初中数学反证法教学教材
人教版九年级数学《反证法》精品教学课件
复习巩固 教科书第94页内容 举出两个数学中能用 反证法证明的例子.
配套人教版
再见
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
A
证明：假设 ∠B＝∠C ，
B
C
则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
这与 已知AB≠AC 矛盾．
假设不成立．
∴ ∠B≠∠C
．
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
典型例题
【例】用反证法证明：两直线平行，同位角相等．
分组讨论： 1.学生先分组进行讨论； 2.学生讲解思路； 3.教师补充完善.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例】用反证法证明：两直线平行，同位角相等．
A′
已知：如图，AB∥CD，直线EF交AB于点O， A
求证：∠1=∠2.
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24.2.1 反证法
学习目标
1.通过实例理解反证法的含义，并了解运用反证法证明的基本步骤； 2.通过反证法的证明过程，体会新的证明方法和思路； 3.在“分析、推理”等过程中，培养学生的推理能力以及逻辑思维 能力； 4.利用现实生活和数学中的反证法素材体会“正难则反”的思想， 开拓思维，并激发学生的求知、探索欲望.
与以前学过的证明不同
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
反证法证题的基本步骤： 第一步：假设命题的 结论 不成立. 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出与学过的概念、 基本事实、已证明的定理、性质或题设相 矛盾 的结果. 第三步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明 原命题 是 正确的.
华东师大初中八年级数学上册《反证法》教案
反证法教学目标1.通过实例,体会反证法的含义.2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.3.通过利用反证法证明命题,体会逆向思维.4.在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.重点运用反证法进行推理论证.难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.教学过程一、创设情景,导入新课出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题.二、师生互动,探究新知活动1 反证法的步骤.教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗?学生讨论交流,选代表发言.如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗?学生活动,代表展示.若∠C是直角,则 a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形.教师归纳先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确.活动2 用反证法证明.教材P116例5.教师活动原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗?学生活动独立完成,交流成果,发言展示.教材P116例6.教师活动△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗?【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示.教师活动在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时,直接不易证明,可考虑反证法.三、随堂练习,巩固新知1.(1)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时,首先应假设.(2)“已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.①所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾.②所以∠B<90°.③假设∠B≥90°.④那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )A.①②③④B.③④②①C.③④①②D.④③②①例2求证:△ABC中至少有两个角是锐角.四、典例精析,拓展新知【例】求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.教师活动(1)你首选的是哪一种证明方法?(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?(3)能不用反证法证明吗?你准备怎样证明?要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制订计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程).学生活动讨论交流后独立完成.五、运用新知,深化理解例3求证:若a>b>0,则>.【解析】>的反面是=或<.1.若a、b、c是实数,A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,证明A、B、C中至少有一个值大于零.【答案】假设A、B、C中没有一个值大于零,则A≤0,B≤0,C≤0,即A+B+C ≤0.由已知有A+B+C=a2-2b++b2-2c++c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+(π-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3).∵(a-1)2≥0,(b-1)2≥0,(c-1)2≥0,(π-3)≥0.∴A+B+C>0,这与假设A≤0,B≤0,C≤0相矛盾,所以A、B、C中至少有一个值大于零.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师总结.。
华师大版数学八年级上册《反证法》教学设计2
华师大版数学八年级上册《反证法》教学设计2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《反证法》是学生在初中阶段首次接触到的证明方法，它既是一种重要的证明方法，又是学生思维能力的一次飞跃。
教材从学生的实际出发，通过学生已知的数学知识，引入反证法的概念，并通过具体的例题，让学生体会反证法的应用。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了直接证明的方法，能够通过逻辑推理得出结论。
但八年级的学生在逻辑思维能力和抽象思维能力上还有一定的局限性，因此，在引入反证法时，需要通过具体的情境，让学生感受反证法的必要性，从而理解并掌握反证法的应用。
三. 教学目标1.让学生了解反证法的概念，理解反证法的原理。
2.培养学生运用反证法解决问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.反证法的概念和原理的理解。
2.运用反证法解决问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的情境，让学生感受反证法的必要性，从而引导学生思考并理解反证法的原理。
在教学过程中，注重学生的参与，鼓励学生提出问题，引导学生进行思考，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.相关例题3.教学素材七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题，让学生思考直接证明的方法，从而引出反证法的必要性。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍反证法的概念和原理，让学生理解反证法的应用。
3.操练（15分钟）让学生通过具体的例题，运用反证法进行证明，从而加深对反证法的理解。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结反证法的步骤，并通过小组竞赛的形式，检验学生对反证法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）让学生思考反证法在实际生活中的应用，通过具体的情境，让学生感受反证法的价值。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，让学生明确反证法的概念、原理及应用。
7.家庭作业（5分钟）布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高运用反证法解决问题的能力。
八年级数学下册《反证法》优秀教学案例
1.培养学生对数学的热爱，激发他们学习数学的兴趣和积极性；
2.培养学生的逆向思维，让他们明白事物具有多面性，学会从不同角度看待问题；
3.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强他们面对困难时的自信心；
4.培养学生的批判性思维，使他们学会质疑、善于思考，形成独立见解。
三、教学策略
（一）情景创设
3.教师简要介绍反证法的概念，让学生对反证法有一个初步的认识。
（二）讲授新知
1.教师详细讲解反证法的定义、原理和应用步骤，结合具体例题进行分析，使学生明白反证法的思路和关键点。
2.通过多媒体展示反证法的思维过程，让学生更加直观地理解反证法的特点。
3.引导学生总结反证法的关键步骤：假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论成立。
八年级数学下册《反证法》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，八年级的学生已经具备了一定的逻辑推理能力。在此基础上，本教学案例以人教版八年级数学下册《反证法》为主题，旨在引导学生运用反证法解决数学问题，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的策略。反证法作为数学证明的重要方法，对于培养学生的逆向思维、拓展解题思路具有重要意义。本案例通过设计丰富多样的教学活动，让学生在实践中掌握反证法的要领，激发他们的学习兴趣，使他们在探索与实践中不断提高自身的数学素养。在教学过程中，教师将以学生为主体，关注个体差异，充分调动学生的积极性与主动性，营造一个充满活力、富有挑战的课堂氛围。
（四）反思与评价
1.教学过程中，教师及时对学生的学习情况进行反馈，帮助学生发现自身在反证法学习中的不足，指导他们进行有针对性的改进；
2.鼓励学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中成功和失败的经验，形成自己的学习策略；
《初中数学反证法》课件
本PPT课件详细介绍了初中数学中的反证法。内容包括反证法的定义和原理， 反证法在数学中的应用，反证法的基本步骤，以及使用反证法解决数学问题 的示例。
反证法例题解析
数学概念和定理
使用反证法解决常见的数学概念和定理问题。
步骤示例
演示如何运用反证法来解决具体问题。
深入探索
探讨反证法在不同数学领域中的应用。
3
学习建议
分享一些学习反证法的有效方法和技巧。
练习题和答案解析
1 提供练习
给出一些练习题，让学生巩固对反证法的理解。
2 答案解析
提供详细的答案解析，帮助学生检查和纠正错误。
3 挑战题目
提供一些有挑战性的题目，激发学生的思考和探索欲望。
解题技巧
分享一些解题技巧和经验。
反证法的优势和限制
数学推理的优势
反证法在数学推理中的重要作 用。
限制和注意事项
使用反证何促进思维的创 新。
常见误解和常见问题
1
常见错误和误解
学生在学习反证法时可能容易犯的常见错误和误解。
2
问题解答
解答学生常见问题和困惑，帮助他们更好地理解和应用反证法。
华东师大版数学八年级上册14.反证法课件
已知：在梯形ABCD中，AB//CD，
A
∠C≠∠D
求证：梯形ABCD不是等腰梯形.
D
证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 ∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上
的两内角相等）
这与已知条件∠C≠∠D矛盾, 假 设不成立。
∴梯形ABCD不是等腰梯形.
B C
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
感 受 则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
反 这与 已知AB≠AC
矛盾．
证 假设不成立．
法: ∴ ∠B ≠ ∠ C
．
A
B
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻 辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
例2Байду номын сангаас求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B
边相等）
这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
华盛顿抓小偷
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进 鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就 是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了 故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真 假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄 蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！” 大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂 赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝 一声：“小偷就是他！”
反证法教案初中
反证法教案初中教学目标：1. 理解反证法的概念和基本步骤；2. 能够运用反证法证明一些简单的数学命题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 反证法的概念和基本步骤；2. 运用反证法证明数学命题的方法。
教学难点：1. 反证法的理解和运用；2. 逻辑思维能力的培养。
教学准备：1. 反证法的教案和PPT；2. 相关的数学问题和解答。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的直接证明方法，如综合法、分析法等；2. 提问：有没有什么方法可以用来证明一个命题的否定呢？3. 引入反证法的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解反证法的定义和基本步骤；2. 通过PPT展示反证法的证明过程；3. 举例讲解如何运用反证法证明一个命题的否定。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成一些简单的反证法练习题；2. 引导学生思考如何运用反证法解决实际问题。
四、巩固提高（15分钟）1. 让学生分组讨论，互相讲解如何运用反证法证明命题的否定；2. 教师选取一些学生的解答进行点评和指导。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结反证法的概念和步骤；2. 强调反证法在数学证明中的重要性和应用价值。
教学反思：本节课通过讲解反证法的概念和基本步骤，让学生掌握了运用反证法证明命题的否定的方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成一些简单的反证法练习题，对于如何运用反证法解决实际问题也有了更深入的思考。
然而，反证法的理解和运用仍需加强，学生在解决复杂问题时可能会遇到困难。
在今后的教学中，可以结合更多的实际例子和练习题，让学生更好地掌握反证法，并提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
初中数学初二数学下册《反证法》教案、教学设计
1.作业应在规定的时间内完成，确保学生有足够的时间进行思考和消化；
2.作业应注重质量而非数量，要求学生在完成作业时，注重解题思路的清晰性和逻辑性；
5.设计丰富的例题和练习题，让学生在实际操作中感受反证法的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生对数学学科的兴趣；
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；
3.培养学生的逆向思维，使学生懂得从不同角度审视问题，形成创新意识；
4.培养学生的合作精神，使学生学会与他人共同探讨、共同进步；
在此过程中，学生可以充分发表自己的观点，学会倾听他人意见，形成共识。我会在各组间巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨反证法的应用。
（四）课堂练习，500字
课堂练习环节，我将设计不同难度的题目，让学生独立完成。这些题目包括基础题、提高题和拓展题，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生完成练习后，我会邀请部分学生分享他们的解题思路和答案。通过这种方式，学生可以相互学习，取长补短，共同提高。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的反证法知识，概括反证法的定义、关键步骤和应用。同时，强调反证法在数学证明中的重要性，以及它在解决实际问题中的应用价值。
此外，我会鼓励学生课后进行反思，总结自己在学习反证法过程中的收获和不足。这样，学生可以更好地掌握反证法，为今后的数学学习打下坚实基础。
2.学会运用反证法进行简单命题的证明，并能解决实际问题；
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高密市立新中学 楚晓英
知识讲解
对于一个几何命题，当用直接证法比较 困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种 间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立， 而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推 出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种 可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对 于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都 是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单 介绍。
这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。
故三角形中至少有一个角不大于60°。
例题
• 例2：已知：AB、CD是⊙O内非直径的两 弦（如图1），求证AB与CD不能互相平 分。
证明：假设AB与CD互相平分于点M、则 由已知条件AB、CD均非⊙O直径， 可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 ∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线 垂直于底边） 同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条 直线AB、CD都垂直于OM 这与过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。
反证法的概念：
• 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发， 引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证 法。
反证法的基本思路
• 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件 下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论 来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成 立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾， 或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与 日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度 进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
• 于是M、P、N三点不共线。
• 从而MP＋PN＞MN ②
• 由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件
MN＝（AD＋BC）
相矛盾，
故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。
练习：
1.在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°. • 求证；a2＋b2≠c2. 2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角. 3.求证：若a≠0,则ax=b，有唯一解。 4.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，
且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC
• 练习4答案：
• 证明：假设AD BC，连结BD，并设P是BD的中 点，再连结MP、PN。
• 在△ABD中
• ∵BM＝MA，BP＝PD
• ∴MP AD，同理可证PN BC
从
而MP＋PN＝（AD＋BC） ①
这时，BD的中点不在MN上
• 若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与 假设AD BC矛盾，
反证法的一般步骤
•
假设命题的结论不成立；
•
从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；
•
由矛盾判定假设不正三步曲。
例题：
• 1.求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
• 证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°
•
则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°