南京市雨花区梅山二中2015届九年级上期中数学试卷含答案解析
【5套打包】南京市初三九年级数学上期中考试单元综合练习卷及答案
新九年级（上）数学期中考试一试题( 含答案 )(1)一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）1.以下运算中，结果正确的选项是（）A.B. C.D.2.若是对于 x ． y 的方程 2x-y+2a=0 的一个解，则常数 a 为（）A. 1B. 2C. 3D. 43.以下由左到右侧的变形中，是因式分解的是（）A.B.C.D.4. 如图，直线 a ∥b ， ∠1=120 °，则 ∠2 的度数是（）A. B. C. D.5.m n m n 的值为（）已知 a =6 ， a =3，则 a 2 -3A.B.C. 2D. 96.以下代数式变形中，是因式分解的是（）A. B.C.D.7.已知 4y 2 +my+9 是完好平方式，则 m 为（）A. 6B.C.D. 128.3）整除．80 -80 能被（A. 76B. 78C. 79D. 829.假如 x=3m +1 ，y=2+9 m ，那么用 x 的代数式表示y 为（）A.B.C.D.10. 已知对于 x ， y 的方程组，则以下结论中正确的选项是（ ）① 当 a=5 时，方程组的解是；② 当 x ，y 的值互为相反数时， a=20 ；③ 不存在一个实数 a 使得 x=y ；2a-3y7，则 a=2．④ 若 2 =2A.B.C.D.二、填空题（本大题共 6 小题，共24.0 分）11. 在方程 4x-2y=7 中，假如用含有 x 的式子表示 y ，则 y=______． 12. 将方程 3x+2 y=7 变形成用含 y 的代数式表示 x ，获得 ______ ．13. 若要（ a-1） a-4 =1 成立，则 a=______．14.如图，将△ABC 平移到△A′B′C′的地点（点 B′在 AC 边上），若∠B=55 °，∠C=100 °，则∠AB′A′的度数为 ______ °．15.有若干张以下图的正方形 A 类、 B 类卡片和长方形 C 类卡片，假如要拼成一个长为（ 2a+b），宽为（ a+2 b）的大长方形，则需要 C 类卡片 ______张．16.若x+y+z=2，x2-（y+z）2=8时，x-y-z=______．三、计算题（本大题共 2 小题，共20.0 分）17.计算：（1）（ 8a3b-5a2b2）÷4ab（2）（ 2x+y）2-（ 2x+3y）（ 2x-3y）18.我县某包装生产公司承接了一批上海世博会的礼物盒制作业务，为了保证质量，该公司进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm 的标准板材作为原资料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下 A 型与 B 型两种板材．如图 1 所示，（单位：cm）（ 1）列出方程（组），求出图甲中 a 与 b 的值．（ 2）在试生产阶段，若将30 张标准板材用裁法一裁剪， 4 张标准板材用裁法二裁剪，再将获得的 A 型与 B 型板材做侧面和底面，做成图 2 的竖式与横式两种无盖礼物盒．①两种裁法共产生 A 型板材 ______张， B 型板材 ______张；② 设做成的竖式无盖礼物盒x 个，横式无盖礼物盒的y 个，依据题意达成表格：竖式无盖（个）横式无盖（个）礼物盒板材x yA 型（张）4x3yB 型（张）x③做成的竖式和横式两种无盖礼物盒总数最多是______个；此时，横式无盖礼物盒可以做 ______个．（在横线上直接写出答案，无需书写过程）四、解答题（本大题共 5 小题，共36.0 分）19.化简：（1）（ 2a2）4÷3a2（2）（ 1+a）（ 1-a） +a（ a-3）20.先化简，再求值：（2x+3）（ 2x-3） -（ x-2）2-3x（ x-1），此中x=2．21.已知 a-b=7， ab=-12 ．（1）求 a2b-ab2的值；（2）求 a2+b2的值；（3）求 a+b 的值．22.如图 a 是长方形纸带，∠DEF =20°，将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c中的∠CFE 的度数．23.已知：如图， AB∥CD ， BD 均分∠ABC，CE 均分∠DCF ，∠ACE=90°．（1）请问 BD 和 CE 能否平行？请你说明原因．（2）AC 和 BD 的地点关系如何？请说明判断的原因．答案和分析1.【答案】 A【分析】解：A 、x 3?x 3=x6，本选项正确；B 、3x 2+2x 2=5x 2，本选项错误 ；23 6选项错误；C 、（x ）=x ，本 222D 、（x+y ）=x +2xy+y ，本选项错误 ，应选：A ．A 、利用同底数幂的乘法法 则计算获得结果，即可做出判断；B 、归并同类项获得结果，即可做出判断；C 、利用幂的乘方运算法 则计算获得结果，即可做出判断；D 、利用完好平方公式睁开获得 结果，即可做出判断．本题考察了完好平方公式，归并同 类项，同底数幂的乘法，以及 幂的乘方，娴熟掌握公式及法 则是解本题的重点．2.【答案】 B【分析】解：将x=-1，y=2 代入方程 2x-y+2a=0 得：-2-2+2a=0， 解得：a=2．应选：B ．将 x=-1，y=2 代入方程中 计算，即可求出 a 的值 ．本题考察了二元一次方程 组的解，方程组的解即 为能使方程 组中双方程成立的未知数的 值．3.【答案】 D【分析】解：A 、（x+2）（x-2）=x 2-4，是多项式乘法，故此选项错误 ；B 、x 2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误 ；C 、x 2-4+3x=（x+4）（x-1），故此选项错误 ；2D 、x -4=（x+2）（x-2），正确．直接利用因式分解的意 义分别判断得出答案．本题主要考察了因式分解的意 义，正确掌握定义是解题重点．4.【答案】 C【分析】解：∵a ∥b ∴∠3=∠2，∵∠3=180 °-∠1，∠1=120 °， ∴∠2=∠3=180 °-120 =60° °，应选 C ．如图依据平行 线的性质能够 ∠2=∠3，依据邻补角的定义求出 ∠3 即可．本题考察平行线的性质，利用两直线平行同位角相等是解 题的重点，记着平行 线的性质，注意灵巧应用，属于中考常考题型．【答案】 A5.【分析】a m n解：∵ =6 ，a =3，m 2n 3∴原式 =（a ）），÷（a =36÷27= 应选：A ．原式利用同底数 幂的除法法 则及幂的乘方运算法 则变形，将已知等式代入 计算即可求出 值．本题考察了同底数 幂的除法，以及幂的乘方与 积的乘方，娴熟掌握运算法 则是解本题的重点．6.【答案】 D【分析】解：A 、是整式的乘法，故 A 错误；B 、左边不等于右 边，故B 错误；C 、没把一个多项式转变成几个整式乘 积的形式，故 C 错误；D 、把一个多项式转变成几个整式乘 积的形式，故 D 正确；应选：D ．依据因式分解是把一个多 项式转变成几个整式乘 积的形式，可得答案．本题考察了因式分解的意 义，把一个多项式转变成几个整式乘 积的形式是解 题重点．7.【答案】 C【分析】2解：∵4y +my+9 是完好平方式，应选：C ．原式利用完好平方公式的 构造特点求出 m 的值即可．本题考察了完好平方式，娴熟掌握完好平方公式是解本 题的重点．8.【答案】 C【分析】解：∵803-80=80 ×（802-1）=80×（80+1）×（80-1）=80×81×79．∴803-80 能被 79 整除．应选：C ．先提取公因式80，再依据平方查公式进行二次分解，即可得803-80=80 ×81×79，既而求得答案．本题考察了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后，利用平方差公式进行二次分解是关 键．9.【答案】 C【分析】解：x=3m +1，y=2+9m，3m=x-1，m 2y=2+（3 ），2y=（x-1 ）+2， 应选：C ．依据移项，可得3m 的形式，依据幂的运算，把 3m代入，可得答案．本题考察了幂的乘方与 积的乘方，先化成要求的形式，把 3m代入得出答案．10.【答案】 D【分析】解： 把 a=5 代入方程 组得：，解得：选项错误 ；，本由 x 与 y 互为相反数，获得 x+y=0 ，即y=-x ，代入方程 组得：，选项 正确；解得：a=20，本若 x=y ，则有 ，可得 a=a-5，矛盾，故不存在一个实数 a 使得 x=y ，本选项正确；方程组解得：，由题意得：2a-3y=7，把 x=25-a ，y=15-a 代入得：2a-45+3a=7，解得：a= ，本选项错误 ，则正确的选项有，应选：D ．把 a=5代入方程组求出解，即可做出判断；依据题意获得 x+y=0 ，代入方程组求出 a 的值，即可做出判断；若是 x=y，获得 a 无解，本选项正确；依据题中等式获得 2a-3y=7，代入方程组求出 a 的值，即可做出判断．本题考察了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中双方程都成立的未知数的值．11.【答案】【分析】解：4x-2y=7，解得：y=．故答案为：将 x 看做已知数求出y 即可．本题考察认识二元一次方程，解题的重点是将 x 看做已知数求出y．12.【答案】x=【分析】解：由题意可知：x=故答案为：x=依据等式的性质即可求出答案．本题考察等式的性质，解题的重点是娴熟运用等式的性质，本题属于基础题型．13.【答案】4，2，0【分析】a-4解：a-4=0，即a=4 时，（a-1） =1，a-1=1a=2时a-1 a-4当，即，（）=1．时a-4当 a-1=-1，即a=0 ，（a-1） =1故 a=4，2，0．故答案为：4，2，0．依据任何非 0 的数的 0 次幂等于 1，以及 1 的任何次 幂等于 1、-1 的偶次幂等于 1即可求解．本题考察了整数指数 幂的意义，正确进行议论是重点．14.【答案】 25【分析】解：∵∠B=55°，∠C=100°，∴∠A=180 °-∠B- ∠C=180 °-55 °-100 =25° °， ∵△ABC 平移获得 △A ′ B ′，C ′ ∴AB ∥A ′ B ，′∴∠AB ′ A ′=∠A=25 °．故答案为：25．依据三角形的内角和定理求出 ∠A ，再依据平移的性 质可得 AB ∥A ′B ，′而后依据两直线平行，内错角相等可得 ∠AB ′A ′=∠A ．本题考察了平移的性 质，三角形的内角和定理，平行 线的性质，熟记平移的性 质获得 AB ∥A ′B 是′解题的重点．15.【答案】 5【分析】解：长方形的面 积=（2a+b ）（a+2b ）=2a 2+5ab+b 2，因此要拼成一个 长为（2a+b ），宽为（a+2b ）的大长方形，则需要 A 类卡片 2 张，B 类卡片 1张，C 类卡片 5 张．故答案为 5．计算长方形的面 积获得（2a+b ）（a+2b ），再利用多项式乘多 项式睁开后归并，而后确立 ab 的系数即可获得需要 C 类卡片的张数．本题考察了多项式乘多 项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项乘此外一个多 项式的每一 项，再把所得的积相加．16.【答案】 4【分析】解：∵x 2 （ 2，）- y+z =8 ∴（x-y-z ）（x+y+z ）=8， ∵x+y+z=2，∴x-y-z=8 2=4÷，故答案为：4．第一把 x 2 （ 2 的左边 分解因式，再把 x+y+z=2 代入即可获得答案．）- y+z =8此 题主要考 查了因式分解的 应键 练掌握平方差公式分解因式．平方差用，关 是熟公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．217.【答案】 解：（ 1）原式 =2a - ab ；（ 2）原式 =4 x 2+4xy+y 2-4x 2+9y 2=10y 2+4xy ．【分析】（1）原式利用多项式除以单项式法例计算即可求出 值；（2）原式利用完好平方公式，以及平方差公式 计算，去括号归并即可获得 结果．本题考察了整式的混淆运算，熟 练掌握运算法 则是解本题的重点．18.38 20 16或 17或 18【答案】 64 【分析】题，解：（1）由 意得： 解得：，答：图甲中 a 与 b 的值分别为：60、40．（2）由图示裁法一 产生 A 型板材为：2×30=60，裁法二产生 A 型板材为：1×4=4，因此两种裁法共 产生 A 型板材为 60+4=64（张），由图示裁法一 产生 B 型板材为：1×30=30，裁法二产生 A 型板材为，2×4=8，因此两种裁法共 产生 B 型板材为 30+8=38（张），故答案为：64，38．由已知和 图示得：横式无盖礼物盒的 y 个，每个礼物盒用 2张 B 型板材，因此用B 型板材 2y 张 ．竖 横式无盖（个）礼物盒板 材式无盖（个）x y 张4x 3y A 型（）B 型（张）x2y由上表可知横式无盖样式共 5y 个面，用 A 型 3y 张，则 B 型需要 2y 张 ．则做两款盒子共需要 A 型 4x+3y 张，B 型 x+2y 张．则 4x+3y ≤64；x+2y ≤38．两式相加得 5x+5y ≤102．则 x+y ≤20.4．因此最多做 20 个．两式相减得 3x+y ≤26．则 2x ≤5.6，解得 x ≤2.8．则 y ≤18．则横式可做 16，17 或 18 个．故答案为：20，16 或 17 或 18．（1）由图示列出对于 a 、b 的二元一次方程 组求解．（2）依据已知和图示计算出两种裁法共产生 A 型板材和 B 型板材的 张数，相同由图示达成表格，并达成 计算．本题考察的知识点是二元一次方程 组的应用，重点是依据已知先列出二元一次方程组求出 a 、b 的值，再是依据图示解答．4 82．19.【答案】 解：（ 1）原式 =2 a ÷3a =22（2）原式 =1- a +a -3a=1-3a ．（1）依据单项式的幂的乘方法 则和除法法 则进行计算．（2）依据多项式的乘法法 则以及单项式乘多项式的法例进行计算．本题考察单项 式的乘方法 则、单项式除以 单项式的法 则、乘法公式等知 识，正确运用法例是解题的重点．20.【答案】 解：（ 2x+3）（ 2x-3） -（ x-2） 2-3x （ x-1）2 2 2=4x -9- x +4x-4-3x +3x =7x-13，当 x=2 时，原式 =7×2-13=1．【分析】利用平方差及完好平方公式化 简，再把x=2 代入求解即可．本题主要考察了整式的化 简求值，解题的重点是正确的化 简．21.【答案】 解：（ 1） ∵a-b=7， ab=-12 ，2 2∴ab-ab =ab （a-b ） =-12 ×7=-84；（ 2） ∵a-b=7 ， ab=-12 ，2∴（a-b ） =49 ，22∴a +b -2ab=49，（ 3） ∵a 2+b 2=25 ，2∴（a+b ） =25+2ab=25-24=1 ，【分析】（1）直接提取公因式 ab ，从而分解因式得出答案；（2）直接利用完好平方公式从而求出答案；（3）直接利用（2）中所求，联合完好平方公式求出答案．本题主要考 查了完好平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用完好平方公式是解 题重点．22.【答案】 解： ∵AD ∥BC ，∴∠DEF =∠EFB=20 °，在图 b 中 ∠GFC =180°-2∠EFG =140°， 在图 c 中 ∠CFE =∠GFC -∠EFG=120°．【分析】由平行线的性质知∠DEF=∠EFB=20°，从而获得图 b 中∠GFC=140°，依照图 c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG 进行计算．本题考察图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，依据轴对称的性新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(含答案)一、选择题（本大题共14 小题，每题 3 分，共 42 分）1．“瓦当”是中国古建筑装修檐头的附件，是中国独有的文化艺术遗产，下边“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D2．若x0 是对于x的一元二次方程(k 1)x23x k 2 10 （k为系数）的根，则k 的值为（）A．k =1B．k =－1C．k≠1D．k =±13．某县为解决大班额问题，对学校进行扩建，计划用三年时间对全县学校进行扩建和改造， 2016 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的均匀增加率相同，估计2018年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的均匀增加率为（）A．20%、﹣ 220%B．40%C．﹣ 220%D． 20%4．以下对于圆的表达正确的有（）①圆内接四边形的对角互补；②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；④圆内接平行四边形是矩形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5. 二次函数y2x28x 1的最小值是（）A．7B．－ 7C． 9D．－96．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的极点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，获得△A′B′，C则′点 P 的坐标为（）A．（0， 4）B．（ 1， 1）C．（ 1，2）D．（ 2， 1）第6题图7．抛物线y ax 2bx c上部分点的横坐标x ，纵坐标y的对应值以下表：x－2－ 1012y0小聪察看上表，得出下边结论：46① 抛物线与64x 轴的一个交点为（3，0）；②函数y ax2bx c 的最大值为6；③ 抛物线的对称轴是直线x1；④ 在对称轴左边，y随2x 增大而增大．此中正确有（）A．①②B．①③C．①②③D．①③④8．如图，正方形ABCD的对角线订交于点O，点 O 又是正方形A1B1C1 O 的一个极点，且这两个正方形的边长都为2．若正方形A1B1C1O 绕点 O 转动，则两个正方形重叠部分的面积为（）A．1B．4C．16D． 29．若二次函数y x2bx 的图象的对称轴是经过（1， 0）且平行于y 轴的直线，则关于 x 的方程x2bx 3 的解是（）A．x11， x23B．x11，x23C．x11， x23D．x11， x2310．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2cm B．2.5cm C． 3cm D． 4cm11．如图， P 为⊙ O 外一点， PA、PB 分别切⊙ O 于点 A、 B， CD 切⊙ O 于点 E，分别交PA、 PB于点 C、 D，若 PA=6，则△PCD的周长为（）A．8B．6C． 12D． 1012．如图，不论x为什么值，y ax2bx c 恒为正的条件是（）A．a0, b24ac0B．a0, b24ac0C．a0, b24ac0D．a0,b24ac0第 8题图第10题图第11题图第12题图13．如图，⊙ M 的半径为2，圆心PA⊥ PB，且 PA、 PB与 x 轴分别交于M 的坐标为（ 3， 4），点A、 B 两点，若点 A、点P 是⊙ M 上的随意一点，B 对于原点 O 对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C． 6D． 814．如图，正三角形EFG内接于⊙ O，其边长为 2 6 ，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（）A．6B．5 6C． 4D． 5 3第 13题图第14题图二、填空题（共 1 大题， 5 小题，每题 3 分，共 15 分）15.（1）对于x的方程kx2- (2k1)x k 2 0 有实数根，则k 的取值范围是（2）如图， AB 是⊙ O 的直径， C、 D 是⊙ O 上的点，且 OC∥ BD， AD 分别与 BC、 OC订交于点 E、 F，则以下结论：① AD⊥ BD；② ∠ AOC=∠AEC；③ BC 均分∠ ABD；④ △CEF≌△ BED．此中必定成立的是（把你以为正确结论的序号都填上）．（3）如图，《九章算术》是我国古代数学名著，书中有以下问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8 步，股（长直角边）长为15 步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是步．（4）如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△AED 的地点，恰巧使得DC∥AB，则∠ CAB 的大小为．（5）如图，一段抛物线：y x( x 2)（ 0≤ x≤ 2）记为 C1，它与 x 轴交于两点 O、 A1；将 C1绕A1旋转 180°获得 C2，交 x 轴于 A2；将 C2绕 A2旋转 180°获得 C3，交 x 轴于 A3；这样进行下去，直至获得C7，若点 P（ 13，m）在第 7 段抛物线C7上，则 m=．第 15（2）题图第15（3）题图第15（4）题图第15（5）题图三、解答题（共 6 小题，共 63 分）16．（每题 5 分，共 10 分）用适合的方法解一元二次方程：（1）( x4) 25( x 4)（2）3x212 x1217．（本小题 10 分）如图， AB 是⊙ O 的直径， AP 是⊙ O 的切线，点 A 为切点， BP 与⊙O 交于点 C，点 D 是 AP 的中点，连结CD．（1）求证： CD是⊙ O 的切线；（2）若 AB=2，∠ P=30°，求暗影部分的面积．第 17题图18．（本小题 10 分）工人师傅用一块长为10dm，宽为 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？第 18题图19．（本小题 9 分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的极点分别是A（﹣ 3， 1）B（ 0， 4） C（0， 2）．（1）将△ABC以点 C 为旋转中心旋转 180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）分别连结 AB1， BA1后，求四边形 AB1A1B 的面积．第 19题图20．（本小题 11 分）如图，∠BAC=60 °， AD 均分∠ BAC 交⊙ O 于点 D，连结 OB、 OC、BD、 CD．（1）求证：四边形 OBDC是菱形；（2）当∠ BAC为多少度时，四边形 OBDC是正方形？第20题图21．（本小题 13 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ax 2bx 4( a 0) 的图象与 x 轴交于点A（﹣ 2， 0）与点 C（ 8， 0）两点，与y 轴交于点 B，其对称轴与x 轴交于点 D．（1）求该二次函数的分析式；（2）若点 P（m， n）是该二次函数图象上的一个动点（此中m＞ 0， n＜ 0），连结 PB，PD， BD， AB．请问能否存在点 P，使得△BDP的面积恰巧等于△ADB 的面积？若存在恳求出此时点 P 的坐标，若不存在说明原因．第 21题图2018—2019 学年度上学期期中学业水平质量调研试题九年级数学参照答案2018.11一、选择题（本大题共14 小题，每题 3 分，共 42 分）题号1234567891011121314答案D B D B B C D A B B C A C C二、填空题（共 1 大题， 5 小题，每新九年级上册数学期中考试一试题(含答案 )一、选择题（本题共16 分，每题 2 分）1．（ 2 分）以下是“回收” 、“绿色包装” 、“节水”、“低碳”四个标记，此中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（ 2 分）二次函数 y＝（ x+2）2+3 的图象的极点坐标是（）A ．（﹣ 2， 3） B．（ 2， 3）C．（﹣ 2，﹣ 3）D．（ 2，﹣ 3）3．（ 2 分）如图，⊙ O 的直径为10，AB 为弦， OC⊥ AB，垂足为 C，若 OC＝ 3，则弦 AB 的长为（）A ．8 B．6C．4D．104．（ 2 分）如图， AB 是⊙O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，∠ ABD ＝ 59°，则∠ C 等于（）A ．29°B ．31°C． 59°D ．62°5．（ 2 分）如图4× 4 的正方形网格中，△PMN绕某点旋转必定的角度，获得△P1M1N1，其旋转中心是（）A．A 点B．B 点 C．C 点 D．D 点6．（ 2 分）如图， AB 是⊙ O 的直径，弦CD ⊥AB，∠ CDB ＝ 30°， CD ＝ 6，暗影部分图形的面积为（）A ．4πB ．3πC． 2π D ．π7．（ 2 分）已知抛物线2x 纵坐标 y 的对应值以下表：y＝ ax +bx+c 上部分点的横坐标X﹣10123 Y30﹣ 103物线 y＝ ax 2+bx+c 的张口向下；2x＝﹣ 1；抛物线 y＝ ax +bx+c 的对称轴为直线2方程 ax +bx+c＝ 0 的根为 0 和 2；当 y＞0 时， x 的取值范围是x＜ 0 或 x＞ 2以上结论中此中的是（）A ．B ．C． D ．8．（ 2 分）如图1，⊙ O DC 于点 M、N．动点运动．设运动的时间为数关系，在这段时间里过正方形ABCD 的极点 A、D 且与边 BC 相切于点E，分别交AB、P 在⊙ O 或正方形ABCD 的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速x，圆心 O 与 P 点的距离为y，图 2 记录了一段时间里y 与 x 的函P 点的运动路径为（）A ．从B ．从D 点出发，沿弧B 点出发，沿线段DA→弧 AM→线段 BM →线段BC→线段 CN→弧 ND→弧BCDAC．从D ．从A 点出发，沿弧AM →线段C 点出发，沿线段 CN→弧BM→线段 BC→线段 CNND→弧 DA→线段 AB二、填空题（本题共16 分，每题 2 分）9．（ 2 分）在平面直角坐标系中，点P（ 2，﹣ 3）对于原点对称点P′的坐标是．10．（2 分）平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心， 5 为半径作⊙ O，则点 A（4，3）在⊙ O（填：“内”或“上“或“外”）11．（2 分）以下图，把一个直角三角尺ACB 绕 30°角的极点 B 顺时计旋转，使得点A 落在 CB 的延伸线上的点 E 处，则∠ BCD 的度数为．12．（ 222的形式，则 hk＝．分）将抛物线 y＝ x ﹣ 6x+5化成 y＝ a（x﹣ h）﹣k13．（ 2分）若正六边形的边长为2，则其外接圆的面积为．14．（ 2 分）二次函数知足以下条件：函数有最大值 3；对称轴为 y 轴，写出一个知足以上条件的二次函数分析式：15．（ 2 分）圆锥底面半径为6，高为 8，则圆锥的侧面积为．16．（ 2 分）阅读下边资料：在数学课上，老师提出利用尺规作图达成下边问题：已知：∠ ACB 是△ ABC 的一个内角．求作：∠ APB＝∠ ACB．小明的做法以下：如图作线段 AB 的垂直均分线m；作线段 BC 的垂直均分线n，与直线m 交于点 O；以点 O 为圆心， OA 为半径作△ ABC 的外接圆；在弧 ACB 上取一点P，连结 AP， BP．因此∠ APB＝∠ ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（ 1）点 O 为△ ABC 外接圆圆心（即OA＝ OB＝ OC）的依照是（ 2）∠ APB＝∠ ACB 的依照是．；三、解答题（来源共68 分，第 17-22分，第 25， 27 题，每题 5 分）17．（ 5 分）如图，在Rt△ OAB 中，∠（ 1）画出△ OAB 绕点 O 逆时针旋转题，每题 5 分，第23、 24、 26、 28OAB＝ 90，且点 B 的坐标为（ 4，2）90°后的△ OA 1B1．题，每题5（ 2）求点 B 旋转到点B1所经过的路线长（结果保存π）218．（ 5 分）二次函数y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的部分图象以下图．（ 1）确立二次函数的分析式；2（ 2）若方程 ax +bx+c＝ k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．19．（ 5 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙ O，∠ ABC＝ 135°， AC＝ 4，求⊙ O 的半径长．220．（ 5 分）对于 x 一元二次方程x +mx+n＝ 0．（ 1）当 m＝n+2 时，利用根的鉴别式判断方程根的状况．（ 2）若方程有实数根，写出一组知足条件的m，n 的值，并求此时方程的根．21．（ 5 分）如图，PA，PB 是⊙ O 的切线，点 A，B 为切点，AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB＝70°．求∠ P 的度数．22．（ 5 分）某商铺销售一种进价为（双）与销售单价 x（元）知足20 元 / 双的手套，经检查发现，该种手套每日的销售量w＝﹣ 2x+80（ 20≤x≤40），设销售这类手套每日的收益w为 y（元）．（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每日的收益最大？最大收益是多少？23．（ 6 分）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（ 4，4）、C（ 6， 2）（ 1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M 的地点，并标出M 点的坐标；（2）若 D 点的坐标为（ 7， 0），想想直线 CD 与⊙ M 有如何的地点关系，并证明你的猜想．24．（ 6 分）已知：如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，以 AC 为直径的⊙ O 与 BC 交于点 D， DE ⊥AB，垂足为 E，ED 的延伸线与 AC 的延伸线交于点 F ．（ 1）求证： DE 是⊙ O 的切线；（ 2）若⊙ O 的半径为 4，∠ F＝ 30°，求 DE 的长．25．（7 分）如图， Q是弧AB 与弦AB 所围成的图形的内部的必定点，P 是弦AB 上一动点，连结PQ并延伸交弧AB 于点C，连结BC．已知AB ＝6cm，设 A，P 两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B， C 两点间的距离为y2cm．小明依据学习函数的经验，分别对函数y1， y2，随自变量x 的变化而变化的规律进行了研究．下边是小明的研究过程，请增补完好：（ 1）确立自变量 x 的取值范围是．（ 2）按下表中自变量x 的值进行取点、绘图、丈量，分别获得了y1， y2与 x 的几组对应值．x/cm0123456y1/cm 5.47 4.25 2.79 2.72 3.69 4.71 5.73y2/cm 1.82 2.45 3.97 5.59 5.69 5.73（ 3）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x， y1），（ x， y2），并面出函数y1， y2的图象．（ 4）联合函数图象，解决问题：当△BPC 为等腰三角形时，AP 的长度约为cm．226．（ 6 分）在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线y＝ x ﹣4x+m+2 的极点在x 轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点 Q 是 x 轴上一点，若在抛物线上存在点P，使得∠ POQ ＝ 45°，求点P 的坐标．抛物线与直线y＝ 1 交于点 E， F（点 E 在点 F 的左边），将此抛物线在点E， F（包括点 E 和点 F）之间的部分沿x 轴向左平移n 个单位后获得的图象记为G，若在图象G 上存在点 P，使得∠ POQ＝ 45°，求 n 的取值范围．27．（ 7 分）已知：在四边形ABCD 中， AB＝ AD，∠ ABC+∠ ADC ＝180°（ 1）如图，若∠ ACD＝60°，BC＝1，CD＝3，则AC的长为；（ 2）如图，若∠ ACD＝45°，BC＝1，CD＝3，求出AC的长；（ 3）如图，若∠ ACD＝30°，BC＝a，CD＝b，直接写出AC 的长．28．（ 6 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A 的坐标为（ 0，m），且 m≠ 0，点 B 的坐标为（ n，0），将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°．获得线段 BA 1，称点 A1为点 A 对于点 B 的“陪伴点”，图 1 为点 A 对于点 B 的“陪伴点”的表示图（ 1）已知点 A（ 0， 4），当点 B 的坐标分别为（1，0），（﹣ 2， 0）时，点 A 对于点 B 的“陪伴点”的坐标分别为，；点（ x， y）是点 A 对于点 B 的“陪伴点” ，直接写出y 与x 之间的关系式；（ 2）如图2，点 C的坐标为（﹣ 3， 0），以 C 为圆心，为半径作圆，若在⊙ C上存在点A关于点B的“ 伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．2018-2019 学年北京市旭日区九年级（上）期中数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（本题共16 分，每题 2 分）1．【解答】解： A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．应选： C．22．【解答】解：∵极点式y＝ a（ x﹣ h） +k，极点坐标是（h，k），∴二次函数2的图象的极点坐标是（﹣2， 3）．y＝（ x+2） +3应选： A．3．【解答】解：连结OA，∵OA＝ 5，OC＝ 3，OC⊥ AB，∴AC＝＝＝4，∵OC⊥ AB，∴AB＝ 2AC＝ 2× 4＝ 8．应选： A．4．【解答】解：∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ADB＝ 90°，∵∠ ABD＝ 59°，∴∠ A＝ 90°﹣∠ ABD ＝31°，∴∠ C＝∠ A＝ 31°．应选： B．5．【解答】解：如图，连结NN1，PP 1，可得其垂直均分线订交于点B，故旋转中心是 B 点．应选： B ．6．【解答】 解：连结 BC ， OD ，设 CD 交 AB 于 E ．∵∠ BOC ＝ 2∠CDB ，∠ CDB ＝ 30°，∴∠ COB ＝ 60°，∵ OC ＝ OB ，∴△ BOC 是等边三角形，∴∠ CBO ＝ 60°，∵ CD ⊥ AB ，CD ＝ 6，∴＝，CE ＝ED ＝ 3，∴∠ BOC ＝∠ BOD ＝ 60°， EO ＝， OC ＝2，∴∠ CBO ＝∠ BOD ，∴BC ∥ OD ，∴ S △BCD ＝ S △BCO ，∴S 阴＝S 扇形 OBC ＝ ＝ 2π．应选： C ．7．【解答】 解：从表格能够看出，函数的对称轴是x ＝ 1，极点坐标为（ 1，﹣ 1），函数与 x 轴的交点为（ 0，0）、（ 2，0），物线 y ＝ ax 2+bx+c 的张口向下．抛物线张口向上，错误；2x＝﹣ 1，错误；抛物线 y＝ ax +bx+c 的对称轴为直线2方程 ax +bx+c＝ 0 的根为 0 和 2，正确；当 y＞0 时， x 的取值范围是 x＜ 0 或 x＞ 2，正确．应选： D．8．【解答】解：依据画出的函数的图象， C 切合，应选： C．二、填空题（本题共16 分，每题 2 分）9．【解答】解：依据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）对于原点的对称点2， 3）．P′的坐标是（﹣故答案为：（﹣ 2， 3）．10．【解答】解：∵点 A（新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(含答案)一、选择题 ( 本大题共 10 个小题，每题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求)题号12345678910答案A D B B C C D D D A1.抛物线 y＝2x2－ 1 的极点坐标是 (A)A． (0 ，－ 1)B．(0 ， 1)C．( －1，0)D．(1，0)2．假如A． 2x＝－ 1 是方程 x2－ x＋ k＝ 0 的解，那么常数B ．1 C．－1D．－2k 的值为 (D)3．将抛物线y＝ x2向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的分析式是 (B)A． y＝ (x ＋2)2＋1B．y＝(x－2)2＋1C．y＝(x＋2)2－1D．y＝(x－2)2－14．小明在解方程x2－ 4x－15＝ 0 时，他是这样求解的：移项，得 x2－ 4x＝ 15，两边同时加4，2＋ 4＝19，∴ (x － 2)2∴ x－ 2＝±1＝ 2＋2＝2－19. 这类解方得 x － 4x＝ 19.19. ∴ x19， x 程的方法称为 (B)A．待定系数法 B ．配方法C．公式法D．因式分解法5．以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)A B C D6．已知抛物线y＝－ 2x2＋ x 经过 A( － 1，y1) 和 B(3 ，y2) 两点，那么以下关系式必定正确的是(C)A． 0＜ y2＜ y1 B ． y1＜ y2＜ 0 C ． y2＜ y1＜ 0 D ． y2＜ 0＜ y17．已知a， b， c分别是三角形的三边长，则方程(a ＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的状况是(D)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．可能有且只有一个实数根D．没有实数根8．如图，将矩形 ABCD绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′ C′D′的地点，旋转角为α (0 °＜α＜90° ) ．若∠ 1＝ 112°，则∠ α的大小是 (D)A． 68° B ．20° C ．28° D ．22°29．已知二次函数y＝ ax ＋ bx＋ c 的图象以下图，则以下结论正确的选项是(D)10．如图，将△ ABC绕着点 B 顺时针旋转60°获得△DBE，点C 的对应点 E 恰巧落在AB的延长线上，连结AD， AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连结PQ.若PB2AD＝ 5 cm， AB＝5，则PQ的长为(A)57A． 2 cm B. 2 cm C ． 3 cm D. 2 cm二、填空题 ( 本大题共 5 个小题，每题 3 分，共 15 分)11．在平面直角坐标系中，点A(0， 1)对于原点对称的点是(0，－ 1)．12．方程 x(x ＋ 1) ＝ 0 的根为 x1＝0， x2＝－ 1．13．某楼盘2016 年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2018 年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价均匀降低率为x，依据题意可列方程为8__100(1 －x)2＝7__600．14．二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 中x，y的部分对应值以下表：x－ 1012y6323则当 x＝－ 2 时， y 的值为 11．15. 如图，射线 OC与 x 轴正半轴的夹角为30°，点 A 是 OC上一点， AH⊥ x 轴于 H，将△AOH绕着点 O逆时针旋转 90°后，抵达△ DOB的地点，再将△ DOB沿着 y 轴翻折抵达△ GOB的地点．若点 G恰幸亏抛物线 y＝x2 (x ＞ 0) 上，则点 A 的坐标为 (3 ， 3) ．三、解答题 ( 本大题共 8 个小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16． ( 共题共 2 个小题，每题 5 分，共 10 分 )(1) 解方程： x(x ＋ 5) ＝ 5x＋ 25；解： x(x ＋ 5) ＝ 5(x ＋5) ， x(x ＋ 5) － 5(x ＋ 5) ＝ 0，∴(x － 5)(x ＋ 5) ＝ 0. ∴ x－ 5＝0 或 x＋5＝ 0.∴x1＝ 5， x2＝－ 5.(2)已知点 (5 ， 0) 在抛物线 y＝－ x2＋ (k ＋1)x － k 上，求出抛物线的对称轴．解：将点 (5 ， 0) 代入 y＝－ x2＋ (k ＋ 1)x －k，得 0＝－ 52＋ 5× (k ＋ 1) － k，解得 k＝ 5. ∴ y＝－ x2＋6x－ 5.6∴该抛物线的对称轴为直线x＝－2×（－1）＝ 3.17．( 本题 6分) 以下图的是一桥拱的表示图，它的形状近似于抛物线，在正常水位时，该桥下边宽度为20 米，拱顶距离水面 4 米，成立平面直角坐标系以下图．求抛物线的分析式．。
2015年江苏省南京市中考数学试卷及答案解析
2015年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．（2分）计算：|﹣5+3|的结果是（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣8 D ．8解：原式＝|﹣2| ＝2． 故选：B ．2．（2分）计算（﹣xy 3）2的结果是（ ） A ．x 2y 6 B ．﹣x 2y 6 C ．x 2y 9 D ．﹣x 2y 9解：（﹣xy 3）2 ＝（﹣x ）2•（y 3）2 ＝x 2y 6，即计算（﹣xy 3）2的结果是x 2y 6． 故选：A ．3．（2分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB=12，则下列结论中正确的是（ ）A ．AE AC=12B ．DE BC=12C ．△ADE 的周长△ABC 的周长=13D ．△ADE 的面积△ABC 的面积=13解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB=AE AC=DE BC，∵AD DB =12，∵AD AB=AE AC=DE BC=13，故A 、B 选项均错误； ∵△ADE ∽△ABC ， ∴△ADE 的周长△ABC 的周长=AD AB=13，△ADE 的面积△ABC 的面积=（AD AB）2=19，故C 选项正确，D 选项错误． 故选：C ．4．（2分）某市2013年底机动车的数量是2×106辆，2014年新增3×105辆，用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是（ ） A ．2.3×105辆B ．3.2×105辆C ．2.3×106辆D ．3.2×106辆解：2014年底机动车的数量为：3×105+2×106＝2.3×106． 故选：C ． 5．（2分）估计√5−12介于（ ） A ．0.4与0.5之间 B ．0.5与0.6之间 C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间解：∵2.22＝4.84，2.32＝5.29， ∴2.2＜√5＜2.3， ∵2.2−12=0.6，2.3−12=0.65，∴0.6＜√5−12＜0.65．所以√5−12介于0.6与0.7之间． 故选：C ．6．（2分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为（ ）A ．133B ．92C ．43√13D ．2√5解：连接OE ，OF ，ON ，OG ， 在矩形ABCD 中，∵∠A ＝∠B ＝90°，CD ＝AB ＝4，∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点， ∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°， ∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形， ∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2， ∴DE ＝3，∵DM 是⊙O 的切线， ∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ， ∴CM ＝5﹣2﹣MN ＝3﹣MN ， 在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2+CM 2， ∴（3+NM ）2＝（3﹣NM ）2+42， ∴NM =43， ∴DM ＝3+43=133， 故选：A ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．（2分）4的平方根是 ±2 ；4的算术平方根是 2 ． 解：4的平方根是±2；4的算术平方根是2． 故答案为：±2；2．8．（2分）若式子√x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥﹣1 ． 解：根据题意得：x +1≥0， 解得x ≥﹣1， 故答案为：x ≥﹣1．9．（2分）计算√5×√15√3的结果是 5 ．解：√5×√15√3=√5×√5=5．故答案为：5．10．（2分）分解因式（a ﹣b ）（a ﹣4b ）+ab 的结果是 （a ﹣2b ）2 ． 解：（a ﹣b ）（a ﹣4b ）+ab ＝a 2﹣5ab +4b 2+ab ＝a 2﹣4ab +4b 2 ＝（a ﹣2b ）2． 故答案为：（a ﹣2b ）2． 11．（2分）不等式组{2x +1＞−12x +1＜3的解集是 ﹣1＜x ＜1 ．解：{2x +1＞−1①2x +1＜3②，解不等式①得：x ＞﹣1， 解不等式②得：x ＜1，所以不等式组的解集是﹣1＜x ＜1． 故答案为：﹣1＜x ＜1．12．（2分）已知方程x 2+mx +3＝0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ，m 的值是 ﹣4 ． 解：设方程的另一个解是a ，则1+a ＝﹣m ，1×a ＝3， 解得：m ＝﹣4，a ＝3． 故答案是：3，﹣4．13．（2分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（2，﹣3），作点A 关于x 轴的对称点，得到点A ′，再作点A ′关于y 轴的对称点，得到点A ″，则点A ″的坐标是（ ﹣2 ， 3 ）．解：∵点A 的坐标是（2，﹣3），作点A 关于x 轴的对称点，得到点A ′， ∴A ′的坐标为：（2，3），∵点A ′关于y 轴的对称点，得到点A ″， ∴点A ″的坐标是：（﹣2，3）． 故答案为：﹣2；3．14．（2分）某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：工种人数每人每月工资/元电工57000木工46000瓦工55000现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差变大（填“变小”、“不变”或“变大”）．解：∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大．故答案为：变大．15．（2分）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝215°．解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故答案为：215．16．（2分）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1=1x，则y2与x的函数表达式是y2=4x．解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1=1x上，∴设A（a，1a ），∴OC＝a，AC=1 a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴ACBD =OCOD=OAOB，∵A为OB的中点，∴ACBD =OCOD=OAOB=12，∴BD＝2AC=2a，OD＝2OC＝2a，∴B（2a，2a ），设y2=k x，∴k＝2a•2a=4，∴y2与x的函数表达式是：y2=4 x．故答案为：y2=4 x．三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式2（x+1）﹣1≥3x+2，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，合并同类项，得﹣x≥1，系数化为1，得x≤﹣1，这个不等式的解集在数轴上表示为：18．（7分）解方程：2x−3=3x．解：方程两边同乘以x（x﹣3），得2x＝3（x﹣3）．解这个方程，得x＝9．检验：将x＝9代入x（x﹣3）知，x（x﹣3）≠0．所以x＝9是原方程的根．19．（7分）计算：（2a2−b2−1a2−ab）÷aa+b．解：（2a2−b2−1a2−ab）÷aa+b＝[2(a+b)(a−b)−1a(a−b)]×a+ba＝[2aa(a+b)(a−b)−a+ba(a+b)(a−b)]×a+ba=2a−(a+b)a(a+b)(a−b)×a+b a=1a2．20．（8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD=CD BD．（1）求证：△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．（1）证明：∵CD 是边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°， ∵AD CD=CD BD．∴△ACD ∽△CBD ；（2）解：∵△ACD ∽△CBD ， ∴∠A ＝∠BCD ，在△ACD 中，∠ADC ＝90°， ∴∠A +∠ACD ＝90°， ∴∠BCD +∠ACD ＝90°， 即∠ACB ＝90°．21．（8分）为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2010年抽样结果，得到下列统计图：（1）本次检测抽取了大、中、小学生共 10000 名，其中小学生 4500 名； （2）根据抽样的结果，估计2014年该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学生人数为36000名；（3）比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．解：（1）100000×10%＝10000（名），10000×45%＝4500（名）．故答案为：10000，4500；（2）100000×40%×90%＝36000（名）．故答案为：36000；（3）例如：与2010年相比，2014年该地区大学生50米跑成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．22．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币．（1）求取出纸币的总额是30元的概率；（2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．解：（1）列表：共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，所以取出纸币的总额是30元的概率=1 3；（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为2 3．23．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）解：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO＝45°，∵tan∠CAO=CO AO，∴CO＝AO•tan∠CAO＝（45×0.1+x）•tan45°＝4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，∵tan∠DBO=DO BO，∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan58°，∵DC＝DO﹣CO，∴36×0.1＝x•tan58°﹣（4.5+x），∴x=36×0.1+4.5tan58°−1≈36×0.1+4.51.60−1=13.5．因此，B处距离码头O大约13.5km．24．（8分）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．（1）证明：∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH=12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∴∠FEH+∠EFH=12（∠BEF+∠DFE）=12×180°＝90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，同理可得：∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠GEF=12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=12∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB＝180°，即∠AEF+∠BEF＝180°，∴∠FEG+∠FEH=12（∠AEF+∠BEF）=12×180°＝90°，即∠GEH＝90°，∴四边形EGFH是矩形；（2）解：答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证GE＝FH、∠GME＝∠FQH．故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，∠GEF＝∠EFH，即可得证．25．（10分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）解：满足条件的所有图形如图所示：共5个．26．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB；（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形．27．（10分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x （单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝k 1x +b 1，∵y 1＝k 1x +b 1的图象过点（0，60）与（90，42），∴{b 1=6090k 1+b 1=42∴{k 1=−0.2b 1=60， ∴这个一次函数的表达式为；y 1＝﹣0.2x +60（0≤x ≤90）；（3）设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝k 2x +b 2，∵经过点（0，120）与（130，42），∴{b 2=120130k 2+b 2=42， 解得：{k 2=−0.6b 2=120， ∴这个一次函数的表达式为y 2＝﹣0.6x +120（0≤x ≤130），设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，当0≤x ≤90时，W ＝x [（﹣0.6x +120）﹣（﹣0.2x +60）]＝﹣0.4（x ﹣75）2+2250， ∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2250；当90≤x ≤130时，W ＝x [（﹣0.6x +120）﹣42]＝﹣0.6（x ﹣65）2+2535，由﹣0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，W ≤2160， ∴当x ＝90时，W ＝﹣0.6（90﹣65）2+2535＝2160，因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250．。
2014-2015学年九年级上期中数学试卷及答案
九年级数学期中学业水平检测试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中） 1．下列方程为一元二次方程的是A ．20-+=ax bx c (a 、b 、c 为常数) B ．()231x x x +=-C ．(2)3x x -=D ．10x x+= 2．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为 A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -=3．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A ．k ＞14-B ．k ＞14-且0k ≠ C ．k ＜14- D ．k ≥14-且0k ≠4．一位卖“运动鞋”的经销商抽样调查了9位七年级学生的鞋号，号码分别为（单位：cm ）：24，22，21，24，23，25，24，23，24,经销商最感兴趣的是这组数据的 A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差5．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周体育锻炼时间的众数、中位数分别是A ．16、10.5B ．8、9C ．16、8.5D ．8、8.56．如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8， M 是线段AB 上一个动点，则OM 的取值范围是 A ．3≤OM ≤5 B ．3≤OM ＜5 C ．4≤OM ≤5 D ．4≤OM ＜5 7. 如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A =50°，则∠COD 的度数是A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°(小时)(第5题图）（第5题）（第6题）（第7题）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题纸相应位置上）9．若关于x 的方程()2320k x x -+=是一元二次方程，则k 的取值范围是 ▲ ． 11．若n （n ≠0）是关于x 的方程x 2+mx +2n ＝0的根，则m +n 的值为 ▲ ．12．在一个不透明的口袋中，装有若干个颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有3个红球且摸到红球的概率为51，那么口袋中球的总个数为 ▲ ． 13．小明等五位同学的年龄分别为：14、14、15、13、14，计算出这组数据的方差是0.4，则20年后小明等五位同学年龄的方差为 ▲ .14．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC ＝25°，则∠CAD 的度数为 ▲ ． 15．如图，当半径为30cm 的传送带转动轮转过120︒角时，传送带上的物体A 平移的距离为 ▲ cm (结果保留π).16．如图，△ABC 内接于⊙O ，CB ＝a ，CA ＝b ，∠A －∠B ＝90°，则⊙O 的半径为 ▲ ． 17．若圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是 ▲． 18．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°， AO ∥DC，则∠B的度数为 ▲ ．（第14题） （第15题）（第16题）（第8题）（第18题）三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 19．(本题满分8分) 解方程：（1）(2)20x x x -+-= （2）263910x x +-=20．（本题满分8分）如图，学校打算用16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如下图），面积是30 m 2．求生物园的长和宽．21．（本题满分8分）一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、-2、3、-4，搅匀后先从中摸出一个球（不放回），再从余下的3个球中摸出1个球．（1）用树状图列出所有可能出现的结果；（2）求2次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率．22．（本题满分8分）操作题： 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB =AC ，P 是⊙O 上一点．（1）请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，分别画出图①和图②中∠P 的平分线； （2）结合图②，说明你这样画的理由．生物园23．（本题满分10分）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．24．（本题满分10分）如图，已知P A、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．25．（本题满分10分）某农户在山上种脐橙果树44株，现进入第三年收获。
江苏省南京市秦淮区2015届九年级上学业质量监测(期中)数学试卷苏科版
乙
丙
丁
平均数 (cm)561来自560561560
方差s2(cm2)
3.5
3.5
15.5
15.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．把方程x2＋4x－5＝0化成（x＋m）2＝n的形式，则m、n的值分别是
A．2，9 B．－2，9 C．2，1 D．－2，1
求证：△ACE是奇异三角形．
27．(12分)如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．
(1)若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．
①当∠APB＝45°时，AB的长度为▲；
②当AB＝1时，∠APB＝▲°；
(2)若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D(点C与点A、点D与点B均不重合)，连接AD，设∠CAD＝α，∠ADB＝β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．
成绩如下：采访写作70分，计算机操作60分，
创意设计88分，如果采访写作、计算机操作和
创意设计的成绩按4:1:3计算，则他的素质测试
平均成绩为▲分．
12．现有一块长80cm、宽60cm的长方形铁皮，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意，列方程得▲．
16．如图，点D与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC＝38°,则∠CDB＝▲°．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(6分)解方程x2＋x－3＝0．
18．(6分)解方程(x＋2)2＝3(x＋2)．
【5套打包】南京市初三九年级数学上期中考试检测试卷(解析版)
新九年级上册数学期中考试试题(含答案)一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）3．（2分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（）A．8B．6C．4D．104．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（）A．29°B．31°C．59°D．62°5．（2分）如图4×4的正方形网格中，△PMN绕某点旋转一定的角度，得到△P1M1N1，其旋转中心是（）A．A点B．B点C．C点D．D点6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝6，阴影部分图形的面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π7．（2分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表：①物线y＝ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2以上结论中其中的是（）A．①④B．②④C．②③D．③④8．（2分）如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是．10．（2分）平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O（填：“内”或“上“或“外”）11．（2分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕30°角的顶点B顺时计旋转，使得点A 落在CB的延长线上的点E处，则∠BCD的度数为．12．（2分）将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝．13．（2分）若正六边形的边长为2，则其外接圆的面积为．14．（2分）二次函数满足下列条件：①函数有最大值3；②对称轴为y轴，写出一个满足以上条件的二次函数解析式：15．（2分）圆锥底面半径为6，高为8，则圆锥的侧面积为．16．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB＝∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB＝∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是；（2）∠APB＝∠ACB的依据是．三、解答题（本原共68分，第17-22题，每小题5分，第23、24、26、28题，每小题5分，第25，27题，每小题5分）17．（5分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90，且点B的坐标为（4，2）（1）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA1B1．（2）求点B旋转到点B1所经过的路线长（结果保留π）18．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．（1）确定二次函数的解析式；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半径长．20．（5分）关于x一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）当m＝n+2时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．21．（5分）如图，P A，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°．求∠P的度数．22．（5分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w （双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？23．（6分）如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）（1）用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置，并标出M点的坐标；（2）若D点的坐标为（7，0），想一想直线CD与⊙M有怎样的位置关系，并证明你的猜想．24．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE ⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠F＝30°，求DE的长．25．（7分）如图，Q是弧AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接BC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是．（2）按下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值．（3）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并面出函数y1，y2的图象．（4）结合函数图象，解决问题：当△BPC为等腰三角形时，AP的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q是x轴上一点，①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．27．（7分）已知：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°（1）如图①，若∠ACD＝60°，BC＝1，CD＝3，则AC的长为；（2）如图②，若∠ACD＝45°，BC＝1，CD＝3，求出AC的长；（3）如图③，若∠ACD＝30°，BC＝a，CD＝b，直接写出AC的长．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），且m≠0，点B的坐标为（n，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°．得到线段BA1，称点A1为点A关于点B的“伴随点”，图1为点A关于点B的“伴随点”的示意图（1）已知点A（0，4），①当点B的坐标分别为（1，0），（﹣2，0）时，点A关于点B的“伴随点”的坐标分别为，；②点（x，y）是点A关于点B的“伴随点”，直接写出y与x之间的关系式；（2）如图2，点C的坐标为（﹣3，0），以C为圆心，为半径作圆，若在⊙C上存在点A关于点B的“伴随点”，直接写出点A的纵坐标m的取值范围．2018-2019学年北京市朝阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误．故选：C．2．【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴二次函数y＝（x+2）2+3的图象的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：A．3．【解答】解：连接OA，∵OA＝5，OC＝3，OC⊥AB，∴AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，∴AB＝2AC＝2×4＝8．故选：A．4．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝59°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝31°，∴∠C＝∠A＝31°．故选：B．5．【解答】解：如图，连接NN1，PP1，可得其垂直平分线相交于点B，故旋转中心是B点．故选：B．6．【解答】解：连接BC，OD，设CD交AB于E．∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵CD⊥AB，CD＝6，∴＝，CE＝ED＝3，∴∠BOC＝∠BOD＝60°，EO＝，OC＝2，∴∠CBO＝∠BOD，∴BC∥OD，∴S△BCD＝S△BCO，∴S阴＝S扇形OBC＝＝2π．故选：C．7．【解答】解：从表格可以看出，函数的对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，﹣1），函数与x轴的交点为（0，0）、（2，0），①物线y＝ax2+bx+c的开口向下．抛物线开口向上，错误；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，错误；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2，正确；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，正确．故选：D．8．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．10．【解答】解：∵点A（新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y26．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）＝14，解得：x1＝1，x2＝4．因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，x+3＝4．答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），∴点B（6，4）．（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．。
南京市雨花区梅山第二中学2019年九年级上期中模拟卷(按进度)
2019年九年级第一学期期中模拟卷班级______________ 姓名____________ 成绩__________一、选择题1、已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个角分别为︒75、︒60，则另一个三角形的最小内角是………………………………………………………………………（ ） A. ︒75 B. ︒60 C. ︒45 D. 不能确定2、在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 边的中点，则下列结论成立的是 （ ）A. BD AD =B. CA AE 21=C. CB DE =2D. BC DE 21= 3、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB DE //交AC 于E ，如果32=EC AE ，那么=ACAB（ ） （A ）31（B ）32 （C ）52（D ）534、设e 是单位向量，a 是非零向量，则下列式子中正确的是……（ ） （A ）a e ＝a （B ）a e ＝a （C ）1aa ＝e （D ）a e ＝a 5、在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是……（ ）A. 32sin =B B. 32cos =B C. 32tan =B D. 32cot =B 6、在A B C ∆中，A ∠、B ∠是锐角，且满足23cos =A ，22sin =B ，试判断ABC ∆ 的形状是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形二、填空题 7、如果23=y x ，那么yx y x -+的值为____________ 8、延长线段AB 至点C ，使得AB 为AC 与BC 的比例中项，则ABAC的值为_________ 9、已知两个相似三角形的相似比是4:9，其中一个三角形的面积是16，则另一个三角形的面积是______________10、已知G 是ABC ∆的重心，过点G 作EF//BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若用用EF 来表示BC ，=BC _______________11、在1:5000的地图上，某两地间距离是30cm ，那么这两地的实际距离为_____ 千米. 12、已知一个三角形的三边为3、4、5，则最小的内角的余弦值为______________ 13、若α为锐角，且满足()115tan 3=︒+α，则α=_______度14、已知 a ＝2， b ＝ 3，且 b 与 a 方向相同，则用向量b 表示向量a 为 ． 15、在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，则=∠ABD cot ____________AB CDE（3题）16、在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将ACD ∆沿着AC 翻折，点D 落在点E 上，则BE=_______________（第16题） （第17题） （第18题）17、延长四边形ABCD 的两组对边交于E 、F 点，若DF=2DA ，AB=3AE ，则=DCDE______ 18、ABC ∆是直角三角形，︒=∠90C ，如果用四张与ABC ∆全等的三角形纸片拼成一个等腰梯形，那么A ∠的余切值为______________ 三、解答题19、计算：()︒-︒-︒⋅︒︒+︒60cos 60sin 330cot 30tan 45cos 45sin 2220、如图：四边形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，OA OD 2=，OB OC 2=. （1）求证：AOB ∆∽DOC ∆； （2）点E 在线段OC 上，若AB ∥DE ，求证：OC OE OD ⋅=2.EA BD C FE A B C D BCAD A B C O E21、在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE//BC ，若3=∆ADE S ，4=∆CDE S ，求（1）ABC ADE S S ∆∆:的值（2）若记a AB =，b AC =，请你用a 与b 的线性组合表示CD 、DE22、已知：在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，ABD DAE ∠=∠ 求证：（1）DB DE AD ⋅=2（2）ACB DEC ∠=∠DACB EBCA D EBCA23、如图，在△ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 相交于K ，已知S △AGF ︰S △ABC ＝9︰64， EF ＝10，求AH 的长．24、教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时 sad A =BCAB=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad 60︒的值为（ ） A.12B. 1C.32D. 2 （2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sad A 的取值范围是 . （3）已知3sin 5α=，其中α为锐角，试求sad α的值.BCADEG FKH25、在平行四边形ABCD 中，CD=10，54sin =C ，点E 、F 分别是边AD 、对角线BD 上的动点（点E 与A 、D 不重合），DBC A BEF ∠=∠=∠，设x AE =，y BF = （1）求AD 的长（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围（3）点E 在AD 上的移动过程中，BEF ∆是否可能成为一个等腰三角形？若有可能，求出x 的值；若不可能，请说明理由。
南京市雨花区梅山二中九年级上月考数学试卷(10月份)
南京市雨花区梅山二中九年级上学期月考数学试卷（10月份）一、选择题（共6小题）1．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上．下列各比例式中，能够判定DE∥BC的有（）A．=B．=C．=D．=2．下列四个命题中，正确的是（）A．相似三角形面积的比等于相似比B．相似三角形对应高的比等于相似比的平方C．相似三角形对应角平分线的比等于相似比D．相似三角形中线的比等于相似比3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，则△ADE与四边形DBCE的面积之比是（）A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：44．下列命题错误的是（）A．相似三角形周长之比等于对应高之比B．两个等腰直角三角形一定相似C．各有一个角等于91°的两个等腰三角形相似D．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似5．在△ABC中，点D为边AC上的一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.56．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE=∠B．那么下列各判断中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB二、填空题（共12小题）7．在同一时刻，某人身高1.6m，影长1m，一塔的影长25m，则这座塔高m．8．在△ABC中，∠B=40°，点D为BC边上一点，且∠BDA=90°，若△ACD与△ABD相似，则∠BAC的度数是．9．在△ABC中，已知点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2cm，DB=4cm，AE=3cm，EC=1cm，DE=2.5cm，那么BC=cm．10．如图△ABC中，DE∥BC，AD：BD=1：2，则DE：BC=．11．已知△ABC中，AB=4，AC=3，把△ABC绕点A旋转某个角度后，使得点B落在点B1处，点C落在点C1处，这时，若BB1=2，则CC1的长度为．12．如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为．13．已知线段AB=4cm，点P是AB的黄金分割点，则较长线段PB的长为cm．14．如图，在△A BC中，DE∥BC，S△ADE=3，S△BCE=18，则S△BDE=．15．如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE：ED=1：2，CE与BD交于点O，则BO：OD=．16．两个相似三角形的相似比为2：3，又它们其中一个周长为12，则另一个三角形的周长为．17．已知线段b=2，c=8，若线段a是线段b与c的比例中项，则a=．18．如图，已知边长为6的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是．三、解答题（共7小题）19．已知：如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，点E在AB上，AE=4，BC=8，求DE的长．20．如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12米，高AD=8米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？21．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，点F为AD上的一点，且AD2=AB•AF．求证：EF∥CD．22．如图，矩形ABCD中AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发，用t表示移动时间（0≤t≤6），求当t 何值时，△APQ与△ABC相似？23．已知AD为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直平分线，求证：FD2=FB•FC．24．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D、E、F分别是AC、BC边上一点，且CE=，BF=．（1）求证：=．求∠EDF的度数．南京市雨花区梅山二中九年级上学期月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共6小题）1．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上．下列各比例式中，能够判定DE∥BC的有（）A．=B．=C．=D．=考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理和比例的性质分别进行判断易得到只有当=，则=，得到DE∥BC．解答：解：如图，A、由=，不能判断DE∥BC，所以A选项不正确；B、由=，则=，有DE∥BC，所以B选项正确；C、由=，可得DE∥BC，所以C选项不正确；D、由=，不能判断DE∥BC，所以D选项不正确．故选B．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：如果一组平行线被两条直线所截，那么所截得的线段对应成比例．也考查了比例的性质．2．下列四个命题中，正确的是（）A．相似三角形面积的比等于相似比B．相似三角形对应高的比等于相似比的平方C．相似三角形对应角平分线的比等于相似比D．相似三角形中线的比等于相似比考点：命题与定理；相似三角形的性质．分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答： A．相似三角形面积的比等于相似比的平方，故原命题错误，B．相似三角形对应高的比等于相似比，故原命题错误，C．相似三角形对应角平分线的比等于相似比，正确，D．相似三角形对应中线的比等于相似比，故原命题错误，故选：C．点评：此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=2，则△ADE与四边形DBCE的面积之比是（）A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：4考点：相似三角形的判定与性质．分析：因为DE∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．解答：解：∵AD=3，BD=2，∴AB=AD+BD=5，∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∴△ADE与四边形DBCE的面积之比是：，故选：C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．4．下列命题错误的是（）A．相似三角形周长之比等于对应高之比B．两个等腰直角三角形一定相似C．各有一个角等于91°的两个等腰三角形相似D．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似考点：命题与定理．分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答： A．相似三角形周长之比等于对应高之比，正确，B．两个等腰直角三角形一定相似，正确，C．各有一个角等于91°的两个等腰三角形相似，正确，D．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故原命题错误；故选：D．点评：本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．在△ABC中，点D为边AC上的一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5考点：相似三角形的判定与性质．分析：由∠DBC=∠A，∠C=∠C，可证得△BCD∽△ACB，于是得到，代入数据可求得．解答：解：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，∴，∴=∴CD=2，故选：C．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质的应用，解题的关键是证得△BCD∽△ACB．6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE=∠B．那么下列各判断中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB考点：相似三角形的判定．分析：由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE与△DCB不相似；正确的判断是A、B、C，错误的判断是D；故选：D．点评：本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．二、填空题（共12小题）7．在同一时刻，某人身高1.6m，影长1m，一塔的影长25m，则这座塔高40m．考点：相似三角形的应用．专题：应用题．分析：设这座塔高为xm，利用相似三角形的性质得x：1.6=25：1，解方程即可．解答：解：设这座塔高为xm，根据题意得，x：1.6=25：1，∴x=40．故答案为40．点评：本题考查了相似三角形的应用：根据实际问题构建三角形相似，然后利用相似三角形的性质得到相似比，建立方程，解方程即可．8．在△ABC中，∠B=40°，点D为BC边上一点，且∠BDA=90°，若△ACD与△ABD相似，则∠BAC的度数是90°或100°．考点：相似三角形的性质．专题：分类讨论．分析：先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再根据相似三角形对应角相等分两种情况求出∠DAC的度数，∠BAC的度数可求．解答：解：∵∠B=40°，∠BDA=90°，∴∠BAD=90°﹣40°=50°，又∵△ACD与△ABD相似，①∴∠DAC=∠B=40°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，②∴∠DAC=∠BAD=50°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=100°，故∠BAC的度数是90°或100°．点评：本题利用相似三角形对应角相等求解，注意分两种情况讨论．9．在△ABC中，已知点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2cm，DB=4cm，AE=3cm，EC=1cm，DE=2.5cm，那么BC=5cm．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先根据相似三角形的判定证明△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的性质求解．解答：解：∵AD=2cm，DB=4cm，AE=3cm，EC=1cm，∴=，=，∴，又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，则BC=5（cm）．故答案为5．点评：此题综合运用了相似三角形的判定和性质．相似三角形的判定：两个角对应相等的两个三角形相似；两条对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似；三条对应边的比相等的两个三角形相似．相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．10．如图△ABC中，DE∥BC，AD：BD=1：2，则DE：BC=1：3．考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理进行解答．解答：解：∵DE∥BC，∴AD：AB=DE：BC，∵AD：BD=1：2，∴AD：AB=1：3，∴DE：BC=1：3．点评：考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，本题注意将AD：BD=1：2转化为AD：AB=1：3．11．已知△ABC中，AB=4，AC=3，把△ABC绕点A旋转某个角度后，使得点B落在点B1处，点C落在点C1处，这时，若BB1=2，则CC1的长度为．考点：相似三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：根据旋转的性质可以得到△BB′A和△CC′A是顶角相等的两个等腰三角形，因而△BB′A∽△CC′A，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得．解答：解：∵△BB′A∽△CC′A∴==∴CC′=BB′=．点评：本题主要是运用旋转的性质，利用相似三角形的性质求解，得到△BB′A∽△CC′A是解决本题的关键．12．如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为6．考点：三角形的重心；直角三角形斜边上的中线．分析：首先根据题意作图，然后由AB=18，∠ACB=90°，G为Rt△ABC的重心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得CD的长，又由重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，即可求得这个直角三角形的重心到直角顶点的距离．解答：解：根据题意的：AB=18，∠ACB=90°，E为Rt△ABC的重心，∴AD=BD，DE：CE=1：2，∴CD=AB=×18=9，CE：CD=2：3，∴CE=CD=×9=6．故答案为：6．点评：此题考查了直角三角形的性质与三角形重心的性质．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍定理的应用．13．已知线段AB=4cm，点P是AB的黄金分割点，则较长线段PB的长为2﹣2cm．考点：黄金分割．分析：根据黄金分割点的定义，知较长线段=×原线段，即可求出结果．解答：解：∵线段AB=10cm，C为AB的黄金分割点，∴较长线段PB=4×=cm；故答案为：2﹣2．点评：此题考查了黄金分割，解答本题的关键是掌握黄金分割的定义，属于基础题，难度一般．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE=3，S△BCE=18，则S△BDE=6．考点：相似三角形的判定与性质．分析：设S△BDE=x，则可得出△ABE△BCE的面积之比，再将x的值代入即可得出答案．解答：解：（1）设S△BDE=x．∵=，=，∵DE∥BC，∴，∵S△ADE=3，S△BCE=18，∴=，∴=，解得：x1=﹣9（舍），x2=6．∴S△BDE=6；故答案为：6．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．15．如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE：ED=1：2，CE与BD交于点O，则BO：OD=3：2．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由在▱ABCD中，且AE：ED=1：2，易得DE：BC=2：3，通过△DOE∽△BCO，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：∵AE：ED=1：2，∴DE：AD=2：3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=2：3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEO∽△BCO，∴BC：DE=BO：DO=3：2．故答案为：3：2．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．16．两个相似三角形的相似比为2：3，又它们其中一个周长为12，则另一个三角形的周长为18或8．考点：相似三角形的性质．分析：由两个相似三角形的相似比为2：3，可求得其周长比，又由它们其中一个周长为12，分别从这个三角形是小三角形与大三角形去分析求解即可求得答案．解答：解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴其周长比为2：3，∵其中一个周长为12，∴若这个三角形是其中小三角形，则另一个三角形的周长为：18；若这个三角形是其中大三角形，则另一个三角形的周长为：8；综上：则另一个三角形的周长为：18或8．故答案为：18或8．点评：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的周长的比等于相似比．17．已知线段b=2，c=8，若线段a是线段b与c的比例中项，则a=4．考点：比例线段．分析：由线段a是线段b与c的比例中项，根据线段比例中项的概念，可得b：a=a：c，可得a2=bc=16，故a的值可求．解答：解：∵线段a是线段b与c的比例中项，∴a2=bc=2×8=16，解得a=±4，又∵线段是正数，∴a=4．故答案为：4．点评：本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．18．如图，已知边长为6的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是24﹣12．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．分析：设EC=x，由翻折的性质可知AE=ED，在Rt△EDC中，由特殊锐角三角函数值列方程求解即可．解答：解：设EC=x．由翻折的性质可知；AE=ED=6﹣x．∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°．∵ED⊥BC，∴△EDC为直角三角形．∴sin∠C=，即．解得：x=24﹣12．故答案为：24﹣12．点评：本题主要考查是翻折的性质，等边三角形的性质、特殊锐角三角函数，然后翻折的性质和特殊锐角三角函数值列出方程是解题的关键．三、解答题（共7小题）19．已知：如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，点E在AB上，AE=4，BC=8，求DE的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，设DE=BE=x，证相似，得出比例式，代入求出即可．解答：解：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠CBD=∠ABD，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，设DE=BE=x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴=，∴，解得：x=4，（负值舍去），∴DE=4．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BE=DE和求出△AED∽△ABC．20．如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12米，高AD=8米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？考点：相似三角形的应用；正方形的性质．分析：设出边长为x米，由正方形的性质得出，PN∥BC，PH∥AD，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，=、=，代入数据求解即可．解答：解：设这个正方形零件的边长是x米，∵矩形为正方形，∴PN∥BC，PH∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，由题意知Ph=x，AD=8米，BC=12米，PN=x，即=、=，∴+=+，∵AP+BP=AB，∴+=1，解得x=4.8．答：这个正方形零件的边长是4.8米．点评：本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．21．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，点F为AD上的一点，且AD2=AB•AF．求证：EF∥CD．考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由平行线分线段成比例定理得出=，再根据=，即可得出=，从而得出EF∥DC．解答：证明：∵DE∥BC，∴=，∵AD2=AB•AF，∴=，∴，∴=，∴EF∥DC．点评：本题考查了平行线分线段成比例．找准对应关系是解题的关键．22．如图，矩形ABCD中AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发，用t表示移动时间（0≤t≤6），求当t 何值时，△APQ与△ABC相似？考点：相似三角形的判定；矩形的性质．专题：动点型．分析：由矩形的性质和SAS证出△ABD≌△BAC，若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD 相似；分两种情况：①当时；②当时；分别得出t的方程，解方程即可．解答：解：由题意得：AP=2tcm，DQ=tcm，则AQ=（6﹣t）cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD相似；分两种情况：①当时，即，解得：t=3；②当时，即，解得：t=．综上所述：当t=3或t=时，△APQ与△ABC相似．点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解方程等知识；本题难度不大，需要进行分类讨论．23．已知AD为∠BAC的平分线，EF为AD的垂直平分线，求证：FD2=FB•FC．考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连结AF，则DF=AF，再由△ACF∽△BAF，对应边成比例，即可求证．解答：证明：连接AF，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，又∵EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，∴∠CAF=∠B，∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF•BF，即FD2=CF•BF．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及垂直平分线的性质问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．考点：二次函数综合题；等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：开放型．分析：（1）①求线段CQ的长，根据已知条件AB=AC，∠APQ=∠ABC知道，可以先证明△QCP∽△PBA，由比例关系式得出；②要求y与x之间的函数关系式，函数的定义域，因为BP在线段CB上，或在CB的延长线上，根据实际情况证明△QCP∽△ABP，求出比例关系式得出要求线段BP的长，先证明△BAP∽△CPQ得出比例式，再利用图形间的“和差“关系求解．解答：解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．②若点P在线段CB上，由（1）知，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PA B，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180°﹣∠ABC，∠PCQ=180°﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，∴，即（x≥8）．①当点P在线段BC上，∵∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPC=90°，∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠PAB=∠QPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，即5：（5﹣BP）=BP：1，解得：，或，②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP﹣5）=BP：1，解得：，③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，同理可得：△ABP∽△PCQ，∴AB：PC=BP：CQ，∴5：（BP+5）=BP：1，解得：．点评：本题结合三角形，正方形的性质考查二次函数的综合应用，根据相似三角形的性质，利用图形间的“和差“关系求解．25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D、E、F分别是AC、BC边上一点，且CE=，BF=．（1）求证：=．求∠EDF的度数．考点：相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；数形结合．分析：（1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证Rt△ADC∽Rt△CDB；易证得CE：BF=AC：BC，联立（1）的结论，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易证得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF，由于∠BDF和∠CDF互余，则∠EDC和∠CDF也互余，由此可求得∠EDF的度数．解答：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°又∵∠A+∠B=90°∴∠B=∠ACD∴Rt△ADC∽Rt△CDB∴；解：∵，又∵∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD；∴∠CDE=∠BDF；∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．点评：此题考查的是相似三角形的判定和性质；识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．。
【初三数学】南京市九年级数学上期中考试检测试卷(含答案)
新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．6 B ．－6 C ．5 D ．－5 5．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 3第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图10．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是 ．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 ．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t－1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是 度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为 ．第10题图第16题图第15题图三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（本题8分）解方程x2－3x＋1＝018．（本题8分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝2的根；（2）直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.19．(本题8分) 关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有实数根. （1）求m的取值范围；（2）若两根为x1、x2且x12＋x22＝7，求m的值.20．(本题8分) 如图，△ABC是等边三角形.（1）作△ABC的外接圆；（2）在劣弧BC上取点D，分别连接BD，CD，并将△ABD绕A点逆时针旋转60°；（3）若AD＝4，直接写出四边形ABDC的面积.21．(本题8分) 如图，AB为⊙O的直径，且AB＝10，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点E，AE＝6，，AD⊥CD于D，F为半圆弧AB的中点，EF交AC于点G.（1）求CD的长；（2）求EG的长.第18题图第20题图AB C第21题图A B22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D .（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD ≤MN ，设AD ＝x 米.①若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； ②求矩形菜园ABCD 面积的最大值；（2）如图2，若a ＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD 面积的最大值是 米2.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是△ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，且PA，设∠APB ＝α，∠CPB ＝β.（1）如图1，若∠ACP ＝45°，将△PBC 绕点C 顺时针旋转90°至△DAC ，连结新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程3x 2－6x －1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，6，1 B ．3，6，－1 C ．3，－6，1 D ．3，－6，－12．用配方法解方程x 2－4x ＋2＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －2)2＝2 B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝－2D ． (x －2)2＝63．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是（ ） A ．6B ．－6C ．5D ．－5A BCDMN NM DC BA第22题图2第22题图15．如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是AB 上一个动点，则OP 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．某市“赏花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2016年约为20万人次，2018年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20C ．20(1＋x )2＝28.8D ．20＋20(1＋2x )＋ 20(1＋x )2＝28.87．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转48°得到Rt △A ′B ′C ′，点A 在B ′C 上，则∠B ′的大小为（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 8．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC ＝35°，则∠CAB 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°9．抛物线y ＝ax 2－2ax －3a 上有A （－0.5，y 1），B （2，y 2）和C （3，y 3）三点，若抛物线与y 轴的交点在正半轴上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 2＜y 310．某学习小组在研究函数y ＝16x 3－2x 的图象和性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分，则方程16x 3－2x ＝1实数根的个数为（ ）A ．1 B．2C ．3D ．4第5题图第7题图ABCA 'B 'A第8题图第10题图二、填空题（每小题3分，共18分）11．一元二次方程x 2－9＝0的解是 ．12．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有 个班级参赛．13．抛物线y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 ．14．飞机着陆后滑行的距离s (m )与滑行时间t (s )的函数关系式为s ＝60t －1.5t 2，飞机着陆后滑行 m 才能停下来．15．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AB 上的一动点，则∠APB 的大小是 度．16．如图，⊙O 的半径是1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连OC ，则OC 的最大值为 ．三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题8分）解方程x 2－3x ＋1＝018．（本题8分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程ax 2＋bx ＋c ＝2的根； （2）直接写出不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集.19．(本题8分) 关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＝0有实数根. （1）求m 的取值范围；第16题图第15题图第18题图（2）若两根为x 1、x 2且x 12＋x 22＝7，求m 的值.20．(本题8分) 如图，△ABC 是等边三角形. （1）作△ABC 的外接圆；（2）在劣弧BC 上取点D ，分别连接BD ，CD ，并将△ABD 绕A 点逆时针旋转60°；（3）若AD ＝4，直接写出四边形ABDC 的面积.21．(本题8分) 如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝10，C 为⊙O 上一点，AC 平分∠DAB 交⊙O 于点E ，AE ＝6，，AD ⊥CD 于D ，F 为半圆弧AB 的中点，EF 交AC 于点G . （1）求CD 的长； （2）求EG 的长.22．(本题10分)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABC D .（1）如图1，已知矩形菜园的一边靠墙，且AD ≤MN ，设AD ＝x 米.①若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； ②求矩形菜园ABCD 面积的最大值；（2）如图2，若a ＝20，则旧墙和木栏能围成的矩形菜园ABCD 面积的最大值是 米第20题图ABC第21题图AB A BCDMN NM DC BA第22题图2第22题图12.23．(本题10分) 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，且PA，设∠APB＝α，∠CPB＝β.（1）如图1，若∠ACP＝45°，将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(答案)一、选择题（共30分，每小题3分）1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2 6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．547．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．208．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．69．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题1．某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．解：∵DE∥BC，∴＝，∵，AE＝2cm，∴＝，∴AC＝6（cm），故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，解得：m＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．4．右面的三视图对应的物体是（）A．B．C．D．【分析】因为主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．所以可按以上定义逐项分析即可．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D 满足这两点，故选：D．【点评】本题主要考查学生对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力．5．若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题．解：∵点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，∴（﹣2，y1），（﹣1，y2）分布在第二象限，（3，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．6．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得△ABC与△DEF的周长比为：3：1，又由△ABC的周长为18厘米，即可求得△DEF 的周长．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝9，∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，∴△ABC与△DEF的周长比为：3：1，∵△ABC的周长为18厘米，∴，∴△DEF的周长为6厘米．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形的周长的比等于相似比定理的应用．7．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（）A．8 B．12 C．16 D．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．解：根据题意得，＝，解得，m＝20．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由矩形的性质和已知条件可求出∠AFE＝∠AEF，进而推出AE＝AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，A B＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的运用，平行线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对边相等且平行是解题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC＝BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，又由DE ＝CE，FC＝BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝DC＝CB，∵DE＝CE，FC＝BC，∴DE：CF＝AD：EC＝2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF＝AD：EC，∠DAE＝∠CEF，∴AE：EF＝AD：DE，即AD：AE＝DE：EF，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠CEF+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∴∠D＝∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（）A．B．C．D．【分析】AF交GC于点K．根据△ADK∽△FGK，求出KF的长，再根据△CHK∽△FGK，求出CH的长．解：∵CD＝BC＝1，∴GD＝3﹣1＝2，∵△ADK∽△FGK，∴，即，∴DK＝DG，∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，∴KF＝，∵△CHK∽△FGK，∴，∴，∴CH＝．方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求出三角形的边长，再构造相似三角形是解题的关键．二、填空题（共12分，每小题3分）11．方程x2＝x的根是x 1＝0，x2＝．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．解：方程整理得：x（x﹣）＝0，可得x＝0或x﹣＝0，解得：x 1＝0，x2＝．故答案为：x 1＝0，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图，菱形ABCD的面积为8，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为 4 ．【分析】在Rt△AEB中，由∠AEB＝90°，AB＝2BE，推出∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，由题意2a×a＝8，推出a2＝，可得k＝a2＝4．解：在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°，设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意2a×a＝8，∴a2＝，∴k＝a2＝4，故答案为4．【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，在斜边AB上取一点M，使MB＝CB，过M作MN⊥AB交AC于N，则MN＝ 3 ．【分析】首先证明△ACB∽△AMN，可得AC：CB＝AM：MN，代入数值求解即可．解：∵∠C＝∠AMN＝90°，∠A为△ACB和△AMN的公共角，∴△ACB∽△AMN，∴AC：CB＝AM：MN，在直角△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，即AB＝10；又∵AC＝8，CB＝6，AM＝AB﹣6＝4，∴＝，即MN＝3．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，涉及到勾股定理的运用．14．如图，矩形ABCD中，AB＝6，MN在边AB上运动，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ 最小值是3+．【分析】作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．利用勾股定理求出PQ″即可解决问题；解：作QQ′∥AB，使得QQ′＝MN＝3，作点Q′关于直线AB的对称点Q″，连接PQ″交AB于M，此时PM+MN+NQ的值最小．作Q″H⊥DA于H．在Rt△PHQ″中，PQ″＝＝，∴PM+MN+NQ的最小值＝3+．故答案为3+．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找PM+MN+NQ最小时点M的位置，属于中考常考题型．二、解答题（共11小题，计78分）15．（5分）解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．解法一：原式可以变形为，，，∴，∴，．解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心．16．（5分）如图，AB、CD、EF是与路灯在同一直线上的三个等高的标杆，已知AB、CD 在路灯光下的影长分别为BM、DN，在图中作出EF的影长．【分析】直接利用已知路灯的影子得出灯的位置，进而得出EF的影长．解：如图所示：【点评】此题主要考查了中心投影，正确得出灯的位置是解题关键．17．（5分）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）．（1）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似△OCD，使新图与原图的相似比为2：1；（2）分别写出A、B的对应点C、D的坐标．【分析】（1）利用位似图形的性质得出C，D两点坐标在A，B坐标的基础上，同乘以﹣2，进而得出坐标画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出C，D点坐标．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，得出对应点坐标是解题关键．18．（5分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．19．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得AF∥CD，连接BF、CF．（1）求证：四边形AFCD是菱形；（2）当AC＝4，BC＝3时，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．在Rt△BFH中，根据勾股定理计算即可．（1）证明：∵AF∥CD，∴∠EAF＝∠ECD，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝BD，∴四边形AFCD是菱形．（2）解：如图，作FH⊥BC交BC的延长线于H．∵四边形AFCD是菱形，∴AC⊥DF，EF＝DE＝BC＝，∴∠H＝∠ECH＝∠CEF＝90°，∴四边形FHCE是矩形，∴FH＝EC＝2，EF＝CH＝，BH＝CH+BC＝，在Rt△BHF中，BF＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20．（7分）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得＝，＝，因为DC＝HG，推出＝，列出方程求出CA＝106（米），由＝，可得＝，由此即可解决问题．解：∵△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，∴＝，＝，∵DC＝HG，∴＝，∴＝，∴CA＝106（米），∵＝，∴＝，∴AB＝55（米），答：舍利塔的高度AB为55米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（7分）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到14元，且尽可能地减少成本，每盆应该植多少株？【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝14求出即可．解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）＝14，解得：x1＝1，x2＝4．因为要且尽可能地减少成本，所以x2＝4舍去，x+3＝4．答：每盆植4株时，每盆的盈利14元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．22．（7分）如图①，▱OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；（2）如图②，过BC的中点D作DP∥x轴交反比例函数图象于点P，连接AP、OP，求△AOP的面积；【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标；（2）延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，由此即可得出PD、EP的长度，根据三角形的面积公式即可得出结论．解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，4）．∴m＝1×4＝4，∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）．∵四边形OABC为平行四边形，且点O（0，0），OC＝5，点A（1，4），∴点C（5，0），∴点B（6，4）．（2）延长DP交OA于点E，如图②所示．∵点D为线段BC的中点，点C（5，0）、B（6，4），∴点D（，2）．令y＝中y＝2，则x＝2，∴点P（2，2），∴PD＝﹣2＝，EP＝ED﹣PD＝，∴S△AOP＝EP•（y A﹣y O）＝××（4﹣0）＝3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式、平行四边形的性质，解题的关键是：根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式．23．（8分）小红有青、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、白色、蓝色三条裙子，她最喜欢的搭配是白色衬衫配米色裙子，最不喜欢青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子．（1）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配的概率是多少？（2）黑暗中，她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会是否相等？画树状图加以分析说明．【分析】（1）列举出所有情况，看白色衬衫配米色裙子的总数即可得出答案；（2）列举出青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数占所有情况数的多少即可．解：（1）共有8种情况，白色衬衫米色裙子的情况数有1种，所以他最喜欢的搭配的概率为；（2）青色衬衫配蓝色裙子或者黑色衬衫配蓝色裙子的情况数有2种，所以他最不喜欢的搭配的概率为，故她随机拿出一套衣服正是她最喜欢的搭配，这样的巧合发生的机会与黑暗中她随机拿出一套衣服正是她最不喜欢的搭配的机会不相等．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（10分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．（1）求证：AD2＝AF•AB；（2）求证：AD•BE＝DE•AB．【分析】（1）只要证明△FAD∽△DAB，可得＝，延长即可解决问题；（2）只要证明△CAD≌△EBD，可得AC＝BE，再证明△EBD∽△CBA，可得＝，由BD＝AD，AC＝BE，可得AD•BE＝DE•AB；证明：（1）∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，∴∠B＝∠DAB，∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，∴△FAD∽△DAB，∴＝，∴AD2＝AF•AB．（2）∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB，∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD，∴AC＝BE，∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA，∴＝，∵BD＝AD，AC＝BE，∴AD•BE＝DE•AB．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP＝5时，在Rt△PAD和Rt△PBC中，，。
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2014-2015学年江苏省南京市雨花区梅山二中九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，成比例线段的组是( )A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cmC．2.1cm，3.2cm，5.4cm，6.5cm D．0.15cm，0.18cm，4cm，4.8cm．2．设是单位向量，是非零向量，则下列式子中正确的是( )A．=B．=C．=D．=3．下列说法错误的是( )A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点4．如图，点G是△ABC的重心，GD∥BC，则S ADG：S△ABC等于( )A．2：3 B．4：9 C．2：9 D．无法确定5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A． B．C．D．6．△ABC中，直线DE交AB于D，交AC于点E，那么能推出DE∥BC的条件是( ) A．B．C．D．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若，则=__________．8．__________．9．在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为__________m．10．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走__________ 米报幕（，结果精确到0.1米）．11．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，则BC=__________．12．如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为__________．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，AB=13，那么sinA=__________．14．某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机到控制点的距离是__________．（用m与含α的三角比表示）．15．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设=，=，那么=__________（结果用、表示）．16．如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC=AD，如果∠ACD=90°，那么tanA=__________．17．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE=AD，CE的延长线交AB于点F，若AF=1.2，则AB=__________．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为__________．三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：sin45°．20．已知：如图，EF是△ABC的中位线，设，．（1）求向量、（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，已知：△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P、D分别在边BC、AC上，BP=12，∠APD=∠B，求CD的长．22．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E．（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长；若不存在，请简要说明理由．25．（14分）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．（l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；（2）当AM=4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E．设MN=x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．2014-2015学年江苏省南京市雨花区梅山二中九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，成比例线段的组是( )A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cmC．2.1cm，3.2cm，5.4cm，6.5cm D．0.15cm，0.18cm，4cm，4.8cm．【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、3×8≠4×5，故选项错误；B、1×8≠3×4，故选项错误；C、2.1×6.5≠3.2×5.4，故选项错误；D、0.15×4.8=0.18×4，故选项正确．故选：D．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．设是单位向量，是非零向量，则下列式子中正确的是( )A．=B．=C．=D．=【考点】*平面向量．【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，单位向量具有确定的方向．一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．【解答】解：A、∵单位向量与非零向量的方向不一定相同，∴||=不一定成立，故本选项错误；B、||=，原式计算正确；故本选项正确；C、=1，原式计算错误；故本选项错误；D、=||，原式计算错误；故本选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了平面向量的模与向量的一些基础知识，应熟练掌握一个非零向量除以它的模，可得与其方向相同的单位向量．3．下列说法错误的是( )A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=ax2（a≠0）是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下；开口大小与|a|有关．【解答】解：A、二次函数y=3x2图象开口向上，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，正确；B、二次函数y=﹣6x2中开口向下，顶点（0，0），故当x=0时，y有最大值0，正确；C、|a|越大，图象开口越小，|a|越小图象开口越大，错误；D、抛物线y=ax2的顶点就是坐标原点，正确．故选C．【点评】此题考查了二次函数的性质：增减性（单调性），最值，开口大小以及顶点坐标．4．如图，点G是△ABC的重心，GD∥BC，则S ADG：S△ABC等于( )A．2：3 B．4：9 C．2：9 D．无法确定【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心．【分析】根据重心的性质得出=，以及=，即可得出S ADG：S△ANC的比值，再利用三角形中线的性质得出S△ANC=S△ABN，进而得出答案．【解答】解：延长AG到BC于点N，∵点G是△ABC的重心，GD∥BC，∴=，∴=，∴S ADG：S△ANC=（）2=，∵根据G是△ABC的重心，则AN是三角形中线，∴S△ANC=S△ABN，∴S ADG：S△ABC=4：18=2：9．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和三角形重心的性质等知识，根据已知得出S ADG：S△ANC=（）2是解题关键．5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A． B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．6．△ABC中，直线DE交AB于D，交AC于点E，那么能推出DE∥BC的条件是( ) A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理即可判断．【解答】解：由，不能推出DE∥BC，所以A选项不正确；由，不能推出DE∥BC，所以B选项不正确；∵，∴DE∥BC，∴选项C正确；由，不能推出DE∥BC，所以选项D不正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若，则=．【考点】比例的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．【解答】解：根据题意，设x=2k，y=3k，z=4k，则=，故答案为：．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．8．﹣﹣5+．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：=+﹣﹣4﹣6+2=﹣﹣5+．故答案为：﹣﹣5+．【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意去括号时符号的变化．9．在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为100m．【考点】比例线段．【专题】计算题．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离．【解答】解：设AB两地间的实际距离为x，=，解得x=10000cm=100m．故答案为：100m．【点评】熟练运用比例尺进行有关计算，注意单位的转换．10．如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走3.8 米报幕（，结果精确到0.1米）．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的比值为列式计算即可得解．【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，∴AP=10﹣10×=10﹣10×=10﹣6.18=3.82≈3.8米．故答案为：3.8．【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．11．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，则BC=．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴=，∵AB=3，DE=4，EF=2，∴=，解得BC=．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，准确确定对应线段是解题的关键，熟记定理也很重要．12．如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为1：．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：2，∴两个相似三角形的相似比为1：，∴它们的对应角平分线的比为1：．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=5，AB=13，那么sinA=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：如图：由勾股定理得：BC===12，所以sinA==，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．14．某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机到控制点的距离是．（用m与含α的三角比表示）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】由题意得，在直角三角形中，已知角的对边求斜边，用正弦函数计算即可．【解答】解：根据题意，飞机到控制点的距离是：．【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．15．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB=3EB．设=，=，那么=﹣（结果用、表示）．【考点】*平面向量．【分析】由点E在边AB上，且AB=3EB．设=，可求得，又由在平行四边形ABCD 中，=，求得，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵AB=3EB．=，∴==，∵平行四边形ABCD中，=，∴==，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC=AD，如果∠ACD=90°，那么tanA=．【考点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【专题】综合题．【分析】首先根据黄金分割的定义得出=，AD2=AB•BD，再由两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例及已知条件BC=AD可得==，最后根据正切函数的定义得出结果．【解答】解：∵点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），∴=，AD2=AB•BD，∵BC=AD，∴BC2=AB•BD，∴=，又∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴===．在△ACD中，∠ACD=90°，∴tanA==．故答案为．【点评】本题考查了黄金分割、锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度中等．本题证明△BCD∽△BAC，得出=是解题的关键．17．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE=AD，CE的延长线交AB于点F，若AF=1.2，则AB=6．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过D作DM∥CF交AB于M，求出BM=MF，根据平行线分线段成比例定理求出==，即可得出AB=5AF，代入求出即可．【解答】解：过D作DM∥CF交AB于M，∵AD是△ABC的中线，∵BM=MF，∵DM∥CF，∴△AFE∽△AMD，∴=，∵AE=AD，∴AF=AM，∵BM=MF，∴AF=AB，∵AF=1.2，∴AB=5×1.2=6，故答案为：6．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出AF=AB．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，利用三角函数，即可求得AC的长，又由△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，AD⊥ED，根据折叠的性质与垂直的定义，即可求得∠EDB与∠CDB的度数，继而可得△BCD是等腰直角三角形，求得CD的长，继而可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC===，∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD，∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，∴∠EDB=∠ADB==135°，∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°﹣90°=45°，∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CD=BC=1，∴DE=AD=AC﹣CD=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．三．解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：sin45°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=﹣×+×=﹣+1=0．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．20．已知：如图，EF是△ABC的中位线，设，．（1）求向量、（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设，，利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得；（2）利用平行四边形法则，即可求得向量在、方向上的分向量．【解答】解：（1）∵EF是△ABC的中位线，．∴==，∵，∴=﹣=﹣；（2）如图，过点E作EM∥AC，则与即为向量在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．21．如图，已知：△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P、D分别在边BC、AC上，BP=12，∠APD=∠B，求CD的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由AB=AC，可得∠B=∠C，又由∠APD=∠B．利用三角形外角的性质，可得∠BAP=∠APD，继而可证得△ABP∽△PCD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=∠B，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∵BC=16，BP=12，∴PC=16﹣12=4，∵AB=10，BP=12，PC=4，∴=，∴CD=4.8．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；相似三角形的应用．【分析】作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．利用勾股定理和相似三角形的性质求出DF，FE，从而得到BE的长，再用相似三角形的性质求出AB即可．【解答】解：作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．在Rt△CFD中，i=1：1.875，即CF：DF=1：1.875=8：15；设CF=8x米，则DF=15x米，由勾股定理可得，（8x）2+（15x）2=CD2，∴CD=17x=3.4，∴x=0.2，∴DF=15×0.2=3米，CF=8×0.2=1.6米．∵FE：CF=NH：NM，∴FE：1.6=336：168，∴FE=3.2，∴BE=BD+DF+FE=2+3+3.2=8.2米．∴AB：BE=MN：NH，∴AB：8.2=168：336，∴AB=4.1米．答：铁塔高度为4.1米．【点评】本题考查了坡度与坡角及相似三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB 的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB=；（2）∵sinB=，∴AC：AB=1：，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB==，设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是射线DA上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另一直角边交射线BA于点E．（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求出PD的长；若不存在，请简要说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】存在型．【分析】（1）根据当P在AD边上时以及当P在AD边上时，分别得出三角形相似；（2）根据若点P在边AD上或点P在边DA延长线上时，利用相似三角形的性质得出y与x的关系式；（3）假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍，若点P在边AD上，若点P 在边DA延长线上分别得出即可．【解答】解：（1）△EAP∽△PDC，①当P在AD边上时如图（1），∵矩形ABCD∠D=∠A=90°，∴∠1+∠2=90°，据题意∠CPE=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△EAP∽△PDC，②当P在AD延长线上时如图（2）同理可得△EAP∽△PDC；（2）若点P在边AD上，据题意：PD=x，PA=6﹣x，DC=4，AE=y，又∵△EAP∽△PDC，∴，∴，∴（0＜x＜6），若点P在边DA延长线上时，据题意PD=x，PA=x﹣6，DC=4，AE=y，∵△EAP∽△PDC，∴，∴∴（x＞6）；（3）假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍，若点P在边AD上，∵△EAP∽△PDC，∴C△EAP：C△PDC=（6﹣x）：4，∴（6﹣x）：4=2，∴x=﹣2 不合题意舍去，若点P在边DA延长线上，同理得（x﹣6）：4=2，∴x=14，综上所述：存在这样的点P满足题意，此时PD=14．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用分类讨论思想结合P点位置的不同得出答案是解题关键．25．（14分）已知：如图1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．动点M和N分别在线段AB和AC边上．（l）求证△AOB∽△COA，并求cosC的值；（2）当AM=4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN折叠，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E．设MN=x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【考点】相似三角形的判定与性质；垂线；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，进而得出AO的长，即可求出cosC的值；（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC，②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB分别求出即可；（3）首先得出△AMN∽△ABC，①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），分别求出即可．【解答】解：（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO+∠BAO=90°．∵∠ABO+∠C=90°，∴∠BAO=∠C．∵∠ABO=∠COA，∴△AOB∽△COA．∵OB=6，BC=12，∴6：OA=OA：18．∴．∴．∴．（2）∵，∴∠C=30°．∵，∴∠ABO=60°，∴∠BAC=30°．∴AB=BC=12．①∠AMN=∠B时，（如图1）△AMN∽△ABC．∵AM=4，∴．②当∠AMN=∠C时，（如图2）△AMN∽△ACB．∵AM=4，∴．（3）可以求得：．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴．∴．∴．①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3），∵MN∥BC，∴∠ANM=∠C=30°．∴∠ANM=∠BAC．∴AM=MN=x．∵将△AMN沿MN折叠，∴∠ENM=∠ANM=30°．∴∠AFN=90°．∴．∴S△FMN：S△AMN=MF：AM．∴．∴．②当EN与线段AB不相交时，设EN于BC交于点G（如图4），∵MN∥BC∴CN：AC=BM：AB．∴．∴．∵△CNG∽△CBA，∴．∴．∴．∴．即．说明：①当EN与线段AB相交时，用计算MN边上高的方法求y时，求出高为，得1分；当EN与线段AB不相交时，用梯形面积公式求y时，求出梯形上底为（3x﹣24），得1分．②定义域错一个，不扣分；两个全错，扣1分．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据直线EN与线段AB位置关系进行分类讨论得出是解题关键．。