新2014年北师大版八年级数学反证法例题与练习
八年级反比例+反证法
八年级反比例+反证法1、用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（）．A、至少有两个角是直角B、没有直角C、至少有一个角是直角D、有一个角是钝角，一个角是直角2、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B ，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A、逐渐增大B、不变C、逐渐减小D、先增大后减小3、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A、a∥bB、a与b垂直C、a与b不一定平行D、a与b相交5、下列说法正确的是（）A、等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B、面积相等的两个三角形一定全等C、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”D、反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小8、选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（）A、∠A＞45°，∠B＞45°B、∠A≥45°，∠B≥45°C、∠A＜45°，∠B＜45°D、∠A≤45°，∠B≤45°9、用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设（）A、四边形中没有一个角是钝角或直角B、四边形中至多有一个钝角或直角C、四边形中没有一个角是锐角D、四边形中没有一个角是钝角10、（2015•桂林）如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是 ________．11、用反证法证明“三角形内不可能有两个钝角”时，第一步应假设：________12、（2015•玉林）已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．(1)当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；(2)在1的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．13、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】反证法【解析】【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．【解答】用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1)假设结论不成立；（2)从假设出发推出矛盾；（3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．2、【答案】C【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】解答：设点P的坐标为（x ，），∵PB⊥y轴于点B ，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积= （PB+AO）•BO= （x+AO）• = + ，∵AO是定值，∴点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．分析：由双曲线（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式进行判定．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式是解题的关键．3、【答案】D【考点】反证法【解析】【解答】解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．故选：D．【分析】根据反证法的步骤，直接得出即可．4、【答案】B【考点】反证法【解析】【解答】解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．故选：B．【分析】根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．5、【答案】C【考点】反证法【解析】【解答】解：A、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线、高线互相重合，故此选项错误；B、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；C、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”，此选项正确；D、反比例函数y=中，每个象限内，函数值y随自变量x的增大一定而减小，故此选项错误；故选：C．【分析】分别根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的证明第一步以及反比例函数的增减性得出即可．6、【答案】C【考点】反证法【解析】【解答】解：在证明“在△ABC中至少有一个直角或钝角”时，应先假设：三角形中没有直角或钝角．故选：C．【分析】熟记反证法的步骤，直接选择得出即可．7、【答案】A【考点】反证法【解析】【解答】解：一个角大于或等于60°的反面是：小于60°．故应假设：三角形的每个角都小于60°．故选A．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．8、【答案】A【考点】反证法【解析】【解答】解：用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A＞45°，∠B＞45°．故选：A．【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．9、【答案】A【考点】反证法【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：A．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．二、填空题10、【答案】9【考点】反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），∴点B的坐标为：（5，4），把点A（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，∴反比例函数的解析式为：y=；设直线BC的解析式为：y=kx+b，把点B（5，4），C（3，0）代入得：，解得：k=2，b=﹣6，∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，解方程组得：，或（不合题意，舍去），∴点D的坐标为：（4，2），即D为BC的中点，∴△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣×3×4=9；故答案为：9．【分析】先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．11、【答案】假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角【考点】反证法【解析】【解答】解：用反证法证明命题“三角形内不可能有两个钝角”时，应假设“假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角”．故答案为：假设一个三角形的三个内角中有两个角是钝角．【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．三、综合题12、【答案】（1）【解答】解：把A（4，2）代入，得k=4×2=8．∴反比例函数的解析式为．解方程组，得或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y=mx则有4m=2，解得m=，∴直线AP的解析式为y=x，解方程组，得或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴．∵，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即b=a．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=a（﹣2×a+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×a+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．设直线BC的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线BC的解析式为y=2x+2．当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD•CT+OD•BS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的应用，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP 与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到=，即b=a．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把b=a代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB，问题得以解决．四、解答题13、【答案】①设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1y1=x2y2=1，∵S△ODB=×BD×OD=x2y2=，S△OCA=×OC×AC=x1y1=，故①正确；②由已知，得P（x1，y2），∵P点在的图象上，=OC×PD=x1y2=k，∴S矩形OCPD∴S=S矩形OCPD﹣S△ODB﹣S△OCA=k﹣﹣=k﹣1，故②正确；四边形PAOB③由已知得x1y2=k，即x1•=k，∴x1=kx2，根据题意，得PA=y2﹣y1=﹣=，PB=x1﹣x2，=（k﹣1）x2，故③错误；④当点A是PC的中点时，y2=2y1，代入x1y2=k中，得2x1y1=k，∴k=2，代入x1=kx2中，得x1=2x2，故④正确．故本题答案为：①②④．【考点】反比例函数的性质，三角形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】本题考查了反比例函数性质的综合运用，涉及点的坐标转化，相等长度的表示方法，三角形、四边形面积的计算，充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k．设A（x1，y1），B（x2，y2），而A、B两点都在的图象上，故有x1y1=x2y2=1，而S△ODB=×BD×OD=x2y2=，S△OCA=×OC×AC=x1y1=，故①正确；由A、B两点坐标可知P（x1，y2），P点在的图象上，故S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k，根据S四边形PAOB=S﹣S△ODB﹣S△OCA，计算结果，故②正确；矩形OCPD由已知得x1y2=k，即x1•=k，即x1=kx2，由A、B、P三点坐标可知PA=y2﹣y1=﹣=，PB=x1﹣x2，=（k﹣1）x2，故③错误；当点A是PC的中点时，y2=2y1，代入x1y2=k中，得2x1y1=k，故k=2，代入x1=kx2中，得x1=2x2，可知④正确．。
八年级数学下册第一章 第3课时等腰三角形的判定与反证法作业课件新版北师大版
EF∥AC交AB于点F，则( B )
• A．AF＝2BF • C．AF＞BF
B．AF＝BF D．AF＜ห้องสมุดไป่ตู้F
12．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条 直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是____②__ .(填序号)
13．求证：角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．
∴BE＝AE＝2a， ∴S△ABE＝12AE·BE＝12·2a·2a＝2a2， S△BCE＝12CE·BE＝12·2a·2a＝2a2， S△BHG＝12HG·BE＝12·(a＋a)·2a＝2a2， 综上所述，面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD，△ABE，△BCE，△BHG.
于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
9．用反证法证明：如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线与BC的延长线交 于点E.求证：AB≠AC.
证明：假设AB＝AC.
• ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. • ∵AE平分∠DAC， • ∴∠DAC＝2∠DAE＝2∠CAE， • ∵∠DAC＝∠B＋∠ACB，∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.这与∠BAC的外角平分
• A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC 交AB于点M，交AC于点N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为( D )
• A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC的中点，AB＝5，BC＝6，则AD＝
助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积 都等于△ADE面积的2倍． •
解：(1)证明：∵∠BGE＝∠ADE，∠BGE＝∠CGF，
14.1.3 反证法(八年级数学)
课堂总结
概念
反证法
证明步骤
反证法证明的思路：假设命题不成 立→正确的推理,得出矛盾→肯定待 定命题的结论
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词
等于 是
不等于 不是
都是 大于 小于
不都是 不大于 不小于
对所有x成 存在某个x
立
不成立
原词语
任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
对任何x 不成立
否定词 某个 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外， 还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， 即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ， ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°， 这与 三角形的内角和为180° 矛盾．假设不成立．
【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.
数学北师大版选修2-2同步练习 第一章§3反证法 含解析
高手支招6体验成功基础巩固1.否定“自然数a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为( )A.a、b、c都是奇数B.a、b、c都是偶数C.a、b、c中至少有两个偶数D.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数答案：D思路分析：自然数a、b、c中奇数、偶数的可能情况有全为奇数,恰有一个偶数,恰有两个偶数,全为偶数.2.用反证法证明命题中,得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( )①命题已知②数学定义③定理、公理④推理、演算的规律A.①B.①③C.②D.①②③④答案：D思路分析：①②③④全是矛盾可能产生的原因.3.用反证法证明命题“2+3是无理数”时,假设正确的是( )A.假设2是有理数Ｂ.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2+3是有理数答案：D思路分析：根据反证法的基本步骤加以判断.4.已知a≠0,求证：关于x的方程ax=b有且只有一个根.答案：证明：假设方程ax=b(a≠0)至少存在一个实根不妨设其中的实根分别为x1,x2,且x1≠x2则ax1=b,ax2=b,ax1=ax2,ax1-ax2=0，∴a(x1-x2)=0.又∵x1≠x2,x1-x2≠0,所以a=0,这与已知a≠0矛盾,故假设不成立,原命题成立.思路分析：证明有且只有的问题,可考虑使用反证法加以证明.5.证明:1,3,2不能为同一等差数列的三项.答案：证明：假设1,3,2是某等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=3-md,2=3+nd,(m,n为两正整数).由上面两式消去d得n+2m=(n+m) 3.因为n+2m为有理数,而(n+m)3为无理数,所以n+2m≠(n+m) 3.因此假设不成立.∴1,3,2不能为同一等差数列的三项.思路分析：通过分析可知,直接证比较困难,所以采用反证法.综合应用6.假设p、q都是奇数,求证:关于x的方程x2＋px＋q＝0无整数根.答案：证明:假设方程有整数根α,无论α是奇数还是偶数,都必有α2＋pα＋q为奇数,这与α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.思路分析：此题中含有否定词“无”,可考虑用反证法.7.如图所示,已知直线a与b不共面,直线c∩a=M,直线b∩c=N,又a∩平面α=A,b∩平面α=B,c∩平面α=C,求证:A 、B 、C 三点不共线.答案：证明:假设A 、B 、C 三点共线于直线l,∵A 、B 、C ∈α,∴l ⊂α.∵c∩l=C,∴c 与l 可确定一个平面β.∵c∩a=M,∴M ∈β,又A ∈l,∴a ⊂β,同理b ⊂β,∴直线a 与b 共面.这与已知矛盾.∴A 、B 、C 三点不共线.思路分析：此题属于否定形式的命题,所以应采用反证法，利用平面知识易证.8.已知函数f(x)=12+-+x x a x (a ＞1).证明方程f(x)=0没有负数根. 答案：证明:设存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,则a x0=1200+--x x , ∵0＜a x0＜1,∴0＜1200+--x x ＜1, 即21＜x 0＜2,与假设x 0＜0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根. 思路分析：应根据题目的特征和要求选择证明方法,本题用反证法入手较为容易,先假定存在x 0＜0(x 0≠-1)满足f(x 0)=0,然后推得结果与假设x 0＜0矛盾.9.若0＜x,y,z ＜2,求证:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.答案：证法一:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1均成立.则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1①由于0＜x ＜2,∴0＜x(2-x)=-x 2+2x=-(x-1)2+1≤1.同理:0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1.∴三式相乘得:0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1.②②与①矛盾,故假设不成立.∴x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.证法二:假设x(2-y)＞1,且y(2-z)＞1,且z(2-x)＞1. ∴)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -＞3.③ 而)2(y x -+)2(z y -+)2(x z -≤2)2(2)2(2)2(x z z y y x -++-++-+=3.④ ④与③矛盾,故假设不成立.∴原题设结论成立.思路分析：“不都大于1”即等价于“至少有1个小于或等于1”,由于涉及三个式子,它们出现的情况有很多类,此类问题常用的方法是考虑问题的反面,即“不都”的反面为“都”,可用反证法来处理.。
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
【数学八年级下】北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明 等腰三角形的判定及反证法练习题
等腰三角形的判定及反证法等腰三角形的判定1、下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是()A.∠A=30°,∠B=60°B.AB=5，AC=12，BC=13C.∠A=50°,∠B=80°D.∠A:∠B:∠C=3:4:52、如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（）A.0个B.1个C.2个D.3个4、在一次夏令营活动中，小明同学从营地5、如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC6、如图,△ABC 中,AD 平分∠BAC,EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明。
7、如图,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证：△BDE 是等腰三角形。
反证法8、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中()A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°9、用反证法证明命题：“设实数a、b、c 满足1=++c b a ，则a、b、c 中至少有一个数不小于31”时，第一步应写：假设____。
10、用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角。
练习1、如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点。
已知A.B 是两格点,如果C 也是图中的格点,且使得△ABC 为等腰三角形,则点C 的个数是()A.6个B.7个C.8个D.9个2、如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC;④OE=OD.从上述四个条件中,选取两个条件,不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.①②B.①③C.③④D.②③3、如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D.E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长为()A.9B.5C.17D.204、如图,∠AOB=60°,C是BO延长线上的一点,OC=10cm,动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动,动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动,如果点P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间，当t=___时，△POQ 是等腰三角形。
数学北师大版选修2-2教材基础 第一章§3反证法 含答案
§3 反证法反证法是一种间接证明的方法,它是通过证明原命题的否定的真实性来确立原论题的真实性的证明方法,在应用反证法证明问题的过程中以找它的逆否命题然后推出矛盾为根本.本节内容就开始学习反证法.高手支招1细品教材1.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法.反证法就是一种常用的间接证明方法.2.反证法(1)概念:假定命题结论的反面成立.在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这样的证明方法叫做反证法(有时也叫归谬法).(2)形式:由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t,t与假设或与某个真命题矛盾,⌝q为假,推出q为真.状元笔记反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示为:3.反证法的证题步骤包括以下三个步骤:(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;(2)逐步推理,导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;(3)否定假设,肯定结论(存真)——由矛盾结果,断定假设不真,从而肯定原结论成立.【示例】p＞0,q＞0,p3＋q3＝2.试用反证法证明:p＋q≤2.思路分析：此题直接由条件推证p＋q≤2是较困难的,由此用反证法证之.证明：假设p＋q＞2,∵p＞0,q＞0,∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＞8.又∵p3＋q3＝2,代入上式得:3pq(p＋q)＞6,即pq(p＋q)＞2.①又由p3＋q3＝2,得(p＋q)(p2-pq＋q2)＝2.②由①②得pq(p＋q)＞(p＋q)(p2-pq＋q2),∵p＋q＞0.∴pq＞p2-pq＋q2⇒p2-2pq＋q2＜0⇒(p-q)2＜0.但这与(p-q)2≥0相矛盾.∴假设p＋q＞2不成立.故p＋q≤2.状元笔记归谬矛盾的几种情况:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾;(4)与客观事实矛盾.4.反证法的适用情况(1)结论以否定形式出现;(2)结论以“至多……”“至少……”形式出现;(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反面是比原结论更具体，更容易研究的命题.高手支招2基础整理本节的内容主要讲述了反证法的概念、形式及其证明步骤.反证法作为间接证明的一种重要形式,为证明题的解决开辟了一条重要途径,提供了便利.本节的知识结构如下:。
八年级数学上册14.1勾股定理14.1.3反证法习题课件
14.1.3 反证法
1. 不易用直接证法证明的简单问题，要用 反证 法．
2. 反证法的证明步骤是：先假设结论的 反面 是正 确的；然后通过演绎条件相矛盾，从而说明 假设 不成立， 进而得出 原结论 正确．
◎知识点 反证法
1. 下列说法正确的是( C ) A．“垂直”的反面是“斜交” B．“成正比例”的反面是“成反比例” C．“不等”的反面是“相等” D．“点 O 在△ ABC 内”的反面是“点 O 在△ ABC 外”
2. 在用反证法证明时，推得与“三角形的外角和等
于 360°”相矛盾，这与下边哪一个相矛盾( D )
A．两点确定一条直线 B．过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D．定义
4. 用反证法证明“平行于同一直线的两条直线平行”的第 一步是 假设“平行于同一条直线的两条直线不平行” ．
5. 用反证法证明(填空)： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补， 那么这两条直线平行． 已知：如图，直线 l1，l2 被 l3 所截，∠1＋∠2＝180°. 求证：l1∥l2.
1. “a≤b”的反面是( B )
A．a≠b
B．a＞b
C．a＝b
D．a＝b 或 a＞b
2. 用反证法证明，在直线 a，b，c 中，若 a∥b，c
与 a 相交，则 c 与 b 也相交，第一步应假设( C )
A．c 与 a 平行
B．c 与 b 相交
C．c 与 b 不相交 D．以上都不对
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 直线互相平行”，用反证法证明时，若先假设这两条直线 不平行，则它们必相交，最终推出与下面选项相矛盾的 是( B )
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[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定 是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个
解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
• 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”
时的正确反设为( )
• A．a、b、c都是奇数 • B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 • C．a、b、c都是偶数 • D．a、b、c中至少有两个偶数
[答案] 没有一个是三角形或四边形 或五边形
• 7．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可 被5整除，那么a，b中至少有一个能被5
整除”，那么反设的内容是 ________________．
[答案] a，b都不能被5整除
• 8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能 有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么
这个三角形不是等腰三角形”的第一步
假设这个三角形是等腰三角形
。
４、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不 相等，那么这个梯形不是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD中，AB//CD，
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C，
A
则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
这与 已知AB≠AC
矛盾．
B
C
假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C
．
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理 得出矛盾→肯定原结论正确
例2已知：如图有a、b、c三条直线，且
这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少的反面是没有！
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面：
（1）a是实数。a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２
（3）a小于2。a大于或等于２ （4）至少有没2个有两个
（5）最多有一个 一个也（没6有）两条直线平行。
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立. ∴PB≠PC
A
P C
• 1．否定结论“至多有两个解”的说法中， 正确的是( )
a//c,b//c. 求证：a//b
证明：假设a与b不平行，则 a
可设它们相交于点A。
b
A
那么过点A 就有两条直线a、c
b与直线c平行，这与“过直
线外一点有且只有一条直线
与已知直线平行矛盾,假设不
成立。
∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、 公理矛盾
的是( )
• A．假设a，b，c都是偶数 • B．假设a、b，c都不是偶数 • C．假设a，b，c至多有一个偶数 • D．假设a，b，c至多有两个偶数
[解析] “至少有一个”反设词应为 “没有一个”，也就是说本题应假设
为a，b，c都不是偶数
• 4．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则 a>b”的结论的否定应该是( )
• ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°， 这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝ ∠B＝90°不成立；
• ②所以一个三角形中不能有两个直角；
• ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不 妨设∠A＝∠B＝90°.
• 正确顺序的序号排列为_[_答__案_]___③__①__②． [解析] 由反证法证明的步骤知，先
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，
AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边
有何关系？为什么？
b
c
解析： 由∠C=90°可知是直角
三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
C a BB
二、探究
问题： 若将上面的条件改为“在
A
△ABC中，AB=c，BC=a，
AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2
• A．甲 • B．乙 • C．丙 • D．丁
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个 说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙 说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也 对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、
丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.
• 6．命题“任意多面体的面至少有一个是 三角形或四边形或五边形”的结论的否 定是________．
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于60°。
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ，
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
。
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 ∠A+∠B+∠C>180° 。
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有
以下几种情况：①全是奇数；②有两个 奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个 偶数；④三个偶数．因为要否定②，所 以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数” 故应选B.
• 3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a， b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确
反证即③，再推出矛盾即①，最后作
出判断，肯定结论即②，即顺序应为
：梯形ABCD不是等腰梯形.
D
证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 ∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上
的两内角相等） 这与已知条件∠C≠∠D矛盾, 假
设不成立。 ∴梯形ABCD不是等腰梯形.
B C
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
成立吗？请说明理由。
b
c
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾。假设不成立，从而说明原结论 a2 +b2 ≠ c2 成立。
Ca B
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结 论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定 理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证 明方法叫做反证法。
• A．a<b • B．a≤b • C．a＝b • D．a≥b
[解析] “a>b”的否定应为“a＝b或 a<b”，即a≤b.故应选B.
• 5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一 位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获 奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖 了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两 句是对的，则获奖的歌手是( )