反证法在数学中的应用
反证法的应用
反证法的应用反证法是一种常用的证明方法，它通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是成立的。
反证法的应用非常广泛，下面将从数学、哲学和科学等多个方面来介绍反证法的应用。
一、数学中的反证法在数学中，反证法是一种常用的证明方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，即可以表示为a/b（a、b为整数，且a、b互质），然后推导出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
二、哲学中的反证法在哲学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个命题P成立，可以采用反证法，假设P不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明P是成立的。
例如，要证明“人类存在自由意志”，可以采用反证法，假设人类不存在自由意志，然后推导出矛盾的结论，从而证明人类存在自由意志。
三、科学中的反证法在科学中，反证法也是一种常用的思维方法。
例如，我们要证明一个假设H成立，可以采用反证法，假设H不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明H是成立的。
例如，要证明“地球是圆的”，可以采用反证法，假设地球是扁的，然后推导出矛盾的结论，从而证明地球是圆的。
四、反证法的优缺点反证法的优点是证明过程简单明了，容易理解，而且可以避免一些复杂的证明过程。
反证法的缺点是有时候会产生一些虚假的结论，因为反证法只能证明命题的真假，而不能证明命题的正确性。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
综上所述，反证法是一种常用的证明方法，它在数学、哲学和科学等多个领域都有广泛的应用。
反证法的优点是证明过程简单明了，缺点是有时候会产生虚假的结论。
因此，在使用反证法时，需要注意证明过程的正确性和严谨性。
反证法在数学解题中的应用
反证法在数学解题中的应用我们在解决数学问题时，一般是从正面入手，这就是所谓的正向思维，但往往也会遇到从正面入手困难，或出现一些逻辑上的困境的情形，这时就要从辩证思维的观点出发，运用逆向思维克服思维定势的消极面，从习惯思路的反方向去分析问题，运用反证法解决问题。
一、反证法的逻辑基础证明命题“A B”时如果用这种方法：假设A∧B为真，在A且B的条件下，合乎逻辑地推出一个矛盾的结果(不论是与A矛盾还是与其他已知正确的结论矛盾或自相矛盾)，从而B成立(即A B成立)，这种方法就是反证法。
二、反证法的解题步骤第一步审题，弄清命题的前提和结论；第二步否定原命题，由假设条件及原命题构成推理的基础；第三步由假设出发，根据公理、定义、定理、公式及命题的条件，正确逻辑推理，导出逻辑矛盾；第四步肯定原命题的正确性。
三、什么情况下考虑应用反证法1待证命题的结论是唯一存在性命题例1设方程x=p sin x+a有实根(0＜p＜1，a是实数)，求证实根唯一。
证明：假设方程存在两个不同实根x1，x2，则有x1=p sin x1+a，x2=p sin x2+ax1－x2=p sin x1－sin x2=2p cos x1+x22sin x1－x22由于cos x1+x22│≤1，从而有│x1－x2│≤2p│sin x1－x22│又sin x1－x22≤x1－x22，故x1－x2≤p x1－x2，但x1≠x2，于是p≥1，与0＜p＜1矛盾。
所以方程若有实根，则根唯一。
2采取直接证法，无适宜的定理作为根据，甚至无法证明。
例2已知A、B、C、D是空间的四点，ABGN CD是导向直线，求证AC和BD、AD和BC也都是异面直线。
分析：证AC和BD是异面直线，即证明AC和BD不在同一平面内，考虑反证法。
证明：假定AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内，因此A、B、C、D不是异面直线，这与已知条件矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
3待证命理的结论是以“至少存在”的形式出现的，“至少存在”的反面是“必定不存在”，所以只要证明“必定不存在”不成立即可。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学解题中常用的一种证明方法，它通过对反命题进行证明，从而推出原命题的真实性。
在初中数学中，反证法的应用十分广泛，尤其在数学证明和解题过程中起到了重要作用。
本文将通过分析初中数学中常见的反证法运用案例，探讨反证法在数学解题中的运用及其意义。
1.证明题中的应用在初中数学中，证明题是数学学习中的一个重要内容。
而反证法在证明题中常常发挥重要作用。
证明某个命题成立时，我们可以采用反证法，假设命题不成立，然后进行推导证明出现矛盾，从而得出原命题的成立。
2. 数学问题的解答中的应用在初中数学解题中，反证法也常常用于解决一些复杂的数学问题。
有一个常见的数列问题：已知数列的通项公式为an=n^2+n+41，要证明对于任意的整数n,an不可能是素数。
采用反证法，假设存在一个整数n，使得an是素数，然后进行推导得出矛盾，从而证明了原命题的成立。
这个案例展示了反证法在解决数学问题中的应用。
二、反证法在初中数学解题中的意义1. 提高解题的逻辑性反证法在初中数学解题中的应用，可以提高解题的逻辑性，让解题过程更加清晰和严密。
在解题过程中，采用反证法可以让学生对问题进行更全面的思考，不仅能够得出结论，还能够通过推导和反驳的过程加深对问题的理解。
2. 培养学生的思维能力反证法的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
通过运用反证法，学生需要进行思考、推导和分析，从而加深对问题的理解和抽象能力。
这对学生的思维发展和逻辑能力的培养有着重要的意义。
反证法的应用可以提高学生解题的灵活性。
在解题过程中，遇到一些较为复杂的问题，可以尝试采用反证法来解决。
这种方法能够拓宽解题思路，增加解题的方式和途径，提高解题的灵活性。
三、结语反证法在初中数学解题中的运用极为广泛，它在证明题、数学问题解答及几何问题的解答中发挥着重要作用。
采用反证法不仅可以提高解题的逻辑性和灵活性，还能够培养学生的思维能力。
在教学实践中，应该重视反证法的教学和运用，让学生在解题过程中更加注重推理、严密、逻辑，从而提高数学学习的效果。
反证法在数学中的应用
反证法在数学中的应用〔关键词〕反证法；命题；结论；含义；特点；逻辑依据在数学题目的求解过程中，直接证明一个命题感到困难，甚至无法证明时，可采用反证法.反证法是一种重要的数学证明方法，它在数学证明中有着不可替代的作用.学生在运用这一方法做题时，由于对该方法的实质理解不深刻，故而常常出错.这不仅严重影响了这一重要方法的有效使用，而且也妨碍了解题效率的提高.下面，本文就反证法的实质、特点、逻辑根据及适宜反证法证明的几种题型予以说明.一、反证法的含义及实质所谓反证法，就是从反面证明命题的正确性.即欲证命题“若p则q”，则从反面推导“若p┑q”不能成立，从而证明“若p则q”成立.它从否定结论出发，经过正确、严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而检验产生矛盾的原因，推出原命题的结论是不容否定的正确结论.反证法的实质是通过矛盾的转化达到解决问题的目的.二、反证法的步骤和特点反证法是一种间接的证明方法，具体步骤如下（欲证命题为“若p则q”，逻辑表达式为p→q）：第一步：否定原命题的结论q（即设┑q），得到p∧q；第二步：在此条件下，通过正确的推理导出矛盾；第三步：由此矛盾断定：命题p→q为真.从反证法的证题方法可以看出，它的最大特点是：否定原命题的结论q，肯定原命题的条件p，据此导出矛盾.它属于矛盾证明的范畴.三、反证法的逻辑根据首先，反证法是通过证明原命题p→q的反命题┑（p→q），（p∧┑q）是对同一事物的两个相互对立或矛盾的判断.根据矛盾律，在同一思维过程中，对同一事物的两个相互矛盾或对立的判断中，至少有一个是真的（不能同假），因此，（p→q）与（p∧┑q）一定有一个是真的，一个是假的.而由反证法已经证明了p ∧┑q是假的（导出矛盾），所以原命题p→q一定是真的，即证明了原命题.另一方面，用反证法推出矛盾，实际上是构造并证明了另外一个新命题“（p ∧┑q）→（r∧┑r）”，即“原命题p→q的反命题p∧┑q是假的”.而（p∧┑q）→（r∧┑r）≡ ┑（p∧┑q）∨（r∧┑r）≡（┑p∨q）∨0≡┑p∨q≡p→q.所以，“反命题的矛盾性”与“原命题的正确性”是两个相互等价的命题.因此，反证法的逻辑根据是矛盾律和排中律，通过证明与原命题逻辑等价的命题“反命题的矛盾性”来间接证明原命题的正确性.四、宜用反证法证明的命题哪些命题宜用反证法证明？要具体地回答这个问题是不容易的，这需要不断的探索和总结.总的来说，不易用直接法去证明的命题可尝试运用反证法证明.在此，本人提出如下几类适宜用反证法证明的命题.1. 对于结论是否定形式的命题，宜用反证法例1：求证方程x2-1993x+1995=0无整数根.分析：若运用求根公式来解此题，运算量较大，故易使用反证法证明.证明：假设原方程有两个整数根α和β，由韦达定理得：α+β=1993,①α·β=1995.②由于α、β均为整数，由②知α、β必定都是奇数.而两个奇数之和是偶数，这与①矛盾.所以，α和β不可能为整数，即假设错误.故原命题获证.2．对于证明结论是“唯一”或“必然”的命题，宜用反证法例2：求证方程2x+x=6仅有唯一实根2.证明：假设方程2x+x=6有一个非2实根a，则将2a+a=6和22+2=6两式相减得：2a－22=2－a.因为a≠2，故a＞2或a＜2.当a＞2时，2a－22＞0与2－a＜0相矛盾；当a＜2时，2a－22＜0与2－a＞0也矛盾.所以，假设方程有一个非2实根是错误的.故原命题正确.例4：已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a、b∈R.（1）求证：若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）；（2）求证：若f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b），则a+b≥0.证明：（1）因为a+b≥0，所以a≥－b，b≥－a .因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，所以f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b）.（2）假设a+b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，所以f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a）.所以f（a）+f（b）＜f（－a）+f（－b）.这与条件相矛盾，所以假设不成立.因此有a+b≥0成立.在本例中，由于前一命题是后一个命题的逆命题，且前一个命题是真命题，因此，在（2）中用反证法就容易推出矛盾.事实上，直接证（2）缺少推理条件，而反设增加了条件（即利用（1）的推理和结论）.以上总结了四种适合运用反证法证明的典型题型.事实上，适宜运用反证法证明的数学命题还有很多，但是，反证法不是万能的，不能证明所有的数学命题.在解题中，要想灵活地运用反证法还需要我们在以后的学习中进行不断的探索、总结.。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学学习中常用的一种思维方式，通常在证明某些命题时会用到。
它的作用在于，通过假设命题不成立，然后通过推理得到矛盾，从而证明了命题是成立的。
下面就来探讨一下反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明逆命题、反命题在数学中，证明逆命题、反命题通常采用反证法。
例如，证明“如果两条直线平行，则它们的斜率相等”的逆命题“如果两条直线的斜率不相等，则它们不是平行的”以及反命题“如果两条直线不平行，则它们的斜率不相等”时，可以采用反证法。
首先假设逆命题和反命题是成立的，即假设存在两条斜率不相等的直线是平行或存在两条不平行的直线的斜率相等，然后通过推理得到矛盾的结论，从而证明了原命题是成立的。
2. 证明等式在初中数学中，证明等式也常常采用反证法。
例如，证明“对于任意实数x，x²≥0”时，可以采用反证法。
假设存在一个实数x，使得x²<0，然后通过x²的定义将其化简为（-x）²>0，即(-x)×(-x)>0，那么根据负数的定义可知，(-x)×(-x)>0的条件是x≠0，即(-x)²>0的条件是x≠0。
但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设x²<0，而这意味着x²≥0不成立，由此证明了原命题是成立的。
3. 证明最大值或最小值假设存在实数a、b，使得a+b=8且ab>16，然后将ab表达式展开为a(8-a)，化简后得到8a-a²>16，移项可得a²-8a+16<0，即(a-4)²<0，这与平方差公式是矛盾的，因此我们假设的ab>16是不成立的，即xy的最大值是16。
反证法在数学中的应用
反证法在数学中的应用反证法是一种逻辑推理方法，常常在数学领域中被广泛运用。
它的基本思想是通过对一个假设的否定来得出结论，从而证明原假设是错误的。
这种方法在解决数学问题和证明定理时，常常能够发挥重要的作用。
本文将就反证法在数学中的应用进行论述，为读者展示它在数学研究中的重要性及实际应用。
反证法最早出现在古希腊数学中，被哥德尔、皮亚诺等数学家广泛运用，并且在近现代数学中也得到了广泛的应用。
它的基本思想是通过假设的否定来推导出逻辑上的矛盾，从而证明该假设是错误的。
反证法是数学证明中最常见的一种证明方法之一，它的实际应用范围非常广泛，可以用于证明数论、代数、几何、分析等各个领域的定理和公式。
下面我们将分别从不同的数学领域来探讨反证法的应用。
在数论中，反证法常常被用来证明诸如素数性质、同余方程等数论问题。
证明素数的无穷性，可以使用反证法来证明。
假设存在有限个素数，然后通过对这一假设的否定，证明得出矛盾，从而得出结论：素数是无穷的。
同样，证明勾股定理、费马大定理等数论问题中，也常常使用反证法。
反证法实际上为数论问题的定理证明提供了一种十分有效和有力的工具。
在代数领域中，反证法也被广泛应用于证明群论、环论、域论等代数结构中的性质和定理。
在群论中，证明群中任意元素的逆元素唯一性可以使用反证法来证明。
在证明定理时，通过对某个假设的否定，再通过逻辑推理得出结论，极大地简化了证明的过程，提高了证明的效率。
在几何领域中，反证法也经常被用来证明诸如平行线性质、三角形性质、平面几何性质等问题。
证明平行线性质中互逆关系的定理，可以利用反证法进行证明。
通过对假设的否定，再进行逻辑推理，得出矛盾，从而证明原假设是正确的。
在实分析中，反证法也有着重要的应用。
在实数的连续性方面，常常通过反证法来证明某些重要的定理。
证明实数具有阿基米德性质，证明柯西收敛准则等，都可以使用反证法来进行证明。
反证法的严谨性和有效性在实分析中得到了充分的展现。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推出与已知事实相矛盾的结论，从而得出所要证明的结论成立的结论。
在初中数学中，反证法被广泛应用。
它不仅能够帮助学生更加深刻地理解数学概念，还能够提高学生的思维能力和解决问题的能力。
首先，反证法在初中数学中常用于证明某些命题是假的。
比如，我们常常可以用反证法证明一些等式不成立。
例如，我们来看下面这个例子：已知 $a,b,c$ 为正整数，且 $a+b=c$，证明 $a^2+b^2$ 不能被 4 整除。
我们可以用反证法来证明这个命题。
假设 $a^2+b^2$ 能被 4 整除，那么 $a$ 和$b$ 一定都是偶数。
令 $a=2m$，$b=2n$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，则：$a^2+b^2=4(m^2+n^2)$由于 $a+b=c$，因此：因此，$c$ 也是偶数。
但是，由于 $a,b,c$ 是正整数，因此 $c$ 不能为偶数。
因此，假设不成立，命题得证。
其次，反证法在初中数学中还常用于证明一些命题是正确的。
有时候，我们可以通过假设某些前提不成立，然后推出一个与已知事实不符的结论，从而证明原命题是正确的。
比如，我们来看下面这个例子：对于正整数 $n$，如果 $n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
由于 $n^2$ 是奇数，因此 $4m^2$ 也是奇数。
但是，我们知道，偶数的平方一定是偶数，因此 $4m^2$ 一定是偶数，与已知事实相矛盾。
因此，可以得出结论：如果$n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
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论文反证法在数学中的应用开封县八里湾镇第一初级中学杨继敏反证法在数学中的应用摘要反证法是数学教学中所涉及的基本论证方法，它为一些从正面入手，无法使已知条件和结论找出联系的问题，提供了一条解题途径，它通过给出合理的反设，来增加演绎推理的前提，从而使那种只依靠所给前提而变的山穷水尽的局面，有了柳暗花明又一村的境地，使学生看到增加演绎推理前提的方便功效。
在过去的数学学习中，许多人拘泥于传统的推理方法，常常使问题复杂化，尽管最后能达到目的，但往往费时费力，因为数学的研究往往体现一种思维转换，我们可以用一种“换位”思想来处理我们日常遇到的数学问题。
【关键词：逆向思维；假设；归谬；数学逻辑推理；矛盾；结论。
】1. 引言反证法是数学中一种重要的解题方法，对数学解题有着重要作用。
其基本思想是通过求证对立面的不成立从而推出正面的正确。
因为这种方法推理严密，说服性强，所以除了在数学中应用反证法，在实际生活中的应用也比较广泛。
在不同的数学情境下，反证法的前提假设不同。
因此，在数学中应用反证法，一定要具体问题提出相应具体正确的假设。
这就需要熟练掌握反证法的反设词，除此，还应熟记反证法的证题步骤——假设，归谬，结论。
有关这个课题的研究，以及涉及到各种文章说明其步骤，适用范围，并附以大量例题。
但对反证法在数学中的应用，文字讲解与反证法适宜的数学题型的归纳总结还欠缺。
本文就基于这方面的考虑，根据反证法在数学中适宜的命题应用进行了详细的文字讲解及归纳总结。
2. 反证法初探2.1 反证法的含义及逻辑依据含义：所谓反证法就是从反面证明命题的正确性，即欲证明“p则q”,则从反面推导出“若p非q”不能成立，从而证明“若p则q”成立。
它从否定结论出发，经过正确的严格推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而验证产生矛盾的原因，推出原命题的结论不容否定的正确结论。
逻辑依据：反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依据就是逻辑学中的排中律。
人们在实践中得出这样的规律：“a是b”和“a不是b”两个相反的判断中，总有一个是真的，一个是假的，不存在第三个判断。
这就是逻辑思维规律中的排中律。
通过一个例子，可以很好的说明。
例如：三角形中至少有一个角大于或等于60°证明假定三个内角都小于60°，那么它们的和小于180°，这与“三角形内角和等于180°”的性质相矛盾。
故假设错误，原结论成立。
在同一论证过程中，两个相互反对或者互相矛盾的判断，其中至少有一个是假的，根据事物发展规律，及其利用辩证唯物主义的观点可以说明另外一个是正确的。
2.2 反证法的种类种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称归谬法。
根据命题的反面情况不同，反证法分为简单归谬法和穷举归谬法两种。
简单归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况推翻就可以达到目的了。
例如：若x,y,z均为实数，且a=2x-2y+π/3,b=2y-2z+π/3，c =2z-2x+π/3, 则a，b，c中至少有一个大于零？它的反面就是a,b,c都不大于0。
穷举归谬法：论题结论的反面不至一种情况，要一一反驳，最后才能肯定原命题结论的正确。
例如：求证：一个多边形最多只能有三个内角是锐角。
它的反面就是有四个，五个，六个……内角为锐角。
2.3反证法的模式及基本步骤模式：设待证命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A，B本身也都是数学判断。
步骤：用反证法证明数学命题的基本步骤是第一，假设：作出与求证结论相反的假定。
第二，归谬：由假设出发，推出与公理，定义，定理或题设相矛盾的结果。
第三，结论：由于“矛盾”证明了假设不成立，从而肯定了原求证结论的正确。
值得注意的是假设要十分准确，若命题结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易作出假设，现在将常用的互为否定形式的词语列表：2.4 运用反证法解决数学问题应注意的问题第一，必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的首要问题，如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。
“至多有一个”是指：“只有一个”或者“一个也没有”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”即“至少两个角是直角”。
第二，必须明确推理特点否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不可预测的，也没有一个固定的标准，有的甚至琢磨不定。
一般情况下，我们总是在命题相关的领域里考虑。
例如：平面几何问题往往联系到的公理，定义，定理等，这就是反证法的特点。
因此在推理前不必要也不可能事先规定得出什么样的矛盾。
只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理。
矛盾一经出现，证明即告结束。
第三，了解矛盾种类反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或者部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义，公理，定理，性质等）相矛盾，也可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。
2.5在数学中，如何培养反证法的能力反证法与直接证法的区别是，反证法是人们难以接受的一个困难。
根据逻辑原理明白了为什么推出矛盾，就能说明假设错误，原结论正确。
这其中如何推出矛盾，如何做一个假设又是一个困难，这就要根据前面反证法的步骤进行假设。
而且应该善于发现矛盾，这就要使得我们平时注意以下两个问题。
第一，必须掌握这一结构式和这一结构规范化的表述，一定抓住重点，尽量分散难点，化难为易。
第二，学会正确引入假设，进行逻辑推理，在命题中找关键词语“任何”、“存在”、“至少”、“唯一”……以上两种能力我们在平时做数学题时应善于发现，认真体会与掌握，从而让反证法为我们解题带来方便。
我将在下一章反证法在数学中的应用中举例说明。
3.反证法在数学中的应用关于反证法在数学中的应用最早是在平面几何教材中出现的，但作为一种基本的解题方法，它在数学其它各部分内容，如：代数，立体几何，三角，概率及解析几何中都有应用。
那么究竟哪类数学命题用反证法证明起来更加简单快捷呢？为了充分了解反证法这种数学思维方式，我对常能用反证法证明的题目给予总结并用具体例子来证明。
这些应用充分体现了反证法在数学解题中的一些技巧及其重要作用。
3.1 基本定理或者初始命题的证明基本定理或初始命题的证明，从正面证明往往没有头绪，不知从何证起。
但这类命题的假设非常好找而且有定理或初始命题的结论作为依据。
运用反证法，我们只要将结论给予否定即可，从而推出原结论正确。
定理：坐标都是整数的点叫作整点。
例1.求证：平面上任意三个整点都不能组成正三角形分析：这是一个初始命题证明的例子，从正面证明的话我们就应所有整点都不可以组成三角形，这就具有不可操作性，难度较大。
但其假设为：平面上任意三个整点都能组成三角形，我们只要找出一个例子推翻反设即可。
因为我们有“坐标是整数的点叫做整点”作为依据，反证法证明起来就比较容易。
证明：如图设平面上三个整点A,B,C 组成一个三角形，由于上下或左右平移整数个单位，整点仍变为整点，因此不妨设A 为原点，因 |AB|=R,BA 与x 轴正方向夹角为α，则AC 与x 轴正向夹角为（/3π+α）,B 的坐标为（a,b ），C 的坐标为（x,y ）于是：cos(/3)(cos /2/2)/22sin(/3)(sin /2/2)/2x R R a y R R b απαααπαα=+===+=+=因为a, b 均为整数，且至少一个不为零，所以x ，y 不可能为整数，它与已知条件矛盾。
故任意一整点三角形都不可能是正三角。
例2. 在同一平面内有四条直线a ，b ，c ，d ，a 与b 相交，c 垂直于d ，d 垂直于b 。
求证：c 与d 也相交证明 假设c 平行d ，因为c 垂直a ，所以d 垂直a 。
又因为d 垂直b ，所以a 平行b ，这与已知a 与b 相交矛盾。
故c 平行d 不成立，所以c 与d 也相交。
例3. （最小模原理）若区域D 内部恒为常数的解析函数)(z f ，在D 内的点z 0有)(z f ≠0，则|)(z f |不可能是|)(z f |在D 内的最小值，试证之。
提示 反证法，应用最大模原理。
注 最小模原理的推论：设（1）函数)(z f 在有界区域D 内解析，在有界闭区域D D D ∂+=上连续； （2）)(z f ≠0(D z ∈)；（3）存在m ＞0，使|)(z f |≥m （D z ∈）, 则除为常数外，|)(z f |＞m (D z ∈). 证明：假设|)(0z f |是)(z f 在D 内的最小值 因0)(0≠z f ，则)(10z f 是)(10z f 在D 内的最大值，)(z f 是解析函数、由最大模原理，)(1z f 在D 内恒为常数，与题设矛盾 故|)(0z f |不可能是|)(z f |在D 内的最小值。
3.2 存在性问题的证明在数学中，证明存在性问题时，因为这类命题牵涉到的情况分类比较多，以至于从正面论证的话，各种情况都必须讨论，其工程量非常浩大。
但存在性问题的反面情况分类比较少，只要给予一一否定即可，这样工作量就显然减少。
例1. 已知△ABC 的三边满足b=(a+c)/2，求证：△ABC 中至少有两个角不超过60°分析：从正面证明的话，结论可分为“两个角不超过60°”、“三个角不超过60°”论证起来要证明“两个”、“三个”角的度数，比较麻烦。
但其反面情况为“一个角不超过60°”、“0各角不超过60°”，论证起来只需证明“一个”、“0个”角的度数。
证明：因为 ∠A+∠B+∠C=180°，所以，假设△ABC 中至多有两个角超过60° 即 所设等价于“△ABC 中有两个角超过60°”，不妨设∠A>60°，∠C>60° 则：cos ∠A <1/2, cos ∠C<1/2 由余弦定理得：22222222222cos 2cos c a b ab C b a baa b a bc A b c bc =+->+-=+->+-以上两式相加得：22b ＜bc ba +即b ＜21(c a +) 与已知矛盾，故假设错误所以， △ABC 中，至少有两个角不超过60°。
例2. 已知a,b,c 是互不相等单位非零实数 求证：三个方程22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=至少有一个方程有两个相异的实根证明：假设三个方程中都没有两个相异的实根 则：得：2122231232222222224404404402220()()()0b a c c a b a b c a a b b b b c c c a c a a b b c c a ∆=-≤∆=-≤∆=-≤∆+∆+∆-++-++-+≤-+-+-≤即得 a=b=c 与已知矛盾 所以假设不成立，原命题成立。