(完整版)加权最小二乘法(WLS)
计量经济学练习题完整版
计量经济学试题1一 名词解释（每题5分，共10分） 1. 经典线性回归模型2. 加权最小二乘法（WLS ） 二 填空（每空格1分，共10分）1．经典线性回归模型Y i = B 0 + B 1X i + µi 的最小二乘估计量b 1满足E ( b 1 ) = B 1，这表示估计量b 1具备 性。
2．广义差分法适用于估计存在 问题的经济计量模型。
3．在区间预测中，在其它条件不变的情况下，预测的置信概率越高，预测的精度越 。
4．普通最小二乘法估计回归参数的基本准则是使 达到最小。
5．以X 为解释变量，Y 为被解释变量，将X 、Y 的观测值分别取对数，如果这些对数值描成的散点图近似形成为一条直线，则适宜配合 模型。
6．当杜宾-瓦尔森统计量 d = 4时，ρˆ＝ ，说明 。
7．对于模型i i i X Y μββ++=10，为了考虑“地区”因素（北方、南方两种状态）引入2个虚拟变量，则会产生 现象。
8. 半对数模型LnY i = B 0 + B 1X i + µI 又称为 模型。
9.经典线性回归模型Y i = B 0 + B 1X i + µi 的最小二乘估计量b 0、b 1的关系可用数学式子表示为 。
三 单项选择题（每个1分，共20分）1．截面数据是指--------------------------------------------------------------（ ）A ．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据。
B ．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据。
C ．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据。
D ．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据。
2．参数估计量βˆ具备有效性是指------------------------------------------（ ） A ．0)ˆ(=βar V B.)ˆ(βarV 为最小 C ．0)ˆ(=-ββD.)ˆ(ββ-为最小 3．如果两个经济变量间的关系近似地表现为：当X 发生一个绝对量（X ∆）变动时，Y 以一个固定的相对量（Y Y /∆）变动，则适宜配合的回归模型是------------------------------------------------------------------------------------------- （ ）A ．i i i X Y μβα++= B.i i i X Y μβα++=ln C ．i ii X Y μβα++=1D.i i i X Y μβα++=ln ln 4．在一元线性回归模型中，不可能用到的假设检验是----------（ ） A ．置信区间检验 B.t 检验 C.F 检验 D.游程检验5．如果戈里瑟检验表明 ，普通最小二乘估计的残差项有显著的如下性质：24.025.1i i X e +=，则用加权最小二乘法估计模型时，权数应选择-------（ ）A ．i X 1 B. 21i X C.24.025.11i X + D.24.025.11i X +6．对于i i i i X X Y μβββ+++=22110，利用30组样本观察值估计后得56.827/)ˆ(2/)ˆ(2=-∑-∑=iiiY Y Y Y F ，而理论分布值F 0.05(2,27)=3.35，，则可以判断（ ）A ． 01=β成立 B. 02=β成立 C. 021==ββ成立 D. 021==ββ不成立7．为描述单位固定成本（Y ）依产量（X ）变化的相关关系，适宜配合的回归模型是：A ．i i i X Y μβα++= B.i i i X Y μβα++=ln C ．i ii X Y μβα++=1D.i i i X Y μβα++=ln ln 8．根据一个n=30的样本估计ii i e X Y ++=10ˆˆββ后计算得d=1.4，已知在95%的置信度下，35.1=L d ，49.1=U d ，则认为原模型------------------------（ ）A ．存在正的一阶线性自相关 B.存在负的一阶线性自相关 C ．不存在一阶线性自相关 D.无法判断是否存在一阶线性自相关9．对于ii i e X Y ++=10ˆˆββ，判定系数为0.8是指--------------------( ) A ．说明X 与Y 之间为正相关 B. 说明X 与Y 之间为负相关 C ．Y 变异的80%能由回归直线作出解释 D ．有80%的样本点落在回归直线上10. 线性模型i i i i X X Y μβββ+++=22110不满足下列哪一假定，称为异方差现象-------------------------------------------------------------------------------( )A ．0)(=j i ov C μμ B.2)(σμ=i ar V (常数) C ．0),(=i i ov X C μ D.0),(21=i i ov X X C11．设消费函数i i i X D Y μβαα+++=10，其中虚拟变量⎩⎨⎧=南方北方01D ，如果统计检验表明1α统计显著，则北方的消费函数与南方的消费函数是--（ ）A ．相互平行的 B.相互垂直的 C.相互交叉的 D.相互重叠的12. 在建立虚拟变量模型时，如果一个质的变量有m 种特征或状态，则一般引入几个虚拟变量：----------------------------------------------------------------（ ）A ．m B.m+1 C.m －1 D.前三项均可 13. 在模型i i iX Y μββ++=ln ln ln 10中，1β为---------------------（ ）A ．X 关于Y 的弹性 B.X 变动一个绝对量时Y 变动的相对量 C ．Y 关于X 的弹性 D.Y 变动一个绝对量时X 变动的相对量14．对于i i i e X Y ++=10ˆˆββ，以S 表示估计标准误差，iY ˆ表示回归值，则-------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．S=0时，0)ˆ(=-∑ti Y Y B.S=0时，∑==-ni i i Y Y 120)ˆ( C ．S=0时，)ˆ(ii Y Y -∑为最小 D.S=0时，∑=-ni i i Y Y 12)ˆ(为最小 15．经济计量分析工作的基本工作步骤是-----------------------------（ ）A ．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B ．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型C ．理论分析→数据收集→计算模拟→修正模型D ．确定模型导向→确定变量及方程式→应用模型16．产量（X ，台）与单位产品成本（Y ，元/台）之间的回归方程为：X Y5.1356ˆ-=，这说明-----------------------------------------------------------（ ）A ．产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5个百分点B ．产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元C ．产量每增加一台，单位产品成本减少1.5个百分点D ．产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元17．下列各回归方程中，哪一个必定是错误的------------------------（ ）A ．8.02.030ˆ=+=XY i i r X Y B. 91.05.175ˆ=+-=XY i i r X Y C ．78.01.25ˆ=-=XY ii r X Y D. 96.05.312ˆ-=--=XY ii r X Y18．用一组有28个观测值的样本估计模型i i i X Y μββ++=10后，在0.05的显著性水平下对1β的显著性作t 检验，则1β显著地不等于0的条件是统计量t 大于-------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．t 0.025(28) B. t 0.05(28) C. t 0.025(26) D. t 0.05(26)19．下列哪种形式的序列相关可用DW 统计量来检验（V t 为具有零均值、常数方差，且不存在序列相关的随机变量）---------------------------------（ ）A ．t t t V +=-1ρμμ B.t t t t V +⋅⋅⋅++=--121μρρμμ C. t t V ρμ= D. ⋅⋅⋅++=-12t t t V V ρρμ20．对于原模型t t t X Y μββ++=10，一阶差分模型是指------------（ ）A ．)()()(1)(1t tt t t t t X f X f X X f X f Y μββ++=B ．t t t X Y μβ∆+∆=∆1C ．t t t X Y μββ∆+∆+=∆10D ．)()()1(11101----+-+-=-t t t t t t X X Y Y ρμμρβρβρ四 多项选择题（每个2分，共10分）1．以Y 表示实际值，Yˆ表示回归值，i e 表示残差项，最小二乘直线满足------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．通用样本均值点（Y X ,） B.ii Y Y ˆ∑=∑ C ．0),ˆ(=i i ov e Y C D.0)ˆ(2=-∑i i Y Y E ．0)ˆ(=-∑Y Y i2．剩余变差（RSS ）是指--------------------------------------------------（ ）A ．随机因素影响所引起的被解释变量的变差B ．解释变量变动所引起的被解释变量的变差C ．被解释变量的变差中，回归方程不能作出解释的部分D．被解释变量的总变差与解释变量之差E．被解释变量的实际值与回归值的离差平方和3. 对于经典线性回归模型，0LS估计量具备------------------------（）A．无偏性 B.线性特性 C.正确性 D.有效性 E.可知性4. 异方差的检验方法有---------------------------------------------------（）A．残差的图形检验 B.游程检验 C.White检验D.帕克检验E.方差膨胀因子检验5. 多重共线性的补救有---------------------------------------------------（）A．从模型中删掉不重要的解释变量 B.获取额外的数据或者新的样本 C.重新考虑模型 D.利用先验信息 E. 广义差分法五简答计算题（4题，共50分）1.简述F检验的意图及其与t检验的关系。
加权最小二乘
异方差的类型
• • 同方差：i2 = 常数 f(Xi) 异方差： i2 = f(Xi)（注：方差与x有关）
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
异方差产生原因
1、模型中缺少某些解释变量（即自变量）；从而干 扰项产生系统模式。 2、样本数据观测误差；随着数据采集技术的改进， 干扰项的方差可能减少。 3、模型设置不正确。 4、经济结构发生了变化，但模型参数没作相应调整 。比如按照边错边改学习模型，人们在学习的过 程中，其行为误差随时间而减少。 5、异常值的出现也会产生。异常值可以通过查看图 形或检查原始数据找到。
• 标准的线性回归模型中，假设所研究总体中方差恒定， 即因变量的变异不随其自身预测值或其他自变量值得变 化而变动。 • 但在有的研究问题中，这一假设可能被违反，可能是因 变量的变异随其自身数值增大而增大，也可能是随其他 变量值而改变。例如：以地区为观察单位调查某种疾病 的发生率，由于率的标准差本身就和样本量有关，显然 该地区的人数越多，所得到的发生率就会越稳定，即变 异度越低。在这些情况下，如果采用普通最小二乘法（ OLS）来分析，可能产生偏差，如果能够根据变异的大 小对相应数据给予不同的权重，在拟合时对变异较小的 测量值赋予较大权重，则能够提高模型的精度。
实际问题的异方差性
• 在实际经济问题中，随机扰动项往往是异方差的，但主要在截 面数据分析中出现。
加权最小二乘法的基本思想
• 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方 差性的的概念
在讲到加权最小二乘法的时候需要引入一个重要的概 念——异方差。那么什么是异方差呢？ 对于模型
加权最小二乘法(WLS)
一般情况下，对于模型Y X若存在：E( ) 02Cov( , ) E( ) u WW 1W 2W(4.2.2)(4.2.3)W n则原模型存在 异方差性。
设即随机误差项的方差与解释变量1 .f (X 2i ) ¥|.f (X 2i )1.f(X 2i )X 2ikXki.f(X 2i ).f (X 2i ) Uii1,2,,nSi)U i )-^E(U i 2) f (X 2i )(4・即同方差性。
于是可以用普通最小二乘法估计其参数, 得到关于参数0, 1 >的无偏的、有效的估计量。
这就是加权最小二乘法，在这里权就是 .f(X 2i )加权最小二乘法(WLS)如果模型被检验证明存在异方差性， 则需要发展新的方法估计模型， 最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权， 使之变成一个新的不存在异方差性的模型， 然后采用普通最小二乘法估计其参数。
下面先看一个例子。
原模型：yi0 1X1i2X2i，k X kiUi 1,2, ,n如果在检验过程中已经知道：D(U i ) E(U i 2)i 2f (X>i ) J,i 1,2, ,nX 2之间存在相关性，模型存在异方差。
那么可以用... f(X 2)去除原模型，使之变成如下形式的新模型:在该模型中，存在W DD TW iW nD 1YD 1X(4.2.4)Cov(N , N )E(*T)E(D 1T)D1：WD 1T1u 2DD Du2I于是，可以用普通最小二乘法估计模型T *1. ?WLS(X X ) 1X Y1E(iT(4.2.4)，得到参数估计量为:* T *用D 1左乘(422)两边，得到一个新的模型:* X该模型具有同方差性。
因为T 1T1 1 T 1T 1(X TD 1D 1X) 1X TD 1D "T 1 1 T 1(425)(X W X) X W Y这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。
加权最小二乘法广义最小二乘法
❖ 只要样本容量较大，即使在异方差的情况下， 只要使用稳健标准误，则所有参数估计、假 设检验均可照常进行。
❖
异方差稳健标准误
❖ 1。使用“OLS+异方差稳健标准误”（robust standard error）：
❖ 方法：在回归最后加上robust
❖ sysuse nlsw88, clear
BP/CW检验
根据异方差检验的基本思路，Breusch and Pagan（1979）和Cook and Weisberg（1983）
主要致思异路方：差用的变ei2量/av作g回(ei归2) 。对一系列可能导
i2 2 *(a0 a1X1 a2X 2 ...)
i2 2
a0 a1X1 a2X 2 ...
Var(Yi) Var( 0 1Xi) Var(i) Var(i) 2
• 异方差一般可归结为三种类型：
（1）单调递增型： i2随X的增大而增大； （2）单调递减型： i2随X的增大而减小; （3）复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式。
❖ 一个现实情况是：在我们用到的大部分 数据中（特别是截面数据），异方差是 一般情况，而同方差是特殊情况。
注意：在第3步中，方便起见也可以用 被解释变量的拟合值作为解释变量。
Stata命令
❖ White检验：回归完成后 ❖ estat imtest，white
❖ BP 检验：回归完成后 ❖ estat hettest ,normal
例题
❖ 完成如下例子，用多种方法检验是否存在异 方差：
❖ 例1：打开auto，建立方程 ❖ Price=b0+b1weight+b2length+u ❖ 例2：打开production，估计CD生产函数。
最小二乘法和加权最小二乘法
最新资料推荐最小二乘法和加权最小二乘法-50-40-30-20-1001020304050-0.100.10.20.30.40.50.6tRx1x23. 3. 3 (WLS 为了降低节点成本应尽可能减小锚节点在WSN中所占的比例，但势必会减小锚节点的覆盖率，从而增加了定位的难度。
为了解决此问题，很多定位算法将已经定位的未知节点转化为锚节点，迭代定位从而定位整个网络的节点。
但是这种方法又引来了一个新的问题：升级的锚节点本身可能存在较大的定位误差，而在下一轮的定位中有可能会引进更大的误差，当网络规模比较大时，这种迭代定位造成的累积误差将无法接受。
所以人们又引入了加权最小二乘法[23],[24]:根据每个节点的定位精度，在加权最小二乘法中采用不同的加权系数来进行定位估计，从而提高定位精度。
加权最小二乘法可根据下式求解：X0wls=(ATWA)-1ATWb (3-18) 此式中W 为加权矩阵，为保证X0wls是最小方差无偏估计，一般要求W在实际应用中为对称正定矩阵。
可利用许瓦兹的不等式证明，在测距误差与距离之比服从独立分布的高斯随机变量的情况下，W=R-1时的估计均方误差最小，R为测距1 / 4误差的方差矩阵，R=E{NNT卜3. 3. 4 以上三种定位算法一般都存在或大或小的定位误差，为了进一步提高定位精度，可以利用质心加权算法来减小定位估计与真实值之间的差值。
普通质心算法不能反映出锚节点对节点位置影响力的大小，影响定位精度，我们可以利用加权质心算法。
质心加权算法：在质心算法中加入加权因子来体现锚节点对质心位置的决定权，用加权因子来体现各锚节点对质心坐标的影响程度，从而反映它们之间内在的关系。
可通过下式（3-17）来说明：312122313122313312122313122313x111111xxxddddddddddddyyydddd dclydddddd（3-17）（x，y）就是通过加权质心算法来求出的未知节点的坐标。
加权最小二乘法的基本原理
加权最小二乘法的基本原理加权最小二乘法（WeightedLeastSquares，WLS）是一种常用的统计学标准，它可以用来调整和评估数据，从而得出更好的分析结果。
它的基本思想是通过考虑观测值之间的不确定性来估计回归系数，从而获得最小总平方误差（least squares）。
加权最小二乘法最早被用于统计学和概率分析，以评估和调整数据，特别是适用于数据拟合和线性回归分析。
它的思想是将我们所知道的关于观测值之间关系的一些重要信息纳入考虑。
可以使用加权方法调整观测值和系数之间的关系，从而改善拟合模式的准确性。
加权最小二乘法的基本原理是将观测值的权值赋予给每一个观测值，这个权值一般可表示为观测值的精度。
权值越大，说明观测值越有可能越准确，用于衡量数据可靠性。
权值可以是正的，也可以是负的，正权值表示可信度高，负权值表示可信度低。
加权最小二乘法能够改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间可能存在不确定性的情况下。
加权最小二乘法可以根据可能的不确定性来调整模型，从而使模型的精确度更高。
加权最小二乘法的最小二乘估计是通过求解最小化均方误差函数来实现的，它以下面的公式形式表示：min i=1N (yj - a1x1j - a2x2j - ... - anxnj)2 / wi 其中，N是观测值的总数，yj是观测值，a1、a2等是待估计的回归系数，x1j、x2j等是被观测的变量，wi是观测值的权值。
加权最小二乘法的原理在于，它将考虑观测值的不确定性，将对观测值更有可信度的权重赋予给观测值，从而改善回归系数的估计。
当数据存在某些影响因素时，加权最小二乘法可以更有效地消除其影响，从而使得拟合数据更加准确。
另外，加权最小二乘法还可以用于数据分析，可以用来估计参数和拟合模型，从而对数据集中的数据进行有效分析。
加权最小二乘法可以减少拟合模型的噪声，并且可以更好地拟合回归曲线，从而获得更好的拟合效果。
综上所述，加权最小二乘法是一种有效的统计方法，可以用来改善线性回归系数的估计，特别是在数据集中的观测值之间存在不确定性的情况下。
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法
简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思
想与方法
加权最小二乘（WeightedLeastSquares，WLS）是一种常用的回归分析方法，它是多元线性回归分析中最常使用的拟合方法之一。
最小二乘法的基本思想是求解最小化残差平方和的情况下的最佳参数
估计值。
这种方法的优点在于可以有效地消除多元线性回归中存在的异方差性。
多元线性回归分析是一种统计分析方法，用于研究一个或多个自变量与一个或多个因变量之间的关系。
它是通过确定自变量与因变量之间的线性关系，以拟合出最佳拟合线，从而预测未知的因变量的值，并分析自变量对因变量的影响程度。
然而，多元线性回归模型存在一个严重的问题：异方差性。
异方差性是指观测值之间方差的不均一，也就是指当观测值（X）越大，估计值的变化会变得越大，从而影响估计结果的准确性。
加权最小二乘法可以有效消除多元线性回归中异方差性问题。
把普通最小二乘法中残差平方和的目标函数，改为残差平方和乘以对应观测值权重因子的形式，即把均方差误差改为比例型误差，这样误差异方差就可以得到抑制，其结果就更加准确了。
- 1 -。
加权最小二乘法的步骤
加权最小二乘法是一种回归分析方法，用于处理具有异方差性（不同样本点的误差方差不相等）的数据。
下面是加权最小二乘法的一般步骤：
1. 确定回归模型：根据问题的背景和数据的特点，选择适当的回归模型形式，例如线性回归、多项式回归等。
2. 建立加权函数：根据数据的异方差性，为每个样本点分配相应的权重。
通常，权重与每个样本点的方差成反比，即方差较大的点分配较小的权重，方差较小的点分配较大的权重。
3. 优化目标函数：将加权最小二乘法转化为一个最优化问题。
构建最小化加权残差平方和的目标函数，其中残差是观测值与回归模型预测值之间的差异。
4. 求解最优化问题：使用数值优化算法，如梯度下降法或牛顿法，对目标函数进行优化，找到使目标函数取得最小值的参数估计。
5. 参数估计与显著性检验：根据最优化求解得到的参数估计，进行显著性检验，判断回归模型中的自变量是否对因变量有显著影响。
6. 模型评估与诊断：对回归模型进行评估和诊断，检查模型的拟合程度和残差的分布情况，判断模型是否符合数据的特征和假设。
7. 结果解释与应用：根据得到的参数估计和模型评估结果，解释回归模型的意义，并根据需要应用模型进行预测或推断。
需要注意的是，加权最小二乘法的具体步骤可能会因问题的复杂性和数据的特点而有所不同。
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加权最小二乘法(WLS)
如果模型被检验证明存在异方差性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法是加权最小二乘法。
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
下面先看一个例子。
原模型：
+++=i i i x x y 22110βββ，i ki k u x ++β
n i ,,2,1 =
如果在检验过程中已经知道：
2
222
)()()(u i i i i x f u E u D σσ=== , n i ,,2,1 = 即随机误差项的方差与解释变量2x 之间存在相关性，模型存在异方差。
那么可以用)
(2x f 去除原模型，使之变成如下形式的新模型：
+++=i i i i i i i x x f x x f x f y x f 222
121
20
2)
(1)
(1)
(1)
(1βββ
i i ki i k u x f x x f )
(1)
(122+
+β
n i ,,2,1 =
在该模型中，存在 2
22222)()(1))
(1())(1(
u i i i i i i u E x f u x f E u x f D σ=== (4.2.1)
即同方差性。
于是可以用普通最小二乘法估计其参数，得到关于参数βββ01,,, k 的无偏的、有效的估计量。
这就是加权最小二乘法，在这里权就是)
(1
2i x f 。
一般情况下，对于模型
Y X =+B N (4.2.2)
若存在：
W
2)(),(0
)(u
E Cov E σ=N 'N =N N =N
W =⎡⎣⎢
⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥⎥w w w n 12
(4.2.3) 则原模型存在异方差性。
设
T
DD
W =
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡=n w w w D
2
1, ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡=----11
2
1
11n w w w D
用D 1-左乘(4.2.2)两边，得到一个新的模型：
D Y D X D ---=+111B N (4.2.4) 即
Y X ***
=+B N
该模型具有同方差性。
因为
)()(),(11****T
T
E E N N Cov --N 'N =N N =D D
I
D D D D WD D D D 212
11211
1)(u T
u T
u T E σσσ='=='
NN =------
于是，可以用普通最小二乘法估计模型(4.2.4)，得到参数估计量为：
**1**)(ˆY X X X T T WLS -=B
Y
W X X W X Y
D D X X D D X 1
1111111)()(--------==T T T
T T T (4.2.5)
这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。
如何得到权矩阵W ？仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=22
2
21ˆn e e e
W
(4.2.6) 当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估
计过程即告完成。
这样，就引出了人们通常采用的经验方法，即并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。
如果确实存在异方差性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。
在利用Eviews 计量经济学软件时，加权最小二乘法具体步骤是：
⑴ 选择普通最小二乘法估计原模型，得到随机误差项的近似估计量i e ；
⑵ 建立i e 1的数据序列；
⑶ 选择加权最小二乘法，以i e 1序列作为权，进行估计得到参数估计量。
实际上是以
i e 1乘原模型的两边，得到一个新模型，采用普通最小二乘法估计新模型。
(步骤见PPT 文件)。