浅谈反证法的原理及应用

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高 教 视 野
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浅谈反 。 谨滚渤原理 、 庭
◎张双红 李犀子 （ 吉林师 范大学数 学学 院， 吉林 四平 １ ３ ６ ０ ０ ０ ）
【 摘要】 反证法之妙用， 使其被誉为“ 数学家最精 当的武
器之一” ． 在数学解题 中， 会有 一 些用直接 证 明方 法仍 然无 从下手和 突破 的命题 ， 此时如果 我们 运用 反证 法这 种 间接 方法来证 明， 效果往 往 出人意料． 本 文 深入 浅 出， 开篇 简单 介绍反证 法由来 、 概念 、 原理 、 分 类和作用 ； 重 点论 述反 证 法 的应用 ， 其 中包括 反证法在高等 数学 中的使 用和 实践 ， 并提 出应用反 证法应该 注意的 问题和方法．
侧 异 号 ， 有 上 ， （ ） ｓ ｉ ｎ （ 一 。 ） ≠ ０ ・
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在 数学 中有着举 足轻重 的地位 ， 应 用也是 相当广泛 ． 在 数学 证明 中， 会 遇到一些通过直接证 明证 明极 其烦琐 的命题 ， 经 常可用反证法进 行 间接证 明． 反证 法包 含 了较 丰 富 的辩 证 思维原理 ， 从反证法 观 点出发 ， 运 用反 向思维 ， 可 以克 服 思 维定式 ， 因此 ， 对 培养 学生 的发 散思 维 ， 拓展 学 生的 解题 思 路都很有 帮助 ， 并且在解题 中也有重要的作用 ． 与 直接 证明法相 同 ， 反证 法 的推理 过程 也严 格 按照 形 式 逻辑 ， 遵循其基本 规则． 它能 概括为“ 先 否定 ， 继而 得出矛 盾后再 次否定”， 即从否定结论开始 ， 归 纳出矛盾 ， 从 而形成
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现在欧几里得编写 的《 几何原本》 中． 反证法有诸 多不 同版本 的定 义 以及描 述 ， 但 其本 质都
是大 同小异 的． 反证法可分 为归谬法 和穷 举法 ， 分类 的依 据
．
是命题 否定 形式 的多少． 所 谓归谬 法 ， 即： 若 原命 题 只有 一 种否定形 式 ， 只需要证 明这一种情形 不成立 ， 便可证 明出原 命题是正确的． 而穷举法则指的是若原命题的否定形式不 单 单只有一种 ， 则必须逐个证明其不 成立 ， 得 出原命题结 论
ｓ ｉ ｎ ｘ 。 上 ， （ ） ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ ＝ ０ ， 与 命 题 相 矛 盾 ， 故 假 设 不 成 立 ， 原 命
题成立．
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， （ ） 在 （ ０ ， 詈 ） 上 至 少 有 两 个 零 点 ．
（ 一） 反证法在数学分析中的应用 命 题的结论 中含有 “ 唯一” 形式， 采用反证法 比较简单 ． 例１ 若｛ ｝收敛 ， 则 极 限唯 一． 证 明 假设极 限不唯一 ， 即设 Ａ与 都是 ｛ ｝ 的极 限 ， 且 Ａ≠ ． 由极限 的定义知 ， Ｖｓ＞０ ， Ｎ， Ｖ， ｌ＞Ｎ，
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上 ， （ ） ｃ 。 ｓ （ 一‰ ）＝ｃ 。 。 上 ， （ ） ｃ ｏ ｓ ｘ ｄ ｘ＋
通过证 明命题 的否 定形 式是假 命题 ， 再根 据排 中律 证 明 已知命题成立 的一 种 间接证 法 即是 反证 法 ， 其通 常 包含 反证假设 、 反正推理及反证结论 三个步骤 ． 如果 命题 结论 的 反 面情况 多种多样 或隐 晦不 容易判 断时 ， 往往 不 容 易做 出
例 ２ 设 ， （ ） 在 【 ０ ， 詈 】 上 连 续 ， Ｉ ， （ ） ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ ＝ 上 ＝
） ｃ 。 ， 试 证 ） 在 （ ０ ， 詈 ） 上 至 少 有 两 个 零 点 ・ 证 明‘ ． ‘ Ｖ ｅ （ ｏ ， 詈 ｓ ｉ ｎ ｘ ＞ ０ ．
一
号＋ ÷（ 不 成 立） ，
故 Ａ ＝Ｂ， ｛ ｝的极限唯一． 命 题 的结论含有 “ 至多” “ 至少 ” “ 仅有 ”等形式 ， 采用反 证 法 比较简单．
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反 证 法 简 介
对于反证法的来 源并 没有 准确 的文 献 记载． 严 格推 理 的起源和诞生是 古典 逻辑 与欧几 里得 几何 学 ， 此 时西方 数 学开始转变 ， 逐 渐推 崇 以证 明为 主 ， 强调 数 学 的精确 性． 希 腊人由此重视逻 辑 的证 明， 同时反证 法 的举 例 和类 型也 出
ｆ Ｉ 一 Ａ Ｉ ＜ 手，
【 Ｉ 靠一 Ｂ Ｉ ＜ ｝，
Ｉ Ａ —Ｂ Ｉ＝ Ｉ Ａ一 ＋ 一 Ｉ ≤Ｉ 一Ａ Ｉ ＋ｌ 一Ｂ Ｉ ≤
【 关键词】 反证法； 原理； 应用
反证法作 为一 种证 明方法 是 重要 的 ， 而教 材 中忽 略 了 对反证法 的详 细介绍 ， 导 致反证 法 在培养 学生 逻 辑思 维方 面 的作用往往 也被忽略． 反证法 虽然巧妙 ， 但 对于初 学者来 说， 应该在什么情况 下使 用是不容 易判断 的， 所 以本文 旨在 从反 证法的精神实质 、 论 证步骤 、 具体方法 等详解 反证法．
新 的否定．
） ｓ ｉ ｎ （ — 。 ） ：ｃ 。 昭 。 ， ＿ （ ） ｓ ｉ 似 出 一
＝０ ， 产 生矛盾 ；
ｓ ｉ 似。 ， （ ） ｃ 。
若 ， （ ） 在 ‰ 两 侧 同 号 ， 有 Ｉ ， （ ） ｃ 。 ｓ （ — Ｘ ｏ ） ≠ ０ ，
正 确的方法． 反证法是数学 中既 常用 又重要 的一种 间接 证 明方法 ，
， （ ） ｓ ｉ 眦＝ ｏ ， ． ． ． ， （ ） 在 （ ０ ， 詈 ） 上 至 少 存 在 一 个
零 点 ， 否 则 Ｉ ， （ ） ， 号 ） 上 只 有 一 个 零 点 ‰ ． 若 ） 在 。 两