论文浅谈反证法
浅谈反证法
浅谈反证法聂震 1310300235 摘要：反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。
从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。
反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。
本文主要从什么是反证法、反证法的依据、为什么使用反证法、反证法解题步骤、适用题型及举例、如何做出正确反设六个方面浅谈反证法。
关键词：反证法归谬法矛盾假设引言：有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法是一种应用广泛的数学证明方法，它的应用与发展历史悠久，早在古希腊，数学家就应用它证明了许多重要的数学命题，欧几里德的《几何原本》已经开始运用反证法。
牛顿曾说过，反证法是“数学家最精当的武器之一”，它在许多方面都有着不可替代的作用。
在现代数学中，反证法已经成为最常用最有效的解决问题的方法之一。
一．定义：反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。
二．反证法的依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。
反证法论文：浅谈反证法及其应用
反证法论文：浅谈反证法及其应用摘要:本文主要介绍了反证法及反证法的常用场合,本文把反证法的常用场合分为八点,分别是:①命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断;②有关唯一性的问题;③命题结论是“至多”“至少”形式;④命题结论涉及无限集或数目不确定的对象;⑤某些起始命题。
⑥难证的逆命题;⑦命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时;⑧直接论证不习惯,不适应。
关键词:反证法反设归谬结论矛盾一、什么是反证法1589年,25岁的意大利科学家伽俐略,登上比萨斜塔,同时丢了两个不同的铁球,用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断,这是众所周知的。
但你可能不知道,伽俐略还进行了如下的推理论证:假设亚里士多德的断言是正确的。
设物体a比物体b重得多,则a应比b先落地,现在把a 和b捆在一起成为物体a+b。
一方面由于a+b比a重,它应比a先落地;另一方面,由于a比b落得快,a、b一起时,b应“拉了a的后腿”,使a下落的速度减慢,所以,a+b应比a先落地,有应比a后落地,这个矛盾来源于亚里士多德的断言。
因此,亚里士多德的断言是错误的。
伽俐略的论证是有力的,逻辑性极强的,而伽俐略所用的方法,就是我们现在要介绍的反证法。
反证法是一种间接法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设。
然后,从这个假设出发经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。
（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。
（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论。
二、反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。
浅谈反证法的原理和应用
浅谈反证法的原理和应用1. 反证法的基本原理反证法（reductio ad absurdum），也称背证法，是一种常用于证明命题的方法。
它基于当我们需要证明一个命题时，我们可以假设命题的反面为真，然后通过推理和论证，最终推导出矛盾的结论。
这种矛盾的产生表明了我们最初的假设是错误的，因此我们可以推断原命题是成立的。
反证法的基本原理可以总结为以下几点： - 假设命题的反面为真。
- 通过推理和论证，从这个假设出发得出一个矛盾的结论。
- 根据矛盾的产生，可以推断命题的反面是错误的，因此原命题是成立的。
2. 反证法的应用场景反证法在数学、逻辑学以及其他科学领域都有广泛的应用。
它可以用于证明某些命题的正确性，或者在推理过程中说明某些假设的错误。
下面将介绍一些反证法的典型应用场景。
2.1. 证明存在性在一些数学问题中，我们需要证明存在某个对象，这时可以使用反证法。
假设不存在这个对象，然后通过推理得出矛盾，从而推断出这个对象是存在的。
例如，我们要证明存在一个无理数 x，使得 x 的平方等于 2。
可以假设不存在这样的无理数，而所有的数的平方都不等于 2。
然后通过数学推理，可以得出矛盾的结论，从而推断出这样的无理数存在。
2.2. 证明唯一性反证法也可以用于证明某个对象的唯一性。
假设存在两个或多个不同的对象满足某个条件，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断这些对象是不存在或者不唯一的。
例如，我们要证明平方根是唯一的。
可以假设存在两个不同的平方根，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断平方根是唯一的。
2.3. 证明等式或不等式在数学中，我们常常需要证明某个等式或不等式成立。
反证法可以用于这种情况下的证明。
假设等式或不等式不成立，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断等式或不等式是成立的。
例如，我们要证明若 a 和 b 是两个正实数，且 a+b=0，则 a=b=0。
可以假设 a和 b 不等于 0，然后通过推理得出矛盾的结论，从而推断 a 和 b 必须等于 0。
浅谈反证法的原理及应用
浅谈反证法的原理及应用
反证法，又称绝对可信法，它是一种建立事实与结论之间联系或
者验证事实的逻辑推理方法。
它的特点是先提出一个假设，然后不断
分析、考察这一推测，最后得出一种证据，以此来支持最初提出的十
字论断，以结束讨论。
反证法通常会让讨论者穷尽一方面之所有推类
与反例，以全盘考虑，从而得出一个普遍性的小结或者断定。
反证法在历史上的应用十分的广泛，早在古希腊就有关于反证法
的描述和使用。
古希腊哲学家苏格拉底就是反证法的代表者，他提出
了2种反证法来验证理论或者结论：证明法和拆解法。
另一位哲学家
阿基米德也使用了反证法，他把事实拆分成更小的部分，从而查找最
终的结论。
到中世纪，反证法对哲学家们来说，尤其是僧侣学者，而言则甚
为重要，他们很多时候就是通过反证法讨论和找到自己的观点和结论。
在现代，反证法的应用更加的广泛，出现在法律、社会科学研究、教育、商业、甚至是人际关系之中，在这些领域中，反证法都是一个有
效得、公正合理得逻辑思维模式，以此来解决问题。
反证法的基本思想主要是：认为一个主张或者理论是正确的，那
么就必须能够反驳那些与之相反的观点；如果反驳正确，则该观点可
以被接纳；但如果反驳失效，则可以放出原观点。
因此，反证法在许
多领域中都得到了贴切的应用，有助于让我们做出更好的决定和正确
的判断。
高数论文-反证法
高等数学结课论文之反证法反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
反证法的原理：反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。
法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
反证法在数学中经常运用。
当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
反证法的逻辑原理：反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。
即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。
应用反证法的是：欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。
反证法的证明：反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：某命题：若A则B，则此命题有4种情况：1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；∴一个命题与其逆否命题同真假即关于〉=〈的问题：大于 -〉反义：小于或等于都大于-〉反义：至少有一个不大于小于 -〉反义：大于或等于都小于-〉反义：至少有一个不小于即反证法是正确的。
浅谈数学中的反证法
浅谈数学中的反证法摘要反证法是数学中一个从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明法”一类。
基本步骤即：对题目中给出的已知条件予以肯定而否定需证明的结论，从而利用否定后的结论和原命题中的已知条件进行正确的推理导出矛盾，从而以此来肯定原命题结论的正确性。
本文的主要内容是先对反证法的定义、逻辑依据、证明步骤、证明过程中如何正确否定命题结论及常见的矛盾形式等作一简单阐述。
接着将反证法所适用的命题形式大致分为八种一一作详细的论述，这八种命题是：基本命题、限定式命题、存在性命题、无穷性命题、唯一性命题、否定性命题、肯定性命题、一些不等式命题，最后在本文结束前列举两个关于反证法在生活中的实际应用。
关键词：反证法；证明；假设；矛盾；结论AbstractThe reductio ad absurdum method of proof of mathematics from the opposite point of view think, belong to a class of "indirect proof of the Law. Basic steps: given the known conditions in the title be sure to negate the need to prove the conclusion, which deny the conclusions and the known conditions in the original proposition for correct reasoning export contradiction, so in order to affirm the original proposition conclusions are correct. The main content of this article is the first on the definition of reductio ad absurdum, the rationale supporting the steps to prove the process of how to properly deny the proposition conclusions and contradictions form a simple set. Then the reductio ad absurdum of the applicable form of the proposition is broadly divided into eight kinds of eleven for a detailed discussion of the eight propositions: the basic proposition, limit the type proposition, the existence of propositions, endless proposition, the only proposition, negative proposition, certainly sexual proposition, some inequalities proposition, the last before the end of this article cited two of reductio ad absurdum in the real-life applications.keywords：Reductio ad absurdum;Prove;Hypothesis;Contradiction;Conclusion1.研究反证法的必要性我们在解决数学问题时，一般总是习惯从正面入手，利用常规的思维方式来进行思考，以便找到解决问题的方法，这被称之为正向思维。
论文 浅谈反证法
华中师范大学高等教育自学考试本科毕业生论文评审表论文题目：浅谈反证法准考证号：姓名：***专业：数学教育学生类型：独立本科段(助学班/独立本科段)2011年 12 月 20日华中师范大学高等教育自学考试办公室印制论文内容摘要目录1引言 (3)2反证法的定义及步骤 (4)2.1反证法的定义 (4)2.2反证法的步骤 (4)3反证法的逻辑依据及分类 (5)3.1反证法的逻辑依据 (5)3.2反证法的分类 (5)4反证法如何正确的作出反设 (6)5反证法如何正确的导出矛盾 (9)6何时宜用反证法 (10)6.1基本命题，即学科中的起始性命题 (10)6.2命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断 (11)6.3有关唯一性的问题 (11)6.4命题结论是“至多”“至少”形式 (12)6.5命题结论涉及无限集或数目不确定的对象 (12)6.6某些起始命题 (13)6.7难证的逆命题 (13)6.8命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时 (13)7在中学数学中常用的反证法思想的题型分析 (14)7.1结论本身以否定形式出现的一类命题例 (14)7.2有关结论是以“至多...”或“至少...”的形式出现的一类命题例 (14)7.3关于存在性、唯一性的命题例 (14)7.4结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题例 (15)7.5无穷性命题 (15)8结论 (16)参考文献 (17)1引言南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。
乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。
”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。
［1］”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。
浅谈反证法的原理及应用
浅谈反证法的原理及应用反证法，又称证伪法或间接法，是一种在数学、逻辑、科学研究等领域中常用的推理方法。
它的原理是通过运用“假设与矛盾”来证明一些命题的真假。
本文将从原理及应用两个方面对反证法进行较为详细的探讨。
首先，反证法的原理是基于一种简单的思想，即“法则排中”。
法则排中指的是一种选择原则，即一些命题或假设的否定必然与命题或假设的肯定二者之一成立，不能同时不成立，也不能同时成立。
这一点在逻辑推理中是一个很重要的基础前提。
基于这个原理，反证法的步骤通常分为两步：首先，假设待证明的命题为假，或者是反证法的前提条件；然后，在假设的前提下推出矛盾的结论。
如果假设的前提推导出的结论与已知事实相矛盾，那么我们就可以推出反证法的结论：原命题一定为真。
反证法常用于排除假设，证明一些猜想或命题的正确性，及判定一些命题或猜想是恒真、恒假、或有矛盾的。
在数学中应用最为广泛，它可以用来证明存在性命题、唯一性命题、等价性命题等。
通过反证法可以帮助我们证明一些难以直接证明的问题，缩小问题的解空间，从而达到简化证明过程的目的。
其次，反证法还被广泛应用于科学研究中。
在科学研究中，我们常常面临一些复杂的问题，很难直接找到证据来证明一些假设或猜想的真实性。
这时候，反证法就可以帮助我们通过推理和逻辑来推翻一些不成立的假设，从而不断缩小问题的解空间，最终得出一些有关真实性的结论。
举个例子来说明，假设一些科学家提出了一个新的物理学理论，他认为光速可以超过光速。
为了验证这一假设，其他科学家可以采用反证法来进行证明。
首先，假设光速确实可以超过，从而推导出一系列与已有物理定律或实验证据相矛盾的结论。
如果我们得出了与实验证据相矛盾的结论，那么我们就可以推翻这个假设，证明光速不能超过光速。
反证法在科学研究中还可以用来判断一些理论的可行性。
当一个理论受到广泛质疑时，科学家可以尝试通过反证法来验证该理论。
假设该理论为真，然后推导出一些与已有实证研究相矛盾的结论。
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.华中师范大学高等教育自学考试本科毕业生论文评审表论文题目：浅谈反证法准考证号：姓名：***专业：数学教育学生类型：独立本科段(助学班/独立本科段)2011年12 月20日华中师范大学高等教育自学考试办公室印制. kszl论文容摘要目录1引言 (3)2反证法的定义及步骤 (4)2.1反证法的定义 (4)2.2反证法的步骤 (4)3反证法的逻辑依据及分类 (5)3.1反证法的逻辑依据 (5)3.2反证法的分类 (5)4反证法如何正确的作出反设 (6)5反证法如何正确的导出矛盾 (8)6何时宜用反证法 (9)6.1基本命题，即学科中的起始性命题 (10)6.2命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断 (11)6.3有关唯一性的问题 (11)6.4命题结论是“至多”“至少”形式 (12)6.5命题结论涉及无限集或数目不确定的对象 (12)6.6某些起始命题 (13)6.7难证的逆命题 (13)6.8命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时 (13)7在中学数学中常用的反证法思想的题型分析 (14)7.1结论本身以否定形式出现的一类命题例 (14)7.2有关结论是以“至多...”或“至少...”的形式出现的一类命题例. (14)7.3关于存在性、唯一性的命题例 (14)7.4结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题例 (15)7.5无穷性命题 (15)8结论 (16)参考文献 (17)1引言南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。
乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。
”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。
［1］”实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。
风水先生当然不会承认这个事实了。
那么，显然，他说的就是谬论了。
这就是反证法的威力，一个原本复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。
2反证法的定义及步骤2.1反证法的定义先提出于结论相反（相排斥）的假设，然后推导出和已知证明的定理或公理、定义、题设、相矛盾的结果，这样就证明了于结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论必定成立，这种间接证明的方法叫反证法［2］。
2.2反证法的步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。
（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。
（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论[3]。
例2.1.1已知：∂∈∉∂∉∂⊂B a B A a ,,, 求证：直线AB 和a 是异面直线。
证明：【提出假设】假设直线AB 和a 在同一平面内，那么这个平面一定经过点B 和直线。
【推出矛盾】因为a B ∉，经过点B 和直线 a 只能有一个平面∂所以直线AB 与a 应在平面∂所以 ∂∈A ,这与已知∂∉A 矛盾。
3反证法的逻辑依据及分类3.1反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
排中律是在同一思维过程中，两个矛盾的思想必有一个是真的[4]。
排中律常用公式排中律用公式表示为“A或者非A”，即“A∨⌝A”。
意即∨真或⌝真。
其中∨和⌝表示两个互相矛盾的概念或判断。
排中律要求人们思维有明确性，避免模柃两可。
它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定，不互相矛盾而且应该明确地表示肯定还是否定，不能模柃两可，不能含糊不清。
排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违反了排中律，同时也违反了矛盾律，所以两者是互相联系的。
它们的区别在于：矛盾律指出两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假；排中律则指出两个矛盾判断，不能同假，必有一真。
排中律是反证法的逻辑基础，当直接证明某一判断的正确性有困难时，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。
例如，要证明a不是有理数有困难时，只要证明a 是有理数为假就可以了。
3.2反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。
（1）若结论的反面只有一种情况,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反设的目的,这叫归谬反证法。
例3.2.1已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。
分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。
证明:假设m不是偶数,则m为奇数。
设m=2k+1(k为整数),所以于是,m2为奇数,这与已知条件m2是偶数矛盾。
故m为偶数。
（2）若结论的反面不止一种情形,那么,要将各个反面情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法。
4反证法如何正确的作出反设运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
在这一步骤中，必须注意正确的反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设,是使用反证法的一大关键否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。
要想正确的做出反设，必须注意以下几点：（1）分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。
例4.1.1试证合适xy+yz+zx=1的实数x 、y 、z 必不能满足x+y+z=xyz 。
分析:首先我们要弄清楚题目的意思,根据题目给我们的意思,我们很难用直接法对它进行证明,所以我们考虑用反证法,同时我们要注意正确作出反设,由题目我们知道实数x 、y 、z 能满足方程xy+yz+zx=1但不满足方程x+y+z=xyz,所以我们作出反设的时候要设实数x 、y 、z 既能满足xy+yz+zx=1,又能满足x+y+z=xyz 。
我们知道实数x 、y 、z 就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz 联立起来的方程组的一个实数根,我们可以根据这个特点去寻找矛盾。
对于含有多个字母的给定式,在计算时尽量设法减少字母的个数,这是一个原则。
（2）结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。
例4.1.2已知： 233=+q p ，求证：2≤+q p 。
分析：此题的结论有两种情况，其否定只有一种情况q p +>2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情况，就能肯定2≤+q p 的这种情况了。
证明：假设q p +>2，则q >p -23q ∴>326128p p p -+-33q p +∴>26128p p +- =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-311262p p =()2162-+p = 由此可知：233≠+q p ，这与已知矛盾。
∴2≤+q p例4.1.3已知：平面∂∥平面β，直线A，求证：l与β也相交。
∂l=分析：此题结论的否定有两种情况：1βl；2l∥β.用反证法证明时，⊂只有把这两种情况都否定了，才能肯定l与β相交。
总之，在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。
这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。
例如：1）结论：至少有一个S是P。
错误假设：至少有两个或两个以上S是P,正确假设：没有一个S是P。
例如；2）结论：最多有一个S是P。
错误假设：最少有一个S是P。
正确假设：至少有两个S是P。
例如：3）结论：全部S都是P。
错误假设：全部的S都不是P。
正确假设：存在一个S不是P。
现将一些常用词的否定形式列表如下：5反证法如何正确的导出矛盾归谬,是反证法的关键,也是困难所在。
初学者往往作出反设以后,就迈不开步子了,不知往哪里走才能找到矛盾。
导出矛盾的过程,没有固定的模式可以套用。
要凭借解题者拥有的知识与具备的能力,要善于从反设与条件中,抓住蛛丝马迹,发现矛盾。
此外,有两点应该引起我们注意:1、导出矛盾,要从反设出发,否则,推导将成为无源之水,无本之木。
2、推理必须严谨。
有人以为反证法就可以不讲依据,那是诡辩,只能导致荒谬。
一般来说,归谬的情况大致有如下几种:（1）推出与公理相矛盾的结论;（2）推出与已知定理相矛盾的结论;（3）推出与已知定义相矛盾的结论;（4）推出两个相互矛盾的结论;（5）推出与原命题题设条件相矛盾的结论;（6）推出与逆否命题假设相矛盾的结论。
6何时宜用反证法曾有数学家赞扬反证法是“数学家最精良的武器之一”,它在数学证题中确有奇效。
应该指出的是,多数题目用直接法证明较为简捷。
究竟什么类型的数学题可用这精良的武器去解决呢？对于“若A 则 B”一类的数学命题,一般都可以用反证法来加以证明,当然没有绝对的标准,但是遇到以下几类问题时不妨试一试。
6.1基本命题，即学科中的起始性命题此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。
例6.1.1：直线PO 与平面α相交于O ，过点O 在平面α内引直线OA 、OB 、OC ，POC POB POA ∠=∠=∠，求证：α⊥PO 。
证明：假设PO 不垂直平面α。
作α⊥PH 并与平面α相交于H ，此时H 、O 不重合，连结OH 。
由P 作OA PE ⊥于E ，OB PF ⊥于F ，根据三垂线定理可知，OA HE ⊥，OB HF ⊥。
因为POB POA ∠=∠，PO 是公共边，所以POF Rt POE Rt ∆≅∆所以OF OE =又OH OH =所以OEH Rt OFH Rt ∆≅∆所以EOH FOH ∠=∠因此，OH 是AOB ∠的平分线。
同理可证，OH 是AOC ∠的平分线。
但是，OB 和OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同时是AOB ∠和AOC ∠的平分线，产生矛盾。
a OP AB C E F H6.2命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断例6.2.1已知a 、b 、c 、d ∈R ，且ad-bc ＝1，求证：12222≠+++++cd ab d c b a 。
证明：假设12222=+++++cd ab d c b a ，把ad －bc ＝1代入前式得：02222=+-+++++cd ad bc ab d c b a 即（a+b ）2+（b+c ）2+（c+d ）2+（a-d ）2＝0 ∵a 、b 、c 、d ∈R ∴a+b ＝b+c ＝c+d ＝a-d ＝0 ∵a ＝b ＝c ＝d ，从而ad-bc ＝0与ad-bc ＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.例6.2.2证明2不是方程2x ＋1=0的根。