浅谈反证法在数学中的应用
反证法的应用
反证法的应用反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。
反证法的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证法的应用。
一、数学中的反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
二、哲学中的反证法在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“人类存在自由意志”，可以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论，从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。
例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。
四、反证法的优缺点反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。
反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。
反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
浅谈反证法在初中数学解题中的应用
浅谈反证法在初中数学解题中的应用
反证法是一种常用的数学解题方法，在初中数学中也有广泛的应用。
它的基本思想是，在证明某一命题时，先假设该命题不成立，然后通过推导得出矛盾结论，最后证明假设不成立，从而得出原命题的正确性。
在初中数学中，反证法常用于证明“存在性”或“唯一性”等命题。
例如，要证明函数f(x)在区间[a,b]内至少存在一个零点，可以先假设函数f(x)在区间[a,b]内不存在任何零点，然后通过对函数进行推导，得出矛盾结论，最后证明假设不成立，得出函数f(x)在区间[a,b]内至少存在一个零点的结论。
反证法在初中数学中的应用还有：
1.证明几何图形的性质，如证明直线平分圆弧的结论，可以先假设直线不平分
圆弧，然后通过推导得出矛盾结论，最后得出直线平分圆弧的结论。
2.证明数学定理，如证明勾股定理，可以先假设勾股定理不成立，然后通过推
导得出矛盾结论，最后得出勾股定理的正确性。
反证法是一种非常有效的数学解题方法，在初中数学中有广泛的应用。
学会使用反证法，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。
在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。
本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。
1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。
而反证法在证明题中常常发挥重要作用。
证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。
2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。
有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。
采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。
这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。
二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。
在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。
2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。
这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。
反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。
在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。
这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。
三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。
采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。
在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学学习中常用的一种思维方式，通常在证明某些命题时会用到。
它的作用在于，通过假设命题不成立，然后通过推理得到矛盾，从而证明了命题是成立的。
下面就来探讨一下反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明逆命题、反命题在数学中，证明逆命题、反命题通常采用反证法。
例如，证明“如果两条直线平行，则它们的斜率相等”的逆命题“如果两条直线的斜率不相等，则它们不是平行的”以及反命题“如果两条直线不平行，则它们的斜率不相等”时，可以采用反证法。
首先假设逆命题和反命题是成立的，即假设存在两条斜率不相等的直线是平行或存在两条不平行的直线的斜率相等，然后通过推理得到矛盾的结论，从而证明了原命题是成立的。
2. 证明等式在初中数学中，证明等式也常常采用反证法。
例如，证明“对于任意实数x，x²≥0”时，可以采用反证法。
假设存在一个实数x，使得x²<0，然后通过x²的定义将其化简为（-x）²>0，即(-x)×(-x)>0，那么根据负数的定义可知，(-x)×(-x)>0的条件是x≠0，即(-x)²>0的条件是x≠0。
但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设x²<0，而这意味着x²≥0不成立，由此证明了原命题是成立的。
3. 证明最大值或最小值假设存在实数a、b，使得a+b=8且ab>16，然后将ab表达式展开为a(8-a)，化简后得到8a-a²>16，移项可得a²-8a+16<0，即(a-4)²<0，这与平方差公式是矛盾的，因此我们假设的ab>16是不成立的，即xy的最大值是16。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推出与已知事实相矛盾的结论，从而得出所要证明的结论成立的结论。
在初中数学中，反证法被广泛应用。
它不仅能够帮助学生更加深刻地理解数学概念，还能够提高学生的思维能力和解决问题的能力。
首先，反证法在初中数学中常用于证明某些命题是假的。
比如，我们常常可以用反证法证明一些等式不成立。
例如，我们来看下面这个例子：已知 $a,b,c$ 为正整数，且 $a+b=c$，证明 $a^2+b^2$ 不能被 4 整除。
我们可以用反证法来证明这个命题。
假设 $a^2+b^2$ 能被 4 整除，那么 $a$ 和$b$ 一定都是偶数。
令 $a=2m$，$b=2n$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，则：$a^2+b^2=4(m^2+n^2)$由于 $a+b=c$，因此：因此，$c$ 也是偶数。
但是，由于 $a,b,c$ 是正整数，因此 $c$ 不能为偶数。
因此，假设不成立，命题得证。
其次，反证法在初中数学中还常用于证明一些命题是正确的。
有时候，我们可以通过假设某些前提不成立，然后推出一个与已知事实不符的结论，从而证明原命题是正确的。
比如，我们来看下面这个例子：对于正整数 $n$，如果 $n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
由于 $n^2$ 是奇数，因此 $4m^2$ 也是奇数。
但是，我们知道，偶数的平方一定是偶数，因此 $4m^2$ 一定是偶数，与已知事实相矛盾。
因此，可以得出结论：如果$n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
反证法在数学解题中的应用
反证法在数学解题中的应用
反证法是一种有效的数学证明方法，通常用于证明一个命题的否定。
其基本思想是通过假设命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
以下是反证法在数学解题中的一些应用：
1.证明一个命题的否定。
反证法常用于证明一个命题的否定，即假设原命题不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立。
例如，在证明“一个三角形中至少有一个角大于等于90度”这个命题时，可以通过反设每个角都小于90度，然后推导出矛盾来证明原命题。
2.唯一性证明。
反证法也可以用于证明某个命题的唯一性，即假设存在多个满足条件的对象，然后推导出矛盾，从而证明原命题的唯一性。
例如，在证明“一个多项式方程只有一组解”这个命题时，可以通过假设存在多组解，然后推导出矛盾来证明原命题。
3.反例构造。
在数学中，有些命题需要通过构造反例来证明其不成立。
反证法可以用于构造反例，即假设原命题成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题不成立。
例如，在证明“对于任意正整数n，都存在一个正整数m，使得m^2=n^2+1”这个命题时，可以通过反设不存在这样的m，然后推导出矛盾来证明原命题不成立。
需要注意的是，反证法不是万能的，它不适用于所有的数学问题。
在使用反证法时，需要注意逻辑的严谨性和细节的准确性。
浅谈反证法在中学数学中的应用
目录一反证法的概念二反证法的逻辑依据、种类及步骤（1）反证法逻辑依据（2）反证法种类（3）反证法步骤三中学数学中宜用反证法的适用范围（1）否定性命题（2）限定式命题（3）无穷性命题（4）逆命题（5）某些存在性命题（6）全称肯定性命题（7）一些不等量命题的证明（8）基本命题四运用反证法应该注意的问题（1）必须正确否定结论（2）必须明确推理特点（3）了解矛盾种类浅谈反证法在中学数学中的应用论文摘要本文重点阐明反证法的概念，逻辑依据“矛盾律”和“排中律”，反证法的种类包括归谬法简单归谬法和穷举归谬法，反证法证明的一般步骤（反设、归谬、结论），证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等量命题的证明、基本命题。
运用反证法应该注意的问题，必须正确否定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类。
关键词:反证法证明假设矛盾结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
一 反证法的概念反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
反证法是数学中常用的间接证明方法之一。
反证法的逻辑基础是形式逻辑基本规律中的排中律。
通常反证法是从待证命题的结论的反面入手进行正确推理,推出矛盾,从而得出原结论的反面不真,由此肯定原结论为真。
中学代数中,一些起始性命题﹑否定性命题﹑唯一性命题﹑必然性命题﹑结论以“至多……”或“至少……”的形式出现的命题﹑“无限性”的命题﹑一些不等式的证明等用反证法来证明可收到较好的效果。
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浅谈反证法在数学中的应用摘要反证法在数学中是一种极其重要的证明方法，被称为“数学家最精良的武器之一”。
它与一般证明方法不同，反证法可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单，易证，它在数学证题中确有独到之处。
本文主要介绍了反证法的基本概念、步骤、依据及分类。
对于反证法的应用需注意事项和解题步骤做一些论述。
关键词：反证法；归谬；矛盾；假设；结论AbstractContradiction in mathematics is an extremely important method of proof, known as "mathematician one of the most sophisticated weapons." It is different with the general method of proof, proof by contradiction can be classified into two kinds of absurd contradiction and exhaustive reductio ad absurdum. Simply grab the essentials, reductio ad absurdum can make a number of difficult problems becomes simple direct proof, easy to prove, it is proof in mathematics problem in that there are unique. This paper describes the concept of reductio ad absurdum, steps, basis and classifications.The reductio ad absurdum of the application notes and problem-solving steps required to do some exposition.Key word: Absurdity ,Contradiction ,Contradiction ,Supposition ,Conclusion目录1. 引言 (2)2．反证法的定义及步骤 (3)2.1反证法的定义 (3)2.2 反证法的步骤 (3)2.3反证法的逻辑依据及分类 (4)2.3.1反证法的逻辑依据 (4)2.3.2反证法的分类 (4)2.4反证法如何正确的作出反设 (5)2.5反证法如何正确的导出矛盾 (7)2.6在数学中适于应用反证法证明的命题 (7)2.6.1基本命题 (7)2.6.⒉否定式命题 (8)2.6.⒊限定式命题 (9)2.6.⒋唯一性命题 (9)3、运用反证法应注意的问题 (10)4．结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (12)1、引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却挂满了李子，所以说李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
2、反证法的定义及步骤2.1 反证法的定义先提出与结论相反的假设，然后推导出和已证明的定理、公理、定义或题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立，这种间接证明的方法叫反证法。
2.2 反证法的步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三步:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。
（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。
（3）结论——说明待证命题结论的反面不能够成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论[3]。
例1 求证大于1的任何整数一定有质因数。
证明： 反射：假设至少有一个大于1的整数n 没有质因数，即1≠n 且不是质数（因为质数本身是质因数），则n 必为合数。
归谬：n 必有一个不等于n 的真因数1n ，故11>>n n ，这里1n 也必不是质数（否则，n 有质因数）；同理，1n 也有一个质因数2n ，使121>>n n ，2n 也必不是质数。
依次类推，可得121>⋅⋅⋅>>>n n n 。
这表明，在n 与1之间有无限多个不同的整数，这与一个确定的整数n 与1之间只能有有限个不同的整数有矛盾。
结论：“假定”是错误的，因此，大于1的任何整数一定有质因数。
例2已知：∂∈∉∂∉∂⊂B a B A a ,,,，求证：直线AB 和a 是异面直线。
证明：【提出假设】假设直线AB和a在同一平面内，那么这个平面一定经过点B和直线。
【推出矛盾】因为aB∉，经过点B和直线a只能有一个平面∂，所以直线AB与a应在平面∂内，所以∂A矛盾。
∉A,这与已知∂∈2.3 反证法的逻辑依据及分类2.3.1 反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、公理、定理、法则或者已证证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。
再根据“排中律”结论与“否定的结论”这一互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。
所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
2.3.2 反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。
（1）用反证法证题时，如果要证明的命题的情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”例3 已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。
分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。
证明:假设m不是偶数,则m为奇数。
设m=2k+1(k为整数),于是,m2为奇数,这与已知条件m2是偶数矛盾。
故m为偶数。
（2）如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
2.4 反证法如何正确的作出反设运用反证法证明命题的第一步就是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
在这一步骤中，必须注意正确地反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设,是使用反证法的一大关键。
否则，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。
要想正确的做出反设，必须注意以下几点：（1）分清命题的条件与结论、结论与反设间的逻辑关系。
例4 试证适合xy+yz+zx=1的实数x 、y 、z 必不能满足x+y+z=xyz 。
分析:首先我们要弄清楚题目的意思,根据题目给我们的意思,我们很难正面对它进行证明,所以我们考虑用反证法,同时我们要注意正确作出反设,由题目我们不难得知实数x 、y 、z 能满足方程xy+yz+zx=1，但不满足方程x+y+z=xyz,所以我们作出反设的时候要设实数x 、y 、z 既能满足xy+yz+zx=1,又能满足x+y+z=xyz 。
我们知道实数x 、y 、z 就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz 联立起来的方程组的一个实数根,我们可以根据这个特点去寻找矛盾。
对于含有多个字母的给定式,在计算时，尽量设法减少字母的个数,这是一个原则。
（2）结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。
例5 已知： 233=+q p ，求证：2≤+q p 。
分析：此题的结论有两种情况，其否定只有一种情况q p +>2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情况，就能肯定2≤+q p 的这种情况了。
证明：假设q p +>2，则q >p -23q ∴>326128p p p -+- 33q p +∴>26128p p +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-311262p p =()2162-+p =由此可知：233≠+q p ，这与已知矛盾。
∴2≤+q p例6 已知：平面∂∥平面β，直线Al =∂ ，求证：l 与β也相交。
分析：此题结论的否定有两种情况：1β⊂l；2l∥β.用反证法证明时，只有把这两种情况都否定了，才能肯定l与β相交。
总之，在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。
这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。
例如：1）结论：至少有一个S是P。
错误假设：至少有两个或两个以上S是P,正确假设：没有一个S是P。
例如；2）结论：最多有一个S是P。
错误假设：最少有一个S是P。
正确假设：至少有两个S是P。
例如：3）结论：全部S都是P。
错误假设：全部的S都不是P。
正确假设：存在一个S不是P。
现将一些常用词的否定形式列表如下：原结论词假设词原结论词假设词2.5 反证法如何正确的导出矛盾归谬,是反证法的关键,也是困难的所在。
初学者往往作出反设以后,就迈不开步子了,不知往哪里走才能找到矛盾。
导出矛盾的过程,没有固定的模式可以套用。
要凭借解题者拥有的知识与具备的能力,要善于从反设与条件中,抓住蛛丝马迹,发现矛盾。
此外,有两点应该引起我们注意:⑴导出矛盾,要从反设出发,否则,推导将成为无源之水,无本之木。
⑵推理必须严谨。
有人以为反证法就可以不讲依据,那是诡辩,只能导致荒谬。
一般来说,归谬的情况大致有如下几种:①推出与公理相矛盾的结论;②推出与已知定理相矛盾的结论;③推出与已知定义相矛盾的结论;④推出两个相互矛盾的结论;⑤推出与原命题题设条件相矛盾的结论;⑥推出与逆否命题假设相矛盾的结论。
2.6 在数学中适于应用反证法证明的命题2.6.1 基本命题，即学科中的起始性命题。
此类命题由于已知条件及能应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。