第二章 误差理论

二、消除系统误差的方法
1.交换低销法 将测量中的某些条件相互交换，使产生系统误 差的原因相互抵消。 2.替代消除法 在一定的测量条件下，用一个精度较高的已知 量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指 示值保持不变，则被测量等与该已知量。 3.预检法 将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理 量进行多次重复测量，测量仪器读数的平均值为L’, 基准仪器读数的平均值为L0’,则Δ= L’- L0’，看作 是测量仪器对该物理量测量时的误差。
p [−K ≤ z ≤ K ] = ∫
+K −K
δ z= σ (δ )
dz =
dδ
式中Φ ( K )称为拉普拉斯函数，具体计算比较复杂。 在实际工程应用中，可查前人已做好的拉普拉斯 函数专用表格。
1 e 2π
− z2 2
dz =
2 2π
∫
K
0
e
− z2 2
dz = Φ ( K )
工程上，通常把测量误差绝对值大于 3σ 的 测量值作为坏值，而予以剔除（此剔除原则称为 拉伊达准则）；也就是说把测量误差 ∆x > 3σ 作 为粗大误差而予以剔除。 当等精度测量次数n大于30次时，其测量误差 趋近于正态分布；因而可以用以上方法来估计测 量误差的大小和相应的置信概率。但工程上，为 保证等精度测量条件和提高测量效率，一般测量 次数仅为几次到一二十次，此时因测量样本小， 其误差已不符合正态分布，而成为“t分布”。
第二章 误差理论及应用
本章主要内容
• 误差来源、概念与分类(★ ★ ★) • 系统误差 分类(★ ★) 消除方法(★ ★ ★) 综合(★ ) • 随机误差 • 过失误差
第一节 误差的来源与分类
一、来源及基本概念 • 误差的来源：测量方法、测量仪器、测试环境条件 误差的来源： 以及测试人员的技术水平等 • 误差的概念： 误差的概念： 绝对误差：测量值与真值之差。 ∆ x = X − X 0 相对误差：测试系统测量值（即示值）的绝对误差 与被测参量真值X0 的比值，称之为测试系统测量 （示值）的相对误差 ，常用百分数表示
3.产生系统误差的主要原因 ⑴仪器不良，如零点未校准刻度不准; ⑵测试环境的变化，如外界湿度、温 度、压力变化等; ⑶安装不当; ⑷测试人员的习惯偏向，如读数偏高; ⑸测量方法不当。
• 随机误差 1.定义 在相同条件下多次重复测量同一被测参量时， 测量误差的大小与符号均无规律变化，这类误 差称为随机误差。 2.随机误差是不可控的，不可排除的 随机误差必然存在于测量结果之中 3.随机误差完全服从统计规律 误差的大小及正负符号的出现，完全由概率 决定；误差与测量的次数有关，随着测量次数 的增加，随机误差的算术平均值将逐渐接近于 零。
σ ( x ) = lim
2
2π σ ( x )
1
− ( x − µ )2
e
2 [σ ( x )]2
准差）；
n →∞
∑ ( xi − µ )
i =1
n
2
n
σ ( x) —随机变量的方差，数学上通常用D表示；
n
—随机变量的个数。
µ 从概率论可知， 和σ 是决定正态分布曲线的两 个特征参数。其中 µ 影响随机变量分布的集中位置， σ 或称正态分布的位置特征参数； 表征随机变量的 分散程度，故称为正态分布的离散特征参数。
（1）有界性 即各个随机误差的绝对值（幅度）均 不超过一定的界限； （2）单峰性 即绝对值（幅度）小的随机误差总要 比绝对值（幅度）大的随机误差出现的概率大； （3）对称性 （幅度）等值而符号相反的随机误差 出现的概率接近相等； （4）抵偿性 当等精度重复测量次数时，所有测量 值的随机误差的代数和为零，即:
图1-1 对正态分布的影响示意图 图1-2 对正态分布的影响示意图
在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中， 当测量数据足够多，其测量随机误差大都呈正态分 布规律，因而完全可以参照高斯方程对测量随机误 差进行比较分析。这时测量随机误差的正态分布概 率密度函数为
f (∆x) =
1 2π σ ( ∆x )
2.按误差产生的原因分 仪器误差：由于测量仪器本身不完善或老 化所产生的误差。 安装误差：由于测量仪器安装和使用不正 由于测量仪器安装和使用不正 确而产生的误差。 环境误差：由于测量仪器使用环境条件不 符而引起的误差。
方法误差：由于测量方法或计算方法不当， 测量或计算理论本身不完善等原因产生的 误差。 操作误差：也称人为误差，由于测量者先 天缺陷或观测位置不对或操作不当引起的 误差。 动态误差：由于测量仪器的自振频率、阻 尼以及与被测迅变量之间的关系而产生的 振幅和相位的误差。
i =1
n
i
− X0) n
2
= lim
n →∞
∑ ∆x
i =1
n
2 i
n
σ 2 ,即 [σ (∆x )]2 —随机误差的方差；
1 n 1 n 2 2 2 σ (∆x) = lim ∑( Xi − X 0 ) = lim ∑∆xi n→∞ n n→∞ n i=1 i=1
方差的量纲是测量数据量纲的平方，所以在测 量结果的表示中不是很方便，因而工程上经常不用 方差而使用方差的正的算术平方根—标准偏差 （简称标准差）。
精密（随机误差小） 精密（随机误差小） 不准确（ 不准确（系统误差大）
不精密（随机误差大） 不精密（随机误差大） 不准确（系统误差大） 不准确（系统误差大）
精密（随机误差小） 精密（随机误差小） 准确（系统误差小） 准确（系统误差小）
精密度： 精密度： ( precision ) 概念： 重复测量时， 概念： 重复测量时，测量结果的分散性 表述： 表述： 随机误差的标准差 ( standard deviation ) 准确度： 准确度： 性质： 测量结果与真值的接近程度， 性质： 测量结果与真值的接近程度，系统误差的影响程度 表述： 表述： 平均值与真值的偏差 ( deviation ) 精确度： 正确度) 精确度： ( 正确度 性质： 性质： 系统误差和随机误差综合影响程度 表述： 表述： 不确定度 ( uncertainty ) 工程表示： 工程表示： 最大允许误差相对于仪表测量范围地百分数
e
− ( ∆x− µ )2 x− 2 {σ ( ∆x )}2
式中 ∆x —随机误差变量，相当于高斯方程中的变 量 x ；这里 ∆xi = X i − X 0 ，其中 X i为某个测量示值， X 0 为真值； e—自然对数的底；
—随机误差的标准偏差（简称标准差）；
σ (∆x ) = lim
n →∞
∑ (X
X − X0 ∆x δ= × 100% = × 100% X0 X0
*用相对误差通常比其绝对误差能更好地说明不同测 量的精确程度，一般来说相对误差值小，其测量精 度就高；相对误差本身没有量纲。 •误差是绝对的 误差是绝对的 测量条件相同，测量结果不同，表明误差存在 测量结果相同，但不能说明没有误差 •测量误差分析的目的：研究在测量中产生误差的大 测量误差分析的目的： 测量误差分析的目的 小、性质及产生的原因 ，以便对测量精度做出评价。
lim ∑ ∆xi = 0
n→∞ i =1
n
所以，在等精度重复测量次数足够大时， 其算术平均值 X 就是其真值 X 0 较理想的替代 值。
1.正态分布 高斯于1795年提出连续型正态分布随机 变量 x 的概率密度函数表达式为：
p(x ) =
式中
e σ ( x)
µ ——数学期望值；
—自然对数的底； —随机变量的均方根差或称标准偏差（简称标
Байду номын сангаас
三、系统误差的综合 1.代数综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小和符号： 绝对误差： Δ= Δ1+ Δ2+…+ Δn 相对误差：δ=δ1+ δ2+…+ δn
2.算术综合法
如果能估计出各系统误差分量Δi的大小,但不能确 定符号： 绝对误差： Δ= ± （ |Δ1|+| Δ2|+…+ |Δn|） 相对误差：δ= ± （|δ1|+ |δ2|+…+| δn|）
A= ∆ max xmax − xmin
0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5, 5.0 七级
第二节 系统误差
一、系统误差分类 1.按误差值变化规律分 误差值恒定不变的又称为定值系统误差 定值系统误差。 定值系统误差 误差值变化的则称为变值系统误差 变值系统误差。 变值系统误差
A.累进性系统误差：指在整个测量过程中，误差的 数值向一个方向变化。 B.周期性系统误差：指在测量过程中，数值是按周 期性变化的。 C.按复杂规律变化的系统误差：指误差变化的规律 复杂，一般用表格、曲线或公式表示。
+ −
p (δ ) = ∫
+2σ
−2σ
p (σ ) dδ = 0.9545
p (δ ) = ∫
+3σ
−3σ
p (σ )dδ = 0.9973
另外，当置信区间扩大到 −∞至 + ∞ 时，则有
p (δ ) = ∫
+∞ −∞
p (σ ) d δ = 1
为上述不同置信区间的概率分布示意图。
为表达和计算方便，作积分变换，令 则有 σ (δ ) 而从 dδ 的积分限 [ −kσ , + kσ ]相应得到 dz 的积分限 为 [ − K， K ] ，将上述关系代入式 + 得
二、测量误差的分类
• 按产生误差因素的出现规律以及它们对测量结 果的影响程度分为：系统误差、随机误差、过 失误差。 • 系统误差 1.定义 在相同条件下，多次重复测量同一被测参 量时，其测量误差的大小和符号保持不变；或 在条件改变时，误差按某一确定的规律变化， 这种测量误差称为系统误差。 2.系统误差可控，结果可加以修正 正确的测量结果不应该包含系统误差