4.4反证法
反证法
反證法:(一) 什麼是反證法反證法是一種常用的間接証明方法，它是從“否命題的結論”出發，通過正確的邏輯推理“導致矛盾”，達到“推翻了結論的反面”，從而“肯定這個命題真實”。
反證法在邏輯上的理論依據是形式邏輯中的兩個基本規律──矛盾律和排中律，即在“p 是q ”和“p 不是q ”這兩個判斷中，總有一個是真的另一是假的。
用反證法證明一命題，有三個步驟：（1）反證：假設待證的結論不成立，即假定原結論的反面為真。
（2）歸謬：由反設和已知條件出發，通過一系列正確的邏輯推理，最終得出矛盾。
（3）結論：由所得矛盾，說明反設不成立，從而証抈朋原待證的結論是正確的。
下面用幾個例題來具體說明。
例1 在凸四邊形ABCD 中，已知AB BD AC CD +≤+，求證：AB AC <。
證明：假設AB AC ≥AB ，於是BCA ABC ∠≥∠，由於ABCD 為凸四邊形，因此對角 AC 與BD 都在四邊形內，所以有BCD BCA ABC CBD ∠>∠≥∠>∠ 則：BD CD >，又由假設AB AC ≥有AB BD AC CD +>+這與已知條件中AB BD AC CD +≤+矛盾。
而這矛盾是由假設AB AC ≥得到的，所以AB AC ≥不成立，所以有AB AC <。
例2 已知12a a =2（1b +2b ），求證：方程2x +1a x +1b =0與2x +2a x +2b =0中最多有一個方程没有實根。
證明：假設兩個方程都没有實根，則兩個方程的判別式211140a b ∆=-<、222240a b ∆=-<，所以120∆+∆<且有 22222121212121214()2(2)0a a b b a a a a a a ∆+∆=+-+=+-=-≥這與120∆+∆<矛盾，因此假設不成立，兩個方程中至多有一個没實根。
(二) 用反證法証題要注意的問題1. 正確地作出反設(即否定結論)是正確運用反證法的前提：在否定命題結論時，一定要先弄清命題的結論是什麼，再認真分析，仔細推敲，作出反設.在提出“假設”之後,要回過頭來看看“假設”的對立面DABC是否恰是命題的結論。
4.4反证法
试一试3
已知：两条不重合的直线AB、CD相 交。求证：AB、CD只有一个交点。
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B 一定是锐角. 直角 钝角 证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______. 直角 当∠B是_____时，则_____________ ∠B+ ∠C= 180° 当∠B是_____时，则______________ 钝角 ∠B+ ∠C＞180° 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
写出下列结论的反面情况：
（1）a∥b； （2）AB=CD；
（3）x是负数；
（4）a>b；
（5）∠A是锐角；
常 用 的 互 为 否 定 的 表 述 方 式
是——
不是 存在—— 不存在 平行—— 不平行 垂直—— 不垂直 等于—— 不等于 都是—— 不都是 大于—— 不大于 小于—— 不小于
写出下列结论的反面情况：
（6）三角形的外角中，至少有两个 钝角.
（7）三角形中最多有一个角是直角.
常用的互为否定的表述方式： ≥1 ＜1
≥3 ＜3 至少有一个—— 一个也没有 ≥n ＜n 至少有三个—— 至多有两个
≤1 ＞1 至少有n个—— 至多有(n-1)个 最多有一个—— 至少有两个
例 求证：在同一平面内,如果一 条直线和两条平行直线中的一条 相交,那么和另一条也相交。
三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________矛盾；
三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________矛盾；
小结
说明1：
反证法主要是解决直接法不容易 证明或不能证明的命题，结论中以 “至多”,“至少”,或否定性、唯一性 等形式出现的命题。
反证法
这些都同已知条件a b 0矛盾, 所以 a b
求证：若(x-a)(x-b)≠0,则x ≠a且x ≠b. (x-a)(x-b)=0 x=a 或______________, 证明 假设_________ x=a x=b 由于____________ 时,_________,
与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,
2
6
, 求证 : a, b, c中至少有一个大于 0.
练4 : 若p1 p2 2(q1 q2 ), 证明: 关于x的方程 x 2 p1 x q1 0与x 2 p2 x q2 0中至少有一个有实根 .
“不能不” 法
反证
通常的证明方法： “对”
矛盾
“不对”
1、反证法的基本思路 2、反证法的一般步骤 3、反证法是间接证明 4、反证法作用
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）可能与临时假设矛盾； （4）自相矛盾。
反证法的一般适用情形： （1）结论为否定性命题； （2）结论为“至少”、“至多”类命题； （3）结论为 “唯一”类命题； （4）结论为 “有无穷多个”类命题。
已知：在⊙O中,AB,CD为圆的两条相交弦,且不 全为直径.求证AB,CD不能互相平分 证明 假设AB,CD互相平分,则ACBD
x=b 时,_______________, (x-a)(x-b)=0 又_________
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,
x ≠a 且 x ≠b 所以________________.
练3 : 若a, b, c均为实数, 且a x 2 y
2
2
, b y 2z
2
3
,
c z 2x
等腰三角形知识点汇总及典型例题
1.主要知识点：1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。
在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）2.主要性质： （1）.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
（3）.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
3.判定：（1）两边相等的三角形为等腰三角形（2）两底角相等的三角形为等腰三角形（3）中线和高合一的三角形为等腰三角形（4）角平分线和高合一的三角形为等腰三角形（5）一个三角形，底边上的中垂线是同一条线，可以判定是此三角形是等腰三角形4.特殊的等腰三角形------等边三角形4.1定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。
4.2性质：⑴等边三角形的内角都相等，且均为60度。
⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
4.3判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
4.4反证法：4.4.1定义：假设命题的结论不成立，然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。
4.4.2一般步骤：应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。
实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
介绍反证法及举例
反证法将更多地与其他证明方法相结合，形成更强大的证 明工具。例如，可以与归纳法、构造法等相结合，共同解 决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善，包括更严谨的假设 条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步，为数学 、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假，没有中间状态；矛盾律则表 明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾，可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证 明困难或不可能的情况，通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时，其运动状 态不会改变。如果物体运动状态发生 了改变，则可以推导出物体必定受到 了外力的作用，从而证明了牛顿第一 定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之 间的正压力成正比。如果两个物体之 间的摩擦力与正压力不成正比，则可 以推导出物体之间的滑动摩擦系数不 是一个常数，从而证明了库仑摩擦定 律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如 果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比，则 可以推导出电场强度不是一个恒定的值，从而证明了库仑定 律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流 在导体中产生的磁场与电流强度不成正比，则可以推导出磁 感应强度不是一个恒定的值，从而证明了安培环路定律的正 确性。
4 反证法
栏目 导引
第三章
推理与证明
【证明】 假设 f(x)＝0 有整数根 n， 则 an2＋bn＋c＝0(n∈Z)， 而 f(0)，f(1)均为奇数，即 c 为奇数，a＋b 为偶数，则 an2＋bn ＝－c 为奇数， 即 n(an＋b)为奇数． 所以 n，an＋b 均为奇数，又因为 a＋b 为偶数， 所以 an－a 为奇数，即 a(n－1)为奇数， 所以 n－1 为奇数，这与 n 为奇数矛盾． 所以 f(x)＝0 无整数根．
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第三章
推理与证明
“有且仅有”的含义有两层，①存在性：本题中只需找到函数 f(x)＝2x＋1 的一个零点即可；②唯一性：正面直接证明较为 困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性.
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第三章
推理与证明
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解
栏目 导引
第三章
推理与证明
思想方法
唯一性命题的证明
求证函数 f(x)＝2x＋1 有且只有一个零点．
【证明】 (1)存在性：因为
1 2×－ ＋1＝0， 2
1 所以－ 为函数 f(x)＝2x＋1 的零点． 2 所以函数 f(x)＝2x＋1 至少存在一个零点．
栏目 导引
第三章
推理与证明
栏目 导引
第三章
推理与证明
判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)反证法是一种间接证明方法．( √ ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推 理．( × ) (3)在反证法中，常以结论的反设作为条件进行推理．( √ )
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第三章
推理与证明
4.4反证法
反证法的一般步骤: 反证法的一般步骤
假设命题结 （ 论不成立。 即命题结论反面成立） 论不成立。 即命题结论反面成立）
假设
与已知条 件矛盾 与定理，定义， 定理，定义， 公理矛盾 公理矛盾
所证命题 成立
推理得出 的结论
假设不 成立
定理
求证:在同一平面内, 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直 线平行,那么这两条直线也互相平行. 线平行,那么这两条直线也互相平行. l１ l２ l３
(1)你首先会选择哪一种证明方法? (1)你首先会选择哪一种证明方法? 你首先会选择哪一种证明方法 (2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? (2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 如果选择反证法
已知:如图， 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证： 求证： l１∥l３
p
证明：假设 不平行l 相交,设交点为p. 证明：假设l１不平行 ３，则l１与l３相交,设交点为 则过点p就有两条直线 就有两条直线l ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点 就有两条直线 １、 l３都与 ２平行，这与“经过直线外一点，有 都与l 平行，这与“经过直线外一点， 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 所以假设不成立，所求证的结论成立， 所以假设不成立，所求证的结论成立， 假设不成立 即 l１ ∥ l３
2
l1
练一练
已知:如图,直线l 已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相 交,且 l1∥l3,l2∥l3, 求证:∠1=∠2 求证:∠1=∠2
l
1 2
l1 l2 l3
证明: ∵l1∥l3,l2∥l3(已知) 已知) 证明: ∴l1∥l2 在同一平面内, (在同一平面内,如果两条直线 都和第三条直线平行, 都和第三条直线平行,那么这 两条直线也互相平行) 两条直线也互相平行) ∴∠1=∠ (两直线平行,同位角相等) ∴∠ ∠2(两直线平行,同位角相等)
反证法求解技巧
反证法求解技巧反证法是一种常用的数学证明方法，它利用了逻辑上的矛盾来证明一个命题的真假。
它的基本思想是假设待证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
在这篇文章中，我将介绍一些常见的反证法求解技巧。
一、假设法在使用反证法时，我们需要先假设待证明命题的反命题为真。
这样做的目的是为了通过推导与已知事实相矛盾的结论来证明原命题的真实性。
因此，在使用反证法时，我们需要清晰地理解原命题的含义，并假设其反命题为真。
二、推导过程在假设待证明命题的反命题为真之后，我们需要进一步推导出与已知事实相矛盾的结论。
这个过程需要基于已知的条件、公理或定理进行推导，通过逻辑演算来得出新的结论。
在这个推导过程中，需要逐步展开，一步一步推导，直到最终推导出矛盾的结论。
三、缺陷分析在推导过程中，如果我们能够证明存在一个矛盾的结论，那么我们就成功地证明了原命题的真实性。
但是，有时候推导过程中可能会出现错误或漏洞，导致无法得出矛盾的结论。
因此，在使用反证法时，我们需要仔细检查每一步的推导，并进行缺陷分析。
我们要找出导致推导出错或漏洞的原因，并进行修正。
通常，这涉及到了解已知事实的局限性、推导过程的合理性、逻辑演算的正确性等方面。
四、充分性和必要性在使用反证法时，我们要明确待证明命题的充分性和必要性。
充分性是指待证明命题的推导过程中是否覆盖了所有可能的情况和条件，必要性是指推导出的矛盾结论是否可以唯一地导出待证明命题的反命题。
在使用反证法时，我们需要特别注意待证明命题的充分性和必要性。
如果推导出的矛盾结论并不能得出待证明命题的反命题，或者对于待证明命题的某些情况或条件无法进行推导，那么我们就不能通过反证法来证明原命题的真实性。
五、实例分析为了更好地理解反证法的应用，我们可以通过一些实际问题的分析来掌握它的求解技巧。
例如，证明“根号2是无理数”。
假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2=p/q，其中p和q互质。
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例 求证：在同一平面内,如果一条直线 和两条平行直线中的一条相交,那么 和另一条也相交。
反证法的一般步骤:
先假设命 题不成立
从假设出发 矛盾
假设是错误的
即所求证的 命题正确
练一练
已知：如图，直线a，b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c
1
a b
求证：a与b不平行
2
证明：假设结论不成立，即a∥b．
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）
一则两位同学的对话
小张：小李，传达室里有你一封信。 小李：你老骗人，我不信。
小张：骗你不是人。 ···· · ··
在证明一个命题时,有时先假设命题
不成立,从这样的假设出发,经过推理得出
和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理
等矛盾, 从而得出假设命题不成立是错误 的,即所求证的命题正确。这种证明方法 叫做反证法。
归纳、小结：
直接证法 证明真命题 的方法 间接证法 反证法
你能证明吗？
求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条 直线平行，那么这两条直线也互相平行．
小结
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法的联系和 区别吗？
同学们，学了这节课， 你有何体会？ 德国数学家希尔伯特说： 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击手使用拳头．
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎． 聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？
你能说出下列结论的反面吗?
1. a⊥b
2. d是正数 3. a≥0
a不垂直于b d不是正数，即d ≤0
a＜0
a 、b不平行
4. a∥b
5．“a＜b”的反面应是（ D ） A．a≠b B．a＞b C．a＝b D．a＝b或a＞b
6．用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时， 应假设__________________________________． 三角形中有两个或三个角是直角
延伸拓展
求证：∠B一定是锐角.
B
1．已知：如图，△ABC中，若∠C是直角，
C A
直角 钝角 证明：假设结论不成立，则∠B是_____或______． 直角 ∠B+∠C= 180° ① 当∠B是_____时，则_______________， 这与____________________________矛盾； 三角形的三个内角和等于180° 钝角 ∠B+∠C＞180° ② 当∠B是_____时，则________________， 这与____________________________矛盾； 三角形的三个内角和等于180° 综上所述，假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴a与b不平行
A
课内练习：P 87 T1
证明：假设结论不成立，即： B
C
＜ ＜ ∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,∠C ___ 60°, ＜
则∠A+∠B+∠C＜180 °.
三角形三个内角的和等于180 ° 这与____________________________相矛盾. 假设 所以______不成立，所求证的结论成立.
应用反证法证明的命题:
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式 陈述的命题；
（3）关于“唯一性”结论的命题；
常用的互为否定的表述方式：
是——不是；存在——不存在 平行——不平行；垂直——不垂直 等于——不等于；都是——不都是 大于——不大于；小于——不小于 至少有一个——一个也没有 至少有三个——至多有两个 至少有n个——至多有(n-1)个