高数论文-反证法
反证法论文：浅谈反证法及其应用
反证法论文：浅谈反证法及其应用摘要:本文主要介绍了反证法及反证法的常用场合,本文把反证法的常用场合分为八点,分别是:①命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断;②有关唯一性的问题;③命题结论是“至多”“至少”形式;④命题结论涉及无限集或数目不确定的对象;⑤某些起始命题。
⑥难证的逆命题;⑦命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时;⑧直接论证不习惯,不适应。
关键词:反证法反设归谬结论矛盾一、什么是反证法1589年,25岁的意大利科学家伽俐略,登上比萨斜塔,同时丢了两个不同的铁球,用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断,这是众所周知的。
但你可能不知道,伽俐略还进行了如下的推理论证:假设亚里士多德的断言是正确的。
设物体a比物体b重得多,则a应比b先落地,现在把a 和b捆在一起成为物体a+b。
一方面由于a+b比a重,它应比a先落地;另一方面,由于a比b落得快,a、b一起时,b应“拉了a的后腿”,使a下落的速度减慢,所以,a+b应比a先落地,有应比a后落地,这个矛盾来源于亚里士多德的断言。
因此,亚里士多德的断言是错误的。
伽俐略的论证是有力的,逻辑性极强的,而伽俐略所用的方法,就是我们现在要介绍的反证法。
反证法是一种间接法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设。
然后,从这个假设出发经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。
（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。
（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论。
二、反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。
反证法毕业论文
毕业论文（设计）题目：中学数学解题方法研究——反证法English Title : Study On The Reductio Ad Absurdum In Secondary School Mathematics所在学院理学院专业（系）数学与应用数学班级（届） 081011班学号 08101112作者姓名黄俊福指导教师李琪老师二〇一二年六月摘要反证法在中学数学解题过程中的一种极其重要的数学方法，特别是对于一些直接证明比较难的问题来说，使用反证法去证明，将会变成非常简单，思路非常的清晰，因此反证法在中学数学解题得到了较为广泛的应用。
反证法它主要是运用了一种逆向思维的逻辑进行解题，它是先提出一个与命题的结论相反的假设。
然后，从这个假设出发经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
因此在中学数学解题过程中，常使用反证法的学生能够更容易通过逻辑推理获得答案，进一步巩固学习成绩，提升逻辑思辨能力。
本文主要介绍反证法的概念、来源、本质、基本思想以及反证法在中学数学中各个方面的一些应用。
对于反证法的使用时注意事项和使用反证法时的解题步骤做了一些的论述。
关键字：反证法；立体几何；平面几何ABSTRACTA reductio ad absurdum in secondary school mathematics problem solving process is extremely important mathematical methods, especially for directly prove more difficult, the use of reductio ad absurdum to prove, will become very simple, very clear ideas, so the reductio ad absurdum inthe secondary school mathematics problem solving has been more widely used. The reductio ad absurdum that it is mainly using the logic of reverse thinking, problem solving, it is first put forward a contrary assumption and the conclusion of the proposition. Then proceed from this assumption correct reasoning, lead to contradictions, thereby negating the opposite assumption, to achieve a certainly correct the original proposition. In secondary school mathematics problem solving process, students often use reductio ad absurdum can be more easily obtained through logical reasoning answer to further consolidate the academic performance, enhance logical thinking ability.This paper describes the reductio ad absurdum of the concept, the source, nature, the basic idea of reductio ad absurdum in mathematics in secondary schools in all aspects of the application. Some discussion of the use of reductio ad absurdum of the Notes and the use of reductio ad absurdum of the problem-solving steps.Key words: reduction to absurdity; solid geometry; geometry目录摘要....................................................................... 绪论. 01. 反证法的概念与来源 01.1 反证法的概念 01.2 反证法的来源 01.2.1 古希腊的反证法 01.2.2 中国古代数学的反证法 (1)1.2.3 反证法的其他来源 (2)2. 反证法的本质及步骤 02.1 反证法的本质 02.2 反证法的定义 02.3 反证法的步骤 03. 反证法的应用 03.1 反证法在代数中的应用 03.2 反证法在平面几何中的应用 (2)3.3 反证法在立体几何中的应用 (4)4. 毕业实习中的案例 05. 总结与展望 0致谢 0参考文献 0绪论近几年，随着大家对教育的关注，中、高考成为学生们展示自己个人实力的一个重要平台，而数学将在这个平台上起着非常重要的作用，因而数学的解题方法的探讨以及熟练的运用这些解题方法则成为学生们的制胜法宝，现如今，中学数学教材之中，数学思想贯穿于整个教材的每个部分，数学方法是数学思想的媒介，将数学试题和数学思想结合起来，几乎已经渗透到了所有的数学教学过程之中。
高中数学论文 反证法在高中数学解题中的应用
反证法在高中数学中的应用牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。
”它是指从与命题的结论相反的假设出发，经过正确的推理，推出与已知证明的定理，公理，定义或题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立。
一般来说，反证法常用来正面证明或求解有困难，情况多或复杂，而逆否命题是比较浅显的题目，问题可能解决的十分干脆。
利用反证法求解时必须结合其它的知识和方法综合考查，由于它应用的广泛性和它在中学数学与高考的突出作用，它已成为一种重要的解题思想，倍受命题者青睐，本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.1在简易逻辑中的应用例1设,,x y R ∈ :8,:2p x y q x +≠≠或 6,y ≠则p 是q 的（ ）A ． 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件分析直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰。
解析因为 “:2q x ⌝=且6y =”是“:8p x y ⌝+=”的充分不必要条件，所以p 是q 充分不必要条件。
点评在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰。
2在平面向量中的应用例2（2011上海理17）设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++= 成立的点M 的个数为（ ）.A ．0 B.1 C.5 D.10分析先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的。
解析由123450MA MA MA MA MA ++++= 得，()123451,5O M O A O A O A O A =++++ 由向量加法法则知存在这样的点;M 下面用反证法证明点M 的个数是唯一的，假设满足条件的点除M 外还有点,N 那么123450MA MA MA MA MA ++++= ①，123450NA NA NA NA NA ++++= ②，①-②得50,MN = 则N 点与M 点重合，与假设矛盾.所以满足条件的点M 只有一个.点评涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅。
谈反证法论文
谈反证法判断一个命题是否正确，既可以直接证明，又可以间接证明。
反证法就是一种间接证明的推理方法，它的推理思路是首先提出反设——在已知条件下，暂时否定待证结论，提出与结论相反的假设；其次，推出矛盾——从反设出发，结合已知条件，通过严密推证，导出与已知公理、定理、定义或题设相矛盾的结果；然后，肯定结论——出现矛盾，因为是“否定结论”的结果，所以“反设”不成立，从而肯定命题是正确的。
现行新课改教材里反证法的内容是在初中已经给出反证法的概念基础上，直接给出反证法的证题步骤。
然后举例说明之。
篇幅较少，但是又经常要用，又较难理解。
作为现在的高中学生如何来掌握这部分内容呢？下面结合两个例题谈谈我的看法。
首先，应掌握反证法的概念，特别是反证法证题的三个步骤。
即“反设、归谬、结论”。
具体地说就是，第一步，假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；第三步，由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例已知a、b、c是一组勾股数，证明a、b、c不可能都是奇数。
证明：假设a、b、c都是奇数。
……这是第一步，反设①因为a、b、c是一组勾股数，所以a2+b2=c2 （1）②因为a、b、c都是奇数，所以a2、b2、c2都是奇数，所以a2+b2是偶数。
③这样（1）式的左边是偶数，而右边是奇数，得出自相矛盾的结论。
这是第二步，归谬即假设错误，所以a、b、c不可能都是奇数。
……这是第三步，结论其次，应明确哪些问题宜运用反证法。
一般地，待证命题的结论中出现“至多”、“至少”、“相等”、“不等”、“存在”、“不存在”、“唯一”、“不唯一”、“有理”、“无理”等断语时，常可考虑用反证法。
具体地说可以归为以下几类：（1）已知条件很少或由题设条件所能推得的结论很少或容易迷失方向的一类题目；（2）结论的反面比原结论更具体的命题，尤其是结论为否定形式（如“不是”、“不可能”、“不存在”等）的命题；（3）有关“存在性”及“唯一性”的问题；（4）涉及无理数的问题；（5）要证的结论是无限的，而其反面是有限的命题等。
反证法在数学中的应用
论文编码：O1-0摘要反证法是数学证明方法中很重要的一部分，本文主要介绍了反证法再出等数学中的应用。
首先阐述反证法的概念、逻辑根据和一般步骤。
然后讨论了反正法的适用范围，这也是本文的重点内容，任何一种方法都要以应用为首要任务，我们学习它、了解它、掌握它，学会用反证法解决更多的实际问题才是我们的目的。
其次研究了反证法的教学，反证法的这种数学思想在课堂教学中的渗透是很有必要的。
最后讨论了应用反证法应注意的问题，真正用好反证法并非一件易事，所以我们的研究学习是很有必要的。
关键词：反证法逻辑基础教学方法适用范围；AbstractApagoge is an important part of math demonstration.This article introduces the application of Apagoge in elementary math.First,expounds the Apagoge's concept,logic ground and the general steps.Next,discusses the range of application,which is highlighted.Whatever methods we use,we should base on application.So we must study the method and use it to help us solve many practical problem.Then,studies how to teach the Apagoge's thinking into people's minds in the st,talks about the problem which should pay attention to in Apagoge's application.It is difficult to make a good use of the Apagoge,so we are supposed to study continuously.Keywords：Apagoge ;Logical basis;Teaching methods; Scope;目录第 1 章反证法概解1.1反证法的由来 (3)1.2 反证法的定义 (3)1.3 反证法的逻辑基础 (3)1.3.1 反证法的出发点 (3)1.3.2 反证法的推理过程 (4)1.3.3 反证法的逻辑基础 (4)1.4 反证法的分类 (4)第 2 章反证法在中学数学的适用范围以及例题2.1 基本定理或初始命题的证明 (6)2.2 否定性命题 (6)2.3 关于唯一性、存在性、至多至少命题 (6)2.4 无穷型命题 (8)第 3 章应用反证法应注意的问题3.1 反设要正确 (9)3.2 明确推理特点 (9)3.3 善于灵活运用 (9)第 4 章反证法的教学价值及建议4.1 反证法的教学价值 (10)4.2 反证法的教学建议 (11)第 5 章总结致谢 (14)参考文献 (15)前言世界上任何一个生命的诞生就不由自主的与数学有了扯不清的关系，有可能成为学习的主体、还有可能变成被统计的对象。
浅谈数学中的反证法
浅谈数学中的反证法摘要反证法是数学中一个从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明法”一类。
基本步骤即：对题目中给出的已知条件予以肯定而否定需证明的结论，从而利用否定后的结论和原命题中的已知条件进行正确的推理导出矛盾，从而以此来肯定原命题结论的正确性。
本文的主要内容是先对反证法的定义、逻辑依据、证明步骤、证明过程中如何正确否定命题结论及常见的矛盾形式等作一简单阐述。
接着将反证法所适用的命题形式大致分为八种一一作详细的论述，这八种命题是：基本命题、限定式命题、存在性命题、无穷性命题、唯一性命题、否定性命题、肯定性命题、一些不等式命题，最后在本文结束前列举两个关于反证法在生活中的实际应用。
关键词：反证法；证明；假设；矛盾；结论AbstractThe reductio ad absurdum method of proof of mathematics from the opposite point of view think, belong to a class of "indirect proof of the Law. Basic steps: given the known conditions in the title be sure to negate the need to prove the conclusion, which deny the conclusions and the known conditions in the original proposition for correct reasoning export contradiction, so in order to affirm the original proposition conclusions are correct. The main content of this article is the first on the definition of reductio ad absurdum, the rationale supporting the steps to prove the process of how to properly deny the proposition conclusions and contradictions form a simple set. Then the reductio ad absurdum of the applicable form of the proposition is broadly divided into eight kinds of eleven for a detailed discussion of the eight propositions: the basic proposition, limit the type proposition, the existence of propositions, endless proposition, the only proposition, negative proposition, certainly sexual proposition, some inequalities proposition, the last before the end of this article cited two of reductio ad absurdum in the real-life applications.keywords：Reductio ad absurdum;Prove;Hypothesis;Contradiction;Conclusion1.研究反证法的必要性我们在解决数学问题时，一般总是习惯从正面入手，利用常规的思维方式来进行思考，以便找到解决问题的方法，这被称之为正向思维。
最新毕业论文：浅谈反证法在中学数学中的应用
浅谈反证法在中学数学中的应用摘要：阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类，探索其在中学数学中的应用。
关键词：反证法证明矛盾1. 引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。
这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。
数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。
2. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
不仿设原命题为qp→，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：()qpssqp→⇔Λ→→，即()qpssqp→⇔Λ→Λ。
逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。
种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。
根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。
模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设；（2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；（3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
3. 反证法的适用范围反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。
那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。
浅谈反证法的原理及应用
摘要反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义.本论文主要研究的内容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考.关键词:反证法,否定,矛盾,应用Principle and application of the reduction to absurdityABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not only to improve its own system of mathematical science have stimulative effect, but also has an extremely important role in cultivating and improving the people's thinking ability. If you use apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity, the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students' rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great significance to establish a correct conception of mathematics.The origin of the main content of the paper is the reduction to absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge classification; the reduction to absurdity has wide application of scientific basis; and introducesthe application of reduction to absurdity, including the application of reduction to absurdity in elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should note that the application of reduction to absurdity problems;to solve these problems and puts forward some specific suggestions for teaching, so as to provide reference for the improvement of the teaching of reduction to absurdity.Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction, application目录一、引言 (1)二、反证法的由来 (1)三、反证法的概念及分类 (1)（一）反证法的定义 (1)（二）反证法的分类 (1)1．归谬法 (1)2．穷举法 (2)（三）反证法的作用 (2)四、反证法的科学依据 (3)（一）反证法的理论依据 (3)（二）反证法的步骤 (3)（三）反证法的可信性 (3)五、反证法的应用 (4)（一）反证法在初等数学中的应用 (4)（二）反证法在高等数学中的应用 (6)1．在数学分析中的应用 (6)2．在高等代数中的应用 (8)（三）应用反证法应注意的问题 (9)1．反设要正确 (9)2．明确推理特点 (9)3．善于灵活运用 (10)4．了解矛盾种类 (10)六、反证法的教学价值及建议 (10)（一）反证法的教学价值 (10)1．训练逆向思维 (10)2．促进数学思维的形成 (10)3．培养思维严密性 (11)4．渗透数学史 (11)（二）反证法的教学建议 (11)1．多次反复,螺旋上升 (11)2．精心研究,训练反设 (12)3．渗透数学思想方法,训练严密 (12)七、结束语 (12)八、参考文献 (13)一、引言在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一,但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍,学生在运用上又不如直接证法那样顺理成章,而且在归谬过程学生对所学的定义、定理以及命题本身又要有分析、判断、联想和创造能力,对在怎样的情况下才可采用反证法,学生又不容易判断,所以对反证法的理解和在恰当地应用上都存在不少的问题,因此本文就反证法做一些介绍和探讨.二、反证法的由来反证法顾名思义是一种证明方法,在数学和逻辑上是统一的.早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数,用整数和几何图形构建了一个宇宙图式.万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的.随着2的出现,希腊人渐渐开始重新审视他们的数学,图形和直观并不是万能的,推理和逻辑走上了数学的舞台.此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性.表现形式就是:逻辑、演绎的体系.可见它是指证明的数学与算的数学正好相反.希腊人重视逻辑和演绎的证明,反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中. 三、反证法的概念及分类（一）反证法的定义反证法有多种不同的描述,其本质都是一样的.最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述:“反证法在于表明,若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”.维基百科中这样描述“反证法,就是由否定命题结论的正确性出发,根据题设条件、定义、法则、公理、定理,进行一系列正确的逻辑推理,最后得到一个矛盾的结果.”即就是结论的反面不能成立,从而肯定命题结论的正确性,这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法.（二）反证法的分类反证法分类分为:归谬法和穷举法.1．归谬法若命题的反面只有一种情形,则只需把这一种情形驳倒,便可达到反证的目的.例1．两条直线同时平行于第三条直线,则原两条直线互相平行.已知:，，EF CD EF AB ////求证:.//CD AB现用反证法予以证明.假设AB 与CD 不平行,则{}P CD AB =⋂(利用平行定义的反面意义),EF AB // (即EF AP //)、EF CD //(即EF CP //)(题设), ∴过P 点有两条不同的直线与EF 平行,但这与平行公理矛盾（平行公理）,临时假设AB 不平行CD （矛盾律),故CD AB //(排中律).2．穷举法若命题题设反面不止一种情况,则必须将其逐一驳倒,才能间接证明题设的正面成立.这就叫穷举法.例2．若121≥>x x ,则有n n x x 21>,证明:若不然,则有,()21211x x x x n n =⇒=,与题设矛盾,()21212x x x x n n <⇒<,与题设矛盾,因此,n n x x 21>.（三）反证法的作用牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”.最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉提斯（前460年左右）,在欧几里得的《几何原本》中也有不少用反证法的范例.我国在五世纪时《张邱建算经》中已有运用.反证法是数学证明中的一种重要方法,当正面不容易或者不能证明时,我们可以从命题的反面来思考问题,若能恰当使用,往往可以收到较好的效果.特别是有些数学命题至今除了反证法还别无它法,因此认识和掌握反证法就显得十分重要.A C EB D F图1四、反证法的科学依据（一）反证法的理论依据反证法所依据的是亚里士多德的形式逻辑的基本规律中的“矛盾律”和“排中律”.其基本内容是:在同一论证过程中,对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断,不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是“矛盾律”.如对2这个对象,“2是有理数”和“2是无理数”的两个判断中至少有一个是假的.在同一论证过程中,对同一对象的肯定判断和否定判断,这两个相矛盾的判断必有一个是真的,这就是“排中律”.如要证明“2是无理数”,只要证明“2是有理数”不真就够了.因为“2是有理数”和“2不是有理数”,是对象2的两个相矛盾的判断,依据排中律,其中必有一个判断是真的.如能证明“2不是有理数”不真,是无理数”为真. （二）反证法的步骤反证法的三个步骤:“反设”、“归谬”、“结论”,三者之间相辅相成,不可分割.1、“反设”是基础.“反设”是反证法证题的第一步.反设的正确与否,直接影响反证法的后续步骤.因此,实施教学时,应指导学生做到:先弄清所证命题的条件部分和结论部分各是什么;再找出结论的相反情况,要求做到不重不漏;最后对结论加上“不”或“不是”,这样就完成了“反设”.2、“归谬”是关键.“归谬”即利用“反设”导致矛盾.这不但是反证法的核心部分,而且也是反证法教学的难点所在.一些学生也知道需要经过逻辑推理,才能导出矛盾,但不明确怎样去寻找矛盾.因此,实施教学时,应指导学生明确:反设后条件部分是什么;逻辑推理应向哪个方向前进;矛盾将在何处产生.3、“结论”是目的.“归谬”后,其矛盾的产生并非别的原理,只因“反设”所致,所以命题的原结论就得以成立.至此,反证法证题已经完成,目的也就达到了.（三）反证法的可信性反证法在其证明过程中,根据“矛盾律”,对“原结论”和“否定的原结论”来说,这两个相矛盾的判断不能同时都为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已证明为正确的命题都是真的,所以“否定的原结论”必为假.再根据“排中律”,“原结论”与“否定的原结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一个是真,而“否定的原结论”为假,于是我们得到“原结论”必为真.综上,我们可以看出反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据,通过逻辑推理,得出令人信服的正确结论.反证法也是唯物辩证法中“否定之否定”原理在数学中的具体应用.五、反证法的应用本部分主要总结反证法在初等数学和高等数学的应用.（一）反证法在初等数学中的应用之前我们主要介绍了一些反证法的概念,对于反证法的定义、历史及逻辑基础有了一定的了解,反证法这种间接证明方法理论上可以用于证明任何题目,但是它像直接证明一样总有局限性,这部分我们主要介绍常用反证法的几类命题.否定性命题:结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现的命题,直接证法不容易入手,反证法可以发挥它的作用.例1.求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角.证明:已知A ∠、B ∠、C ∠是三角形ABC 的三个内角. 求证:C B A ∠∠∠、、中不能有两个钝角.证明:假如C B A ∠∠∠、、中有两个钝角,则有︒>∠+∠+∠180C B A ,这与“三角形和为︒180”产生矛盾,所以,一个三角形不可能有两个钝角.关于唯一性、存在性、至多至少命题:例2.已知0≠a ,求证关于x 的方程b ax =有且只有一个根.证明:假设方程0=+b ax （0≠a ）至少存在两个根,不妨设其中的两根分别为21x x 、,且21x x ≠,则b ax b ax ==21，,21ax ax =∴,021=-∴ax ax ,()021=-∴x x a ,0,2121≠-≠x x x x ,0=∴a 与已知0≠a 矛盾,故假设不成立,结论成立.例3.当）（21212q q p p +=时,试证方程0112=++q x p x 和0222=++q x p x 中,至少有一个方程有实数根.证明:假设两个方程0112=++q x p x ,0222=++q x p x 都没有实根,即04121<-q p ,04222<-q p . 所以1214q p <,2224q p <⇔)(4212221q q p p +<+,又2122212p p p p ≥+,)(422121q q p p +<∴ 即 )(22121q q p p +<,)(22121q q p p += , ∴假设不成立,结论成立.所以说明0112=++q x p x 和 0222=++q x p x 中至少有一个方程有实根.例4.试证:2不是有理数.分析 我们知道,有理数恒可表示为既约分数ba （b a ,为互质的自然数）的形式.直接证明这个命题需要证2不是任何一个既约分数,这不仅涉及既约分数的无限集,而且也难于把2与既约分数ba 联系起来（它们本来就没有直接联系）.如果使用反证法,情况就迥然不同了. 证明:设2是有理数,则有互质的自然数b a ,,使ba =2, 由此推出222ab =,这表明a 有因数2,设12a a =,代入上式,得21242a b =,即2122a b =,这又表示b 有因数2.于是a ,b 有公因数2,这与b a ,互质的假设矛盾,因此,2不是有理数.评注:本命题使用反证法的优点是只要考察某一特定的有理数b a ,而且自然的把2与这个特定的既约分数b a 联系起来了（ba =2）,这就为利用自然数的运算性质导致矛盾的结果创造了有利条件.（二）反证法在高等数学中的应用反证法虽然是在平面几何教材中出现的,但对数学的其它各部分内容,如数学分析、高等代数都可应用.那么,究竟什么样的命题可以用反证法来证呢?当然没有绝对的标准,但证题的实践告诉我们:下面几种命题一般用反证法来证比较方便.1．在数学分析中的应用要能熟练掌握一种解题方法,仅仅满足于会用这种方法解个别题目是不够的,还要在解题的证明中注意积累经验,总结规律,解决何时可以用这种方法来解决的问题,这有助于进一步加深对这种解题的方法实质的理解.下面就数学分析中几类常见的运用反证法证明的命题类型,举例说明反证法的应用.当结论中出现“唯一”或者量词“只有一个”时,运用反证法也比较适宜.例1 收敛数列的极限都是唯一的.证明:假设有某一收敛数列{}n x ,其极限不唯一,设a x n n =∞→lim 与b x n n =∞→lim ,且b a ≠,不妨设b a <,令020>-=a b ε, 根据极限的定义,存在自然数21,N N ,使1N n >时,有0ε<-a x n ,2N n >时,有0ε<-b x n ,因此,当{}21,m ax N N n >时,有00εε+<<-a x b n , 注意到20a b -=ε,便得22b a b a +<+,但这是不可能的,故假设不成了,所以结论成立.当结论中含有否定词“无”或者“非”时,一般用反证法.例 2.试证明:若函数()x f 在有限区间()b a ,内可微,但无界,则其导函数()x f '也无界.证明:假设()x f '在()b a ,内有界,即0>∃M ,()b a x ,∈∀,有()M x f ≤',取定()b a x ,0∈,()b a x ,∈∀,由拉格朗日中值定理知,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()a b M x x f x f x f -≤-'=-00ξ,而()()()()()a b M x f x f x f x f -≤-≤-00,故()()()a b M x f x f -+≤0,这与已知()x f 无界相矛盾,故结论成立.当结论中以“至多”或者“至少”形式出现时用反证法可以收到良好的效果.例3．设()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上连续,()()0cos sin 2020==⎰⎰xdx x f xdx x f ππ, 试证:()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内至少有两个零点. 证明:⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∀2,0πx , 0sin >∴x ,()0sin 20=⎰xdx x f π, ()⎪⎭⎫ ⎝⎛∴2,0π在x f 至少存在一个零点,否则()0sin 20≠⎰xdx x f π, 假设()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内只有一个零点0x , 若()x f 在0x 两侧异号,有()()0sin 020≠-⎰dx x x x f π,()()()()0cos sin sin cos sin 200200020=-=-⎰⎰⎰xdx x f x xdx x f x dx x x x f πππ 矛盾,若()x f 在0x 两侧同号,有()()0cos 020≠-⎰dx x x x f π, ()()()()0sin sin cos cos cos 200200020=+=-⎰⎰⎰xdx x f x xdx x f x dx x x x f πππ矛盾,所以假设不成立,故结论成立,()x f ∴在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内至少有两个零点. 2．在高等代数中的应用反证法在数学中有着广泛的应用,针对高等代数中许多结论、定理的证明虽然可以用构造法、数学归纳法等其他方法证明,但是证明过程比较复杂,有时用反证法证明达到了化难为易的效果.例 1.若β 可由r ααα ,,,21⋯线性表示,证明:r ααα ,,,21⋯表示方法唯一⇔r ααα ,,,21⋯线性无关.证明:（必要性）已知β由r ααα ,,,21⋯唯一的线性表示, 设r r k k k αααβ+⋯++=2211,假设r ααα ,,,21⋯线性相关,则存在r l l l ⋯21,不全为0,使02211=+⋯++r r l l l ααα ,于是r r r l k l k l k αααββ )()()(0222111++⋯++++=+=, r l l l ⋯21,不全为0,∴r k k k ⋯21,与r r l k l k l k +⋯++2211,不完全相同,这与β可由r ααα ,,,21⋯表示方法唯一相矛盾,所以假设不成立,即r ααα,,,21⋯线性无关.例2．设()n n ij a A ⨯=为实矩阵,证:如果∑≠>ji ij ii a a ,n i ⋯=,2,1,则0≠A .证明:假设0=A ,设),,,(21n A ααα ⋯=,则n ααα ,,,21⋯线性相关,从而存在不全为零的数n k k k ⋯21,,使02211=+⋯++n n k k k ααα , 设{}i k k max 1=,则01>k ,n n k k k ααα -⋯--=∴2211,n n a k a k a k 1122111-⋯--=∴,∑≠≤+⋯+≤∴1111122111j j n n a k a k a k a k∑≠≤∴1111j j a a ,这与已知矛盾,所以假设不成立,0≠∴A（三）应用反证法应注意的问题反证法是数学中一种重要的证明方法,在许多方面有着不可替代的作用.它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用.只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨、提高教学解题能力.1．反设要正确正确否定结论是运用反证法的首要问题.如:命题“一个三角形中,至多有一个内角是直角”.“至多有一个”是指“只有一个”或“一个没有”,其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”,即“至少有两个是直角”.2．明确推理特点使用反证法证题,要明确我们的任务是否定结论导出矛盾,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的.一般的总是在命题的相关领域里考虑（例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定理、公式、定义等）,这正是反证法推理的特点.因此,在推理前不必要也不可能事先规定要得到什么样的矛盾.我们在运用反证法时只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,一旦出现了矛盾,证明也就结束了.3．善于灵活运用虽然数学证明题一般都可采用反证法,但并不是说,所有证明题都应该使用反证法来证明,就多数题目来说,用直接证法就可以证出,不能一味往反证法上面靠,要灵活运用反证法,毕竟我们平时训练的题目多是运用的直接证法.对待用反证法证题的策略思想是:首先试用直接证法,若一时不能成功,即可使用反证法.4．了解矛盾种类反证法推理过程中出现的矛盾种类是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾,可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾,可能与临时假设矛盾或推出一对相互矛盾的结果等.六、反证法的教学价值及建议关于反证法的教学,从早期就要向学生渗透这种思想,凡事不一定非常谨慎,只要学生能够明白、认可其中的原理即可.（一）反证法的教学价值1．训练逆向思维为了解决一个面临的数学问题,通常总是先从正面入手进行思考,即根据问题中的已知条件,搜索运用已掌握的数学知识去推理运算逐步由已知导出未知.若从正面入手繁琐或难度较大,不妨考虑问题的相反方面,往往会绝处逢生,开拓解题思路.这种逆向思维,在数学解题中有4种形式:正逆运算转化、条件,结论转化、互为反函数间的转化、以反证法解题,反证法的教学能摆脱学生的思维定势、简化运算过程,明晰解题思路,提高解题速度,促进创新思维.2．促进数学思维的形成数学思想方法是科学思维的方法和技术,是数学的精髓,它为揭示数学本质,提供了有力的思想武器.数学思想方法是动态思辩的,重在培养创造性、开拓性人才.新一轮课程教学改革强调创造性、生成性,得以形成数学文化、数学思维,如何去做是我们关注的.中国初等数学教育明显的好于西方,但到大学阶段的学生却缺少创造性,很难有所成就 ,更不必说获诺贝尔奖,这种情况早就应引起我们反思.我们的数学教学偏重于解题训练,题海战术,而启发性思维、理解、悟得思想方法的不多.因而形成学生成绩的两极分化,讨厌数学,甚至数学尖子生也远离数学,回想起数学来就心生畏惧.加强思想方法教学是数学的本质要求,是当下世界经济竞争的需要,也是提高全民族整体素质的重要举措,是社会发展的需要,更是提高数学质量的基本保证.而通过反证法的训练是培养数学思想方法的很好途径.欧几里得很喜欢运用的归谬法,它是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局时牺牲一子以取得全局的让子法,它还要高明.象棋奕者不外牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把全局拱手让给对方,这种先弃后取、欲擒故纵的策略实在是数学证明中极为有效的一种方法.3．培养思维严密性训练逻辑思维能力,反证法是典型的间接证法,也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题.在证明过程中的每一环节都要全面、不遗漏.比如否定原题结论反设后有几种情况,必须进行分类讨论一一加以否定.反证法与直接证法是密切联系的,二者相结合往往相辅相成,相得益彰.就全局而言是反证法,但从局部看,在作反设后的推理过程用的是直接证法.有时在基本直接证法的推理中,又会穿插一段反证法,以确定某些所需论据,反设时,必须注意弄清原题结论的反面,周密地列出与原题结论相悖的所有不同情况,再否定,不能有所遗漏.4．渗透数学史提高辩证思维的能力,反证法是一种重要的证明方法,无论在初等数学还是高等数学中,都有广泛的应用,数学中一些基本性质,重要定理甚至某些著名的数学难题,往往用反证法证得.举世闻名的费尔马大定理,这个多年前的数学难题被攻克,就是反证法的的功绩,欧几里得曾用它证明素数有无穷多个.因此反证法对训练学生辨证思维,提高哲学修养很有价值.（二）反证法的教学建议由于反证法的逻辑依据是逻辑学和集合论,比较复杂,所以书上没有给出其概念,从小学、初中、到高中都会用到,代数、几何都有使用,为此教学工作如下设想.1．多次反复,螺旋上升反证法的知识本身很难,学生多次学习都感到似懂非懂,下次见到又是生面孔,因此,不能期待一次完成,一蹴而就,要通过看书、示范例题、探索解题、回顾推敲、揭示内涵、思悟提高等慢慢地掌握 .2．精心研究,训练反设在反证法证明中准确了解掌握命题结构,列出其否定式是十分重要的.3．渗透数学思想方法,训练严密先由教师引导,将思想隐于分析过程中,再师生共同概括提炼,加以量化.然后由学生探索分析问题思想,以达到提高、升华.最后,力求使学生学会运用反证法思想武器指导思维活动,在高层次感受其威力.七、结束语反证法的应用是相当广泛的,在数学各个分支中都有体现,对于数学的创造发展也是极重要的工具之一.尽管其应用不如直接证法普遍,但它在数学命题的证明中能起到直接证法所起不到的作用,不少数学命题的证明当使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时,如能恰当地使用反证法,就可以化繁为简,化难为易,化不能为可能.当然,反证法不是万能的,一般地是在否定论题结论,得到矛盾论题后,显得比原论题更具体、更简明时适用反证法.反证法作为一种重要的间接论证方法,与直接证法的着眼点和理论依据等方面都不尽相同,构成反证法的智力动作与辩证思维密切相关,尤其是按照相反论点的结论进行推理的分析思维形式和综合法的逻辑过程,对于训练学生的思维能力是非常重要的.八、参考文献[1] 中国人民大学哲学系逻辑教研室.逻辑学[M].北京:中国人民大学出版社,1996,317.[2] Thompson,D.R.1996.Leanring and teaehing indireet Proof. MathematicsTeacher,89:474一482[3] 邹大海.刘徽的无限思想及其解释[J].自然科学史研究,1995,14(1):12-21[4]张禾瑞《高等代数》（第五版）[M].高等教育出版社[5]刘玉琏《数学分析》（第五版）[M].高等教育出版社[6] 伊夫斯H.数学史概论[M].欧阳绛译.太原:山西经济出版社,1986,285.[7] 周春荔.数学观与方法论[M].北京:首都师范大学出版社,1996.。
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高等数学结课论文之反证法
反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
反证法的原理：反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。
法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
反证法在数学中经常运用。
当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
反证法的逻辑原理：反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。
即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的
否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。
应用反证法的是：欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。
反证法的证明：反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：
某命题：若A则B，则此命题有4种情况：
1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；
3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
∴一个命题与其逆否命题同真假
即关于〉=〈的问题：
大于 -〉反义：小于或等于
都大于-〉反义：至少有一个不大于
小于 -〉反义：大于或等于
都小于-〉反义：至少有一个不小于
即反证法是正确的。
与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A
假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.
但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)
矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.
步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。
（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。
（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
反证法在简易逻辑中适用题型：
（1）唯一性命题
（2）否定性题
（3）“至多”，“至少”型命题
反正法的应用举例：两个反证法的范例：
证明1：素数有无穷多个。
这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：
假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1<a2<……<an.
此时，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N>ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。
这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！
证明2：根号二是无理数。
假设命题不真，则√2为有理数，设√2=n/m，即最简分数的形式。
则n∧2/m∧2=2，2m∧2=n∧2
所以n∧2为偶数，则n为偶数，可表示为2x
则2m∧2=4x∧2
所以m∧2=2x∧2
则m也为偶数
所以m和n有公因数2，与n/m为最简分数矛盾
所以√2为无理数！
这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。