2015届高考数学(二轮复习)专题检测：与直线和圆有关的最值问题

32 与直线和圆有关的最值问题
1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________． 答案 3 2
解析 依题意知，AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：
x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|
2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，
即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，
得M 到原点的距离的最小值为|－6|
2
＝3 2.
2．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝1上的动点，则
MN 的最小值是________．
答案 45
解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝
|－3－4－2|
5
＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 3．已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________． 答案 3
解析 如图所示，圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1， 圆心为C (1,1)，半径为r ＝1. 根据对称性可知四边形PACB 面积等于
2S △APC ＝2×1
2PA ·r ＝PA ，
故PA 最小时，四边形PACB 的面积最小， 由于PA ＝PC 2
－1，
故PC 最小时，PA 最小，
此时，直线CP 垂直于直线l ：3x －4y ＋11＝0， 故PC 的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0
的距离d ＝|3－4＋11|32＋42
＝10
5＝2， 所以PA ＝PC 2
－1＝22
－1＝ 3. 故四边形PACB 面积的最小值为 3.
4．(2013·江西改编)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2
相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．
答案 －3
3
解析 ∵S △AOB ＝1
2
OA ·OB ·sin∠AOB
＝12sin ∠AOB ≤12
. 当∠AOB ＝π
2时，S △AOB 面积最大．
此时O 到AB 的距离d ＝
22
. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.
由d ＝|2k |k 2＋1＝22
，得k ＝－33.
5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2
＋y 2
≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________． 答案 x ＋y －2＝0
解析 由题意知，当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件． 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1， 所以直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.
6．已知Ω＝⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(x ，y )⎪⎪⎪
⎩⎨⎧ y ≥0，y ≤4－x 2
，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为
P (M )，若P (M )∈⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π－22π，1，则实数m 的取值范围是________．
答案 [0,1]
解析 画出图形，不难发现直线恒过定点(－2,0)，圆是上半圆， 直线过(－2,0)，(0,2)时，向区域Ω上随机投一点A ， 点A 落在区域M 内的概率为P (M )，
此时P (M )＝π－2
2π，
当直线与x 轴重合时，P (M )＝1， 故直线的斜率范围是[0,1]．
7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2
＋y 2
－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．
答案 43
解析 可转化为圆C 的圆心到直线y ＝kx －2的距离不大于2. 圆C 的标准方程为(x －4)2
＋y 2
＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1
≤2.
整理，得3k 2
－4k ≤0，解得0≤k ≤43
.
故k 的最大值是4
3
.
8．直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若四边形PACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________． 答案 ±2
解析 易知圆的半径为1，因为四边形PACB 的最小面积是2，此时切线段长为2，圆心(0,1)
到直线y ＝kx －4的距离为5，即5
1＋k 2
＝5，解得k ＝±2. 9．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．
答案 π
解析 ∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，
∴ab ＋ab ＝1.∴ab ＝1
2.
又OA ＝a 2
＋b 2
，
∴以O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为
S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，
∴面积的最小值为π.
10．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2
＋y 2
＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是________________________________________________________________________． 答案 (x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2
解析 易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y －4＝0的距离减去圆A 的半径，即
2r ＝6
2－2＝22⇒r ＝2，
即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2，
故有|2c －4|2
＝2⇒c ＝3或c ＝1，
结合图形当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.
11．已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2
＋y 2
＝1上任意一点．
(1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；
(2)求y －2x －1
的最大值和最小值．
解 (1)圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋4
2
＝6
5. 所以点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝11
5
，
最小值为d －r ＝65－1＝1
5.
(2)设k ＝y －2
x －1，
则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2
＋y 2
＝1有公共点， ∴|－3k ＋2|k 2
＋1≤1，∴3－34≤k ≤3＋34， ∴k max ＝3＋34，k min ＝3－3
4
.
即
y －2x －1的最大值为3＋34，最小值为3－3
4
. 12．(2014·苏州模拟)已知圆M 的方程为x 2
＋y 2
－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆
O 与圆M 相切．
(1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．
解 (1)圆M 的方程可整理为(x －1)2
＋(y －1)2
＝8， 故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2. 圆O 的圆心为O (0,0)， 因为MO ＝2<22，
所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M . 设圆O 的半径为r ， 因为圆O 内切于圆M ， 所以MO ＝R －r ， 即2＝22－r ， 解得r ＝ 2.
所以圆O 的方程为x 2
＋y 2
＝2. (2)不妨设E (m,0)，F (n,0)，且m <n . 故E (－2，0)，F (2，0)．
设D (x ，y )，由DE ，DO ，DF 成等比数列， 得DE ×DF ＝DO 2
，
即(x ＋2)2
＋y 2
×(x －2)2
＋y 2
＝x 2
＋y 2
， 整理得x 2
－y 2＝1.
而DE →＝(－2－x ，－y )，DF →
＝(2－x ，－y )， 所以DE →·DF →
＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y ) ＝x 2
＋y 2
－2＝2y 2
－1.
由于点D 在圆O 内，故有⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
<2，
x 2－y 2
＝1，得y 2<1
2
，
所以－1≤2y 2
－1<0，
即DE →·DF →
∈[－1,0)．。