浅谈反证法的教学
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
浅谈数学教学中的反证法
浅谈数学教学中的反证法摘要】在中学数学教学中，引导学生正确运用反证法是数学教师课堂教学实践的重要任务，本文着重探讨反证法的应用方法，以期对我们的数学教学实践有所帮助。
关键词：反证法，思维流程，教学实践一、反证法是一种重要的数学证明方法所谓证明，就是用已知的数学事实或其真实性显而易见的数学公理去解释、说明、断定要证命题的真实性1。
因此，引导学生学会利用反证法证明数学命题是一项重要的教学内容。
二、反证法在数学中的应用（一）反证法的特点及应用反证法对数学命题的证明方法着重于采取逆向思维，由题设通过推理最终否定结论。
我们假设原命題为a→b ，是推导而出的结果，c通常为条件、公理以及定理等，也可以使临时假设的条件，我们可表示为→（c∧）a→b，逻辑依据：“矛盾律”和“排中律”是反证法的最核心最根本的逻辑依据。
反证法的逻辑思维流程是：假若“结论不能够得以成立”，那么结论已不成立就会出现人所共知的问题，这个问题主要是通过与已知的设定条件相悖，或者与公理等相悖，或与我们做出的临时设定条件相悖，或与自身矛盾等方式显示出来。
种类：我们使用反证法的核心点在于归谬，一般在运用中有简单归谬法和穷举归谬法两种形式。
模式：设定需要证明的命题为“若X则Y”，X是题设，Y是我们得出的结论，X，Y亦均为数学判断，如此，反证法证明命题通常分三步。
反设：首先设定与求证结果相悖的内容。
反设—假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去2。
归谬：我们将反设作为条件，基于此采取系统的无任何错误的推理，暴露矛盾，这是反证法的关键环节。
结论：推导出反设不能够成立，从而说明原命题正确。
（二）反证法在中学数学中的应用领域反证法是从证明反论题虚假来证明原命题真实的一种证题方法,是一种重要的间接证法3。
反证法普遍应用于平面几何、代数、三角、立体和解析几何等数学的许多部分内容之中。
反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律—矛盾律和排中律4。
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能够运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力、推理能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性，激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点反证法的概念和证明步骤，以及如何正确地提出反设和推出矛盾。
2、教学难点理解反证法的逻辑原理，如何在证明过程中寻找矛盾，以及反证法的应用。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过一个有趣的推理故事引入反证法的概念。
例如：有一天，一个小偷被警察抓住了。
警察问小偷：“你偷东西了吗？”小偷说：“我没偷。
”警察说：“那好，假设你没偷，但是我们在现场发现了你的脚印和指纹，这怎么解释？”小偷无言以对。
这个故事中，警察就是运用了一种特殊的推理方法——反证法。
2、讲解反证法的概念反证法是一种间接证明的方法，先假设命题的结论不成立，然后通过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立。
3、反证法的证明步骤（1）提出反设：假设命题的结论不成立。
（2）推出矛盾：从反设出发，通过推理，得出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果。
（3）得出结论：由于推出了矛盾，所以反设不成立，从而原命题的结论成立。
以“在一个三角形中，最多只能有一个直角”为例进行讲解。
假设在一个三角形中有两个直角，设∠A ＝∠B ＝ 90°，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝ 90°＋ 90°＋∠C ＞ 180°，这与三角形内角和为 180°相矛盾，所以假设不成立，即在一个三角形中，最多只能有一个直角。
4、反证法的应用（1）证明“根号 2 是无理数”假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ p ／ q（p、q 为互质的正整数），则 2 ＝ p^2 ／ q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
反证法教案：如何有效引导学生运用反证法进行证明？
反证法教案：如何有效引导学生运用反证法进行证明？引言反证法是一种重要的证明方法，常用于数学、哲学、逻辑学等领域。
其核心思想是通过否定所要证明的命题，从而推导出矛盾的结论，进而证明所要证明的命题成立。
反证法虽然看起来简单，但是实际上运用起来还是有很多需要注意的地方。
本文将从反证法的定义、特点以及应用等方面深入探讨如何有效引导学生运用反证法进行证明。
一、反证法的定义和特点反证法（reductio ad absurdum），又称为归谬法或证伪法，是一种利用矛盾的方法对命题进行证明的方法。
它的基本原理是：假设所要证明的命题不成立，然后通过推导出矛盾的结论来说明假设错误，从而证明所要证明的命题是正确的。
反证法的特点如下：1.反证法常常被用于证明命题的必要性。
2.反证法的证明方式具有矛盾性，能够避免结论的任意性。
3.反证法的证明方式多用于存在性、全部性以及唯一性的证明中。
二、反证法的实例以下为反证法在数学中的实例：例1：证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即根号2=a/b，其中a、b是整数，且a、b的最大公约数为1。
将根号2化简得到2=b^2/a^2，两边同乘a^2得到2a^2 = b^2。
因为2是质数，所以2必然是b^2的因子，从而可以知道b也是2的因子。
因为a、b的最大公约数为1，所以a不是2的因子，从而可以知道a^2不是2的因子。
因此，2a^2不可能是b^2的因子，这与2a^2=b^2相矛盾。
因此，假设不成立，根号2是无理数。
例2：证明二次剩余定理。
假设存在一个整数a，使得a^2≡p(mod q)，其中p、q都是不同的质数。
由于p是质数，所以p只有模q之下的剩余是可能的，即当p模q的剩余为k时，存在对应的整数r，使得p=k+qr。
将p替换得到a^2≡k+qr (mod q)。
因为q是质数，所以q的模意义下有域的性质，从而有a^2-k≡qr(mod q)。
因为gcd(q, r)=1，所以q模意义下有逆元，可以得到a^2-k≡q^(-1)qr(mod q)，从而得到q|a^2-k。
浅谈平面几何反证法的教学
浅谈平面几何反证法的教学反证法是一种不常见但很重要的证明方法。
苏科版九年级数学教材中开始介绍反证法这一种间接的证明方法。
搞好平面几何反证法教学，对进一步发展学生的逻辑思维能力有较大的帮助对于高中立体几何学习和大学数学的学习都有重要的作用。
一、举例反证法的应用初中学生初次接触反证法，对如何判定哪些题目可用反证法往往感到困难。
在教学中把适用反证法的题目大致归纳为三类：1.题目所涉及的知识范围较小，所能用到的定义、公理定理较少例1：如图，已知a∥b,b∥c。
求证：a∥b。
证明：假设a与b不平行，则a与b相交，不妨设a与b的交点为P，那么，过直线c外的一点P有两条直线a和b与直线c平行，这与平行公理矛盾。
故假设错误。
因此a∥b。
2.题目的结论以否定的形式出现例2：如图，已知AB和CD是圆的非直径的两条弦。
求证:AB和CD不能互相平分。
证明: 假设AB、CD互相平分于P，连接OP，有垂径定理，可得：OP⊥AB、OP⊥CD。
那么，过OP上一点P可作两条OP的垂线，这与“过已知直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的定理相矛盾，所以假设错误。
故AB、CD不互相平分。
3.题目的条件较少，但题目的结论的反面假设多于条件例3：已知四边形ABCD中，AB+CD=AD+BC。
求证：四边形ABCD外切于一个圆。
证明：显然可作一个与AB、BC、AD三边都相切的⊙O，假定CD与⊙O不相切，则有两种情况。
（1）若CD与⊙O相离,则过C可作CD′相切于圆O且交AD于D′，则有：AB+CD′=BC+AD′,又题设AB+CD=BC+AD，所以CD-CD′=AD-AD′=DD′，这与在△DD′C中CD-CD′<DD′相矛盾。
（2）若CD与⊙O相交，则过点C作CD′相切于⊙O且交AD延长线于D′，则有：AB+CD′=BC+AD′，又题设：AB+CD=BC+AD，所以CD′-CD=AD′-AD=DD′，这与在△DD′C 中CD′-CD<DD′相矛盾。
反证法优秀教学设计
反证法优秀教学设计反证法是一种常用的证明方法，通过构造与原命题相矛盾的假设，再推导出矛盾的结论，以此证明原命题的正确性。
在数学和逻辑学中广泛应用，具有严密性和简洁性的特点。
针对反证法的教学设计，本文将从以下几个方面进行讨论。
一、教学目标设定1.理解反证法的基本概念和原理；2.掌握反证法的基本步骤和应用技巧；3.发展学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学内容安排1.反证法的基本概念和原理的讲解：通过具体例子和实际问题引入，介绍反证法的基本概念和原理，帮助学生理解反证法的应用场景和作用。
2.反证法的步骤和技巧的讲解：详细介绍反证法的步骤，包括假设与前提、推导逻辑和结论矛盾。
并通过多种例题演示不同应用场景下的技巧和方法。
3.反证法的经典案例探究：选择一些经典的数学问题或逻辑问题，引导学生运用反证法进行解答。
例如费马大定理、无理数的证明等，通过课堂讨论和思考，共同探究其证明过程和思路。
4.反证法与证明方法的比较：将反证法与其他常见的证明方法进行对比，如直接证明法、归纳法等。
分析其优缺点和适用范围，帮助学生全面理解反证法的价值和特点。
5.综合应用实践：设计一些拓展性问题，要求学生采用反证法解决。
例如解决生活中的实际问题或数学问题，让学生能够将反证法应用到实际场景中。
三、教学方法选择1.讲授法：通过讲解反证法的基本原理和步骤，帮助学生理解其概念和使用方法。
2.案例分析法：通过分析经典问题的解答过程，让学生学会运用反证法进行问题求解。
3.合作探究法：组织学生小组讨论，共同探究反证法的应用，培养学生的合作能力和批判性思维能力。
4.情景模拟法：设计一些情景模拟的问题，引导学生通过自主思考和讨论，灵活运用反证法解决问题。
四、教学评估与反馈1.课堂反馈：课堂上通过问题解答、小组讨论和提问等方式，及时了解学生对反证法的掌握程度，解决学生的疑问。
2.作业评估：通过布置相应的作业，检验学生对反证法的理解和运用能力，及时发现问题，指导学生完善思维和解题方法。
反证法探究与实践：数学教师必备的教学策略
反证法探究与实践：数学教师必备的教学策略数学作为一门基础性的学科，是许多学生最头疼的一科。
不少学生认为学习数学需要天赋，而他们自己缺乏这种“天赋”，因此对数学的学习产生了极大的困难。
针对这种情况，数学教师需要采用一些有效的教学策略来帮助学生突破难关。
其中，反证法是一种非常重要的策略。
一、反证法的定义与应用反证法，顾名思义，就是通过反过来证明某个命题的方法。
也就是说，我们假设某个命题不成立，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明这个命题是成立的。
在数学中，反证法常常用于证明某些重要的定理。
比如，欧几里得几何中的“勾股定理”就可以通过反证法来证明。
其他著名的定理，如费马大定理、四色定理等，也都是通过反证法得到证明的。
应用反证法时，我们需要先确定一个命题，然后假设它不成立。
接着，我们可以通过一些推理手段，得到一个矛盾的结论，从而证明该命题是成立的。
这个过程可能会比较复杂，但是一般来说，如果我们的思路清晰，并且坚持使用反证法，最终结果一定会是正确的。
二、反证法在数学教学中的应用在数学教学中，反证法是一种非常常用的策略。
它可以帮助学生培养逻辑思维能力，增强学生的数学素养。
下面就针对不同的数学学科，介绍一些反证法的应用案例。
1.数学分析数学分析是大学数学中的一门重要学科，也是非常难学的一门学科。
在数学分析中，反证法常常用于证明某些极限存在或不存在，或者用于证明一些函数的性质。
比如，当我们想要证明某个函数在某个点处连续时，可以采用反证法。
假设该函数在该点处不连续，然后通过推导得到某些矛盾的结论，最终证明该函数在该点处是连续的。
2.高等代数高等代数是数学中的一门重要学科，它研究的是抽象代数结构。
在高等代数中，反证法常常用于证明精确性和唯一性。
比如，在矩阵论中，我们要证明某个矩阵的特征值都是实数时，可以采用反证法。
假设该矩阵有一个非实特征值，然后得出某些矛盾的结论，最终证明该矩阵的特征值都是实数。
3.计算机科学在计算机科学中，反证法常常用于证明算法的正确性。
浅谈反证法
浅谈反证法第一篇：浅谈反证法浅谈反证法摘要：在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。
它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单、易证，它在数学证题中确有奇效。
本文阐述反证法的概念、步骤，依据及分类。
反证法如何正确的作出反设及导出矛盾，及何时宜用反证法，反证法在中学中最常用的证明的题型展示，反证法的综合思路分析。
关键词：反证法数学学习正文：一：反证法的概念一般地，假设原命题不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.二：反证法的证明过程① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾;③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确三：反证法的适用范围(1)直接证明困难的(2)否定性命题(3)唯一性问题(4)至多、至少型命题四：理论依据从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。
像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。
五：常用词语原词语等于大于（>）小于（<）是都是否定词语不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n+1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能第二篇：反证法第1课时反证法一、学前准备1、复习回顾两点确定条直线；过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行；过一点有且只有条直线与已知直线垂直。
2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：。
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一、反证法的概念：
反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。
反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。
然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。
存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题.
二、反证法的思维过程：
“否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。
对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。
像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.
否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤.
在审视好条件与结论后实施的三步走的策略：
第一步，反设：做出与求证结论相反的假设;
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.
只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。
在反证法的证题过程中。
只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”.
反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。
并且能够培养学生的反向思维，发散思维.
三、反证法的逻辑原理证明用符号如下
五、反证法在教学中的作用
（一）培养学生逻辑思维的严密性
在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。
经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。
可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。
对于题中的知识点不清楚，记得错乱。
这主要表现出学生思维不缜密，老师可以用反证法来培养提高学
生思维缜密性。
从反证中体会反证法的意义，从反证法中体会反证的作用，因此，教师在讲解反证法时，全面地把问题解释透彻完整，加深学生的对问题的理解，从而达到培养学生思维缜密性的作用。
1.深刻理解数学中基本概念。
培养学生思维缜密性或严密性先从概念入手，任何一个系统都有他自己的原始概念与基本概念，然后以其进行对事物概念的延伸与发展。
同样数学的学习与教学系统中的各种概念也是从基本概念开始，用定义形式揭露本质其特征。
反证法的使用前提就是要对数学概念的深刻理解，在对概念深刻理解之后，才能在证明问题的过程用反证法来解决问题。
下面通过一个实例来说明。
3.加强数学交流。
老师可以在教学过程中，针对讲的数学知识点，给出一些问题，启迪学生思考，使师生在平等的基础上交流数学思想，学生与学生之间也进行相应的交流。
找出问题的切入点，提高学生的理解力与对数学的悟性。
（二）培养学生反向思维
反向思维是一种创造的手段和创新的方式，主要是让思维在相反的方向发散，从问题的反方向进行推理证明。
而反证法也正是具有从反面证明问题的含义，反证法的使用恰恰能培养学生的反向思维能力。
有很多发明都是人们提出问题后，从反方面进行推导创造出来的。
例如从欧几里得几何第五公式的证明，而得出非欧几何的诞生就是反向思维的很好案例。
（三）培养学生发散思维
发散思维，也可以说是进行广泛想象，通俗来说，对于一件事情从多个方面去思考。
反证法的使用便是一个发散思维的过程。
学生不通过发散思维，便不能抓住问题的要点，又如何解决问题。
发散思维在创造性思维中占据了核心位置，是通过问题的不同方面去思考，把明确的信息和掌握的知识进行不同组合，产生新灵感的过程。
为了能够发散性地思考，需要脱离固化的思维模式，也就是可以多多尝试变例，进行对问题新的角度实践的过程.
1.多与人交流，启迪思维。
看待同一个问题，不同的人注意的点不同，那么他们思考的方式就会产生不相似的效果，就会有不同观点和解决问题的方法.反证法就需要多与人交流，当交流的人增多时，对待问题的观点的种类也会增多，可能不是所有观点是正向的，但总会存在值得听取的观点.在大家的交流切磋当中，他人思路就会启迪自己的想法，提升个人思维能力.
2.多多提问。
在存在问题时就要经常的提问，可以向老师们提问，向同学们提问，并且可以在任何有问题的时候都去提问.反证法的使用，就是提出问题并解决问题的一个过程。
发散思维是在解决问题的过程中，不断提出问题解决问题，对于繁杂的问题，可以对它进行分解，单一的问题就更容易被解决了.
（四）培养学生正难则反思维
从正面思考问题，有时思维会受到阻力或陷入死胡同，人们就想到反过来思考如何呢？简称：正难则反.正难则反是数学解题一种策略.与反证法有同样的解题思路，反证法最开始的使用就是因为在问题的正面思考很难解决时，才会有从问题反方面思考的举动.
有很多题目从正确常规的思路就能够解决，但也有很多题，常规的思路不能够解题，这个时候我们可以考虑从反面来思考，可能这个问题就会变得简单，从而得到解决.
六、结语
综上所述，反证法是一种重要证明方法. 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显.
在数学教学中，反证法可以培养学生逆向思维，正难则反打破常规思维，使学生在思考问题时，有置之绝地而后生，柳暗花明又一村之感，从而培养思维缜密性和学生思维的发散性，体会它的功能和特点，从中悟出数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学与日常中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯.。