加权最小二乘法—ls
《计量经济学》期末重点知识归纳整理
计量经济学期末重点知识归纳1.普通最小二乘法：已知一组样本观测值{}n i Y X i i ,2,1:),(⋯=，普通最小二乘法要求样本回归函数尽可以好地拟合这组值，即样本回归线上的点∧i Y 与真实观测点Yt 的“总体误差”尽可能地小。
普通最小二乘法给出的判断标准是：被解释变量的估计值与实际观测值之差的平方和最小。
2.广义最小二乘法GLS ：加权最小二乘法具有比普通最小二乘法更普遍的意义，或者说普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特殊情况。
从此意义看，加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。
3.加权最小二乘法WLS ：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
4.工具变量法IV ：工具变量法是克服解释变量与随机干扰项相关影响的一种参数估计方法。
5.两阶段最小二乘法2SLS, Two Stage Least Squares ：两阶段最小二乘法是一种既适用于恰好识别的结构方程，以适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。
6.间接最小二乘法ILS ：间接最小二乘法是先对关于内生解释变量的简化式方程采用普通小最二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后过通参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量的一种方法。
7.异方差性Heteroskedasticity ：对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
8.序列相关性Serial Correlation ：多元线性回归模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相关。
如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
9.多重共线性Multicollinearity ：对于模型i k i i X X X Y μββββ++⋯+++=i k 22110i ，其基本假设之一是解释变量X 1,X 2,…,Xk 是相互独立的。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为存在多重共线性。
各类最小二乘算法
β N −1 H* = N 0
β N −2
β 2( N −1) WN = 0
β 2( N −2)
0 ⋱ 1
三、递推算法 ∵
k θ(k ) = ∑ β i =1
∧
2(k −i) h (i )h T (i )
2随着采样次数的增多数据量不断增加ls估计有可能出现所谓的数据饱和现象导致递推算法不能接近参数真二关于数据饱和现象的分析所谓数据饱和现象就是随着时间的推移采集到的数据越来越多新数据所提供的信息被淹没在老数据的海洋之中
Ⅴ 各种最小二乘类参数辨识算法 §1 概 述
最小二乘类参数辨识算法（一次完成算法、递推算法） 最小二乘类参数辨识算法 （一次完成算法 、 递推算法 ） 是一种 最基本和常用的参数估计方法。但研究和应用表明， 最基本和常用的参数估计方法。 但研究和应用表明， 这一算 法仍存在明显的不足。 法仍存在明显的不足。 一、LS 算法的主要不足之处 1、当模型噪声为有色噪声时，LS 估计不再是无偏估计、一致 、当模型噪声为有色噪声时， 估计不再是无偏估计、 估计。 估计。 2、随着采样次数的增多，数据量不断增加，LS估计有可能出 、随着采样次数的增多，数据量不断增加， 估计有可能出 现所谓的“数据饱和”现象， 现所谓的“数据饱和”现象，导致递推算法不能接近参数真 值。
于是有： 于是有：
α P ( k ) P − 1 ( k − 1) = I − P ( k ) h ( k ) h T ( k )
则：
ˆ θ ( k ) = P ( k ) H * T Z * = P ( k ) α H * −1T Z * −1 + h ( k ) z ( k ) k k k k
异方差与加权最小二乘法
加权。 所以我们常常进行假设，然后根据假设去加 权。 根据假设的不同，WLS也就可以有不同的具 体做法。P232-235 方法还是像知道方差一样。
（以一元回归示例） Yi 1 2 X 2i ui
2 var(ui ) i 2 X 2i 2
举例
Yi X 2i ui 1 原模型两边同除以 2i : X 1 （ ） （ 2 ） X 2i X 2i X 2i X 2i Yi 1 * 令Yi , X 1i , X 2i X 2i
七、案例——中国农村居民人均消费函数
例7.1.4 中国农村居民人均消费支出主要由 人均纯收入来决定。
农村人均纯收入包括：(1)从事农业经营的收入；
(2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资性收入；(4) 财产收入；(4)转移支付收入。
考察从事农业经营的收入(X1)和其他收入 (X2)对中国农村居民消费支出(Y)增长的影响:
ln Y 0 1 ln X 1 2 ln X 2
表 7.1.1 中国 2001 年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出相关数据（单位：元）
2
1
1
即满足同方差性，可用OLS法估计。
也就是把原来的解释变量和被解释变量都全除 以 f ( x ) ，然后对变换后的变量做普通最小二 乘法（OLS），那就变成对原来的变量的加权 最小二乘法（WLS）。
ji
这就是原模型的加权最小二乘估计量，是 无偏、有效的估计量。
i
2
为未知的情况
但是往往我们并不知道这个方差，也就无法
同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差： i2 = f(Xi)（注：方差与x有关） 异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
加权最小二乘矩阵法
加权最小二乘矩阵法
加权最小二乘矩阵法是一种用于解决线性回归问题的方法。
它的
基本思想是通过将观测数据与权重因子相乘，得到加权观测数据，并
对加权观测数据进行最小二乘拟合。
这种方法可以有效地解决因数据
误差或不确定性而产生的偏差问题。
具体地说，给定一个包含n个观测数据的矩阵X，其中第i行表
示第i个观测数据的特征向量，n个权重因子的对角矩阵W，以及一个
包含n个观测数据的列向量y，代表回归目标变量。
我们的目标是找到一个列向量β，使得||y - Xβ||²被最小化。
其中，||.||表示向量
的2范数。
通过将目标函数展开并对β求导，可以得到最小二乘解的闭式
表达式。
具体而言，最小二乘解为β = (X^TWX)^(-1) X^TWy 。
其中，"^T"表示矩阵的转置运算，"^(-1)"表示矩阵的逆运算。
这种加权最小二乘矩阵法要求权重因子满足一定的条件，如非负性、正定性等。
这样可以确保最小二乘解的存在唯一性，并且使得拟
合结果更加准确。
总结而言，加权最小二乘矩阵法通过引入权重因子，对观测数据
进行加权处理，从而在线性回归问题中获得更准确的拟合结果。
该方
法在统计学、机器学习和工程领域都有广泛的应用。
递推最小二乘辨识
• 令
P(k ) (ΦΦk )-1 k
(2)
将Φk展开,故有
P(k ) ([Φ-1 (k -1)][Φ-1 (k -1)] )-1 k k [Φ-1Φk -1 (k -1) (k -1)]-1 k
[ P -1 (k -1) (k -1) (k -1)]-1 (3)
– 遗忘因子法
• 通过对不同时刻的数据赋予一定的加权系数,使得对旧 数据逐渐遗忘,加强新数据对当前辨识结果的影响,从而 避免协方差矩阵P(k)与增益矩阵K(k)急剧衰减而失去对 参数估计的修正能力,使算法始终保持较快的收敛速度. • 遗忘因子法在后面将重点讨论.
L=[(0), (1), ..., (L-1)]T, L×(na+nb) (k - 1) [ y (k - 1), , y (k - na ) u (k - 1), , u (k - nb )]
θ [-a1 , , - ana
b1 , , bnb ]
• 设在k-1时刻和k时刻,系统的参数估计结果为
在第k次递推时,我们已获得新的观测数据向量 (k-1)和 y(k),则记 Φk-1=[(0), (1), ..., (k-2)]T
ˆ θ(k -1) (Φ1Φk 1 )1 Φ1Yk 1 k k 1 ˆ θ(k ) (Φk Φk ) Φk Yk
各类最小二乘法比较
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------各类最小二乘法比较最小二乘法（LS）最小二乘是一种最基本的辨识方法，最小二乘法可以用于线性系统，也可以用于非线性系统；可用于离线估计和在线估计。
在随机情况下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方法的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。
但它具有两方面的缺陷：一是当模型噪声是有色噪声时，最小二乘估计不是无偏、一致估计；二是随着数据的增长，将出现所谓的数据饱和现象。
针对这两个问题，出现了相应的辨识算法，如遗忘因子法、限定记忆法、偏差补偿法、增广最小二乘、广义最小二乘、辅助变量法、二步法及多级最小二乘法等。
广义最小二乘法（GLS）广义最小二乘法（GLS）广义最小二乘法的基本思想在于引入一个所谓成形滤波器（白化滤波器），把相关噪声转化成白噪声。
优：能够克服当存在有色噪声干扰时，基本最小二乘估计的有偏性，估计效果较好，在实际中得到较好的应用。
缺：1、计算量大，每个循环要调用两次最小二乘法及一次数据滤波，2、求差分方程的参数估值，是一个非线性最优化问题，不一定总能1 / 3保证算法对最优解的收敛性。
广义最小二乘法本质上是一种逐次逼近法。
对于循环程序的收敛性还没有给出证明。
3、GLS 算法的最小二乘指标函数 J 中可能存在一个以上局部极小值，（特别在信噪比不大时，J 可能是多举的）。
GLS 方法的估计结果往往取决于所选用参数的初始估值。
参数估计初值应选得尽量接近优参数。
在没有验前信息的情况下，最小二乘估值被认为是最好的初始条件。
4、广义最小二乘法的收敛速度不是很高。
递推最小二乘法（RLS）递推最小二乘法（RLS）优点：1、无需存储全部数据，取得一组观测数据便可估计一次参数，而且都能在一个采样周期中完成，所需计算量小，占用的存储空间小。
计量经济学简答题及答案
计量经济学简答题及答案1、比较普通最小二乘法、加权最小二乘法和广义最小二乘法的异同。
答：普通最小二乘法的思想是使样本回归函数尽可能好的拟合样本数据，反映在图上就是是样本点偏离样本回归线的距离总体上最小，即残差平方和最小。
只有在满足了线性回归模型的古典假设时候，采用OLS才能保证参数估计结果的可靠性。
在不满足基本假设时，如出现异方差，就不能采用OLS。
加权最小二乘法是对原模型加权，对较小残差平方和赋予较大的权重，对较大赋予较小的权重，消除异方差，然后在采用OLS估计其参数。
在出现序列相关时，可以采用广义最小二乘法，这是最具有普遍意义的最小二乘法。
最小二乘法是加权最小二乘法的特例，普通最小二乘法和加权最小二乘法是广义最小二乘法的特列。
6、虚拟变量有哪几种基本的引入方式? 它们各适用于什么情况?答: 在模型中引入虚拟变量的主要方式有加法方式与乘法方式，前者主要适用于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况。
除此外，还可以加法与乘法组合的方式引入虚拟变量，这时可测度定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。
7、联立方程计量经济学模型中结构式方程的结构参数为什么不能直接应用OLS估计？答：主要的原因有三：第一，结构方程解释变量中的内生解释变量是随机解释变量,不能直接用OLS来估计；第二，在估计联立方程系统中某一个随机方程参数时，需要考虑没有包含在该方程中的变量的数据信息，而单方程的OLS估计做不到这一点；第三，联立方程计量经济学模型系统中每个随机方程之间往往存在某种相关性，表现于不同方程随机干扰项之间，如果采用单方程方法估计某一个方程，是不可能考虑这种相关性的，造成信息的损失。
2、计量经济模型有哪些应用。
答：①结构分析，即是利用模型对经济变量之间的相互关系做出研究，分析当其他条件不变时，模型中的解释变量发生一定的变动对被解释变量的影响程度。
②经济预测，即是利用建立起来的计量经济模型对被解释变量的未来值做出预测估计或推算。
第03讲 LS法
2 基本算法(9/14)
这就是加
即
权LS公式
ΦLΛLYL ΦLΛLΦL θ
(6)
因此,LS解即为求解上述正则方程. 当LLLL可逆时,即信号充分丰富时,则可求得的如下
加权LS估计
θ WLS
(Φ τL Λ L Φ L
)1
Φ
τ L
Λ
L
YL
(7)
上面讨论的是极小值得必要条件，其充分条件为： 即指标函数的2阶偏导矩阵为正定（偏导大于零）。
本讲主要讲授: 回归模型表述 LS法的基本原理和算法, LS估计的数值计算, LS法的应用例子,及其 LS估计值的统计特性分析.
第三讲 LS法(4/4)
1 回归模型表述(1/1)
1 回归模型表述
在讨论LS算法之前,下面先讨论在统计回归与 系统辨识中的回归模型. 静态模型(回归模型) 动态模型(自回归模型)
第三讲 最小二乘法
最小二乘(Least Square,以下 简 称 LS) 法 是 1795 年 高 斯 (Gauss)在星体运动预报研究 工作中提出来的.
第三讲 LS法(1/4)
第三讲 LS法(2/4)
LS法在数学各种分支以及其它应用科学中有广 泛应用,如: 数学 计算数学中的曲线拟合和函数逼近 概率统计中的回归分析与参数估计 非相容(矛盾)方程解理论中的LS解 系统与控制科学 实验建模(系统辨识) 测量理论中的误差分析
LS法的思想是由已知的观测数据对如下准则函 数求取最优解而获得未知参数的估计值
L
J (θ) λk[ y(k)-φτ (k-1)θ]2 k 1
[YL - ΦLθ]τ ΛL[YL - ΦLθ]
一种加权整体最小二乘估计的高效算法
第49卷第5期2021年5月同济大学学报（自然科学版）JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE）Vol.49No.5May2021论文拓展介绍一种加权整体最小二乘估计的高效算法王建民1，2，倪福泽3，赵建军2（1.太原理工大学矿业工程学院，山西太原030024；2.成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，四川成都610059；3.中煤（西安）航测遥感研究院有限公司，陕西西安710100）摘要：加权整体最小二乘法（WTLS）是估计errors-in-variables（EIV）模型参数严密的方法，当面临大数据集时，其计算效率有限。
针对EIV模型中设计矩阵呈现出的结构性特征，在最小二乘准则的约束条件下，通过仅给设计矩阵的随机列赋予权重，推证了适用于EIV模型参数估计的部分加权整体最小二乘法（PWTLS）。
PWTLS无需借助拉格朗日辅助法，能够精确估计EIV模型参数；另外，该算法缩减了矩阵的维数，同时在迭代过程中避免了估计设计矩阵的随机误差，从而减小了矩阵运算量，提升了计算效率。
最后以真实数据和模拟数据为例与其他7种同类算法进行对比，结果表明，PWTLS取得了与同类算法相同的精度，但计算效率显著提高，验证了算法的可行性。
关键词：整体最小二乘；变量误差模型；计算效率；坐标转换中图分类号：P207文献标志码：AAn Efficient Algorithm for Weighted Total Least Squares MethodWANG Jianmin1，2，NI Fuze3，ZHAO Jianjun2（1.College of Mining Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan030024；2.State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection，Chengdu University of Technology，Chengdu610059，China；3.Aerial Photogrammetry and Remote Sensing Research Institute Co.，Ltd.，Xi’an710100，China）Abstract：The weighted total least-squares（WTLS）adjustment is a rigorous method for estimating parameters in the errors-in-variables（EIV）model.However，the WTLS are not proper for larger data problem in terms of computational efficiency.Aimed at the structural characteristics of the design matrix in the EIV model，a partially weighted total least-squares（PWTLS）algorithm is proposed based on weighted least-squares（WLS）adjustment by weighting the random column of the design matrix.The PWTLS can obtain an exact solution of the EIV model without applying Lagrange multipliers in a straightforward manner.In addition，the PWTLS reduces the dimensions of the cofactor matrix and does not estimate the random error of the design matrix，as this would greatly improve the computational efficiency. Finally，real and simulated examples are used to demonstrate the accuracy and computational performance of the proposed algorithms.The results show that the PWTLS can obtain the same accuracy as the existing seven improved algorithms，but the computational efficiency is significantly improved.Key words：total least-squares；errors-in-variables；computational efficiency；coordinate transformations高斯‒马尔可夫模型在许多工程实践中得到成功应用，通常认为模型中的设计矩阵是无误差的。
计量经济学：一般估计方法(NLS、GLS、GMM、逐步筛选、对数极大似然)
10 *一般估计方法回归方程的估计在特定的条件下选择适当的估计方法会使得结果更加接近实际，更具有说服力。
满足古典线性回归模型的基本假设条件下，利用普通最小二乘法（OLS ）估计出来的系数具备优良的线性无偏最小方差（BLUE ）的性质。
如果一些条件不能满足，例如出现非线性模型、异方差、序列相关等情形，就无法得到这样的性质。
并且在面对因变量有影响而难以取舍或特殊的计量模型时，就需要改进估计方法以获得更加满意的估计结果。
下面依次介绍几种常见的一般估计方法：非线性最小二乘法（NLS ）、广义最小二乘法（GLS ）、广义矩阵法（GMM ）、逐步筛选最小二乘法、对数极大似然估计法。
10.1 非线性最小二乘法最小二乘法适用的古典假设之一是回归模型是线性的，然而社会经济现象是极其复杂的，有时被解释变量与解释变量之间的关系不一定是线性的。
例如柯布.道格拉斯(Cobb-Dauglass )生产函数模型:321t t t t y L K u ααα=+ ，t=1，2，...，T （10.1.1） 对此方程（10.1.2）进行对数变换，如下式123ln ln ln t t t t y L K u ααα=+++ （10.1.2）虽然式（10.1.2）的变量是非线性形式，此时我们仍能采用估计线性模型的方法，因此模型是参数线性的。
反之，就是参数非线性的，我们就要采用非线性的估计方法。
构建下面的非线性模型：(,)t t t y f x u α=+ ，t=1，2，…，T (10.1.3)式中，y 是被解释变量，x 为解释变量（向量），t u 为误差项，α为待估计的K 维参数向量12(,,...,)k αααα'=，T 是样本个数。
此处讨论的是，f 关于参数α的导数仍含参数α本身，即参数非线性模型。
非线性最小二乘估计是要选择参数向量α的估计值ˆα使残差平方和S(ˆα)最小：[]21ˆˆ()(,)T t t t S y f x αα==-∑ （10.1.4）求解方程，对每个参数分别求偏导数并令这些偏导数为0，得到方程组：[]1ˆˆ(,)()ˆ2(,)0ˆˆT t t t t i i f x S y f x ααααα=∂∂=--=∂∂∑，i=1，2，...，k （10.1.5） 对于参数非线性模型，无法利用普通最小二乘的方法直接求解式（10.1.5）。
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WLS:加权最小二乘
一般最小二乘估计精度不高的原因之一是不分优劣地使用了量测值，如果对不同量测值的质量有所了解，则可用加权的方法分别对待各量测量，精度质量高的权重取大些，精度质量低的权重取小些；权W 是适当取值的正定阵。
最小二乘估计是Gauss 在1795年为测定行星轨道而提出的参数估计算法。
特点是方法简单，不必知道与被估计量任何统计信息。
假定量测信息z 可以表示为参数x 的线性函数，即
v Hx z +=，
其中()N m n ×∈ H ， N m ∈ v 是一个零均值的随机向量；设()()N m N m ×∈ W 为对称正定阵（0≥W ），则如下估计
WLS T ˆˆˆˆarg min()()=−−x x z Hx W z Hx ，
称为加权最小二乘（weighted least squares ，WLS ）估计；如果=W I ，则称为最小二乘（Least Squares ，LS ）估计。
注意：最小二乘法的最优指标只保证了估计量测的均方误差最小。
定理 设T
H WH 可逆，则基于量测信息z 和加权矩阵W 对参数x 的WLS 估计为 WLS T 1T ˆ()−=x
H WH H Wz ， 证明：因为T T T T T
min()()min(2)−−=−+x x z Hx W z Hx z Wz z WHx x H WHx ， 而
()T T T T T T T T T 1
T T (2)(2)20
ˆWLS x −∂−+∂∂=−+∂=−=∴=T T z Wz z WHx x H WHx x
z Wz x H Wz x H WHx x
H Wz +2H WHx H WH H Wz （注意：,T Ax x Ax A x x
∂<>=+∂，,x y y x ∂<>=∂） 关于估计方差：
如果量测误差v 的均值为0方差为R ，则加权最小二乘估计也是无偏估计。
估计的协方差阵为
11111[]()()ˆ(()()())
T T T T T T T T T T E xx
H WH H WRWH H WH x
x x H WH H WHx H WH H Wz
H WH H Wv −−−−−==−=−=− ∵
（注意11()()T T A A −−=）
如果1
W R −=，则加权最小二乘估计又称为马尔科夫估计，此时估计的协方差阵为 11[]()T T E xx
H R H −−= 此时协方差阵最小，是WLS 估计中的最优者。
（注意两个矩阵 A ，B 比大小时，A B >指A B −正定）
最小二乘法的最优指标只保证了量测的估计均方误差最小，而并未确保估计量的估计误差达到最佳，所以估计精度不高）
例1：用一台仪器对未知确定性标量x 作r 次（直接）测量，测量值分别为1,...,r z z ,并已知测量均值为0，方差为R ，求其最小二乘估计，并估计协方差阵。
解：令1[,...,]T r Z z z =，[1,...,1]T H =，[]T E VV RI =， 此时W =I,有
11ˆ[..]r x z z r
=++ []T R E xx r
= 例2：用两台仪器对未知确定性标量x 各直接测量一次，量测分别为1z 和2z ，两台仪器测量误差均值为0，方差分别为r 和4r ，求其最小二乘估计，并估计协方差阵。
由题意，得测量方程
12z 1r ,Z=,H=,R=z 14r Z Hx V
=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
其中， 有 1221ˆ[]21115E[x ][11]R r r 1224
x z z =+⎡⎤==>⎢⎥⎣⎦ 上式说明，使用精度差一倍的两台仪器同时测量，最小二乘估计效果不如单独采用一台仪器。
但如果采用马尔科夫估计，取1W R −=，有
1221ˆ[4]54E[x ]r r 5
x z z =+=<
可见，应用马尔科夫估计，获得了较仅用一台精度高的仪器更好的效果（方差小）。
所以，增加不同的测量值，并根据其精度区别利用，能有效提高估计精度。