第一节 一元一次不等式
浙教版八年级上册数学《3.3一元一次不等式第1课时认识一元一次不等式》教案
浙教版八年级上册数学《3.3一元一次不等式第1课时认识一
元一次不等式》教案
第3章
一元一次不等式
3.3
一元一次等式
第1课时
认识一元一次不等式
1.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集.
2.通过对一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣.掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来.一元一次不等式的解法
复习提问：
（1）不等式的三条基本性质是什么?
（2）运用不等式基本性质把下列不等式化成x>a或x
②2x>x-5
③x－4<6
④x≥x
（3）什么叫一元一次方程?解一元一次方程的步骤是什么?
【教学说明】通过问题，让学生回顾一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤，以及不等式的意义，不等式的基本性质和不等式的解集，为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件.同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系.探究1:一元一次不等式的概念
观察下列不等式：
这些不等式有哪些共同点？
【归纳结论】左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.例：5x＋6≤4，7x ＋10＞5是一元一次不等式么？
解：上述两个不等式都是一元一次不等式，因为左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式什么是一元一次不等式。
《一元一次不等式》完整版PPT1
变式:若x=2是不等式2x-a-2<0的一个解,则a可取的最小正整数为( ) 变式:不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有( ) 只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程.
移项
不等式的性质1
m≥2 B.
有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子.
73
64
7.(课本P124 T2)当x或y满足什么条件时,下列关系式成立? (1)2(x＋1)大于或等于1; (2)4x与7的和不小于6; (3)y与1的差不大于2y与3的差; (4)3y与7的和的四分之一小于－2.
拓展提升 8.解关于x的一元一次不等式 x＋8＞4x＋m(m是常数).
变式:不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数) 的解集是 x＜3,则 m=_____.
A.±1 B. 1 C. -1 D. 0
问题思考 解一元一次方程
2(1+x)=3
解:去括号 2+2x=3
移项 2x=3－2
合并同类项 2x=1
系数化为1
x1 2
解一元一次不等式 2(1+x)<3
Hale Waihona Puke 在数轴上表示解集?典例分析
例 解下列不等式，并在数轴上表示解集. 变式:不等式 x＋8＞4x＋m (m是常数) 的解集是 x＜3,则 m=_____.
(1)x ＋1＞2x; (2) ＋2＞0; ③移项、合并同类项，得－x＞－13;
2 3个 D.
C.
1
①去分母，得5(x＋2)＞3(2x－1);
A.
(课本P124 T1)解下列不等式,并在数轴上表示解集:
x
一元一次不等式
一元一次不等式（1）【知识梳理】：1．不等式 ：-----------连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的--------的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的------，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的----------．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的--------------．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或___a bc c） (3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的-----------．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c） 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。
任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。
一元一次不等式概念
一元一次不等式的基本性质
1 加减法性质
对不等式的两边同时加减一个数，不等式的 关系不改变。
2 乘除法性质
对不等式的两边同时乘除一个正数，不等式 的关系不改变；对不等式的两边同时乘除一 个负数，不等式的关系改变。
3 倒置性质
如果改变不等式两边的位置，不等式的关系 将相反。
4 传递性质
如果 a > b 且 b > c，则 a > c。
一元一次不等式的绝对值不等式
定义
绝对值不等式是一种特殊的一 元一次不等式，其中包含一个 未知数的绝对值表达式。
Байду номын сангаас解法
通过分情况讨论和绝对值的性 质，我们可以求解绝对值不等 式并得到其解集。
示例
例如，|2x + 3| < 7 是一个绝对 值不等式。
一元一次不等式在生活中的应用
1 经济学
不等式可以用来描述资源分配、生产优化和供求平衡等经济学问题。
一元一次不等式的图形表示
数轴
数轴可以帮助我们直观地表示一 元一次不等式中未知数的取值区 间。
阴影区域
阴影区域表示满足一元一次不等 式的所有解的范围。
开圈与实心圈
不等式中使用的开圈和实心圈表 示边界是否包含在解集里。
一元一次不等式的解集概念
一元一次不等式的解集是满足不等式的所有实数的集合。解集可能是一个区 间、一个点或者空集。
一元一次不等式的等效变形
1
消去常数项
通过加减法，将常数项移到不等式的右边，变成0。
2
移项
通过加减法，将未知数的系数移到不等式的右边，变成0。
3
合并同类项
将不等式中同类项的系数相加合并。
一元一次不等式的加减法
一元一次不等式(公开课优秀课件)
实际应用中的一元一次不等式
一元一次不等式在实际生活中 有着广泛的应用，如购物、投 资、工程等领域的决策问题。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要将问题转化为数学模 型，然后运用代数法和图像法 求解。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要注意问题的实际情况 和限制条件，以及解的可行性 和最优性。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
目 录
• 一元一次不等式的定义与性质 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的应用 • 一元一次不等式的扩展
01 一元一次不等式的定义与 性质
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是数学中一种简单的不等式，它只含有一个变量，且变量的指 数为1。
详细描述
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c，其中 a、b、c 是常 数，a ≠ 0。这个不等式表示一个线性函数在某个区间内大于或小于另一个值。
在人口发展过程中，如何预测未来人 口数量，可以通过一元一次不等式来 建立数学模型。
交通流量问题
在道路交通中，如何合理规划红绿灯 时间，ห้องสมุดไป่ตู้保证交通流畅，可以通过一 元一次不等式来求解。
一元一次不等式与其他数学知识的结合
一元一次不等式与函数
一元一次不等式可以看作是函数的值大于或小于某个常数的情况， 因此可以结合函数的性质进行求解。
代数法解一元一次不等式的步骤 包括：去分母、去括号、移项、
合并同类项、化系数为1等。
代数法解一元一次不等式需要注 意不等式的性质，如不等式的可 加性、可乘性、可除性和同向不
一元一次不等式课件(共21张PPT)
随堂演练
基础巩固
1. 若代数式 2x 3 的值是非负数，则x的
7
取值范围是（ B ）
3
A.x≥ 2
C.x＞
3 2
B.x≥ 3
2
D.x＞ 3
2
2.如图所示，图中阴影部分表示x的取值范 围，则下列表示中正确的是（ B ）
A.-3＞x＞2 C.-3≤x≤2
B.-3＜x≤2 D.-3＜x＜2
3.当x或y满足什么条件时，下列关系成立？
系数化为1得：x≥8.
08
（2） 2 x ≥ 2x 1
2
3
解：去分母得：3（2+x）≥2（2x-1）；
去括号得：6+3x≥4x-2； 移项得：3x-4x ≥ -2-6； 合并同类项得：-x ≥ -8；
将解集用数轴表 示，则如下图：
系数化为1得：x≤8.
0
8
小 结 解一元一次不等式的一般步骤
01
（3）未知数的次数都是1.
含有一个未知数，未知数次数是1的 不等式，叫做一元一次不等式．
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）2（1+x）＜3； （2） 2 x ≥ 2x 1
2
3
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）2（1+x）＜3；
解：去括号得：2+2x＜3； 将解集用数轴表
移项得：2x＜3-2；
03
05
通过解这两个不等式，
去 分 母
你02能归纳出移解一元0一4 次 不等式的一项般步骤吗？
系数 化为
去
合并
1
括
同类
号
项
练 习 1.解下列不等式和方程（不等式
的解集要在数轴上表示出来）
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组第一节不等关系一、生活中的不等关系1.不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题：如图，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？2）如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试.本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.圆的面积是πR2，其中R是圆的半径.两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）.列不等式：不等式表示代数式之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应。
列不等式表示不等关系的方法步骤：（1）分析题意，重点找出题中的各种量；（2）寻找各种量之间的不等关系；（3）用代数式表示各种量（4）用适当的不等号将不等关系连接起来。
例1.用不等式表示（1）a是正数；（2）a是负数；（3）a与6的和小于5；（4）x与2的差小于－1；例2.根据下面的数量关系列不等式试比较3x2-2x+7与4x2-2x+7的大小例3.数形结合题型a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空：（1）a______b;（2）|a|______|b|;（3）a+b_________0;（4）a－b_______0;（5）a+b_______a－b;（6）ab______a.练一练：（1）x 的32与5的差不小于1； （2）x 与6的和小于等于9；（3）8与y 的2倍的和是正数； （4）a 的3倍与7的差是非负数；（5）x 的4倍大于x 的3倍与7的差；（6）x 的54与1的和小于－2；（7）x 与8的差的32不大于0. (8)m 与1差的绝对值是非负数。
一元一次不等式
一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中常见的题型，也是学习代数的基础内容之一。
它是由一个一次式与一个数的关系构成的，其中包含了未知数x的不等式。
本文将介绍一元一次不等式的基本概念、解法和应用。
一、一元一次不等式的基本概念一元一次不等式的一般形式为ax + b < c（或ax + b > c），其中a、b、c为给定的实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，需要找出使不等式成立的x的取值范围。
二、一元一次不等式的解法1. 移项法通过移项可以将一元一次不等式转化为形如x < d（或x > d）的不等式，其中d为一个实数。
移项的过程如下：（1）如果不等式中含有加法或减法运算，可以通过加减法逆元的变换，将不等式转化为x < d或x > d的形式。
（2）如果不等式中含有乘法或除法运算，可以通过乘除法的变换，将不等式转化为形如ax < b（或ax > b）的形式。
注意乘除的时候需要考虑a的正负性。
2. 分情况讨论法当一元一次不等式中存在绝对值、分数等特殊情况时，可以采用分情况讨论法来求解。
需要根据不同情况的实际意义，分别列出对应的不等式并求解。
三、一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际问题中有着广泛的应用。
下面以两个典型问题为例，介绍一元一次不等式的应用。
1. 生活中的应用假设某市公交车票价为2元，同时发行了一种优惠卡，每次乘车只需支付1元。
现假设一人每月乘坐公交车次数不少于12次，求这人每月乘坐公交车所需的费用范围。
解：设这人每月乘坐公交车的次数为x次，则有不等式x ≥ 12。
因为每次乘车需支付的费用范围为1元至2元，所以还可得出不等式1 ≤ x ≤ 2。
因此，这人每月乘坐公交车的费用范围为12元至24元。
2. 经济学中的应用某的家庭年收入I万元，每年花费C万元。
已知为了正常生活，家庭应至少储蓄S万元。
写出家庭年收入与花费的不等关系，并求解I的范围。
解：根据题目可以得出不等式 I - C ≥ S。
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方 法 归 纳 ： 题 是 一 元 一 次 不 等 此
式 基本性 质 的 简单 应 用 ， 注意 其 中（ ） ２
无 解 的 情 形．
为Ｏ ｘ １ 所 以 １ ＞ ｌ ＜＜ ， ０， 帆 ＞ ｘ Ｏ， ０， ＞ 故
１
— — 一 －
例２ 解 关 于 的不 等 式似＋ ≤Ｑ ６ （是任 意实 数 ） ｎ
／
— — —
—
— —
—
— ——
— — — —
—
／
一 — — 一 —
Ｌ —— ——～
—． — — —． — —．
２掌 握 不 等式 以 下三 条 ． 基 本性 质 ，并 会 正 确 熟练 地
运用 ．
一
７
０
（ ） ０ 式 喂 干得 ２琼
ｌ 十 ０、 ６≤ 、 ３ ６ ． 一＋
的 基础和 Ｔ具 ， 面介绍 两点 ： 下 １ 数 轴 表 示 不 等 式 的解 集 为 ．用
２
Ｃ．一 １
ｘ
高 分 析 和 解 决许 多 问 题 奠 定 了 基
础：
Ｄ． ＞— ＞ ２
２ ．高 ｒ 的 参 数 不 等 式 将 以初 中 ｆ １ 的参 数不等 式 为雏形 发展 而来．
（ ） ａ ｌ （ ） ｎ０；３ 当ｎ 一 ． １ 当 ＝ ；２ 当 ＝ （ ） ＝ １
思 路 导 引 ： 需 将ａ 不 同 值 时 代 只 为
分 析 解 答 ： 法 一 ． 殊 值 法．此 方 特
法在解 决一 些选择题 时是 一种 行之 有
效 的 方 法．
入 不等 式求 解 即可． 分 析解 答 ：１ 当ａ ｌ ， 等式 即 （） ＝时 不 为 一 ＞ 解 为ｘ ３ ３ ０， ＞ ； （） ＝ ２ 当ａ Ｏ时 ． 等 式 即 为０ ３ ０ 不 —＞ ，
范 围．
化数和形的结合。
例３
６ 数学金刊・ ２ｌ 初中版
０ｒ ， ＜ ＜ｌ ０卜列不 等式成
塑壹主 堡
立 的是 （
Ａ．
Ｘ
）
一
入 门衔接知识
７ 一 次 不 等 式 既 是 初 中 数 学 亡 的 重 点 内 容 ．更 是 解 决 高 中 数 学 问 题
Ｂ ．
因 为０ ＜ ， 以 可 取 特 值 ＿ １所 ＝＝ １ －
，
则 ｌ ｌ
，
：
２ 故 得 ，
Ｘ
， ｃ 选 ．
无解：
４
（） ＝ １ ， ３ 当ｎ 一 时 不等 式 即为 一 ＞ ３
０． 为 一 ． 解 ＜３
方 法 二 ．作 差 法 ．此 法 也 是 用 于
比较 数 大 小 的 常 见 方 法 ．
塑， 鳖 稃
第一节 —元～次不等式
《
，
初 中 教材 中一 元 一 次 不等 式 和一 元一 次不 等 式
组的相关知识点
１了解 不等式 的 意义 ， ． 理
一
Ｉ ＜２、， ４
故 不等式 的 解 为＿ 一 ， Ｔ ７ 解集 表 示 ＞
为
—
解不等式的解和解集 ， 会在数
轴上 表示不 等式 的解集 ．
能根据不等式的性质 ， 应用分
类讨论思 想解简单的含参～
元一次不 等式 ， 能用所 学不 并
等 式 知识 解 决相 关 的实 际 问
题
分析 解 答 ． １ 不 爷 式 得 （＋ ） 勾原 ａ２ ・
≥３ （ ）且 其 解 为 ≤ ３ （ 件２ ， ． ，
所 Ｉ ２ （． ｆ ＜） ＋
则 有ｒ 一 ． ２ ＜
一４ 理解一次函数，一元 ．
＿次 不等式 ， 元一 次方程 的 一 内在联 系 ，提 高识 图能 力 ， 强
方 法归 纳 ： 越 关键 是不等 式性 此
喷 的 应』 ， 知 道 不等 式和 其解 时 只 ｝在 ］
要： 确分 折 系 故的符号 即 可求 出Ⅱ ｆ ￡ 的
３ ０
的方 向不变 ，即“ 厶 ＞ ＞ 且ｃ Ｏ
方 法 归 纳 ： 一 元 一 解 欠不 等 式 关 让 ： 确 汁 算 、 移 项 合 并 、 直 接 求 ｆ ｊ ＿ 解 ． 解 架 托 示 婴 注 意 砒 点 取 值 和 开
口方向．
６Ｉ 鱼 ｃ旦＞
ｅ Ｃ
．
３ 不 等 式 两 边 都 乘 以 ）
思 路 导 引 ： 题 是 一 个 典 型 的 给 此
出一 个 字 母 及 其 取 值 范 围 并 比较 其 变
形式 大小 的题 目，在解 这 个题 时要 较
准 确 地 找 到 每 一 个 变 形 式 的取 值 范 围
进 而 比较 得 到 结 果．
例 题 引路
例 １ 解 关 于 不 等式 ＿ ＞ ， 的 ３ ０
它 的 解 、 要 求 其 中 字 廿 “ 取 值 范 围． 的
３ 掌握一元一次不等式 ．
和＿ 元一 次不等式 组 的解 法 ，
首 先观 察 不等 式 为“ 的 形式 ， ≥” 而解
＿ 为 “ ” 易 如（ ２ ０ 同 时 也 不 难 发 土 １ ≤ ． ， ￡ ＜： ＋ 现 ３十 ＝ （＋ ）故 解 一． ｆ６３“２ ． ， ”Ｆ
（ ） 等 式 两 边 都 加 上 １不
即 ｒ化 ｌ３ ≤ 一 ，、 Ｊ ９．
（ 或减去 ｝ 同一个整式 ， 不等号
的方 向不 变 ， Ｄ６ 即ｆ ＞ ． ６ （ 不 等 式 两 边 都 乘 以 ２）
故 不等 式 的 为 ≤一 ．解 集 表 ３
示 为
．
一
一
（ 或除以） 同～个正数 ， 不等号
思 路 导 引 ： 题 需要 对 系数 进 此 的
１Ｘ － Ｘ ＝— — ‘
二
＞ ０ 即
．
１
— —
＞ ‘ ：
，
行全 面分析 和讨 论 ， 以为 正数 、 和 可 零
ｌ 叫
１
— — —
负数 ， 第一 步将 不等 式 变为ａ ≤一 ， ｘ ６ 第
《 或除以 ） 同～个负数 ， 不等号
的 方 向改 变 ， Ｉ ＞ ， ＜ Ｒ ａ ｂ 且 Ｏ ］
的
椤 ２ Ｌ ｊ ｛ Ｊ （＋ ｈ≥３＋ ０ 、 弋 “ ２ ｌ ｌ ａ６
≤３ “ 。 ， ｎ Ｋ 地 …．
∞＜ ， ＜ ． ６ 旦
Ｃ Ｃ
思 路导 引 ： 题给 出 了不 等式和 此