浅谈反证法的教学

一、反证法的概念：

反证法作为一种论证方式，是数学上的一种常用方法。反证法是先对命题进行假设，在原来的命题题目的条件下，根据题目的要求，假设命题结论不成立。然后对于推理出的结果，进行分析是否存在矛盾。存在矛盾则能得出结论的假设不成立，最终可以证明原命题.

二、反证法的思维过程：

“否定→推理→否定”，是对反证法的简单概括。对于结论先开始否定，接着经过精确的推理得出逻辑矛盾，最终形成一个新的否定。像法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质做过概括那样：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.

否定结论→推导出矛盾→结论成立，是其中的三个主要步骤.

在审视好条件与结论后实施的三步走的策略：

第一步，反设：做出与求证结论相反的假设;

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

只有用“反设”进行推理，从而证明问题时，才能称为反证法。在反证法的证题过程中。只要驳倒一种情况就能证明命题的方法，属于反证法的一种，叫作“归谬法”.如果存在多种情况，需要一一驳倒，最终才能证明结论的方法，属于反证法的另一种，称为“穷举法”.

反证法是一种常用的证明方法.在证明解决中很多数学题问题的过程中，它给我们的解题指明了一个方向，让一些解题思路遇阻或遇到比较麻烦的问题时，另辟蹊径，寻求一个简单的解决方法.排中律和矛盾律属于反证法的逻辑依据.在数学教学中，反证法的使用，有助于培养学生思维严密性。并且能够培养学生的反向思维，发散思维.

三、反证法的逻辑原理证明用符号如下

五、反证法在教学中的作用

（一）培养学生逻辑思维的严密性

在学生平时解题过程中，往往对于题目的信息了解得不够全面。经常有以偏概全，顧此失彼，解题思路不清晰的问题时常出现。可能前面刚记住的数据下一秒就记错了，就像做证明题，对于题目的条件关系弄不清楚，不能将条件有条理的记录出来。对于题中的知识点不清楚，记得错乱。这主要表现出学生思维不缜密，老师可以用反证法来培养提高学

生思维缜密性。从反证中体会反证法的意义，从反证法中体会反证的作用，因此，教师在讲解反证法时，全面地把问题解释透彻完整，加深学生的对问题的理解，从而达到培养学生思维缜密性的作用。

1.深刻理解数学中基本概念。培养学生思维缜密性或严密性先从概念入手，任何一个系统都有他自己的原始概念与基本概念，然后以其进行对事物概念的延伸与发展。同样数学的学习与教学系统中的各种概念也是从基本概念开始，用定义形式揭露本质其特征。反证法的使用前提就是要对数学概念的深刻理解，在对概念深刻理解之后，才能在证明问题的过程用反证法来解决问题。下面通过一个实例来说明。

3.加强数学交流。老师可以在教学过程中，针对讲的数学知识点，给出一些问题，启迪学生思考，使师生在平等的基础上交流数学思想，学生与学生之间也进行相应的交流。找出问题的切入点，提高学生的理解力与对数学的悟性。

（二）培养学生反向思维

反向思维是一种创造的手段和创新的方式，主要是让思维在相反的方向发散，从问题的反方向进行推理证明。而反证法也正是具有从反面证明问题的含义，反证法的使用恰恰能培养学生的反向思维能力。有很多发明都是人们提出问题后，从反方面进行推导创造出来的。例如从欧几里得几何第五公式的证明，而得出非欧几何的诞生就是反向思维的很好案例。

（三）培养学生发散思维

发散思维，也可以说是进行广泛想象，通俗来说，对于一件事情从多个方面去思考。反证法的使用便是一个发散思维的过程。学生不通过发散思维，便不能抓住问题的要点，又如何解决问题。发散思维在创造性思维中占据了核心位置，是通过问题的不同方面去思考，把明确的信息和掌握的知识进行不同组合，产生新灵感的过程。为了能够发散性地思考，需要脱离固化的思维模式，也就是可以多多尝试变例，进行对问题新的角度实践的过程.

1.多与人交流，启迪思维。看待同一个问题，不同的人注意的点不同，那么他们思考的方式就会产生不相似的效果，就会有不同观点和解决问题的方法.反证法就需要多与人交流，当交流的人增多时，对待问题的观点的种类也会增多，可能不是所有观点是正向的，但总会存在值得听取的观点.在大家的交流切磋当中，他人思路就会启迪自己的想法，提升个人思维能力.

2.多多提问。在存在问题时就要经常的提问，可以向老师们提问，向同学们提问，并且可以在任何有问题的时候都去提问.反证法的使用，就是提出问题并解决问题的一个过程。发散思维是在解决问题的过程中，不断提出问题解决问题，对于繁杂的问题，可以对它进行分解，单一的问题就更容易被解决了.

（四）培养学生正难则反思维

从正面思考问题，有时思维会受到阻力或陷入死胡同，人们就想到反过来思考如何呢？简称：正难则反.正难则反是数学解题一种策略.与反证法有同样的解题思路，反证法最开始的使用就是因为在问题的正面思考很难解决时，才会有从问题反方面思考的举动.

有很多题目从正确常规的思路就能够解决，但也有很多题，常规的思路不能够解题，这个时候我们可以考虑从反面来思考，可能这个问题就会变得简单，从而得到解决.

六、结语

综上所述，反证法是一种重要证明方法. 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题;或者否定结论更明显.

在数学教学中，反证法可以培养学生逆向思维，正难则反打破常规思维，使学生在思考问题时，有置之绝地而后生，柳暗花明又一村之感，从而培养思维缜密性和学生思维的发散性，体会它的功能和特点，从中悟出数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学与日常中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯.