反证法例题与练习
反证法练习题
反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在数学领域，反证法被广泛应用于各种定理的证明过程中。
下面我们来看一些反证法的练习题，以加深对这一证明方法的理解。
练习题1：证明根号2是一个无理数。
假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2=a/b，其中a和b互质。
我们可以将这个假设转化为等式2=a^2/b^2，进而得到2b^2=a^2。
根据整数的奇偶性质，我们可以知道a必须为偶数。
那么我们可以将a表示为a=2k，其中k为整数。
将这个结果代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2k)^2，即2b^2=4k^2。
进一步简化等式，得到b^2=2k^2。
同样地，根据整数的奇偶性质，我们可以知道b也必须为偶数。
然而，根据我们一开始的假设，a和b应该是互质的，不可能同时为偶数。
这与我们得到的结论相矛盾。
因此，我们可以得出结论，假设根号2是一个有理数是错误的，即根号2是一个无理数。
练习题2：证明任意两个正整数的最大公约数存在。
假设不存在任意两个正整数的最大公约数。
即对于任意两个正整数a和b，它们的最大公约数不存在。
根据这个假设，我们可以得出结论，a和b的最大公约数是1。
因为如果存在一个大于1的公约数，那么它就是最大公约数，与我们的假设相矛盾。
根据最大公约数的定义，最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整数。
既然最大公约数是1，那么1能够同时整除a和b，即a和b互质。
然而，我们知道存在无数个互质的正整数对，例如3和5，7和11等等。
这与我们的假设相矛盾，因为我们假设不存在任意两个正整数的最大公约数。
因此，我们可以得出结论，任意两个正整数的最大公约数是存在的。
通过以上两个练习题的分析，我们可以看到反证法在数学证明中的重要性。
通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，我们可以证明原命题的正确性。
反证法不仅仅在数学领域有应用，它也被广泛应用于其他领域的推理和证明过程中。
反证法解答题专项练习30题(有答案)ok
反证法解答题专项练习30题(有答案)ok反证法解答题专项练习30题（有答案）1．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．2．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．3．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A _________ 60°，∠B _________ 60°，∠C _________ 60°，则∠A+∠B+∠C＞_________ ．这与_________ 相矛盾．∴_________ 不成立．∴_________ ．4．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1_________ l2证明：假设l1_________ l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P _________ 180°_________所以∠1+∠2 _________ 180°，这与_________ 矛盾，故_________ 不成立．所以_________ ．5．完形填空：已知：如图，直线a、b被c所截；∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b．证明：假设_________ ，则_________ ，（两直线平行，同位角相等）这与_________ 相矛盾，所以_________ 不成立，故a不平行b．6．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法）7．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．8．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0．9．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）10．证明已知△ABC中不能有两个钝角．11．举反例说明下列命题是假命题．（1）一个角的补角大于这个角；（2）已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．12．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．13．用反例证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题．14．用反证法证明：在同一平面内，a，b，c互不重合，若a∥b，b∥c，则a∥c．15．已知直线a，b，c，且a∥b，c与a相交，求证：c与b也相交．16．用反证法证明：（1）已知：a＜|a|，求证：a必为负数．（2）求证：形如4n+3的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．17．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．18．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．19．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．20．在线段AB上依次取C、D、E三点，将AB分为四段，试说明至少有一段不小于AB，同时，至少有一段不大于AB．21．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．22．已知a，b，c，d四个数满足a+b=1，c+d=1，ac+bd＞1．求证：这四个数中至少有一个是负数．23．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ac，z=c2﹣ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．24．用反证法证明：一条线段只有一个中点．25．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB和AC上，求证：CD、BE不可能互相平分．26．能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例．如果不能，请简述理由．27．将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．28．已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．29．已知：△ABC的三个外角为∠1，∠2，∠3．求证：∠1，∠2，∠3中至多有一个锐角．30．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论．参考答案：1．证明：假设一个三角形中有3个内角大于60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°；∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，故在△ABC中至多有两个角大于或等于60°2．解：令b=4，c=5可以证明命题①不正确．若b=1，c=，可以证明命题③不正确．命题②正确，证明如下由c＞1，且0＜b＜2，得0＜＜1＜c．则c ＞＞，c ＞＞0故a2+ab+c=+（c ﹣）＞03．解：证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和为180°相矛盾．则假设不成立．则求证的命题正确．故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确4．证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l25．证明：假设a∥b，∴∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等．），与已知∠1≠∠2相矛盾，∴假设不成立，∴a不平行b6．证明：假设AB=AC，则，∠B=∠C，与已知矛盾，所以AB≠AC 假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角8．证明：假设如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a≠0且b≠0，∵a≠0，b≠0，∴a2＞0，b2＞0，∴a2+b2＞0，∴与a2+b2=0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确9．证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC10．证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°；所以∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾；所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角11．解：（1）如果设∠A=100°，那么∠A的补角=80°＜100°，所以命题：“一个角的补角大于这个角”是假∵a⊥b，∴∠1=90°，∵b⊥c，∴∠2=90°，∴∠1=∠2，∴a∥c．故命题：“已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c”是假命题12．证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC，∠PBC=∠PCB；又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB；∴∠ABP=∠ACP；∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC13．解：设一个锐角为30°，一个钝角为200°；则它们的度数和为230°≠180°，因此不是平角；故原命题是假命题14．解：假设a∥c不成立，则a，c一定相交，假设交点是P；则过点P，与已知直线b平行的直线有两条：a、c；与经过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾；因而假设错误．故a∥c15．证明：假设c∥b；∵a∥b，∴c∥a，这与c和a相交相矛盾，假设不成立；所以c与b也相交16．证明：（1）假设a≥0，则|a|=a，这与已知|a|＞a 相矛盾，因此假设不成立，所以a必为负数；（2）假设4n+3的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为α，β，则4n+3=α2+β2，因为（n+2）2+（﹣n2﹣1）≠α2+β2，所以假设不成立，故4n+3的整数k不能化为两个整数的平方和17．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角18．已知：AB=A′B′，BC=B′C′，∠B≠∠B′，求证：AC≠A′C′．证明：假设AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），∴∠B=∠B′，∴与已知，∠B≠∠B′矛盾，则假设不成立，∴AC≠A′C′．19．证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分20．解：假设每一段都小于AB，则四段之和小于AB，这与已知四段之和等于AB相矛盾，假设错误，所以至少有一段不小于AB ，同时，至少有一段不大于AB21．解：假设点M不在线段CD上不成立，则点M在线段CD上．延长AM到N，使AM=MN，连接BN；在△AMC和△NMB中，BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；∴BN＞AB，即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．因而M在线段CD上是错误的．所以点M不在线段CD上22．证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1．∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．这与ac+bd＞1矛盾．所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数23．证明：假设x，y，z都小于0，∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＜0，∴这与（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0矛盾，故假设不成立，∴x，y，z中至少有一个大于零24．已知：一条线段AB，M为AB的中点．求证：线段AB只有一个中点M．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又因为AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M25．证明：假设CD、BE可以互相平分．则连接DE．则四边形BCED是平行四边形．∴BD∥CE与△ABC相矛盾所以：CD、BE不可能互相平分26．解：不能．理由：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排则a1+a2+a3=29，a2+a3+a4=29，a3+a4+a5=29，a4+a5+a6=29，a5+a6+a7=29，a6+a7+a1=29，a7+a1+a2=29．将上述7式相加，得3×（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）=29×7．所以，与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!所以不存在满足题设要求的7个整数27．解：假设所有相邻的三个数，它们的和都小于33，则它们的和小于等于32．∴这21个数的和的最大值小于等于：32×21÷3=224，但是实际上，1+2+3+…+21=（1+21）×21÷2=231＞224，所以假设不成立，则命题得证，∴将自然数1，2，3…21这21个数，任意地放在一个圆周上，其中一定有相邻的三个数，它们的和大于等于3328．证明：用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：（1）a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a，3不整除b．令a=3m，b=3n±1（m，n都是整数），于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3（3m2+3n2±2n）+1，不是3的倍数，矛盾；（2）a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2+b2=（3m±1）2+（3n±1）2，=9m2±6m+1+9n2±6n+1=3（3m2+3n2±2m±2n）+2，不能被3整除，矛盾；同理分别设a=3m±2，b=3n±1或a=3m，b=3n±2，或a=3m±2，b=3n±2，代入a2+b2会得到相同的结论．由此可知，a，b都是3的倍数29．证明：因为三角形的每一个外角都与相邻的内角互补，因为当相邻的内角是钝角时，这个外角才是锐角，又因为三角形中最多只有一个内角是钝角，所以三角形的三个外角中最多只有一个锐角30．证明：能．（1）如图a，若四点A，B，C，D构成凸四边形．则必有一个内角≤90°．不妨设为∠A．这是因为，假设四个内角都大于90°，则360°=∠A+∠B+∠C+∠D＞4×90°=360°．矛盾．则∠BAC+∠CAD≤90°．则∠BAC与∠CAD 中必有一个≤×90°=45°．故结论成立．（2）如图b．若四点A，B，C，D构成四边形．则△ABC 中必有一个内角≤×180°=60°．不防设∠A≤60°．又∠A=∠BAD+∠CAD≤60°．则∠BAD与∠CAD值中必有一个≤×60°＜45°．故结论成立。
反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)
反证法证明题例1. 已知∠A ，∠B ，∠C 为∆ABC 内角.求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60o.证明：假设∆ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 都小于60o，即∠A <60o，∠B <60o，∠C <60o，所以∠A +∠B +∠C < 180O，与三角形内角和等于180o矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例2. 已知a ≠ 0 ，证明x 的方程ax =b 有且只有一个根.证明：由于a ≠ 0 ，因此方程ax =b 至少有一个根x =b .a 假设方程ax =b 至少存在两个根，不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 ，则ax1=b, ax2=b ，所以ax1=ax2，所以a(x1-x2 ) = 0 .因为x1 ≠x2 ，所以x1 -x2 ≠ 0 ，所以a = 0 ，与已知a ≠ 0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 .证明：假设a +b > 2 ，则有a > 2 -b ，所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3，所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 .因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2所以a3+b3> 2 ，与已知a3+b3= 2 矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例4. 设{a n}是公比为的等比数列，S n为它的前n 项和.求证：{S n}不是等比数列.证明：假设是{S }等比数列，则S 2=S ⋅S ，n 2 1 32 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ⋅ a (1+ q + q 2 ) .因为等比数列 a 1 ≠ 0 ，所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ，与等比数列 q ≠ 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例 5. 证明 是无理数.m 证明：假设 是有理数，则存在互为质数的整数 m ，n 使得 =.n所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 ，所以 m 2 为偶数，所以m 为偶数.所以设 m = 2k (k ∈ N *) ，从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 .所以n 2 也为偶数，所以 n 为偶数. 与 m ，n 互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证 是无理数成立.例 6. 已知直线 a , b 和平面，如果 a ⊄, b ⊂，且 a / /b ，求证a / /。
不等式反证法经典例题
不等式反证法经典例题
一、知识要点：
（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：
1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：
题型一：不等式的概念和表达。
反证法练习题
反证法练习题反证法（reductio ad absurdum），又称间接证明法，是一种常用于数学和逻辑学中的推理方法。
它通过假设待证明的命题为假，推导出一个与已知事实或公理相矛盾的结论，从而证明假设的命题必然为真。
以下是一些反证法的练习题，帮助读者更好地理解和应用反证法。
<段落1>假设存在一个无理数 a 和一个有理数 b，满足 a^b 为有理数，为了证明这个命题是错误的，我们可以采用反证法。
首先，我们假设 a^b为有理数，那么它可以被表示为 p/q 的形式，其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。
因此，我们可以得到 a^b = p/q。
<段落2>现在，我们将无理数 a 表示为 a = c^d 的形式，其中 c 和 d 是整数。
代入到 a^b = p/q 中，得到 (c^d)^b = p/q。
根据指数运算的法则，我们可以进一步推导出 c^(d*b) = p/q。
<段落3>根据我们的假设，c、d 和 b 都是整数，因此 d*b 也是整数。
这说明c 的幂次方 c^(d*b) 为有理数。
然而，这与无理数 a 的定义相矛盾。
因此，我们的假设是错误的，即不存在这样的无理数 a 和有理数 b，使得a^b 为有理数。
<段落4>通过反证法，我们证明了 a^b 为有理数这个命题是错误的。
这个例子展示了反证法在数学推理中的应用。
通过假设命题的反面，我们可以推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明假设的命题是错误的。
<段落5>在实际应用中，反证法也被广泛运用在逻辑推理和证明中。
例如，在证明某个命题的充分条件时，可以采用反证法。
假设符合充分条件的命题为假，通过推导出与已知条件相矛盾的结论，我们可以证明这个命题的充分条件必然为真。
<段落6>总结起来，反证法是一种重要的推理方法，它通过推导出与已知事实或公理相矛盾的结论，来证明假设的命题是错误的。
通过练习反证法，我们可以提高逻辑思维能力和证明技巧，使我们在数学和逻辑推理中更加娴熟地运用这一方法。
初三反证法练习题
初三反证法练习题反证法是数学中常用的一种证明方法，通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。
下面是一些初三反证法练习题，通过解答这些题目，可以帮助同学们更好地理解和掌握反证法。
1. 证明：不存在最大的有理数。
假设存在一个最大的有理数，记为M。
根据有理数的性质，我们可以找到一个比M大的有理数N，即N=M+1。
显然，N>M，这与M是最大的有理数相矛盾。
因此，不存在最大的有理数。
2. 证明：根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即可以表示为两个互质的整数p和q的比值，即根号2=p/q。
我们可以进一步假设p和q没有公因数，否则可以约分。
将等式两边平方得到2=p^2/q^2，整理得到p^2=2q^2。
这说明p^2是2的倍数，根据整数分解定理，p也是2的倍数。
设p=2k，代入等式得到(2k)^2=2q^2，整理得到2k^2=q^2。
这说明q^2是2的倍数，因此q也是2的倍数。
这与p和q没有公因数相矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。
3. 证明：不存在无限递增的整数序列。
假设存在一个无限递增的整数序列a1, a2, a3, ...。
我们可以取相邻的两个数ai和ai+1，如果ai>=ai+1，那么这个序列不是无限递增的；如果ai<ai+1，那么我们可以找到一个大于ai+1的整数，记为N，这与序列无限递增相矛盾。
因此，不存在无限递增的整数序列。
4. 证明：存在无限个素数。
假设只有有限个素数，记为p1, p2, p3, ..., pn。
我们考虑数N=p1*p2*p3*...*pn+1，显然N大于任意一个素数pi。
根据素数的定义，N只能是合数，即可被p1, p2, p3, ..., pn中的至少一个素数整除。
但是，N除以任意一个素数pi的余数都不为0，这与N是合数相矛盾。
因此，假设不成立，存在无限个素数。
通过这些反证法练习题的解答，我们可以看到反证法在数学证明中的重要作用。
通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。
《反证法》练习题
A 9．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( ) A．一个三角形中至少有两个钝角 B．一个三角形中至多有两个钝角 C．一个三角形中至少有一个钝角 D．一个三角形中没有钝角
10．试证明命题“两直线相交有且只有一个交点”．并将下列过程补充完 整：
已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P. 证明：假设a，b相交时___不__止__一__个__交__点__P___， 不妨设其他交点中有一个为P′，则点P和点P′既在直线a上又在直线b上，那 么经过P和P′的直线__________，这与___________________相矛盾，因此假 设不成立，所以两条直线相就交有只两有条一个交点．两点确定一条直线
7．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那 么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.
求证：假设l1__不__平__行___l2，即l1与l2相交于一点P，
则∠1＋∠2＋∠P＝____，所以∠1＋∠2____180°， 这与______________1_8_0_°____矛盾，故假设＜不成立，所以____．
11．试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 举例：如果ab＜0，那么a＋b＜0. 反例：设a＝4，b＝－3，ab＝4×(－3)＝－12＜0，而a＋b＝4＋(－3)＝1＞0. 所以，这个命题是假命题． (1)如果a＋b＞0，那么ab＞0； (2)如果a是无理数，b是无理数，那么a＋b是无理数； (3)两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．
第四章 平行四边形
4.6 反证法希伯索斯 发现了无理数 2，导致了第一次数学危机， 2是无理数的证明如下：
假设 2是有理数，那么它可以表示成qp(p 与 q 是互质的两个正整数)．
小学数学反证法经典例题
小学数学反证法经典例题
张明和李强是同一个班上的同学，放学后两人走在大街上路过一家餐馆，发现这家餐馆没有几个客人，张明说：“这家餐馆做的饭不好吃”，李强问：“为什么？”，张明回答：“假设这家餐馆做的饭好吃，那么生意一定很好。
也就是客人很多，但现在这家餐馆的客人稀少，所以假设不成立，也即这家餐馆做的饭不好吃是正确的”。
从数学上看，上面就是应用了反证法。
用反证法证明命题实际上是这样的一个思维过程：假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是与已知条件相矛盾，与定理或公理相矛盾的方式暴露出来的。
这个毛病是怎样造成的呢？推理没有错误，已知条件没有错误，定理或公理没有错误，唯一有错误的就是假设“结论不成立”错误。
“结论成立”与“结论不成立”必然有一个正确。
既然“结论不成立”错误，那么结论成立一定是正确的。
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• 6．命题“任意多面体的面至少有一个是 三角形或四边形或五边形”的结论的否 定是________．
[答案] 没有一个是三角形或四边形 或五边形
• 7．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可 被5整除，那么a，b中至少有一个能被5 整除”，那么反设的内容是 ________________．
[答案] a，b都不能被5整除
例2
证明：假设a与b不平行，则 可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直 线a、b与直线c平行，这与 “过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行矛盾, 假设不成立。 ∴a//b.
a b c A
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
例3
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
一、复习引入
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有 何关系？为解析： 由∠C=90°可知是直角 三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有 以下几种情况：①全是奇数；②有两个 奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个 偶数；④三个偶数．因为要否定②，所 以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数” 故应选B.
• 3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a， b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确 的是( ) • A．假设a，b，c都是偶数 • B．假设a、b，c都不是偶数 • C．假设a，b，c至多有一个偶数 • D．假设a，b，c至多有两个偶数
D
C
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC 证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立. ∴PB≠PC
问题：
A
b
C
c
a
B
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾。假设不成立，从而说明原结论 a2 +b2 ≠ c2 成立。
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结 论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定 理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证 明方法叫做反证法。
[解析] “至少有一个”反设词应为 “没有一个”，也就是说本题应假设 为a，b，c都不是偶数
• 4．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论的否定应该是( ) • A．a<b • B．a≤b • C．a＝b • D ．a ≥ b [解析] “a>b”的否定应为“a＝b或 a<b”，即a≤b.故应选B.
点拨：至少的反面是没有！
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
• 8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能 有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： • ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°， 这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝ ∠B＝90°不成立； • ②所以一个三角形中不能有两个直角； • ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不 妨设∠A＝∠B＝90°. [答案] ③①② • 正确顺序的序号排列为____________ ．
A
P
C
• 1．否定结论“至多有两个解”的说法中， 正确的是( ) • A．有一个解 • B．有两个解 • C．至少有三个解 • D．至少有两个解 [解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定 是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个 解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
• 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数” 时的正确反设为( ) • A．a、b、c都是奇数 • B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 • C．a、b、c都是偶数 • D．a、b、c中至少有两个偶数
４、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不 相等，那么这个梯形不是等腰梯形。
A B
已知：在梯形ABCD中，AB//CD， ∠C≠∠D 求证：梯形ABCD不是等腰梯形. 证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 ∴∠C=∠D（等腰梯形同一底 上的两内角相等） 这与已知条件∠C≠∠D矛盾, 假设不成立。 ∴梯形ABCD不是等腰梯形.
[解析] 由反证法证明的步骤知，先 反证即③，再推出矛盾即①，最后作 出判断，肯定结论即②，即顺序应为 ③①②.
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
B C
≠∠
C
A
假设不成立． ∴ ∠B ≠ ∠ C ．
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
已知：如图有a、b、c三条直线， 且a//c,b//c. 求证：a//b
• 5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一 位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获 奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖 了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两 句是对的，则获奖的歌手是( ) • A．甲 • B．乙 • C．丙 • D．丁
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个 说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙 说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也 对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、 丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.