加权最小二乘
加权最小二乘法广义最小二乘法
❖ H0： a1=a2=...=0
❖ H1： a1，a2...不全为0
❖ Step1：估计方程，提取残差，并求其平
方ei2。
❖ Step2：计算残差平方和的均值
avg(ei2) 。
❖ Step3：估计方程，被解释变量为
ei2/avg(ei2) ，解释变量依然为原解释
变量。
❖ Step4：构造得分统计量Score=RSS/2 服从自由度为k的卡方分布。查表检验整 个方程的显著性。
解释变量Xi之间不存在精确的线形关系，即解释变 量的样本观测值矩阵X是满秩矩阵，应满足关系式：
rank(X)=k+1<n
可以理解为各X之间互不相关（无多重共线性）
εi 具有同方差性
❖ Var(ε i|Xi) = E[ε i -E(ε i)]2 = E(ε i)2=σ2 ：
违反将导致非有效。
❖ 误差项存在异方差：ε的方差-协方差矩阵 Var(ε)主对角线上的元素不相等 。
Var(Yi) Var( 0 1Xi) Var(i) Var(i) 2
• 异方差一般可归结为三种类型：
（1）单调递增型： i2随X的增大而增大； （2）单调递减型： i2随X的增大而减小; （3）复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式。
❖ 一个现实情况是：在我们用到的大部分 数据中（特别是截面数据），异方差是 一般情况，而同方差是特殊情况。
❖ 如果 无任何特征和规律可言，整个计量模 型的建立将无法开展，因此，我们需要人为地 为它设定一些假定条件。
❖ 如果下列假定条件满足，我们就可以用最小二 乘法对模型进行回归估计。
❖ 事实上，我们进行OLS之前，规定了误差项必 须遵守的假定
❖ 因此有了对于误差项的高斯经典假定。
加权最小二乘的原理
加权最小二乘的原理加权最小二乘是一种常用的参数估计方法，它在统计学和经济学中得到广泛应用。
本文将介绍加权最小二乘的原理及其在实际问题中的应用。
加权最小二乘方法的原理是基于最小二乘法的基础上，对不同样本赋予不同的权重，从而更准确地估计参数。
最小二乘法是一种通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型参数的方法。
然而，在实际问题中，不同样本的观测误差可能存在差异，有些样本的观测值比其他样本更可靠，因此需要对不同样本赋予不同的权重。
为了理解加权最小二乘的原理，我们可以考虑一个简单的线性回归模型。
假设我们有一组观测数据，包括自变量x和因变量y，我们希望通过线性模型y = β0 + β1x来拟合这些数据，并估计出参数β0和β1。
在最小二乘法中，我们最小化观测值和模型预测值之间的平方差，即最小化误差的平方和。
而在加权最小二乘中，我们引入权重w，对每个观测值的误差进行加权求和，即最小化加权误差的平方和。
加权最小二乘的权重可以根据具体的问题来确定。
一种常见的做法是根据观测值的精确度来确定权重。
精确度较高的观测值可以赋予较高的权重，而精确度较低的观测值可以赋予较低的权重。
这样做的目的是确保较为可靠的观测值对参数估计的贡献更大，从而提高参数估计的准确性。
加权最小二乘方法在实际问题中有广泛的应用。
例如，在金融领域，加权最小二乘可以用于估计资产收益率的回归模型。
在这种情况下，不同资产的收益率观测值可能具有不同的波动性，因此需要对观测值赋予不同的权重，以反映其相对精确度。
另外，在医学研究中，加权最小二乘可以用于分析药物的剂量反应关系，根据不同剂量下的观测数据对模型进行加权拟合，从而得到更准确的剂量反应曲线。
加权最小二乘是一种在最小二乘法的基础上引入权重的参数估计方法。
通过对不同样本赋予不同的权重，加权最小二乘可以提高参数估计的准确性。
这种方法在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种统计和经济学问题。
加权最小二乘法excel
加权最小二乘法excel
加权最小二乘法是一种数据拟合方法，它考虑到不同数据点的重要性差异，并根据其权重对数据进行拟合。
在Excel中，可以使用“数据分析”工具中的“回归”功能来实现加权最小二乘法拟合。
首先需要将数据点按照其权重进行排序，并将权重值记录在另外一列中。
然后，在Excel中打开“数据分析”工具，选择“回归”功能，并在弹出的对话框中输入自变量和因变量的数据范围。
在“回归”对话框的“选项”选项卡中，可以选择加权最小二乘法作为回归拟合的方法，并指定权重值所在的列。
完成设置后，点击“确定”按钮即可进行拟合计算，得到加权最小二乘法的拟合结果。
使用加权最小二乘法可以更准确地拟合数据，尤其是在数据点有较大重要性差异时。
在Excel中，通过简单的设置即可进行加权最小二乘法的计算，方便实用。
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加权最小二乘法名词解释
加权最小二乘法名词解释加权最小二乘法(gmms)是在最小二乘法的基础上增加一些假定，用权数来表示概率，通过调整权数，使不同的假定对决策具有不同的影响，从而获得更好的决策方案。
在加权最小二乘法中，每个自变量都有一个概率值和一个权重值，根据这两个值进行相应的运算，再结合一定的信息源，可以得到一个总体期望值。
加权最小二乘法在推广之后可以用于多变量模型的预测。
加权最小二乘法在控制领域有着较多的应用，最常见的就是在控制系统中的状态空间设计问题。
加权最小二乘法被用来设计出能够实现自身功能的最优控制器，并通过一定的约束条件选择出其参数。
除了上面提到的应用外，加权最小二乘法还可以应用在汽车领域、商业领域等等。
主成分分析在商业领域也有许多应用。
主成分分析(principal component analysis， pca)是一种特殊形式的加权最小二乘法。
它与传统的加权最小二乘法不同，加权最小二乘法要求各个自变量独立，而pca只考虑主成分和第一个自变量的平方，从而能够更快速地得到综合评价指标。
其原理与加权最小二乘法相似，都是通过一定的模型，经过一定的数学运算，求解出综合评价指标。
主成分分析在日本地铁线路规划中已经得到应用。
美国波士顿的公共交通网络包括两种交通工具，一种是小轿车，另一种是地铁，小轿车和地铁在线路布局时要求不同。
pca能够通过权重值将两种工具的线路进行有效连接，为交通工具的规划设计提供依据。
在商业中，通过各个指标的贡献大小，有效调配资源，优化配置资源，是十分重要的事情。
pca可以帮助企业在众多竞争者中选出最适合本企业发展的那一个，即所谓的“不二”法则。
加权最小二乘法将无序的数据转化为有序的信息，可以使计算机识别数据，能够大大提高人类的认知水平。
如今的互联网就是很好的例子，在科技迅速发展的今天，需要更多人来管理和维护，但是单凭人类的力量又是无法完成的，如果使用了加权最小二乘法，就能让计算机来完成这项任务。
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性是一种有效的数据分析方法，它能够解决多元线性回归中非常常见的异方差性问题。
本文旨在讨论加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法，探讨它的作用、原理以及应用案例。
一、加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的作用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性，也就是根据残差平方和，按给定权重来重新估计回归参数，从而有效减少异方差性对线性回归结果的影响。
主要使用的是基于最小二乘的统计模型。
它首先假定在给定的变量的条件下，观察到的残差遵从正态分布，其方差不随观察数改变而改变，即观察到的残差是加性误差、具有同一的方差。
二、加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的原理加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的基本原理是：将多元线性回归方程中的异方差性用权重修正，使得残差平方和和最小。
为此，建立最小二乘估计模型是必要的，它对残差有以下假设：（1）总体误差ε平均为0；（2）总体误差ε服从正态分布；（3）总体误差ε的方差为ε～N（0，σ2）。
以回归分析中的总体误差平方和为最小二乘估计的准则函数，采用梯度下降法，估计出回归系数的值，从而实现对多元线性回归方程中的外生性问题的消除。
三、加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的应用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的应用非常广泛，在金融、经济、市场营销等领域有着重要的作用。
例如，在股票投资领域，投资人可以利用多元线性回归分析来预测股票价格，由于有异方差性的存在，因此可以通过加权最小二乘法来提高预测的准确性。
此外，在宏观经济分析领域，也可以利用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性，从而更精确地检测经济趋势，从而使政策制定更加有效。
结论本文简要介绍了加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法，并阐述了它的作用、原理和应用案例。
整个方法基本上是利用梯度下降法，以残差平方和最小为准则函数，重新估计观察数据的回归参数，从而有效减少异方差性对线性回归的影响。
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性
的思想与方法.
思想：加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位不同，误差项方差大的项，在平方和中作用大，回归线被拉向方差大的项。
加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数Wi，以调整各项在平方和中的作用。
方法：加权最小二乘法、BOX-COX变换法、方差稳定性变换法。
加权最小二乘法基本原理
加权最小二乘法基本原理加权最小二乘法，听上去挺复杂的对吧？但是别担心，咱们今天就来聊聊这个有趣的东西。
想象一下，咱们在做一场聚会，邀请了不同的朋友。
每个人都带了不同的菜，有的人带的很美味，有的人嘛……就算了。
我们自然想让美味的菜占更多的分量，对吧？这就像加权最小二乘法一样，它是处理数据时的一种方法。
我们得搞清楚，什么是“最小二乘法”。
简单来说，这是一种帮助我们找到数据间最佳拟合的方法。
就像找对象一样，总想找到最合适的。
可是，有些数据的质量就像有些朋友的拿手菜，不一样。
加权最小二乘法就是给每个数据点一个“权重”，用来表示它的重要性。
高质量的数据会得到更高的权重，而那些质量差的数据就会被轻轻地“放一边”。
想象一下，你在做一个学校项目，老师让你收集同学们对某件事情的看法。
有些同学很认真，有些则随意带过。
你肯定希望认真同学的意见更能影响最终结果。
加权最小二乘法就帮助我们实现这一点。
它让重要的声音更响亮，不那么重要的声音悄悄退场，真是个好帮手！很多人可能会想，那我该怎么给数据加权呢？其实这就像给朋友评分，谁的拿手菜最好，谁的就得加点分。
你可以根据数据的来源、准确性，甚至是它们背后的故事来决定权重。
是的，这样一来，数据的真实面貌就展现出来了，犹如一幅生动的画卷。
不过，加权最小二乘法也不是万无一失。
就像每个聚会都会有小插曲，有时候数据的选择和权重分配会出现问题。
假如你给了一个质量极差的数据过高的权重，那最终结果可能就像一碗面里加了太多盐，咸得让人受不了。
所以，选择权重可得小心翼翼，犹如选择聚会的菜肴。
应用这个方法的时候，还要注意一个小细节。
统计模型的假设就像是我们对朋友的基本了解。
如果假设错了，再好吃的菜也难以救场。
我们得确保模型的假设合理，才能让加权最小二乘法发挥出它的“绝招”。
所以，在数据分析的过程中，得多问问自己，这样做是否合理，最终结果是否值得信赖。
咱们说说应用场景。
加权最小二乘法可真是个全能选手，它可以在经济学、工程学、社会科学等各个领域大显身手。
加权最小二乘法 拟合多项式 matlab
加权最小二乘法拟合多项式 matlab
加权最小二乘法是一种用于拟合多项式的方法，在MATLAB中可以使用polyfitw函数实现。
该函数的使用方法如下：
1. 准备输入数据和对应的权重。
假设有n个点的输入数据为x和y，其中x是一个n维向量，y是一个n维向量，表示X轴和Y轴上的坐标值。
权重为w，是一个n维向量，表示每个数据点的权重。
2. 调用polyfitw函数进行拟合。
使用polyfitw函数，可以得到一个多项式的系数向量p，满足y = p[1]*x^(N-1) + ... + p[N]，其中N为多项式的次数。
p = polyfitw(x, y, N, w)
在这里，x和y是输入数据，N是多项式的次数，w是权重。
函数返回值p是一个多项式的系数向量。
3. 绘制拟合曲线。
使用polyval函数可以在MATLAB中绘制出拟合的多项式曲线。
xx = linspace(min(x), max(x), 100); % 生成一些用于绘图的x 值
yy = polyval(p, xx); % 计算对应的y值
plot(x, y, 'ro'); % 绘制原始数据点
hold on;
plot(xx, yy, 'b-'); % 绘制拟合曲线
legend('原始数据', '拟合曲线');
xlabel('x轴');
ylabel('y轴');
这样就完成了多项式的加权最小二乘法拟合，并在MATLAB中绘制了拟合曲线。
注意，根据实际问题选择合适的多项式次数N和权重w。
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异方差的类型
• • 同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差： i2 = f(Xi)（注：方差与x有关）
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
异方差产生原因
1、模型中缺少某些解释变量（即自变量）；从而干 扰项产生系统模式。 2、样本数据观测误差；随着数据采集技术的改进， 干扰项的方差可能减少。 3、模型设置不正确。 4、经济结构发生了变化，但模型参数没作相应调整 。比如按照边错边改学习模型，人们在学习的过 程中，其行为误差随时间而减少。 5、异常值的出现也会产生。异常值可以通过查看图 形或检查原始数据找到。
• 标准的线性回归模型中，假设所研究总体中方差恒定， 即因变量的变异不随其自身预测值或其他自变量值得变 化而变动。 • 但在有的研究问题中，这一假设可能被违反，可能是因 变量的变异随其自身数值增大而增大，也可能是随其他 变量值而改变。例如：以地区为观察单位调查某种疾病 的发生率，由于率的标准差本身就和样本量有关，显然 该地区的人数越多，所得到的发生率就会越稳定，即变 异度越低。在这些情况下，如果采用普通最小二乘法（ OLS）来分析，可能产生偏差，如果能够根据变异的大 小对相应数据给予不同的权重，在拟合时对变异较小的 测量值赋予较大权重，则能够提高模型的精度。
实际问题的异方差性
• 在实际经济问题中，随机扰动项往往是异方差的，但主要在截 面数据分析中出现。
加权最小二乘法的基本思想
• 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方 差性的的概念
在讲到加权最小二乘法的时候需要引入一个重要的概 念——异方差。那么什么是异方差呢？ 对于模型
Yi 0 1 X ii 2 X 2i k X ki i
如果出现 2 Var (i ) i 即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再 是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
加权最小二乘法 （ Weighted Least Squares ，WLS）
许琼琼
线性回归的衍生模型之WLS
如前介绍线性回归模型有自身的适用条件，线性、 正态性、独立性、方差齐性，但是，在实际分析项目中 往往不会服从以上假定，此时就需要对数据进行变换使 之符合模型需求，或者对模型加以改进使之能够处理相 应数据，总之这是一个模型和数据相互适应的双向的过 程。 今天我们讨论的是线性回归衍生模型中重要又常见 的一种情况——加权最小二乘法(WLS)。 那么什么情况下应用这种模型呢？
• 除方差波动外，还有一种情况是根据分析目的人为照顾 某些样本数据，这最常见于实验室研究中绘制标准曲线 的问题。由于标准曲线所涉及的浓度范围一般较宽，而 样品测试的绝对误差往往又随浓度的增大而增大，如果 以普通OLS加以拟合，必然会导致标准曲线在高浓度区 域内精确度较高，而在低浓度区域内准确性明显下降。 而标准曲线更重视的相对误差而不是绝对误差，而不同 浓度区域内的相对误差和绝对误差往往不成比例，如浓 度在100ng/ml时，5ng/ml的误差仅使其相对误差达到 5%；而当浓度为1ng/ml时，相对误差则达到了500% 。显然为了保证曲线精度，必须要在拟合时对低浓度数 据给予较高的权重。