高中数学 2.1.2《数列的递推公式》学案 新人教B版必修5
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 2.1.2 数列的递推公式（选学）》
高三数学数列的通项公式【教学重点】：通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。
【教学难点】：1、 如何将n+1p ()n a a f n =+转化为我们熟悉的等差和等比数列。
2、 理解和掌握n+1p ()n a a f n =+此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。
【知识点梳理】1 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝fn 来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式． 2．S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝错误!在数列{a n }中，若a n 最大，则错误!若a n 最小，则 错误!3、已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11求数列通项公式用累加法4、已知()⎪⎩⎪⎨⎧==+nf a a aa nn 11求数列通项公式用累乘法5、已知)(1n f pa a n n +=+求数列通项公式（1）：可转化为()()211≥-=--+n a a p a a n n n n 令n n n a a b -=+1，则}{n b 成等比数列； （2）：可转化为)(1k a p k a n n +=++，则{}k a n +为等比数列【典型例题】题型一：由数列的前几项写出数列的通项公式例1、根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：()()()()().,5,0,5,0,55;,7777,777,77,74;,225,8,29,2,213;,31,15,7,3,12;,54,21,114,721 ---解析：()()()();122;3174311441-=-=-⋅-+=n n n a nn a()()()();110974;21321-=-=+n n n n a n a ()ππ21cos 52sin 55-==n a n a n n 或 点拨：（1）解决这类问题需要我们从多角度、全方位观察、广泛联系，一般要将原数列变形为基本数列或特殊数列，要熟知一些基本数列，如数列{}{}{}(){}n nn n n 1,2,1,,2-⎭⎬⎫⎩⎨⎧等. （2）归纳得出的数列的通项公式适合前几项即可，并且通项公式也不一定唯一题型二：由递推关系求通项（1）累加法：已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11求数列通项公式用累加法例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
人教B版高中数学必修五《第二章 数列 2.1 数列 2.1.2 数列的递推公式(选学)》_18
由递推关系求数列的通项公式复习课1教学任务分析（1）理解、掌握由递推关系：()n f a a n n +=+1， ()n f a a n n ⨯=+1，()1,0,,1≠≠+=+p pq q p q pa a n n 为常数 求数列的通项公式n a（2）通过题目的形式，培养学生观察能力、探究能力、归纳能力，运用“转化”、“换元”、“方程”的数学思想方法分析问题、解决问题的能力。
2 教学重点与难点理解、掌握由递推关系：()n f a a n n +=+1， ()n f a a n n ⨯=+1，1+a n 为常数 求数列的通项公式34 （1列。
这一节课我们来学习另外几种常用的方法求通项公式。
（2）例题讲解例1 （1）已知数列{}n a 中，2,111+==+n n a a a ，求n a（2）已知数列{}n a 中，n a a a n n 2,111+==+，求n a解析：（1）由递推关系：21+=+n n a a ⇒21=-+n n a a ，∴数列{}n a 为等差数列，∴12-=n a n （定义法） （2）由递推关系：n a a n n 21+=+与（1）不相同，不能用“定义法”，我们联想到求等差数列的通项公式的方法：“累加法”来求，()126,4,21342312-=-=-=-=--n a a a a a a a a n n逐项累加有()()()n n n n n a a n -=-+-=-++++=-212222112642 ，从而22+-=n n a n 。
注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.归纳:形如: ()n f a a n n +=+1的递推关系,且()()()n f f f +++ 21的和可求，可用“累加法”求通项n a ，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=- 将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++-，进而求解。
人教版高中数学必修五第二章2.1.2《数列的通项公式与递推关系》【学案】Word版
2.1.2 《数列的通项公式与递推关系》学案一、学习目标：1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项;经历数列知识的感受及理解运用的过程;3.通过本节课的学习,体会数学来源于生活,从而提高学习数学的兴趣.二、学习过程一、设计问题,创设情境1.回顾复习数列及有关定义,数列既然是按一定顺序排列的一列数,有些数列能够写出一个通项公式a n=f(n),那么除了通项公式外还可以怎么表示?2.观察钢管堆放示意图,寻求规律,建立数学模型.自上而下: 第1层钢管数为4; 第2层钢管数为5; 第3层钢管数为6;第4层钢管数为7; 第5层钢管数为8; 第6层钢管数为9;第7层钢管数为10.若用a n表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a n=n+3(1≤n≤7),相邻两层之间有没有关系?即a n+1与a n有没有关系?3.国际象棋中的每个格子中依次放入1,2,22,23,24,…,263这样的麦粒数排成一列数,相邻两数之间有没有关系?即a n+1与a n有没有关系?二、信息交流,揭示规律数列有四种表示法:通项公式法、列表法、图象法和递推公式法.通常用通项公式法表示数列.4.通项公式法；如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列0,1,2,3,4,…的通项公式为;1,1,1,1,…的通项公式为;1,,…的通项公式为.5.图象法从函数的观点看,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数a n=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立的点.我们可以仿照函数图象的画法画数列的图象.具体方法是以项数n为横坐标,相应的项a n 为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中作出点以前面提到的数列1,,…为例,作出一个数列的图象,所得的数列的图象是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在y轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.6.列表法数列可看做特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用a1表示第一项,用a2表示第二项,……,用a n表示第n项,依次写出a1,a2,a3,a4,….记为{a n}.7.递推公式法知识都来源于实践,最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.模型一:自上而下:第1层钢管数为4,即1↔4=1+3; 第2层钢管数为5,即2↔5=2+3;第3层钢管数为6,即3↔6=3+3; 第4层钢管数为7,即4↔7=4+3;第5层钢管数为8,即5↔8=5+3; 第6层钢管数为9,即6↔9=6+3;第7层钢管数为10,即7↔10=7+3.若用a n表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a n=n+3(1≤n≤7).运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立数列模型,运用这一关系,会快捷地求出每一层的钢管数,这会给我们的统计与计算带来很多方便.继续看此图片,是否还有其他规律可循?模型二:上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多.即a1=4; a2=5=4+1=a1+1; a3=6=5+1=a2+1; 依此类推:a n=a n-1+1(2≤n≤7).对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项.递推公式:如果已知数列{a n}的第1项(或前几项),且任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.如下数列:3,5,8,13,21,34,55,89,递推公式为:a1=3,a2=5,a n=a n-1+a n-2(3≤n≤8).8.数列的分类；(1)根据数列项数的多少分；①有穷数列: ;②无穷数列:.(2)根据数列项的大小分；①递增数列:;②递减数列:;③常数数列:;④摆动数列:.三、运用规律,解决问题；9.设数列{a n}满足a n=写出这个数列的前5项.10.已知a1=2,a n+1=2a n,写出前5项,并猜想a n.四、变式训练,深化提高；11.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.。
人教B版 必修5 数列的递推公式 学案
学案五数列的递推公式命题人：姜鹏飞，冯建新 时间9月7号【学习目标】 1、知识目标⑴自学背诵递推公式的概念; ⑵明确递推公式与通项公式的异同; ⑶会由递推公式求数列的有限项.课前检测1:已知数列{}n a 的前几项为1,7,13,19,… ⑴ 试写出{}n a 的一个通项公式;⑵ 据⑴的结论判定55和101是不是该数列中的项? 反思:▲通项公式的定义是:________________________ ___________________________________________. ▲知道一个数列的通项公式有什么作用?______________________________________________________________________________________________________ ▲数列是定义在*N 上的函数,从这个角度上去认识通项,其就是函数的__________,记作()n a f n =,数列的图像是__________ 授课过程看课本第29页独立完成以下题目如果已知数列的 (或 )，且从_________ (或 )开始的任一项a n 与它的_________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 例1 已知数列{a n }的第1项是2，以后各项由公式a n ＝a n －11－a n －1给出，写出这个数列的前5项．目标一检测:已知数列{}n a 满足下列条件,写出它的前5项 ⑴ 11a =,12n n a a +=+ ⑵ 11a =,12n n a a +=⑶ 11a =,132n n a a -=+, (n 1)>看课本完成例2 已知直线l ：y ＝x 与曲线C ：y ＝(12)x (如图所示)，过曲线C 上横坐标为1的一点P 1作x 轴的平行线交l 于Q 2，过Q 2作x 轴的垂线交曲线C 于P 2，再过P 2作x 轴的平行线交l 于Q 3，过Q 3作x 轴的垂线交曲线C 于P 3，……，设点P 1，P 2，…，P n ，…的纵坐标分别为a 1，a 2, …，a n ，…，试求数列{a n }的递推公式．目标二检测数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则点A 1(1，a 1)，A 2(2，a 2)，…，A n (n ，a n )分布在( ) A ．直线上，且直线的斜率为－2 B ．抛物线上，且抛物线的开口向下 C ．直线上，且直线的斜率为2 D ．抛物线上，且抛物线的开口向上课堂检测1．写出下面数列{}n a 的前5项 ⑴114a =-,111,(1)n n a n a -=->⑵11,a =22a =,12,(2)n n n a a a n --=+>⑶10,a =1(2n 1)n n a a +=+-2.已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)给出．(1)写出数列{a n }的前5项； (2)求数列{a n }的通项公式．。
【非常学案】高中数学 2.1.2 数列的递推公式课件 新人教B版必修5
1．由递推公式求通项公式的三个步骤 第一步： 先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前 3 项)； 第二步：根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项 统一形式； 第三步：写出一个通项公式并证明．
an 2 ． (1) 当 ＝ g(n)(n≥2) 满 足 一 定 条 件 时 ， 常 用 an ＝ an－1 an an－1 an－2 a2 · · · „· · a1 累乘法求 an. a an－1 an－2 an－3 1 (2)当 an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用 an＝(an－ an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1 累加来求通项 an.
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源
2.1.2 数列的递推公式(选学)
●三维目标 1．知识与技能 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会 根据数列的递推公式写出数列的前几项； 理解数列的前 n 项和与 an 的关系．
【解】 ∵a1＝3，an＋1＝2an＋1， ∴a2＝2×3＋1＝7，a3＝2×7＋1＝15， a4＝2×15＋1＝31，a5＝2×31＋1＝63， a6＝2×63＋1＝127.
由 a1＝3，a2＝7，a3＝15，a4＝31，a5＝63，a6＝127， 可以看出，如果给每一项均加上 1，就变成了 a1＋1＝22，a2＋1＝23，a3＋1＝24， a4＋1＝25，a5＋1＝26，a6＋1＝27， ∴可猜想出：an＋1＝2n＋1， ∴an＝2n＋1－1.
1 1 已知数列{an}中，a1＝1， － ＝ ，求数列{an}的通项公 an＋1 an 2 式．
2021-2022学年人教B版必修5 2.1.2 数列的递推公式(选学) 教案(5)
常见递推数列通项公式的求法一、教学设计：1、教学目标：(1)知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。
(2)过程与方法：①复习回忆所学过的通项公式的求法，比照递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。
②比照等差数列的推导总结出累加法的试用题型。
③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型. (3)情感、态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。
2、教学重点、难点：教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。
教学难点：解题过程中方法的正确选择。
二、教学过程：〔一〕复习回忆：1、通项公式的定义及其重要作用2、学过的通项公式的几种求法3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题（1）问题探究及新知训练：问题1:数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?变式： 数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求na ? 设计意图：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。
教师带着学生细致讲解整个解题过程。
此例题以类比的形式出现，为学生体验成功搭建了平台，学生在解决第一小题后，一鼓作气，去挑战第二小题，激发了学生的求知欲望，在步步追寻中，学生自己解题，自己总结技巧，有助于加深学生对根本技能的认识，提高分析问题、解决问题的能力。
不断充实自我，完善自我。
然后给出比拟难的题目提高学生迎难而上的拼搏精神。
练习：数列}{n a ，1a =1，n n n a a 211=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
问题2：数列{a n }满足)(,2,111*+∈==N n a a a nn ，求{a n }的通项公式。
2021-2022学年人教B版必修5 2.1.2 数列的递推公式(选学) 教案
数列的递推公式课程标准：等差、等比数列是两类最根本的数列，是数列局部的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活〞往往集中在“转化〞的水平上 三维目标：1、知识与能力：了解求解数列通项公式的几种常用方法；认识几种常见的形式，掌握解题方法并能解决实际的问题2、过程与方法：教学过程中板书演例如题，通过与学生相互交流，加深理解求数列通项的常用方法3、情感态度与价值观：培养学生利用转化，化归的思想，分析问题与解决问题的能力教学重点：掌握几种求解数列通项公式的方法教学难点：应用累加法(逐差相加法)；累乘法(逐商相乘法)；待定系数法等方法求解数列通项教学手段：板书和计算机演示讲解 教学方法：启发式、探究式 学法指导：交流与互动 课时安排：一课时教学过程：一、几种求解数列通项公式的方法： 1、类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a所以n a a n 111-=-，211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴2、类型2 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a ann =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ 例:31=a ，n n a n n a 23131+-=+)1(≥n ，求n a 。
2022-2021学年高二数学人教B必修5学案：2.1.2 数列的递推公式 Word版含答案
2.1.2数列的递推公式(选学)明目标、知重点 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能依据递推公式写出数列的前n项.3.把握由一些简洁的递推公式求通项公式的方法．1．递推公式假如已知数列的第一项(或前几项)，且从其次项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的递推公式思考1观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n＝2a n－1＋1(n>1且n∈N＋)．思考2观看下面两个数列如何用首项及相邻两项的关系表示出这两个数列？(1)a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，…；(2)1，cos 1，cos(cos 1)，cos(cos(cos 1))，….答(1)a1＝2，从第2项开头，每一项是它前一项的2倍，因此该数列可以用如下方式表示：a1＝2，a n＝2a n－1 (n＝2,3,4，…)；(2)a1＝1，a n＝cos(a n－1) (n＝2,3,4，…)．小结像上面那样，假如已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开头的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法．例1已知数列{a n}的第1项是2，以后各项由公式a n＝a n－11－a n－1给出，写出这个数列的前5项．解a1＝2，a2＝21－2＝－2，a3＝－21－(－2)＝－23，a4＝－231－(－23)＝－25，a5＝－251－(－25)＝－27.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练1在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n≥1)，写出此数列的前6项．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.例2已知直线l：y＝x与曲线C：y＝(12)x(如图所示)，过曲线C上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3，……，设点P1，P2，…，P n，…的纵坐标分别为a1，a2, …，a n，…，试求数列{a n}的递推公式．解由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为a1＝12，点Q n＋1与P n的纵坐标相同，都是a n，同时点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，点P n＋1在曲线C：y＝(12)x上，由横坐标得它的纵坐标为1()2na即a n＋1＝1()2na这就是数列{a n}的递推公式．反思与感悟解答本例的关健是在读懂题意的前提下，通过具体的点P2与点Q2的横坐标相等及点Q2与点P1的纵坐标相同，抽象出一般性的点Q n＋1与P n的纵坐标相同，点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，从而找到了a n＋1与a n的关系．跟踪训练2 数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N ＋)，则点A 1(1，a 1)，A 2(2，a 2)，…，A n (n ，a n )分布在( ) A ．直线上，且直线的斜率为－2 B ．抛物线上，且抛物线的开口向下 C ．直线上，且直线的斜率为2 D ．抛物线上，且抛物线的开口向上 答案 C解析 ∵a n －a n －1n －(n －1)＝a n －a n －1＝2(n ≥2)，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 在斜率为2的直线上．故选C.探究点二 数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)()(1)212222112 1.n n n -=+++⋅⋅⋅+-+=-个＝思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n＝1n .例3 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)给出．(1)写出数列{a n }的前5项； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32；a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74；a 5＝a 4＋15×4＝95.(2)由a n ＝a n －1＋1n (n －1)得a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋13×2＋12×1＋1＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n (n ∈N ＋)．反思与感悟 由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n . (3)当a n a n －1＝f (n )且满足确定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1来求a n .已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解 由于f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， 所以22log log 222nn a a n －－＝－，a n －1a n＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.由于a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.又由于a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋ B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2 答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n 答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2(1)(1)(1)n +-+-+⋅⋅⋅+-共(-1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________． 答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n .[呈重点、现规律] 1．递推公式的理解与应用(1)与全部的数列不愿定都有通项公式一样，并不是全部的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，假如用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不简洁了解数列的全貌，计算也不便利，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋)一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定答案 A2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58答案 B3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 答案 C解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N ＋都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.则a 3，a 5分别等于________． 答案 6,20解析 由题意，令m ＝2，n ＝1则a 3＋a 1＝2a 2＋2，所以a 3＝6，令m ＝3，n ＝1则a 5＋a 1＝2a 3＋2×4， 所以a 5＝20.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N ＋)，那么a n ＋1－a n 等于____________．答案 12n ＋1－12n ＋2解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.7．依据下列各个数列{a n }的首项及其递推公式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式； (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，n ∈N ＋.解 (1)由于a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，n ∈N ＋； 所以，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16， 归纳出它的通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2a 2a 2＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝13，归纳出它的通项公式是a n ＝2n ＋1.二、力气提升8．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116B.117C.110D.125答案 C解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.10．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N ＋)； (2)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N ＋)．解 (1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(2)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n.11．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝(1)12111n -+++⋅⋅⋅+个＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 12．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n .∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝nn －1. 把上述等式相乘，得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1， 即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n . 三、探究与拓展13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求它的通项公式． 解 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0.∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n . ∴a n a 1＝1n .又a 1＝1，∴a n ＝1n.。
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学案（2）递推公式
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．理解数列的前n 项和与n a 的关系；
4．会由数列的前n 项和公式求出其通项公式。
1. 数列：
2. 数列的项：
3．数列的表示：
4. 数列的通项公式：
5．数列的图像都是一群孤立的点.
6．数列有三种表示形式：
7．有穷数列：
8．无穷数列：
1．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3
第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3
第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3
第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3
若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且n a = n a 与1n a -什么关系呢？
2．递推公式：
例1已知数列{}n a 的第1项是2，以后的各项由公式,4,3,2(11
1=-=
--n a a a n n n …）给出，写出这个数列的前5项。
例2已知数列{}n a 中，n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3），试写出数列的前4项.
例3已知直线x y l =:与曲线x y c ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21:，过曲线c 上横坐标为1的一点1p 作x 轴的平行线教l 于2Q 点，过2Q 作x 轴的垂线交曲线c 于2p ，再过2p 作x 轴的平行线交l 于3Q ，过3Q 作x 轴的垂线交曲线c 于3p ……设点,...,...,,21n p p p 的纵坐标分别为,...,,...,,,321n a a a a 试求数列{}n a 的递推公式。
练习
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.
(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；
(2) 1a ＝1,1+n a ＝
2
2+n n a a (n ∈N)；
(3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N)。
2．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项 1a =1, n a =1-n a +
1
1-n a （n ≥2）
作业
一、判断题
1，
0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.7，1.73，1.732，…，这一列数构成一个数列．( )
二、单选题
1．数列1111,,,,
357--的一个通项公式是（ ）
1A.121n ⋅ -（－） 11B.121n n +⋅ +（－） 1C.121n n ⋅ +（－） 11D.121
n n +⋅ -（－） 2．已知数列1230,,,,
234
，其中0.9是它的（ ） A ．第9项 B ．第10项 C ．第11项 D ．第12项 3．已知数列21
111,,,
,(1),49n n ---，它的第5项的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．110- D ．110
4．数列 －3，1，1，－3，5，…的一个通项公式为（ ）
A ．n －4
B ．2n －5
C ．－2n+5
D ．(1)(25)n n --+
5． 数列1，4，9，16，25……的第7项是（ ）
A ．49
B ．94
C ．54
D ．63
6．数列－1，7，－13，19，…的通项公式n a 为（ ） A ．6n －5
B ．－6n+5
C ．(－1)n ·6n－5
D ．(－1)n ·(6n－5)
7．数列111,,,212223--⨯⨯⨯的一个通项公式为（ ）
1A.(1)n n - 1(1)B.2n n +- (1)C.(1)n n n -- (1)D.2n n
- 8．已知数列1111,,,,234--，这个数列的第10项是（ ） A ．－1
B ．1
C ．110-
D ．110 9．数列1111,,,,24816
--的一个通项公式是（ ） A ．1(1)2n n - B ．1(1)2n n - C ．1(1)2n n -- D ．1
(1)2n n
--
10．关于以下四个数列：
正确的叙述是( )
A．(1)(2)是无穷数列，(3)(4)是有穷数列
B．(2)(3)是无穷数列，(1)(4)是有穷数列
C．(1)(2)(3)是无穷数列，(4)是有穷数列
D．(2)是无穷数列，(1)(3)(4)是有穷数列
11. 已知数列前4项为4，－3，2，－1，那么5是这个数列的第几项?[ ]
A．第5项B．第6项C．第9项D．第10项
三、填空题
1．已知数列的通项公式为
n
a=(－1)n+1·(2n－3) ，则a3+a4+a5=________．
2．已知数列的通项为
n
a=2n(n+1)，则a2+a8=_________________．
3．已知一个数列的通项公式为
[1(1)]n
n
a
n
+-
=，则这个数列的第40项为
4．若一数列的前4项分别为
22222222
21324354
,,,
2345
----
，则这个数列的通项为
________．。