例谈反证法在数学证明中的应用

例谈反证法在数学证明中的应用【摘要】反证法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用反证法更简捷明了。

文章阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤，重点论述了反证法在中学数学证明中的应用。

【关键词】反证法证明假设矛盾结论有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。

”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。

这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

一、对“反证法”的概述（一）反证法的概念及其逻辑依据1.反证法的概念假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。

2.反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

矛盾律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾（对立）的判断， 其中至少有一个是伪的。

排中律： 在同一论证过程中， 对同一对象的两个互相矛盾的判断， 不能为伪， 其中必有一个是真的。

（二）反证法的证明步骤设待证的命题为“若A 则B ”，其中A 是题设，B 是结论，A 、B 本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：1. 反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；2. 归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件﹑已知的公理定理﹑定义﹑反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3. 结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。

二、反证法在数学证明中的应用反证法在数学证明中的应用非常广泛，反证法虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。

那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

1.否定性命题结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而用反证法就容易多了。

例1 求证:当 n 为自然数时 ,2(2 n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。

证明：假设有整数 a , b ,使）（1n 22b a 22+=-，即 (a + b)(a - b)=2(2n + 1)① 当 a ,b 同奇、 同偶时 , a + b 、 a - b 皆为偶数 ,(a + b)(a - b) 应是4的倍数 ,但2(2n+ 1) 除以4余2 ,矛盾。

② 当a ，b 一奇一偶时 ,a + b 、a - b 皆为奇数 ,(a + b)(a - b) 应是奇数 ,但2(2n + 1)为偶数 ，矛盾。

所以假设错误 ,即2(2n + 1) 形式的数不能表示为两个整数的平方差。

2.限定性命命题结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

例2 1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公共部分的面积不小于9π。

证明： 假设每个小圆的公共部分的面积都小于9π，而九个小圆共有2936C =个公共部分，九个小圆的公共部分面积要小于3649ππ⨯=，又大圆面积为5π，则九个小圆应占面积要大于945πππ-=，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少于9π。

例3 试证： 由三个小于1的实数a ，b ，c 构成的三个乘积（1-a ）b ，（1-b ）c ，（1-c ）a 至少有一个不大于41。

证明：a ，b ，c 中如果有一个小于或等于零， 则命题成立。

假设0﹤a ，b ，c ﹤1且（1-a ）b ﹥41，（1-b ）c ﹥41，（1-c ）a ﹥41，由第一式有（1-a ）ab ﹥4a ，∵1-a 与a 都是正数，b 也是正数。

∴ 4a ﹤（1-a ）ab ≤ [2a a 1+-）（]2b=4b ，因此a ﹤b 。

同理由第二、 第三式可得b ﹤c ，c ﹤a ，即a ﹤b ﹤c ﹤a 矛盾。

故三个乘积（1-a ）b ，（1-b ）c ，（1-c ）a 至少有一个不大于41。

3.无穷性命题结论是无穷的，结论涉及的对象无法一一列出，而它的反面是有限的、肯定的命题。

例4 求证：质数的个数是无穷的。

证明：假设质数的个数有限，不妨设为k 个，则可以将全体质数列举如下：p 1，p 2，……p k 。

令q= p 1·p 2·……·p 1k +，其中q 是自然数，又令P 是q 的大于1的质因数；因为p 1，p 2，……，p k 是全体质数，所以，一定有某个P i =P ，(1≤i ≤k)。

显然p 1·p 2·……·p k 是P 的倍数，所以P=1，这与P 是大于1的质因数相矛盾 ，所以，质数的个数是无穷的。

例5 求证：2是无理数。

分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。

而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。

当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。

证明： 假设2是有理数，则存在b a N b a ,.,且∈互质，使2222b a ba =⇒=，从而，a 为偶数，记为c a 2=，所以224c a =，所以222bc =，则b 也是偶数。

由a ,b均为偶数与a 、b 互质矛盾，故2是无理数。

4.逆否命题原命题与它的逆否命题是同真同假的，某些命题，可以用反证法来证明它的逆否命题，从而带来方便。

例6 证明：1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则。

分析：将“1,034222≠-≠--+-b a b a b a 则”视为原命题。

要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“1=-b a ，则34222--+-b a b a =0”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的。

证明：若 1=-b a ，则34222--+-b a b a= ()()()322---+-+b b a b a b a= 322--++b b a= 1--b a= 0∴ 原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题。

5.唯一、存在型命题即结论是证“ 唯一性” ，“ 存在性”的命题。

例7 求证：方程x = sinx 的解是唯一的。

证明：显然，x=0是方程的一个解。

以下用反证法证明方程的解是唯一的。

假设方程至少有两个解α、β(α≠β)，则有sin α=α ，sin β=β两式相减得： sin α－sin β=α－β∴ 2cos 2βα+sin 2βα-=α-β ∵ |sin 2βα-|＜|2βα-| ∴ |cos 2βα+|·|2βα-|＞2||βα- 得 |cos 2βα+|＞1， 显然矛盾。

故 方程 x = sinx 的解是唯一的。

例8 设x ，y ∈(0,1),求证:对于a, b ∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax - by|≥31成立.证明：假设对于一切x,y ∈（0 ,1）使|xy-ax-by|＜31恒成立， 令x=0 , y=1 ,得|b|＜31 ，令x=1, y=0 , 得|a|＜31， 令x = y = 1 ,得|1-a- b|＜31但|1- a - b|≥1-|a|-|b|＞1-31-31=31 产生矛盾,故欲证结论正确。

6.全称肯定性命题即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。

例9 如果两个数的绝对值的和是零 ,证明这两个数都是零。

证明:假如两个数不都是零 ,如果其中一个数不是零 ,则它的绝对值是正数 ,而正数加零是正数 ,于是两个数的绝对值的和是正数;如果两个数都不是零,则它的绝对值的和也是正数。

这都与已知矛盾。

所以这两个数一定都是零。

例10 求证:无论n 是什么自然数，214143n n ++总是既约分数。

证明：假设214143n n ++不是既约分数， 令214n ka +=……①，143n kb +=……②（k,a,b ∈N ,k ＞1），且a b为既约，由②×3-①×2得132132kb ka b a k -=⇒-=，因32b a -为整数，1k 为分数，则132b a k -=不成立，故假设不成立，分数214143n n ++是既约的。

7.基本命题 即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。

如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。

因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。

例11 已知：如图1，AB ⊥EF 于M ，CD ⊥EF 于N ，求证：AB ∥CD 。

证明: 假设AB,CD 不平行，即AB,CD 交于点P ，则过P 点有AB ⊥EF ，且CD ⊥EF ，这与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾 。

∴ 假设错误，则AB ∥CD 。

例12 求证：两条相交直线只有一个交点。

已知：如图2，直线a 、b 相交于点P,求证：a 、b 只有一个交点。

证明：假定a ，b 相交不只有一个交点P ，那么a, b 至少有两个交点P 、Q ，于是直线a 是由P 、Q 两点确定的直线，直线b 也是由P 、Q 两点确定的直线，即由P 、Q 两点确定了两条直线a, b 。

与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b 不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。

8.一些不等量命题的证明如：证不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。

例13 若α、β、γ为正锐角且sin 2α+ sin 2β+ sin 2γ=1，求证α+β+γ＞2π。

证明：设α+β+γ≤2π，则α+β≤2π-γ， 故 sin （α+β）≤sin （2π-γ）=cos γ。

由条件知 cos 2γ=1- sin 2γ= sin 2α+ sin 2β，故 sin 2（α+β）- sin 2β≤sin 2α.又 sin 2（α+β）- sin 2β= [sin （α+β）+ sin β]·[sin （α+β）- sin β] = 2sin 22βα+cos 2α·2cos 22βα+sin 2α = sin α·sin(α+2β)∴ sin α·sin(α+2β)≤sin 2α,即sin(α+2β)≤sin α.①若α+2β≤2π，则α+2β≤α，即β≤0，与已知β为正锐角矛盾。