充要条件与反证法(整理好的很详细)
数学证明与推理的基本方法与技巧
数学证明与推理的基本方法与技巧数学是一门严谨而抽象的学科，其中的证明和推理是数学思维的核心部分。
通过证明和推理，数学家能够发现、验证和推广数学定理，推动数学科学的进步。
本文将介绍数学证明与推理的基本方法与技巧，帮助读者更好地理解和应用数学知识。
一、数学证明的基本方法1. 直接证明法直接证明法是数学证明中最常见的方法，即通过逻辑推理从已知条件推出结论。
首先，列出已知条件，然后基于这些已知条件使用逻辑推理得出结论。
例如，证明一个等式，可以从等式的两边进行运算，逐步推导出相等关系。
2. 反证法反证法是通过假设命题的否定结果，然后推导出矛盾，从而证明原命题是正确的方法。
这种方法常用于证明存在性质的命题，其证明思路是假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾的结论。
3. 数学归纳法数学归纳法用于证明具有递推性质的命题，即通过证明命题在某些特殊情况下成立，并假设对于某个自然数n成立，然后证明在n+1的情况下也成立。
这样，通过归纳可以得出命题在所有自然数上成立的结论。
4. 构造法构造法是通过构造一个满足条件的示例来证明命题。
证明思路是首先根据已知条件构造出一个符合题目要求的对象，然后验证该对象满足题目给出的条件。
例如，证明存在一个正整数满足某种性质，可以通过构造一个具体的正整数来完成证明。
二、推理的基本技巧1. 充分性与必要性在数学证明中，需要区分充分条件和必要条件。
充分条件指的是当条件成立时，结论一定成立；必要条件指的是当结论成立时，条件一定成立。
在进行推理时，需要确保充分条件和必要条件的正确性，不可混淆。
2. 逻辑演绎逻辑演绎是通过逻辑关系进行推理的重要方法。
主要包括假言推理、拒取式推理、假设推理等。
在推理过程中，需要根据已知条件和逻辑规则推导出新的结论，确保逻辑推理的准确性和完整性。
3. 利用等价关系等价关系在数学证明中起着重要的作用。
当遇到复杂的命题或不等式时，可以利用等价关系将其转化为更简单的形式，从而更便于证明。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
充要条件与反证法(整理好的很详细)
充要条件与反证法●知识梳理1.充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件.2.必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件.3.充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. ●点击双基1.ac 2＞bc 2是a ＞b 成立的A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：a ＞b ac 2＞bc 2，如c =0. 答案：A2.（2004年湖北，理4）已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：命题甲:a ·b =a ·c ⇒a ·（b －c ）=0⇒a =0或b =c . 命题乙:b =c ，因而乙⇒甲，但甲乙. 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B3.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21，sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.∴“A ＞30°”是“sin A ＞21”的必要不充分条件.答案：B4.若条件p :a ＞4，q :5＜a ＜6，则p 是q 的______________.解析：a ＞45＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6. 答案：必要不充分条件5.（2005年春季上海，16）若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立.如a =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0.因此应选A.答案：A ●典例剖析【例1】 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是 A.x ＜0 B.x ≥0C.x ∈{－1，3，5}D.x ≤－21或x ≥3 剖析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或x ≥3，∴对于A 当x =－31时2x 2－5x －3≥0.同理其他也可用特殊值验证.答案：C【例2】 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一根为1的充分必要条件是a +b +c =0.证明：（1）必要性，即“若x =1是方程ax 2+bx +c =0的根，则a +b +c =0”.∵x =1是方程的根，将x =1代入方程，得a ·12+b ·1+c =0，即a +b +c =0.（2）充分性，即“若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的根”.把x =1代入方程的左边，得a ·12+b ·1+c =a +b +c .∵a +b +c =0，∴x =1是方程的根. 综合（1）（2）知命题成立. 深化拓展求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件. 证明：必要性：（1）方程有一正根和一负根，等价于⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=0104421a x x a Δa ＜0. （2）方程有两负根，等价于⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=0102044aa a Δ0＜a ≤1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x +1=0至少有一负根的充分条件.答案：a ＜0或0＜a ≤1.【例3】 下列说法对不对?如果不对，分析错误的原因. （1）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的充分条件； （2）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的必要条件.解：（1）x 2=x +2是x 2+x =x 2的充分条件是指x 2=x +2⇒x 2+x =x 2.但这里“⇒”不成立，因为x =－1时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x 2=x +2⇒x =2+x ⇒x 2=x 2+x .这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.（2）x 2=x +2是x 2+x =x 2的必要条件是指x 2+x =x 2⇒x 2=x +2.但这里“⇒”不成立，因为x =0时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x 2+x =x 2⇒2+x =x ⇒x +2=x 2.这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）. 评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x 2=x +2的真值集合是{－1，2}，x 2+x =x 2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对. ●闯关训练 夯实基础1.（2004年重庆，7）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴q p . 答案：A2.（2003年北京高考题）“cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3.（2005年海淀区第一学期期末练习）在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）. 答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.（2004年北京，5）函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A.a ∈（－∞，1］B.a ∈［2，+∞）C.α∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n+q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1. 由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）·p =p （p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n－1，a n =（p －1）·p n －1，1-n na a =p （n ≥2）， ∴{a n }是等比数列. 培养能力7.（2004年湖南，9）设集合U =｛（x ，y ）｜x ∈R ，y ∈R ｝，A =｛（x ，y ）|2x －y +m ＞0｝，B =｛（x ，y ）|x +y －n ≤0｝，那么点P （2，3）∈A ∩（UB ）的充要条件是A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5解析：∵UB =｛（x ，y ）｜n ＜x +y ｝，将P （2，3）分别代入集合A 、B 取交集即可.∴选A.答案：A8.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0，①x 2－4mx +4m 2－4m －5=0.②求使方程①②都有实根的充要条件.解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m ≥0，即m ≤1； 方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m ）2－4（4m 2－4m －5）≥0，即m ≥－45. ∴方程①②都有实数根的充要条件是－45≤m ≤1. 9.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0，（a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0. ①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 探究创新10.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6π，则a 、b 、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a +b +c ≤0.而a +b +c =x 2－2y +2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6π=（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2+π－3， ∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数，（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2≥0，∴a +b +c ＞0.这与a +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0. ●思悟小结1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明. ●教师下载中心 教学点睛1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证. 拓展题例【例题】 指出下列命题中，p 是q 的什么条件. （1）p :0＜x ＜3，q :|x －1|＜2； （2）p :（x －2）（x －3）=0，q :x =2；（3）p :c =0，q :抛物线y =ax 2+bx +c 过原点. 解：（1）p :0＜x ＜3，q :－1＜x ＜3. p 是q 的充分但不必要条件.（2）p q ，q ⇒p .p 是q 的必要但不充分条件. （3）p 是q 的充要条件.评述：依集合的观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 是B 的充要条件.。
f可积的充要条件
f可积的充要条件引言在实分析中，可积函数是一类非常重要的函数。
它们在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学和经济学等。
f可积的充要条件是我们研究可积函数的基础，本文将详细介绍f可积的充要条件及其证明。
Riemann可积函数Riemann可积是最常见的一种可积函数。
一个函数f在闭区间[a, b]上Riemann可积的充要条件是：对于任意给定的ε>0，存在一个对应的分割P，使得当我们选择P中的任意一组子区间时，它们的长度之和小于δ时，对应的Riemann和S(f, P)与函数f的积分之差的绝对值小于ε。
Riemann可积的充分条件首先，我们来讨论Riemann可积的充分条件。
一个函数f在闭区间[a, b]上Riemann可积的充分条件是：f在[a, b]上有界且只有有限个间断点。
证明第一步：f在[a, b]上有界我们可以证明f在[a, b]上有界的充分条件是：f在[a, b]上有上界M和下界m。
假设f在[a, b]上有上界M和下界m。
任取[a, b]中的一点x，由于f在[a, b]上连续，根据最大值和最小值定理，f在[a, b]上必然存在最大值M’和最小值m’。
由于M’是f在[a, b]上的最大值，所以对于任意的x∈[a, b]，f(x)≤M’。
同理，对于m’，有f(x)≥m’。
因此，我们可以得到f在[a, b]上有界。
第二步：f只有有限个间断点假设f在[a, b]上只有有限个间断点。
我们可以将[a, b]上的间断点记为c1,c2, …, cn。
我们可以证明f在[a, b]上的每个间断点都可以构造一个开区间，使得f在该区间上连续。
对于任意的间断点ci，我们可以找到一个开区间(ci-δi, ci+δi)，使得f在该区间上连续。
由于f在[a, b]上只有有限个间断点，我们可以找到一组开区间，使得[a, b]可以被这些开区间所覆盖。
我们将这组开区间记为I1, I2, …, In。
由于f在每个开区间Ii上连续，根据连续函数的性质，我们可以得到在每个开区间Ii上，f都是有界的。
充要条件的证明范文
充要条件的证明范文充要条件是数学中一种重要的证明方法。
在证明中，我们需要证明其中一种陈述P与一些条件Q等价，即P成立当且仅当Q成立。
为了说明充要条件的证明方法，以下将详细阐述证明的步骤和技巧。
一、引入充要条件的概念在开始证明之前，首先明确一下充要条件的概念。
假设有两个命题P 和Q，我们希望证明P与Q等价，即P当且仅当Q成立。
这也可以表示为P⇔Q。
如果我们能够证明P成立时Q也成立，并且Q成立时P也成立，那么我们就可以得出结论P⇔Q，即P与Q等价。
二、充分性证明充分性证明是证明P成立时Q成立的部分。
为了证明充分性，通常我们需要推导出P成立时Q的其中一种性质或结果。
1.假设P成立，推导出Q的其中一种性质或结果根据题目或问题的不同，我们可以采用不同的方法来推导出Q的性质或结果。
下面是两种常见的方法：(a)直接证明法：假设P成立，然后根据条件和已知事实，逐步推导出Q的性质或结果。
例如，假设P成立，我们可以利用已知的结果和定义，通过一系列变换逐步得出Q成立。
(b)反证法：假设P成立但Q不成立，然后利用这一矛盾推出假设不成立，即P不成立。
例如，假设P成立但Q不成立，我们可以通过假设推出一些矛盾，用来推翻假设。
2.结合逻辑推理和数学方法在推导过程中，我们可以运用逻辑推理和数学方法，如数学归纳法、构造法、反证法等，来得到Q的性质或结果。
三、必要性证明必要性证明是证明Q成立时P成立的部分。
为了证明必要性，我们通常需要假设Q成立，然后推导出P的其中一种性质或结果。
1.假设Q成立，推导出P的其中一种性质或结果与充分性证明类似，我们可以使用直接证明法、反证法或其他逻辑推理方法来推导出P的性质或结果。
2.结合逻辑推理和数学方法在必要性证明中，同样可以运用逻辑推理和数学方法，如数学归纳法、构造法、反证法等，来得到P的性质或结果。
四、整合充分性和必要性，并举例说明在充分性和必要性的证明都完成后，我们需要整合这两部分的证明，并且给出一个具体的例子来说明。
“充要条件”的判断方法
“充要条件”的判断方法“充要条件”是高中数学课程中的重要内容，主要讨论命题的条件与结论之间的逻辑关系. 它不仅是解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础，还是后面学习数学推理、数学证明等内容的基础，同时也是高考命题中实现知识交融交汇的重要载体. 因而，掌握“充要条件”的概念以及判断方法显得尤为重要. 本文对判断“充要条件”的几种常用方法加以盘点，仅供参考.定义判断法例1 设[an]是首项为正数的等比数列，公比为[q]，则“[q0]，[q2n-2>0]，∴[a1q2n-2>0].但当[q0]和[a2x2+b2x+c2>0]的解集分别为集合[M]和[N]，试判断“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的什么条件，并说明理由.分析判断一个较抽象、繁难的命题，往往可以尝试反例法（也称特殊值法），即列举一个（或多个）符合命题条件但又与该命题结论相矛盾的例子，从而说明该命题不成立.解由[x2-3x+2>0]与[-x2+3x-2>0]得，[M=（1，2）]，[N=（-∞，1）?（2，+∞）].显然，[a1a2=b1b2=c1c2=-1]，但[M≠N]，故命题的条件不是充分条件.由[x2+2x+2>0]和[x2+2x+3>0]得，[M=N=R]，但[11=22≠23]，不满足[a1a2=b1b2=c1c2]，故命题的条件不是必要条件.综上可知，“[a1a2=b1b2=c1c2]”是“[M=N]”的既不不充分又不必要条件.点拨“以例外证明规律”是一个简便而又实用的方法，通常一个例外足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题.判断一个命题为真命题，必须严格证明，但要判断一个命题为假命题，只需举一个反例就行. 换言之，要说明[p]不是[q]的充分条件，只要找到[x0∈xp]，但[x0?xq]即可. 特别的，对于[p]是[q]的不充分或不必要条件类的问题，列举反例是准确、快捷的方法.等价转换法例5 若命题[p：x≠3，或y≠4]，命题[q：x+y≠7]，则[p]是[q]的_______条件.分析题设与结论均为否定形式，加之有逻辑联结词“或”的出现，直接求解往往困难或容易出错，若利用“否定之否定是肯定”这个结论，则问题迎刃而解.解考虑逆否命题：[?q：x+y=7]，[?p：x=3，且y=4].显然，[x+y=7]不能推出[x=3，且y=4]，但[x=3]，且[y=4]可以推出[x+y=7]，即[?q]不能推出[?p]，但[?p]可以推出[?q].所以[p]不能推出[q]，但[q?p].即[p]是[q]的必要不充分条件.点拨当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系（特别是对于否定形式或“[≠]”形式的命题）时，可利用等价转换法来解决. 等价转换法是利用互为逆否的两个命题同真同假的特性，将已知命题转化为等价命题求解，即要判断[p]是[q]的什么条件，只需判断[?q]是[?p]的什么条件即可.充要条件是数学中的一个重要概念，也是高考考查的一个重点内容. 在学习过程中，准确理解定义是基础，正确判断充要关系是重点，熟练应用充要关系解决相关问题是关键. 深刻理解充要条件的意义，掌握充要条件的常用判别方法，不但能有效地进行充要关系的判断与证明，更有助于提升数学逻辑思维能力、推理及论证能力.。
充分条件和必要条件高中数学知识点整理
充分条件和必要条件高中数学知识点整理1. 充分条件与必要条件的概念在高中数学中，我们经常会遇到充分条件和必要条件的概念。
它们是数学推理中非常重要的概念，用于描述事物之间的关系。
在这里，我们将详细介绍充分条件和必要条件以及它们在高中数学中的应用。
1.1 充分条件充分条件是指一个条件在成立时可以推出结论成立。
如果一个命题P能够推出另一个命题Q，那么P就是Q的充分条件。
充分条件的成立并不意味着结论一定成立，只能说明在满足充分条件的情况下，结论有可能成立。
例如，对于命题P：一个数是偶数。
命题Q：这个数可以被2整除。
那么命题P是命题Q的充分条件，因为一个数是偶数时，一定可以被2整除。
1.2 必要条件必要条件是指一个条件在成立时可以保证结论成立。
如果一个命题Q需要命题P的满足才能成立，那么P就是Q的必要条件。
必要条件的成立意味着结论一定成立，但不意味着充分条件成立。
继续上面的例子，命题Q：这个数可以被2整除，命题P：一个数是偶数。
那么命题P是命题Q的必要条件，因为一个数可以被2整除时，一定是偶数。
2.直观理解为了更好地理解充分条件和必要条件的概念，我们可以通过一个简单的实例来说明。
假设我们有一个条件P：如果下雨，那么地面湿润。
那么反过来说，地面湿润是否意味着下雨呢？在这个例子中，条件P是地面湿润的充分条件，而地面湿润是下雨的必要条件。
也就是说，如果地面湿润意味着下雨，但不一定下雨地面就湿润。
这个例子很好地诠释了充分条件和必要条件的概念。
充分条件可以看作是一个“充足条件”，如果满足了这个条件，则可以得出结论。
而必要条件则可以看作是一个“必须条件”，只有满足了这个条件，才能确保结论的成立。
3. 充分条件的证明方法在数学推理中，证明一个充分条件是成立的方法通常有以下几种：3.1 直接证明法直接证明法是最常见和直接的证明方法。
如果要证明一个充分条件P可以推出命题Q，我们可以从假设P开始，连续推导出Q。
而证明每一步的推导是正确的，最终得到Q。
高中数学反证法解题技巧
高中数学反证法解题技巧高中数学中，反证法是一种重要的解题方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在解题过程中，灵活运用反证法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将从几个具体的题目入手，介绍高中数学中常见的反证法解题技巧，并给出详细的解题思路和步骤。
一、证明两直线平行的反证法题目：已知直线l1和直线l2，证明若l1与l2的斜率相等，则l1与l2平行。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设l1与l2不平行，即l1与l2有交点A。
由于l1与l2的斜率相等，所以l1与l2的斜率分别为k。
设直线l1的方程为y = kx + b1，直线l2的方程为y = kx + b2。
由于直线l1与l2有交点A，所以A点的坐标(x0, y0)同时满足l1和l2的方程。
代入l1的方程可得y0 = kx0 + b1，代入l2的方程可得y0 = kx0 + b2。
由此可得b1= b2，即l1与l2的截距相等。
然而，根据直线的性质，不平行的两条直线的截距必不相等。
因此，假设不成立，即l1与l2平行。
二、证明存在无理数题目：证明存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设所有平方根都是有理数，即对于任意实数x，若x的平方是有理数，则x是有理数。
设x是一个无理数，即x不是有理数。
根据假设，x的平方是有理数。
那么根据平方根的性质，x的平方根也应该是有理数。
然而，这与x是无理数的前提相矛盾。
因此，假设不成立，存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
三、证明存在无穷多个素数题目：证明存在无穷多个素数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设存在有限个素数p1,p2, ..., pn，它们是所有素数的完全列表。
考虑数M = p1 * p2 * ... * pn + 1，显然M大于p1, p2, ..., pn。
根据素数的定义，M要么是素数，要么可以分解为素数的乘积。
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充要条件与反证法●知识梳理1.充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件.2.必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件.3.充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. ●点击双基1.ac 2＞bc 2是a ＞b 成立的 A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：a ＞b ac 2＞bc 2，如c =0.答案：A2.（2004年湖北，理4）已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ²b =a ²c ，乙：b =c ，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：命题甲:a ²b =a ²c ⇒a ²（b －c ）=0⇒a =0或b =c . 命题乙:b =c ，因而乙⇒甲，但甲乙. 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B3.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21，sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.∴“A ＞30°”是“sin A ＞21”的必要不充分条件.答案：B4.若条件p :a ＞4，q :5＜a ＜6，则p 是q 的______________.解析：a ＞45＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6. 答案：必要不充分条件5.（2005年春季上海，16）若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立.如a =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0.因此应选A.答案：A ●典例剖析【例1】 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是 A.x ＜0 B.x ≥0C.x ∈{－1，3，5}D.x≤－21或x ≥3剖析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或x ≥3，∴对于A 当x =－31时2x 2－5x －3≥0.同理其他也可用特殊值验证. 答案：C【例2】 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一根为1的充分必要条件是a +b +c =0. 证明：（1）必要性，即“若x =1是方程ax 2+bx +c =0的根，则a +b +c =0”. ∵x =1是方程的根，将x =1代入方程，得a ²12+b ²1+c =0，即a +b +c =0.（2）充分性，即“若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的根”.把x =1代入方程的左边，得a ²12+b ²1+c =a +b +c .∵a +b +c =0，∴x =1是方程的根. 综合（1）（2）知命题成立. 深化拓展求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件. 证明：必要性：（1）方程有一正根和一负根，等价于⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=0104421a x x a Δa ＜0. （2）方程有两负根，等价于⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=0102044aa a Δ0＜a ≤1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x +1=0至少有一负根的充分条件.答案：a ＜0或0＜a ≤1.【例3】 下列说法对不对?如果不对，分析错误的原因. （1）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的充分条件；（2）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的必要条件.解：（1）x 2=x +2是x 2+x =x 2的充分条件是指x 2=x +2⇒x 2+x =x 2.但这里“⇒”不成立，因为x =－1时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x 2=x +2⇒x =2+x ⇒x 2=x 2+x .这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.（2）x 2=x +2是x 2+x =x 2的必要条件是指x 2+x =x 2⇒x 2=x +2.但这里“⇒”不成立，因为x =0时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x 2+x =x 2⇒2+x =x ⇒x +2=x 2.这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x 2=x +2的真值集合是{－1，2}，x 2+x =x 2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2}{－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对. ●闯关训练夯实基础1.（2004年重庆，7）已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴qp .答案：A2.（2003年北京高考题）“cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5.答案：A3.（2005年海淀区第一学期期末练习）在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）.答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.（2004年北京，5）函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是A.a ∈（－∞，1］B.a ∈［2，+∞）C.α∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n+q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）²p n －1. 由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）²p =p （p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n－1， a n =（p －1）²pn －1，1n n a a =p （n ≥2），∴{a n }是等比数列. 培养能力7.（2004年湖南，9）设集合U =｛（x ，y ）｜x ∈R ，y ∈R ｝，A =｛（x ，y ）|2x －y +m ＞0｝，B =｛（x ，y ）|x +y －n ≤0｝，那么点P （2，3）∈A ∩（U B ）的充要条件是A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5解析：∵U B =｛（x ，y ）｜n ＜x +y ｝，将P （2，3）分别代入集合A 、B 取交集即可.∴选A.答案：A8.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0，①x 2－4mx +4m 2－4m －5=0.②求使方程①②都有实根的充要条件.解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m ≥0，即m ≤1； 方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m ）2－4（4m 2－4m －5）≥0，即m ≥－45.∴方程①②都有实数根的充要条件是－45≤m ≤1.9.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0. 相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0， （a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0.①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 探究创新10.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6π，则a 、b 、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a +b +c ≤0.而a +b +c =x 2－2y +2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6π=（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2+π－3，∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数， （x －1）2+（y －1）2+（z －1）2≥0，∴a +b +c ＞0.这与a +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0.●思悟小结1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.●教师下载中心 教学点睛1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证. 拓展题例【例题】 指出下列命题中，p 是q 的什么条件. （1）p :0＜x ＜3，q :|x －1|＜2；（2）p :（x －2）（x －3）=0，q :x =2；（3）p :c =0，q :抛物线y =ax 2+bx +c 过原点. 解：（1）p :0＜x ＜3，q :－1＜x ＜3. p 是q 的充分但不必要条件.（2）p q ，q ⇒p .p 是q 的必要但不充分条件.（3）p 是q 的充要条件.评述：依集合的观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 是B 的充要条件.。