运城学院数学分析期末试题3-9

2007——2008学年第一学期数学分析III 试题B
(应用数学系0601,0602,0603班)
一：填空（每空2分，共20分） 1 ⎰+→=++α
ααα12
201lim x dx .
2．(,)(0,0)lim
x y →= . 3．函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微，则 f df ∆-= .
4. 设函数),(y x f y x 22+=,则 =)2,1(gradf .
5．⎰L
ds = 其中L 是圆周：422=+y x 6．在约束条件,0),,(1=z y x ϕ,0),,(2=z y x ϕ限制下，求目标函数),,(z y x f u =的条件极值的拉格朗日函数是 .
7．对二重积分⎰⎰+D dxdy y x f )(22 其中1:22≤+y x D ，作极坐标变换，化为累次积分后有=+⎰⎰D dxdy y x f )(22 .
8．平面点集}16),({22≤+=y x y x D 的全体聚点构成的集合是
.
9．函数 []z x y =+ 的间断点集是 .
10. 曲线积分⎰
+L xdy ydx y x F ))(,(与积分路径无关,可微函数应满足
的条件是),(y x F .
二：判断正确的在后面括号内打√，错误的在括号内打×（每小题2分，共20分）
1．当函数 (,)f x y 在其定义域的内点00(,)x y 连续时，0(,)f x y 在 0x 和0(,)f x y 在0y 都连续（ ）
2．若二元函数),(y x f 在其定义域内一点),(00y x 处两个偏导数存在，则函数在该点连续（ ）
3．二元函数),(y x f 在点),(00y x 可微的充要条件是曲面),(y x f z =在点)),(,,(00000y x f y x P 存在不平行于z 轴的切平面（ ）
4．若),(y x f xy 与),(y x f yx 都在点),(00y x 连续，则
),(),(0000y x f y x f yx xy =（ ）
5.若函数 (,)f x y 在 点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则二重极限必不存在（）
6．因为点集E 的聚点A 的近旁密集着E 的无限多个点，所以聚点一定是界点（ ）
7．若二元函数f 在有界闭域D 上有界，则f 有D 上可积（ ）
8．由格林公式
⎰=+-L
y x ydx xdy 022其中L 是二维空间上的任一封闭曲线 （ ） 9．二元函数),(y x f 在),(00y x 连续的充要条件是),(0y x f 在0x 连续且),(0y x f 在0y 连续（ ）
10． 若二元函数),(y x f 在其定义域内一点),(00y x 处可微，则函数在该点两个偏导数存在（ ）
三：解下列各题（共25分）
1 将函数
()x x f -=
2π
在],0[π上的展开成余弦级数.
2 设)sin (sin sin y x f y z -+=，其中f 为可微函数，求x
z ∂∂. 3 设⎩⎨⎧-=+=v
e y v u e x u u cos sin ，求 x u ∂∂. 4求由坐标平面及2,
3,4x y x y z ==++=所围的角柱体的体积.
5计算⎰-+L
dy x y xydx )( 其中L 是以)3,2(),1,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形周界，按逆时针方向.
四:计算下列各题（共21分）
1计算⎰⎰⎰+v dxdydz z x y ,)cos(其中V 是由x y =
，0=y ，0=z 及
2π=
+z x 所围成的区域. 2计算22S
dS x y +⎰⎰,其中S 为柱面222x y R +=被平面0.z z h ==所截取的部分. 3 ⎰⎰++S dxdy z dzdx y
dydz x 333，其中是单位球面1222=++z y x 的
外侧
五:证明（每小题7分,共14分）
1证明⎰+∞
-0cos xydx e
px ),0(a b p >>在(,)-∞+∞上一致收敛.
2证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(22222
22y x y x y x y x y x f 在点)0,0(连续.
命题人：杨建雅、张民珍2007.12.18。