浅谈反证法

浅谈反证法

聂震 1310300235 摘要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。本文主要从什么是反证法、反证法的依据、为什么使用反证法、反证法解题步骤、适用题型及举例、如何做出正确反设六个方面浅谈反证法。

关键词：反证法归谬法矛盾假设

引言：有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。

一．定义：

反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

二．反证法的依据：

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是

逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

三．为什么用反证法

一般若能正方向证出我们所需，我们就没必要反向考虑。所以，反证法的应用一般在于我们正向难以得出我们想要的结论。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。反证法证明前都假设“若……成立，则……”，无形中给我们加了一个条件，我们只需导出矛盾所在即可。所以反证法最大的优点在于：减轻了题目难度，并且有可能将逆向思维转为顺向。

四．反证法的解题步骤：

通常模式为：“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。

实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，穷举：列举出在反设下可能出现的各种情况；

第三步，归谬：把第二步所列举的各种可能情况一一引向矛盾（包括与公理、定义、定理、题设或临时的假设矛盾）；

第四步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

五．适用题型：

（1）唯一性命题

例已知：点p直线a。求证：过点p和直线a平行的直线b有且只有一条。

证明：∵点p a ，∴点p 和直线a 确定一个平面α，在平面α内过点p 能作出一条直线与直线a 平行(由平面几何知识知),故直线b 存在。假设过点p 还有一条直线c 与a 平行。∵a ∥b ，b ∥c ，∴a ∥c ，这与直线b 、c 共点p 矛盾，故假设不成立，因此直线b 唯一。故过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。

（2）否定性命题：

即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A ，∠B ，∠C 是三角形ABC 的三个内角。求证：∠A ，∠B ，∠C 中不能有两个钝角。

证明：假如∠A ，∠B ，∠C 中有两个钝角，不妨设∠A ＞900,且∠B ＞900，则∠A+∠B+∠C ＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A ，∠B 均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。

（3）限定型命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。 例 已知a , b , c 都是正数，求证：111,,a b c b c a

+++中至少有一个不小于2。 证明：不妨设111,,a b c b c a

+++全部小于2， 12a b +< ，12b c +<，12c a +<， 由于,,a b c 是任意的正数，可以令a b c ===10,

则我们有：11110.1a b c b c a

+=+=+= 显然矛盾。 所以，假设错误，原命题成立。111,,a b c b c a

+++中至少有一个不小于2

（4）必然性命题：

即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的 例 求证:无论n 是什么自然数，214143

n n ++总是既约份数。

1 k），且a b

为整数，1

k

为分数，

即涉及各种“无限”结论的命题。例求证：素数有无穷多个。

证明：假设素数只有n个： P

1、P

2

……Pn，取整数N=P

1

·P

2

……Pn+1，显然

N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。

（6）不等式证明

不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。

例在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.

证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.

1)若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形

∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.

2)若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD=AC，连接DC.

∵AD=AC

∴△ADC为等腰三角形

∴∠ADC＝∠ACD

又∵∠ABC为△ABD的一个外角

∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD 而∠ACD＞∠ACB＝∠C

∴∠ABC＞∠C 即∠B＞∠C，与已知矛盾.

∴假设不成立，原命题成立.

（7）起始性命题

例在同一平面设有四条直线a,b,c,d。若a与b相交,c⊥a,d⊥b,则c与d 也相交。

证明:假设c∥d。因为a⊥c,所以a⊥d;又因为b⊥d,所以a∥b。这与已知条件a与b相交矛盾。故c与d也相交。

六．如何正确的作出反设：

运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设,是使用反证法的一大关键否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。要想正确的做出反设，必须注意以下几点：（1）分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。

（2）结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。

总之，在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。

例如：1）结论：至少有一个S是P。

错误假设：至少有两个或两个以上S是P,

正确假设：没有一个S是P。

例如；2）结论：最多有一个S是P。

错误假设：最少有一个S是P。

正确假设：至少有两个S是P。

例如：3）结论：全部S都是P。

错误假设：全部的S都不是P。

正确假设：存在一个S不是P。

一些常用词的否定形式如下：

七．总结：

法国数学家阿达玛说过，“这种证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这是对反证法精辟的概括。

反证法就是从否定命题的结论入手，并把结论的否定作为已知条件进行正确的推理论证，证明出矛盾的原因是假设不成立，从而证明出了原命题成立。在应用反证法证明问题时，必须按照“反设——穷举——归谬——结论”的思路进行，正难则反，直接的思路较抽象较困难时，其反面就会较具体较容易，它不仅能体现出证明者的智慧，还能体现出数学的概括性和美丽！只要我们正确熟练运用，就能做到精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨，提高数学解题能力和逻辑思维能力，做一名数学高手！