再论加权最小二乘法中权函数的选择
权函数与最小二乘法结合使用
y
x y
-0.3
2.3 1.8
-1.2
1.6 0.5
1.1
5.1 3.8
-3.5
-1.9 -2.8
4.6
-1.5 0.5
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散点图为
6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3 -4
-4
-2
2
4
6
8
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解: 先求线性部分的参数,得模型
ˆ n ( x) 0.3488 0.8089 x m1n ( x ) m
n
n
3) 再用所余残差估计模型中非线性部分
m1n ( x ) Wni i
i 1
n
ˆ ˆ bX i Yi a ,n i i 1,2,
注意: 此估计中的权的选取一如上一节 所示
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4) 得回归模型的估计为
ˆ W ˆ n ( x) a ˆ bx m ni i
散点图为：
12 10 8 6 4 2 0 0 5 10
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20
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根据散点图选择倒指数曲线
y ae
型如 其中
b x
1 ln y ln a b x
Y A bX
A ln a Y ln y X 1/ x
dy 取权 U ni dY
e |Yi e
无关
取加权残差函数为
Q U ni (Yi a bX i )
i 1
n
2
求
ˆ 满足 ˆ, b a
ˆ ) min Q(a, b) ˆ, b Q(a
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加权最小二乘法详细推导
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是一种用于线性回归模型的优化方法，它给予不同的数据点不同的权重，以便更好地拟合模型并减少误差。
假设我们有一个线性回归模型y = Xβ，其中y 是目标变量，X 是特征矩阵，β是要估计的参数。
我们还有一个与X 大小相同的权重矩阵W。
加权最小二乘法的目标是最小化损失函数：J(β) = ∑w_i(y_i - x_iβ)^2，其中i 是数据点的索引，w_i 是与第i 个数据点相关的权重。
对J(β) 求关于β的偏导数，并令其为0，得到：
∂J(β)/∂β= 0 = 2∑w_iy_i - 2x_iβ
由于这是一个线性方程，我们可以将其表示为矩阵形式：
X^TWXβ= X^TWy
其中，X^T 是X 的转置，W 是权重矩阵，y 是目标变量。
通过解这个方程，我们可以得到β的估计值：
β= (X^TWX)^(-1)X^TWy
这就是加权最小二乘法的推导。
这种方法考虑了每个数据点的权重，因此可以更好地处理不同大小和分布的数据点。
散乱数据曲面拟合的局部加权最小二乘插值方法及权函数的选择讨论.
散乱数据曲面拟合的局部加权最小二乘插值方法及权函数的选择讨论刘福保1，李卫国2 1． 长沙民政职业技术学院 文法系 2． 南京航空航天大学 机电学院摘要：本文首先用局部加权最小二乘法将三维空间内任意散乱数据点集均匀，再估计出立方体网格点上的偏导数值及混合偏导数值，最后仅用网格点数据进行快速光滑插值加密计算,从而可得到任意点处的函数值。
通过对已知函数的随机数据点集进行计算,取得了令人满意的效果。
同时,在最小二乘逼近过程中,本文提供了一种权函数,并与其它二种权函数进行分析比较,给出了各种情况下的误差。
关键词:散乱数据,最小二乘,权函数,插值The Topic on Choice of Weighted Functional and Local WeightedLeast-mean Square Method for Surface Interpolation to Scattered Data1．Liu Fubao ,CHangSha scoclal work collgeg ,ChangSha,410004,China2. Li Weiguo ， Nanjing University of Aeronautics & Astronautics （南航）, College of Mechanical and Electrical Engineering （机电学院）, Nanjing 210016, ChinaAbstract: In this article, a uniform grid data is firstly sampled from the scattered data in 3D space by local weighted least square mean method, then partial and mixed partial derivative value on the volume grid node position is estimated, finally the grid data are interpolated to be a global functional by smoothing and densification a prior. We reported some satisfactory case results at the end of this article. Also, in the process of least square mean fitting, a best weighted functional was adopted after compared with other two traditional weighted functional. We also presented the error in the case of varied inputted parameters.Keywords: scattered data, least square mean, weighted functional, interpolation１、引言给定平面区域内的某一散乱点集D=(){}x y i N i i ,,,,,=12 以及对应点上的函数值{}f i N i ,,,,=12,求一个二元函数()F x y ,使其满足()F x y f i i i ,≈(i N =12,,, ),这就是三维空间内散乱数据点集的拟合问题。
加权最小二乘
异方差的类型
• • 同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差： i2 = f(Xi)（注：方差与x有关）
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
异方差产生原因
1、模型中缺少某些解释变量（即自变量）；从而干 扰项产生系统模式。 2、样本数据观测误差；随着数据采集技术的改进， 干扰项的方差可能减少。 3、模型设置不正确。 4、经济结构发生了变化，但模型参数没作相应调整 。比如按照边错边改学习模型，人们在学习的过 程中，其行为误差随时间而减少。 5、异常值的出现也会产生。异常值可以通过查看图 形或检查原始数据找到。
• 标准的线性回归模型中，假设所研究总体中方差恒定， 即因变量的变异不随其自身预测值或其他自变量值得变 化而变动。 • 但在有的研究问题中，这一假设可能被违反，可能是因 变量的变异随其自身数值增大而增大，也可能是随其他 变量值而改变。例如：以地区为观察单位调查某种疾病 的发生率，由于率的标准差本身就和样本量有关，显然 该地区的人数越多，所得到的发生率就会越稳定，即变 异度越低。在这些情况下，如果采用普通最小二乘法（ OLS）来分析，可能产生偏差，如果能够根据变异的大 小对相应数据给予不同的权重，在拟合时对变异较小的 测量值赋予较大权重，则能够提高模型的精度。
实际问题的异方差性
• 在实际经济问题中，随机扰动项往往是异方差的，但主要在截 面数据分析中出现。
加权最小二乘法的基本思想
• 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方 差性的的概念
在讲到加权最小二乘法的时候需要引入一个重要的概 念——异方差。那么什么是异方差呢？ 对于模型
加权最小二乘法的基本原理
加权最小二乘法的基本原理加权最小二乘法（WeightedLeastSquares，WLS）是一种常用的统计学标准，它可以用来调整和评估数据，从而得出更好的分析结果。
它的基本思想是通过考虑观测值之间的不确定性来估计回归系数，从而获得最小总平方误差（least squares）。
加权最小二乘法最早被用于统计学和概率分析，以评估和调整数据，特别是适用于数据拟合和线性回归分析。
它的思想是将我们所知道的关于观测值之间关系的一些重要信息纳入考虑。
可以使用加权方法调整观测值和系数之间的关系，从而改善拟合模式的准确性。
加权最小二乘法的基本原理是将观测值的权值赋予给每一个观测值，这个权值一般可表示为观测值的精度。
权值越大，说明观测值越有可能越准确，用于衡量数据可靠性。
权值可以是正的，也可以是负的，正权值表示可信度高，负权值表示可信度低。
加权最小二乘法能够改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间可能存在不确定性的情况下。
加权最小二乘法可以根据可能的不确定性来调整模型，从而使模型的精确度更高。
加权最小二乘法的最小二乘估计是通过求解最小化均方误差函数来实现的，它以下面的公式形式表示：min i=1N (yj - a1x1j - a2x2j - ... - anxnj)2 / wi 其中，N是观测值的总数，yj是观测值，a1、a2等是待估计的回归系数，x1j、x2j等是被观测的变量，wi是观测值的权值。
加权最小二乘法的原理在于，它将考虑观测值的不确定性，将对观测值更有可信度的权重赋予给观测值，从而改善回归系数的估计。
当数据存在某些影响因素时，加权最小二乘法可以更有效地消除其影响，从而使得拟合数据更加准确。
另外，加权最小二乘法还可以用于数据分析，可以用来估计参数和拟合模型，从而对数据集中的数据进行有效分析。
加权最小二乘法可以减少拟合模型的噪声，并且可以更好地拟合回归曲线，从而获得更好的拟合效果。
综上所述，加权最小二乘法是一种有效的统计方法，可以用来改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间存在不确定性的情况下。
加权最小二乘估计中选择权数的迭代算法
ｆ １ 设ｗ 一 半 定 ， ｗ ＝ Ｗ）ＸＷ． 为 个 正 阵记 （ ） （ Ｘ一 ｙ 令Ｗ＝ ． Ｉ ｎＸ ＝ 时称 （ ） 的 ｌ ‘ Ｊ ａ（） Ｐ ， ｗ 为 加 ｋ ， 当ｒ
权最小二乘估计（ ＬＥ ． ｗ ｓ ）在一般情况下， 五（ 称 ｗ）＝邱 （ ｗ）＝Ｘ Ｘ ｗ ） Ｘ Ｗ （ Ｔ ｘ 一 Ｔ ｙ为 ： 的加权最小二乘估计 ． 若取 Ｗ ＝，五 ， ＝邱 ＝ （ Ｔ ） Ｘｙ 的 ，（） ｘ ｘ 一 Ｔ 就是 最小二 乘估计（ Ｅ， Ｌ ） Ｓ
在假定 Ｗ ≥ ０的条件 下 ， 加权最小二乘估计 有如 下性质… ： 定理 ２ （ 为 的无偏估计 当且仅 当 ｒｎ（ Ｗ） ａｋ Ｘ）＝ｒｎ （ ） ａｋ ＸＴ ． 定理 ３ （ 为 的最 佳方差无偏估计 当且仅 当 ｒｎ （ ｗ） ａ Ｘ）＝ｒ ｋ Ｘ ｗｘ） ｔ（ ｗ ａ （Ｔ ｎ ， ｖ ｘ）ｃ ｔ（ ） ｔ ． ｔ
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２ ８
吉首大学学报（ 自然科学版）
第２ ８卷
２ 权 数 的确 定
采用加权 回归估计方法 ， 其中的关键 问题是权数 的确定 ． 怎样确定权数 ， 目前还没有统一 的标准和方法 ， 比较常用 的参
见文献 ［ ］ ２． 文献 ［ ］ 为最佳权函数是针对某个模型而言的 ， ２认 即模型不 同， 其最佳权 函数也 不同 ． 实际应用 中 自变量个数较 多 ， 在
＜ ， 一般取 ｏ １ ｏ．． ． 或 ５
基于以上的要求 ， 提出以下的计算 步骤 ： （） １ 计算 ＇ ＝ ， 的残差平方和 Ｒ Ｓ ． ， 时 Ｓ． （ ） 步长 ｋ 一般 可选取 ｋ ２取 ， ｏ＝０ ０ １０ ０２ ０ ０５ ．０ ， ．０ 或 ．０ ．
估计过程中 ， 普通最小二乘法估计 的参数 的变动 系数普遍大于加权 回归估计 ， 而参数的变动系数是衡量模 型稳健性 的一个 很重要 的指标 ． 建模 的 目的是进行预测 ， 于不 同的预测对象 ， 对 模型 的参数应该 是 比较稳 定的 ， 预测结果 是可控制 的 ． 因 此， 在加权 回归估计考虑权函数时应使模型 的稳健性较好 ． 而且 ， 通最 小二乘估计 以残差平方 和最小为原则 ， 普 在这个原则
加权最小二乘问题和正则化方法的研究
加权最小二乘问题和正则化方法的研究在机器学习和统计学领域中，加权最小二乘问题和正则化方法是两个常用的技术。
本文将对这两个方法进行深入研究和探讨。
一、加权最小二乘问题加权最小二乘问题是一种经典的回归分析方法，用于寻找最佳拟合曲线或平面。
在该问题中，我们的目标是找到一组模型参数，使得观测数据与模型的预测值之间的误差最小化。
这些误差可以通过最小化平方误差函数来计算。
在实际应用中，我们可能会遇到一些特殊情况，其中某些数据点比其他数据更重要或更可靠。
为了充分利用这些信息，我们可以引入权重的概念。
通过为每个数据点分配一个特定的权重，我们可以调整它们对最小二乘问题的影响力。
这个过程称为加权最小二乘。
加权最小二乘的核心是根据数据的可靠性进行加权。
对于可信度高的数据点，分配较大的权重，使其对拟合曲线的影响更大；而对于可疑的或不可靠的数据点，可以分配较小的权重，降低其影响。
通过这种方式，加权最小二乘可以更好地适应不同数据的特点，得到更准确和鲁棒的拟合结果。
二、正则化方法正则化方法是一种常用的机器学习技术，用于解决过拟合问题。
在过拟合情况下，模型在训练数据上表现得非常好，但在新的未见数据上表现较差。
这是因为模型过于复杂，过度拟合了训练数据中的噪声和离群值。
为了解决过拟合问题，正则化方法引入了额外的约束项，以限制模型参数的大小或复杂度。
这个约束可以通过在损失函数中添加正则化项来实现，使得模型的训练过程不仅考虑拟合数据，还考虑约束条件。
常见的正则化方法包括L1正则化和L2正则化。
L1正则化通过将模型参数的绝对值添加到损失函数中，使得一些参数变为零，从而实现特征选择和稀疏性。
L2正则化则通过将模型参数的平方和添加到损失函数中，使得参数变小，从而控制模型的复杂度。
正则化方法的引入可以有效避免模型过拟合，并提高模型在未知数据上的泛化能力。
通过权衡模型的拟合能力和约束条件，正则化方法能够得到更为合理和稳定的模型。
总结加权最小二乘问题是一种回归分析方法，可以根据数据的可靠性进行加权，得到更准确和鲁棒的拟合结果。
加权最小二乘法
T-Statistic Prob. -4.863940 0.0007 7.300328 0.0000 Mean dependent var 382.9167 S.D. dependent var 306.1590 Akaike info criterion 9.849314 Schwartz criterion 9.930131 F-statistic 53.29478 Prob(F-statistic) 0.000026
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2。模型变换法
（1）模型变换法的定义 （2）模型变换法的关键 （3）模型变换法的变换过程 （4）实际处理异方差时，f(xi)的常用形式 （5）常用变换举例 （6）利用EViews作模型变换
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3。加权最小二乘法
（1）加权最小二乘法的思路 （2）加权最小二乘法的机理 （3）加权最小二乘法的定义 （4）OLS是加权最小二乘法的特例 （5）加权最小二乘法与模型变换法所得结 果是一致 （6）在EViews中实现加权最小二乘法
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（2）G-Q检验
1。求两个子样回归方程残差平方和 加载(lx4下)yfch.wf工作文件到内存 SORT X 按居民收入排序 SMPL 1 12 LS Y C X 得ESS1 SMPL 20 31 LS Y C X 得ESS2
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加权最小二乘法估计结果
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加权最小二乘法残差与X的散点图
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30000
40000
3。异方差检验
（1）图示法检验 （2）G-Q检验
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（1）图示法检验
LS Y C X GENR E1=resid GENR E2=E1*E1 SCAT E2 X 残差平方和呈比较典型的喇叭型
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LX5\YFCH.PRG的程序清单 '异方差图示法的程序 load c:\lx5\yfch.wf1 scat y x '计算储蓄函数chxeq equation chxeq.ls y c x genr e1=resid genr e2=e1*e1 scat e2 x