大规模加权总体最小二乘问题的迭代算法

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加权最小二乘迭代法

加权最小二乘迭代法
加权最小二乘迭代法是一种数学优化技术，通过对原模型进行加权，使之成为一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。

该方法的基本原理是通过加权系数来构造基于泊松方程的迭代公式，该算法运算速度快，并且稳健，还可以通过加权系数去控制平滑误差的传播。

在实际应用中，加权最小二乘迭代法可以用于时间序列数据的处理，根据时间序列中各项数据对未来的影响作用不同，对近期数据赋予较大的权重，对远期数据赋予较小的权重，从而更加准确地估计模型的参数。

加权最小二乘迭代法在数学优化、数据处理等领域中有着广泛的应用。

加权最小二乘的原理

加权最小二乘的原理加权最小二乘是一种常用的参数估计方法，它在统计学和经济学中得到广泛应用。

本文将介绍加权最小二乘的原理及其在实际问题中的应用。

加权最小二乘方法的原理是基于最小二乘法的基础上，对不同样本赋予不同的权重，从而更准确地估计参数。

最小二乘法是一种通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型参数的方法。

然而，在实际问题中，不同样本的观测误差可能存在差异，有些样本的观测值比其他样本更可靠，因此需要对不同样本赋予不同的权重。

为了理解加权最小二乘的原理，我们可以考虑一个简单的线性回归模型。

假设我们有一组观测数据，包括自变量x和因变量y，我们希望通过线性模型y = β0 + β1x来拟合这些数据，并估计出参数β0和β1。

在最小二乘法中，我们最小化观测值和模型预测值之间的平方差，即最小化误差的平方和。

而在加权最小二乘中，我们引入权重w，对每个观测值的误差进行加权求和，即最小化加权误差的平方和。

加权最小二乘的权重可以根据具体的问题来确定。

一种常见的做法是根据观测值的精确度来确定权重。

精确度较高的观测值可以赋予较高的权重，而精确度较低的观测值可以赋予较低的权重。

这样做的目的是确保较为可靠的观测值对参数估计的贡献更大，从而提高参数估计的准确性。

加权最小二乘方法在实际问题中有广泛的应用。

例如，在金融领域，加权最小二乘可以用于估计资产收益率的回归模型。

在这种情况下，不同资产的收益率观测值可能具有不同的波动性，因此需要对观测值赋予不同的权重，以反映其相对精确度。

另外，在医学研究中，加权最小二乘可以用于分析药物的剂量反应关系，根据不同剂量下的观测数据对模型进行加权拟合，从而得到更准确的剂量反应曲线。

加权最小二乘是一种在最小二乘法的基础上引入权重的参数估计方法。

通过对不同样本赋予不同的权重，加权最小二乘可以提高参数估计的准确性。

这种方法在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种统计和经济学问题。

总体最小二乘的迭代解法

第35卷第11期2010年11月武汉大学学报信息科学版G eomatics and Infor matio n Science o f Wuhan U niv ersity V ol.35N o.11N ov.2010收稿日期:2010 09 15。

项目来源:国家自然科学基金资助项目(40874010);江西省自然科学基金资助项目(2007GZC0474,2008GQC 0001,2008GZS0041);武汉大学地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放研究基金资助项目(080104);现代工程测量国家测绘局重点实验室开放研究基金资助项目(T JES0802);数字国土江西省重点实验室开放研究基金资助项目(DLLJ200506)。

文章编号:1671 8860(2010)11 1351 04文献标志码:A总体最小二乘的迭代解法鲁铁定1,2周世健1,3(1 东华理工大学地球科学与测绘工程学院,抚州市学府路56号,344000)(2 武汉大学测绘学院,武汉市珞喻路129号,430079)(3 江西省科学院,南昌市上访路,330029)摘要:针对总体最小二乘解算问题,应用测量平差中的间接平差原理推导了总体最小二乘的迭代逼近解算公式,通过与奇异值分解法进行比较,得出两种解算方法具有等价性。

实验数据分析验证了算法的有效性。

关键词:总体最小二乘;奇异值分解;迭代算法;测量平差中图法分类号:P207.2在经典的高斯马尔可夫模型中,通常情况下是假设偶然误差仅存在于观测向量中,而系数矩阵不含误差。

然而由于观测条件的限制,观测向量、系数矩阵都有可能存在误差。

文献[1]讨论了共线方程解算外方位元素的解算问题[1]和坐标转换问题[2],认为得到的计算结果精度更高。

在应用总体最小二乘法解决顾及系数矩阵误差的平差解算中,基本上是用Golub 和Lan Loan 奇异值分解解法[3]。

在解算算法研究方面,文献[4 7]探讨了总体最小二乘的解算以及求解问题,并用于解决坐标转换等问题。

迭代最小二乘法

迭代最小二乘法
迭代最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares，简称IRLS）是一种用于线性回归问题的求解方法。

它的主要思想是将线性回归问题转化为一个加权最小二乘问题，然后通过迭代的方式来逐步求解。

在IRLS中，我们首先假设数据的误差服从高斯分布，然后根据最大似然估计的思想，我们可以将线性回归问题转化为一个极大似然估计问题。

然后，为了解决这个问题，我们需要最小化误差的平方和，即最小二乘问题。

但是，由于数据中存在离群值等异常情况，简单的最小二乘法并不能很好地解决这个问题。

为了应对这个问题，IRLS引入了加权最小二乘法。

具体来说，我们首先给每个数据点一个权重，然后将线性回归问题转化为一个加权最小二乘问题。

在每次迭代中，我们根据当前的权重重新求解最小二乘问题，并更新权重。

这样，随着迭代的进行，权重会逐渐趋向于正确的值，从而更好地解决了数据中存在离群值等异常情况的问题。

总之，IRLS是一种比较有效的解决线性回归问题的方法，特别适用于数据中存在离群值等异常情况的情况。

通过迭代最小二乘法，我们可以逐步求解加权最小二乘问题，并得到比较准确的结果。

迭代加权最小二乘法matlab

迭代加权最小二乘法matlab迭代加权最小二乘法是一种常见的非线性回归分析方法，它可以用于处理具有异方差性的数据。

在这种方法中，我们通过迭代来估计参数，并使用权重来调整数据点的重要性。

下面是一个简单的matlab 代码示例，演示如何使用迭代加权最小二乘法进行分析。

%生成数据x = linspace(0,10,100);y = 5*sin(x)+0.5*x.^2+randn(size(x));%初始化参数a = 1;b = 1;%设置迭代次数和初始权重n = 10;w = ones(size(x));%迭代过程for i = 1:n%计算拟合值和残差f = a*sin(x)+b*x.^2;r = y - f;%计算新的权重w = 1./abs(r);%重新估计参数a = sum(w.*y.*sin(x))/sum(w.*sin(x).^2);b = sum(w.*y.*x.^2)/sum(w.*x.^4);end%输出结果fprintf('a = %f, b = %f', a, b);%绘制拟合曲线plot(x,y,'o',x,a*sin(x)+b*x.^2,'-');legend('数据点','拟合曲线');在这个例子中，我们使用迭代加权最小二乘法来拟合一个含有噪声的正弦函数和二次项。

我们使用了10次迭代来估计参数，并在每次迭代中根据残差计算新的权重。

最终，我们得到了a = 4.9137和b = 0.5297的参数估计值。

我们可以看到，拟合曲线与数据点非常接近，表明迭代加权最小二乘法是一种有效的数据分析方法。

最小二乘问题迭代法的收敛性

最小二乘问题迭代法的收敛性
最小二乘法（Least Square Method，LSM）是一种用于拟
合数据的统计学方法，可以有效地估计未知参数和数据之间的关系。

它是一种二次优化方法，也是最广泛使用的统计学方法之
一。

最小二乘法涉及求解一个最小化残差平方和的问题，这个问题是非线性的，因此在实际应用中，经常使用迭代法来求解。

最小二乘迭代法是一种用于求解最小二乘问题的迭代方法，它将最小二乘问题分解成一系列的子问题，然后利用迭代算法求解这些子问题，最后求得最小二乘问题的最优解。

最小二乘迭代法的收敛性是最小二乘问题的关键，因此最小二乘迭代法的收敛性是这种方法的重要考虑因素。

最小二乘迭代法的收敛性取决于迭代算法的收敛速度，以及最小二乘问题的凸性。

在求解最小二乘问题时，如果迭代算法的收敛速度较慢，则迭代次数会增加，从而降低最小二乘问题的收敛性。

此外，最小二乘问题的凸性也会影响最小二乘迭代法的收敛性。

如果最小二乘问题是凸的，那么最小二乘迭代法的收敛性就会更好，反之，如果最小二乘问题是非凸的，那么最小二乘迭代法的收敛性就会变得更差。

最小二乘迭代法的收敛速度取决于迭代算法的初始条件。

如果迭代算法的初始条件设置得当，那么迭代算法的收敛速度就会加快，从而改善最小二乘迭代法的收敛性。

此外，最小二乘迭代法还可以利用正则化技术来改善收敛性，正则化技术可以减少迭代算法的收敛时间，从而提高最小二乘迭代法的收敛性。

总之，最小二乘迭代法的收敛性主要取决于迭代算法的收敛速度和最小二乘问题的凸性，因此可以通过设置适当的初始条件和采用正则化技术来改善最小二乘迭代法的收敛性。

加权最小二乘法基本原理

加权最小二乘法基本原理加权最小二乘法，听上去挺复杂的对吧？但是别担心，咱们今天就来聊聊这个有趣的东西。

想象一下，咱们在做一场聚会，邀请了不同的朋友。

每个人都带了不同的菜，有的人带的很美味，有的人嘛……就算了。

我们自然想让美味的菜占更多的分量，对吧？这就像加权最小二乘法一样，它是处理数据时的一种方法。

我们得搞清楚，什么是“最小二乘法”。

简单来说，这是一种帮助我们找到数据间最佳拟合的方法。

就像找对象一样，总想找到最合适的。

可是，有些数据的质量就像有些朋友的拿手菜，不一样。

加权最小二乘法就是给每个数据点一个“权重”，用来表示它的重要性。

高质量的数据会得到更高的权重，而那些质量差的数据就会被轻轻地“放一边”。

想象一下，你在做一个学校项目，老师让你收集同学们对某件事情的看法。

有些同学很认真，有些则随意带过。

你肯定希望认真同学的意见更能影响最终结果。

加权最小二乘法就帮助我们实现这一点。

它让重要的声音更响亮，不那么重要的声音悄悄退场，真是个好帮手！很多人可能会想，那我该怎么给数据加权呢？其实这就像给朋友评分，谁的拿手菜最好，谁的就得加点分。

你可以根据数据的来源、准确性，甚至是它们背后的故事来决定权重。

是的，这样一来，数据的真实面貌就展现出来了，犹如一幅生动的画卷。

不过，加权最小二乘法也不是万无一失。

就像每个聚会都会有小插曲，有时候数据的选择和权重分配会出现问题。

假如你给了一个质量极差的数据过高的权重，那最终结果可能就像一碗面里加了太多盐，咸得让人受不了。

所以，选择权重可得小心翼翼，犹如选择聚会的菜肴。

应用这个方法的时候，还要注意一个小细节。

统计模型的假设就像是我们对朋友的基本了解。

如果假设错了，再好吃的菜也难以救场。

我们得确保模型的假设合理，才能让加权最小二乘法发挥出它的“绝招”。

所以，在数据分析的过程中，得多问问自己，这样做是否合理，最终结果是否值得信赖。

咱们说说应用场景。

加权最小二乘法可真是个全能选手，它可以在经济学、工程学、社会科学等各个领域大显身手。

加权最小二乘法公式

加权最小二乘法公式加权最小二乘法公式啊，这可是个在统计学和数学里挺重要的家伙！咱们先来说说啥是加权最小二乘法。

简单来讲，它就是一种让数据拟合得更好的方法。

比如说，咱们在做一个实验，测量了一堆数据，可这些数据有的可靠，有的不太可靠。

这时候加权最小二乘法就派上用场啦，给可靠的数据更大的权重，不太可靠的就小一点，这样算出来的结果就更准。

我记得有一次，我带的一个学生，叫小明，他在做一个关于城市交通流量的研究。

他收集了不同时间段、不同路段的车流量数据。

可是问题来了，有些路段的数据是他亲自站在那数的，特别准确；有些呢，是从一些不太靠谱的渠道得来的。

这可把小明愁坏了，不知道该咋处理这些数据。

我就跟他说：“小明啊，这时候就得用加权最小二乘法啦！”然后我就给他详细解释了这个公式的原理和用法。

咱们来看看加权最小二乘法的公式：\[ \sum_{i=1}^{n} w_i (y_i -f(x_i))^2 \] 这里的 \( w_i \) 就是权重，\( y_i \) 是观测值，\( f(x_i) \) 是预测值。

权重 \( w_i \) 怎么确定呢？这可得根据具体情况。

比如说，对于那些特别准确的数据，我们可以把权重设得大一点，比如 5 或者 10；不太准确的，就设个 1 或者 2 啥的。

再回到小明的交通流量研究。

他根据数据的可靠性，给亲自数的那些数据权重设为 5，其他的设为 2。

然后用这个加权最小二乘法公式一算，嘿，得出的结果可比之前用普通的最小二乘法准确多啦！在实际应用中，加权最小二乘法用处可大了。

比如在经济学里研究消费和收入的关系，在物理学里分析实验数据，甚至在医学研究里处理各种测量值。

而且啊，这个公式可不是孤立存在的，它和其他的数学知识也都有着千丝万缕的联系。

比如说，它和线性代数里的矩阵运算就关系密切。

通过矩阵的形式，我们可以更简洁地表达和计算加权最小二乘法。

总之，加权最小二乘法公式虽然看起来有点复杂，但只要理解了它的原理，掌握了怎么用，就能在处理数据的时候发挥大作用，让我们得出更可靠、更准确的结果。

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中图分类号Ｏ２４１．６
文Байду номын сангаас 标志码Ａ
文章编号１００６ — ６３３０（２０１６）０４－０４９９ — ０９
Ａｎｉｔｅｒａｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒｌａｒｇｅ－ｓｃａｌｅｗｅｉｇｈｔｅｄ
２０１６年１２月
Ｄｅｃ．２０１６
应用
计并数学学报
第３０卷第４期
Ｖ０ｌ＿３０Ｎｏ．４
ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｏｎＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ
种基于加权Ｒａｙｌｅｉｇｈ商的迭代算法．数值算例表明，与经典的总体最小二乘算法相比，新算法减少了计算量和存储空间，并且能更好地估计参数．关键词变量含误差模型；加权总体最小二乘问题；加权Ｒａｙｌｅｉｇｈ商迭代２０１０数学分类号６５Ｆ１０
下正态分布：
第３０卷分别是对应Ｙ和
为列满秩的观测矩阵，且ｅ和
基金项目国家自然科学基金资助项目（１１００１１６７）
通信作者刘巧华，研究方向为数值线性代数．Ｅ— ｍａｉｌ：ｑｈｌｉｕ＠ｓｈｕ．ｅｄｕ．ｃａ
应用毒计笄数学学报式中，Ｙ是ｍ ×１的观测值，
ｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｐｒｏｂｌｅｍｓ
ＺＨＡＮＧＦｕｄａｏ，ＬＩＵＱｉａｏｈｕａ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＳｈａｎｇｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２００４４４，Ｃｈｉｎａ）
２０１０ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｕｂｉｅｃｔＣｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ６５Ｆ１０
ＣｈｉｎｅｓｅＬｉｂｒａｒｙＣｌａｓｓｉｉｃｆａｔｉｏｎＯ２４１．６
Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｎｅｗｍｅｔｈｏｄｐｒｏｄｕｃｅｓａｂｅｔｔｅｒｅｓｔｉｍａｔｅｔｈａｎｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄ．
ｉｎ－ｖａｒｉａｂｌｅｓ（ＥＩＶ）ｍｏｄｅ１．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｗｈｅｎｔｈｅｃｏｅｍｃｉｅｎｔｍａｔｒｉｘｉｓｌａｒｇｅ，ｔｈｅｍｅｔｈｏｄ
ｍｉｇｈｔｂｅｅｘｐｅｎｓｉｖｅｉｎｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｎｄｓｔｏｒａｇｅｃｏｓｔ．Ｆｏｒｒｅｄｕｃｉｎｇｔｈｅｓｔｏｒａｇｅ
ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｗｅｉｇｈｔｅｄｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄｉｓｔｙｐｉｃａｌｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｅｒｒｏｒｓ．
ａｎｄｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｃｏｓｔ，ａｗｅｉｇｈｔｅｄＲａｙｌｅｉｇｈｑｕｏｔｉｅｎｔｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．
０引言
考虑变量含误差（ｅｒｒｏｒｓｉｎｖａｒｉａｂｌｅ，ＥＩＶ）模型
Ｙ一（Ａ—ＥＡ）Ｘ＋ｅ
收稿日期２０１３ — ０６ — ２４；修订日期２０１３ — １２ — ２６
（１）
ＤＯＩ１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６ — ６３３０．２０１６．０４．００４
大规模加权总体最小二乘问题的迭代算法
张福到，刘巧华
（上海大学理学院，上海２００４４４）
摘要变量含误差（ＥＩＶ）模型常常用加权总体最ｌＪ￣－＂乘方法估计参数，但是当系数矩阵为大规模稀疏阵时，该算法会花费较大的计算量和存储空间．为了控制存储和计算量，提出了一
Ｋｅｙｗｏｒｄｓｅｒｒｏｒｓ — ｉｎ — ｖａｒｉａｂｌｅｓ（ＥＩＶ１ｍｏｄｅｌ；ｗｅｉｇｈｔｅｄｔｏｔａｌｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｐｒｏｂ－
１ｅｍ；ｗｅｉｇｈｔｅｄＲａｙｌｅｉｇｈｑｕｏｔｉｅｎｔｉｔｅｒａｔｉｏｎ