0的解集为．（3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：223x x--＞0．__________。
评卷人得分三、计算题（每小题6分，共24分）13．(6分)解方程：（1）x2﹣2x﹣2=0；（2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0．14．先化简，再求值：2224124422 aaa a a a--÷-+--（），其中，a是方程x2+3x+1=0的根．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．16．已知关于x的方程2x+ax+a-2=0.（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.评卷人得分四、作图题（6分）17．如下图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1. 画出△ABC关于点的中心对称图形.评卷人得分五、解答题（共38分）18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．19．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？20．（10分）如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．21．（12分）把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．六、解答题（共26分）22．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM 绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．23．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ． （1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标； （3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ①求证：PG=RQ ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．评卷人 得分六、附加题（共30分）24．如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且BE=DF ，点P 是AF 的中点，点Q 是直线AC 与EF 的交点，连接PQ 、PD ．（1）求证：AC 垂直平分EF ；（2）试判断△PDQ 的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF 绕着点C 旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．25．如图，在△ABC 中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC 于点D ，动点P 从点A 出发以每秒1厘米的速度在线段AD 上向终点D 运动。
设动点运动时间为t 秒。
（1）求AD 的长．（2）当△PDC 的面积为15平方厘米时，求t 的值．（3）动点M 从点C 出发以每秒2厘米的速度在线段CB 上运动．点M 与点P 同时出发，且当点P 运动到终点D 时，点M 也停止运动。
是否存在t ，使得S △PMD ＝121S △ABC ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．A 2．B 3．C ． 4．C 5．A ． 6．C 7．-1. 8．69．y=（x ﹣）2+．10．（4，4） 11．2+2 12．（1）①，③；（2）0＜x ＜5；（3）x ＜﹣1或x ＞3． 13．（1）x 1=1+，x 2=1﹣．（2）x 1=2，x 2=5． 14．-12． 15．（1）⊙O 的直径是20．（2）∠D=30°． 16．(1)、a=21，231-=x ；(2)、证明过程见解析17．图形见解析 18．（1）m ≤2；（2）2319．（1）y=﹣2x+80；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．20．（1）抛物线的解析式为：y=-x 2-2x+3．（2）点P 的坐标为：（-1，4）或（-1+22，-4）或（-1-22，-4）；（3）QD 有最大值94．21．（1）E （4，2）； （2）60°； （3）；（4）点H 不在此抛物线上．22．（1=45°（2）MN 2=ND 2+DH 21EAF=BAD2∠∠（3）AG=12，23．（1）b=﹣2，c=3；（2）M ；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG 此时点P ．24．(1)证明见解析；（2）△PDQ 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）成立；理由见解析． 25．（1）12cm （2）6=t （3）t 的值为2或。