特征值特征向量与二次型
高等代数第五章知识点总结
高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。
第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。
以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。
线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。
2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。
矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。
3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。
向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。
向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。
4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。
线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。
5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。
矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。
6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。
相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。
7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。
8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。
9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。
二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。
以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。
(8) 第三部分 特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题
() ( )
⎝
1
⎠
( )
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
19
例48 已知二次型
f ( x1 , x2 , x3 )
四 化二次型为标准形
(06)
2 2 = (1 − a ) x12 + (1 − a ) x2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x2
求二次曲面
x + 2x + Yx + 2 x1 x2 + 2 Xx1 x3 = 1
2 1 2 2 2 3
为椭球面的概率
22 December 2012
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
10
二 反求参数问题
⎛2 0 0 ⎞ ⎛2 0 0⎞ 例37 设A = ⎜ 0 0 1 ⎟ 与B = ⎜ 0 y 0 ⎟相似, 则( ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜0 1 x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
6
例32 已知 A1 , A2 , A3 为3个非零的3阶矩阵，
A = Ai (i = 1, 2, 3), Ai A j = 0 (i ≠ j ),
2 i
证明0，1一定是 Ai (i = 1, 2, 3) 的特征值. 为3维单位列向量，且 α T β = 0, 例33 设α , β T T . A = αβ + βα , 则A的特征值为
二次型配方法技巧
二次型配方法技巧1. 了解二次型的定义：二次型是一个关于n个变量的二次多项式表达式。
2. 熟悉二次型的标准形式：二次型可以通过合同变换转化为标准形式，即只有平方项和零次项，没有交叉项。
3. 使用合同变换进行化简：合同变换是一种可以改变二次型的平方项系数和常数项的技巧。
4. 理解二次型的矩阵表示：将二次型表示为一个对称矩阵的形式可以简化计算和分析。
5. 利用矩阵特征值分析二次型的性质：二次型的矩阵表示的特征值和特征向量可以提供关于二次型的有用信息。
6. 使用特征值分解进行对角化：特征值分解是将对称矩阵对角化的一种方法，可以简化二次型的计算。
7. 利用二次型的正定性或负定性分析问题：正定二次型的性质可以提供最小值，而负定二次型的性质可以提供最大值。
8. 使用配方法求取二次型的最值：配方法是一种将二次型转化为平方项的和的技巧，可以简化最值计算。
9. 利用配方法实现二次型的化简：配方法可以将二次型化为一系列完全平方的和，从而简化计算。
10. 了解二次型的相关概念：相关概念如秩、正交等可以帮助理解和分析二次型的性质。
11. 使用二次型的正交对角化技巧：正交对角化可以将二次型转化为只有对角线上有非零项的形式，从而简化计算。
12. 利用二次型的秩分析问题的解空间：二次型的秩可以提供有关解空间的信息，例如是否存在非零解等。
13. 考虑二次型的约束条件：二次型的约束条件可以提供额外的限制条件，从而限制解的范围。
14. 利用拉格朗日乘子法求解二次型最值问题：拉格朗日乘子法是一种用于处理带约束条件的最值问题的技巧。
15. 考虑二次型的线性变换：通过线性变换，可以改变二次型的项的系数和平方项之间的关系，从而简化计算。
16. 使用线性变换进行坐标变换：线性变换可以实现坐标系的变换，从而改变二次型的标准形式。
17. 考虑二次型的对称性：二次型的对称性可以提供关于对称轴、顶点等的有用信息。
18. 使用二次型的谱分解进行矩阵分析：谱分解可以将对称矩阵分解为特定形式的矩阵，从而简化计算。
特征值与特征向量二次型
,n
第五步
得到正交变换X=TY
T =(1 ,2 ,
,n )
正定二次型
定义 设有实二次型 f ( x ) x T Ax, 如果对任何x 0,
都有f ( x ) 0(显然f (0) 0), 则称f为正定二次型 , 并 称对称矩阵A是正定的; 如果对任何x 0, 都有f ( x ) 0, 则称f为负定二次型 , 并称对称矩阵 A是负定的.
i , j 1
例1 设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1, 3 2, 设B A 3 5 A 2 , 求 B ; A 5 E . 解 利用 A 1 2 n来计算 A .
, 令f ( x ) x3 5 x2 , 因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值 所以f ( i)(1 i 3)是f ( A) A3 5 A2 B的全部特征值故 . B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 ) ( 4)( 6)( 12) 288.
定义
求 法
定义 特征值 特征多项式 特征向量 不同特征值的特征向量线性无关 k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
特 征 值
性 质
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
概念 矩阵对角化 应用
相 似 实对称阵隐含的信息
( 2) 12 n A .
显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.
3. 设 是A (a ij ) nn的特征值, 则 (1)也是 AT的特征值; (2) k是 Ak的特征值( k 为任意自然数); ( )是
( A)的特征值.其中 ( ) a 0 a1 ( A) a 0E a1A a m Am.
考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一).doc
考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(一)(总分：52.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设A为n×m实矩阵，r(A)=n，则(A) AA T的行列式值不为零． (B) AA T必与单位矩阵相似．(C) A T A的行列式值不为零． (D) A T A必与单位矩阵相似．（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列结论正确的是(A) 方阵A与其转置矩阵A T有相同的特征值，从而有相同的特征向量．(B) 任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．(C) 对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．(D) 设P T AP=B，若A为正定矩阵，|P|≠0，则B必为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.3.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式|A|=a≠0，λ是A的一个特征值，A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是(A) λ-1a n-1． (B) λ-1a n-2． (C) λa n-2． (D) λa n-1．（分数：1.00）A.B.C.D.4.设A为m×n实矩阵，r(A)=n，则(A) A T A必合同于n阶单位矩阵． (B) AA T必等价于m阶单位矩阵．(C) A T A必相似于n阶单位矩阵． (D) AA T是m阶单位矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.5.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是(A) B-1Q T AQB． (B) (B-1)T Q T AQB-1．(C) B T Q T AQB． (D) BQ T AQ(B T)-1．（分数：1.00）A.B.C.D.6.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是(A) ξ1． (B) ξ2． (C) ξ1-ξ2． (D) ξ1+ξ2．（分数：1.00）A.B.C.D.7.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然(A) 有n个特征值等于1． (B) 有n-1个特征值等于1．(C) 有1个特征值等于1． (D) 没有1个特征值等于1．（分数：1.00）A.B.C.D.8.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是1.00）A.B.C.D.9.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是(A) A的n个特征向量两两正交．(B) A的n个特征向量组成单位正交向量组．(C) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=n-k．(D) A的k重特征值λ0有r(λ0E-A)=k．（分数：1.00）A.B.C.D.10.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是(A) A2=E． (B) r(A+E)＜n．(C) A的各行元素之和均为-1． (D) A T=-A，且1是A的特征值．（分数：1.00）A.B.C.D.11.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果(A) r(Ａ)=r(Ｂ)． (B) A，B为同型矩阵．(C) A，B的正惯性指数相等． (D) 上述三项同时成立．（分数：1.00）A.B.C.D.12. 1.00）A.B.C.D.13.设二次型f(x1，x2，…，x n)=x T Ax，其中A T=A，x=(x1，x2，…，x n)T，则f为正定二次型的充分必要条件是(A) f的负指数是0． (B) 存在正交矩阵Q，使Q T AQ=E．(C) f的秩为n． (D) 存在可逆矩阵C，使A=C T C．（分数：1.00）A.B.C.D.14.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) A+B，A-B，AB是正定矩阵．(B) AB的特征值全大于零．(C) 若AB=BA，则AB是正定矩阵．(D) 对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.15.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是(A) 矩阵A有n个不同的特征值．(B) 矩阵A与A T有相同的特征值和特征向量．(C) 矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．(D) 矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．（分数：1.00）A.B.C.D.16.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与A T合同中正确的个数是(A) 3个． (B) 2个． (C) 1个． (D) 0个．（分数：1.00）A.B.C.D.17.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则(A) 当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．(B) 当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．(C) 当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．(D) 当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．（分数：1.00）A.B.C.D.18.设A=(a ij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是(A) a ij≥0(i=1，2，…，n)． (B) A-1为正定矩阵．(C) A*为正定矩阵． (D) 对任意正整数k，A k为正定矩阵．（分数：1.00）A.B.C.D.19.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是(A) A-kE～Λ-kE(k为任意常数)． (B) A m～Λm(m为正整数)．(C) 若A可逆，则A-1～Λ-1． (D) 若A可逆，则A～E．（分数：1.00）A.B.C.D.20. 1.00）A.B.C.D.21.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是(A) α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．(B) α(C) α是矩阵A* 1.00）A.B.C.D.22.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是(A) A，B都相似于对角矩阵． (B) |λE-A|=|λE-B|．(C) 存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=B． (D) 存在可逆矩阵P，使得AB T=P T B．（分数：1.00）A.B.C.D.23.1.00）A.B.C.D.24.正定实二次型的矩阵必是(A) 实对称矩阵且所有元素为正数． (B) 实对称矩阵且对角线上元素为正数．(C) 实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数． (D) 实反对称矩阵且行列式值为正数．（分数：1.00）A.B.C.D.25.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是(A) A有n个相异的特征值．(B) A T有n个相异的特征值．(C) A有n个相异的特征向量．(D) A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．（分数：1.00）A.B.C.D.26.设矩阵A与B相似，则必有(A) A，B同时可逆或不可逆． (B) A，B有相同的特征向量．(C) A，B均与同一个对角矩阵相似． (D) 矩阵λE-A与λE-B相等．（分数：1.00）A.B.C.D.27.A既相似又合同的是1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：18，分数：25.00)28. 1.00）填空项1:__________________29.若二次型f(x1，x2，x3 1.00）填空项1:__________________30.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)*的特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________31.设-1，5，λ 3.00）填空项1:__________________32.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________33.设AP=PB 2.00）填空项1:__________________34.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ 1.00）填空项1:__________________35.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．（分数：3.00）填空项1:__________________36.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________37.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项1:__________________38. 2.00）填空项1:__________________39.若实对称矩阵A 1.00）填空项1:__________________40.若二次型1.00）填空项1:__________________41. 1.00）填空项1:__________________42. 2.00）填空项1:__________________43.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．（分数：1.00）填空项1:__________________44.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．（分数：1.00）填空项1:__________________45. 1.00）填空项1:__________________。
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考研数学一-矩阵的特征值和特征向量、线性代数二次型(总分：185.04，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.设A=(a ij)n×n为正定矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.a ij≥0(i=1，2，…，n)．B.A-1为正定矩阵．C.A*为正定矩阵．D.对任意正整数k，A k为正定矩阵．2.设A，B为n阶矩阵，则A与B相似的充分必要条件是（分数：1.00）A.A，B都相似于对角矩阵．B.|λE-A|=|λE-B|．C.D.3.设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.矩阵A有n个不同的特征值．B.矩阵A与A T有相同的特征值和特征向量．C.矩阵A的特征向量α1，α2的线性组合c1α1+c2α2仍是A的特征向量．D.矩阵A对应于不同特征值的特征向量线性无关．4. 1.00）A.B.C.D.5. 1.00）A.B.C.D.6.已知A，B均为n阶正定矩阵，则下列结论不正确的是（分数：1.00）A.A+B，A-B，AB是正定矩阵．B.AB的特征值全大于零．C.若AB=BA，则AB是正定矩阵．D.对任意正常数k与l，kA+lB为正定矩阵．7.下列结论正确的是（分数：1.00）A.方阵A与其转置矩阵A T有相同的特征值，从而有相同的特征向量．B.任意两个同阶的对角矩阵都可以相似于同一个对角矩阵．C.对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的．D.设P T AP=B，若A为正定矩阵，|P|≠0，则B必为正定矩阵．8.设线性方程组(λE-A)x=0的两个不同解向量是ξ1，ξ2，则矩阵A的对应于特征值λ的特征向量必是（分数：1.00）A.ξ1．B.ξ2．C.ξ1-ξ2．D.ξ1+ξ2．9.设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值A的特征向量，则下列结论中不正确的是1.00）A.α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量．B.αC.α是矩阵A*D.α是矩阵P-1A的属于特征值A的特征向量，其中P为n阶可逆矩阵．10.设A为n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（分数：1.00）A.A的n个特征向量两两正交．B.A的n个特征向量组成单位正交向量组．C.) A的kD.) A11.二次型f(x1，x2，x3)=(x1-2x2)2+(x1-2x3)2+(x2-x3)2的规范形是1.00）12.设A为n阶矩阵，则在下列条件中，不是“A的特征值为-1”的充分条件的是（分数：1.00）A.A2=E．B.r(A+E)＜n．C.A的各行元素之和均为-1．D.A T=-A，且1是A的特征值．13.设α，β是n维列向量，αTβ≠0，n阶方阵A=E+αβT(n≥3)，则在A的n个特征值中，必然（分数：1.00）A.有n个特征值等于1．B.有n-1个特征值等于1．C.有1个特征值等于1．D.没有1个特征值等于1．14.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是（分数：1.00）A.A有n个相异的特征值．B.A T有n个相异的特征值．C.A有n个相异的特征向量．D.A的任一特征值的重数与其对应的线性无关特征向量的个数相同．15.设n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，则下述结论中不正确的是（分数：1.00）A.A-kE～Λ-kE(k为任意常数)．B.A m～Λm(m为正整数)．C.若A可逆，则A-1～Λ-1．D.若A可逆，则A～E．16.设A为m×n实矩阵，r（分数：1.00）A.=n，则(A) A T A必合同于n阶单位矩阵．B.AA T必等价于m阶单位矩阵．C.A T A必相似于n阶单位矩阵．D.AA T是m阶单位矩阵．17.设A为n阶矩阵，则下列命题①设A为n阶实可逆矩阵，如果A与-A合同，则n必为偶数②若A与单位矩阵合同，则|A|＞0⑧若|A|＞0，则A与单位矩阵合同④若A可逆，则A-1与A T合同中正确的个数是（分数：1.00）A.3个．B.2个．C.1个．D.0个．18.设A为n×m实矩阵，r（分数：1.00）A.=n，则(A) AA T的行列式值不为零．B.AA T必与单位矩阵相似．C.A T A的行列式值不为零．D.A T A必与单位矩阵相似．19.设n(n≥2)阶矩阵A的行列式|A|=a≠0，λ是A的一个特征值，A*为A的伴随矩阵，则A*的伴随矩阵(A*)*的一个特征值是（分数：1.00）A.λ-1a n-1．B.λ-1a n-2．C.λa n-2．D.λa n-1．20.设二次型f(x1，x2，…，x n)=x T Ax，其中A T=A，x=(x1，x2，…，x n)T，则f为正定二次型的充分必要条件是（分数：1.00）A.f的负指数是0．B.存在正交矩阵Q，使Q T AQ=E．C.f的秩为n．D.21.设A，B为实对称矩阵，则A合同于B，如果（分数：1.00）A.r(Ａ)=r(Ｂ)．B.A，B为同型矩阵．C.A，B的正惯性指数相等．D.上述三项同时成立．22.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α2，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则（分数：1.00）A.当λ1=λ2时，α1与α2必成比例．B.当λ1=λ2时，α1与α2必不成比例．C.当λ1≠λ2时，α1与α2必成比例．D.当λ1≠λ2时，α1与α2必不成比例．23.设A为n阶实对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则下列矩阵与A有相同特征值的是（分数：1.00）A.B-1Q T AQB．B.(B-1)T Q T AQB-1．C.D.BQ T AQ(B T)-1．24.1.00）A.B.C.D.25.A既相似又合同的是1.00）A.B.C.D.26.正定实二次型的矩阵必是（分数：1.00）A.实对称矩阵且所有元素为正数．B.实对称矩阵且对角线上元素为正数．C.实对称矩阵且各阶顺序主子式为正数．D.实反对称矩阵且行列式值为正数．27.设矩阵A与B相似，则必有（分数：1.00）A.A，B同时可逆或不可逆．B.A，B有相同的特征向量．C.A，B均与同一个对角矩阵相似．D.矩阵λE-A与λE-B相等．二、填空题(总题数：24，分数：35.00)28.已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，2)T，B=αβT，苦矩阵A，B相似，则(2A+E)*的特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________29.设4阶方阵A满足|3E+A|=0，AA T=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位矩阵，则方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________30.设n阶方阵A的各列元素之和都是1，则A的特征值是______．（分数：1.00）填空项1:__________________31.设A为n阶方阵，且A2-5A+6E=0，其中E为单位矩阵，则A的特征值只能是______．（分数：1.00）填空项1:__________________32.设A为n阶方阵．A≠E，且r(A+3E)+r(A-E)=n，则A的一个特征值是 1，（分数：1.00）填空项1:__________________33. 1.00）填空项1:__________________34.设A为n阶可相似对角化的矩阵，且r(A-E)=r＜n，则A必有特征值λ=______，且其重数为______，其对应的线性无关的特征向量有______个．（分数：3.00）填空项1:__________________35.设AP=PB 2.00）填空项1:__________________36.设A是2阶实对称矩阵，λ1，λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2是分别对应于λ1，λ2的单位特征向量，则矩阵B=A+ξ 1.00）填空项1:__________________37. 2.00）填空项1:__________________38. 1.00）填空项1:__________________39. 1.00）填空项1:__________________40.已知3阶方阵A的特征值为1，-1，0，对应的特征向量分别为α1=(1，0，-1)T，α2=(0，3，2)T，α3=(-2，-1，1)T，则矩阵A=______．（分数：1.00）填空项1:__________________41.设2阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，已知B=A2-3A+4E，则B=______．（分数：1.00）填空项1:__________________42.设-1，5，λ 3.00）填空项1:__________________43.设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，α是A的对应于特征值λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A-λ1ααT的两个特征值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________44.f(x1，x2，x3，x4A=______(Ⅱ 3.00）填空项1:__________________45. 2.00）填空项1:__________________46.若二次型f(x1，x2，x3 1.00）填空项1:__________________47. 2.00）填空项1:__________________48. 2.00）填空项1:__________________49.若二次型1.00）填空项1:__________________50.若实对称矩阵A 1.00）填空项1:__________________51.设A为n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，已知(A-E)B=0，(A+2E)C=0，r(B) +r(C) =n，且r(B) =r，则二次型x T Ax的标准形为______．（分数：1.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：24，分数：123.00)52.已知矩阵A=(a ij)n×n的秩为n-1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 53.已知n阶矩阵A的每行元素之和为a，求A的一个特征值，并求A k的每行元素之和，其中k为正整数．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 54.设A是3阶矩阵，λ0是A的特征值，对应的特征向量为ξ=(1，1，1)T，已知|A|=1，又A*是A的伴随矩阵，且5.00）__________________________________________________________________________________________ 已知A=E+αβT，其中α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3，)T，且αTβ=2．（分数：5.01）(1).求矩阵A的特征值与特征向量；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (2).证明A可逆，并求A-1；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (3).求行列式|A*+E|的值．（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ 设A和B均是n阶非零方阵，且满足A2=A，B2=B，AB=BA=0．证明：（分数：5.00）(1).0和1必是A和B的特征值；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是β的属于特征值0的特征向量．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ 设A，B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0，B2+B=0，证明：（分数：5.00）(1).-1是A，B的特征值；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).若AB=BA=0，ξ1，ξ2分别是A，B的对应于特征值λ=-1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________设A是4阶矩阵，λ=0是A 5.00）(1). 2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).问s，t满足什么条件时，sη1+tη2是A的对应于λ=0的特征向量．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________55.设A是3阶实对称阵，满足|A+2E|=0，AB=A 5.00）__________________________________________________________________________________________ 已知n阶非零矩阵A1，A2，A3满足5.01）(1).证明：A i(i=1，2，3)的特征值有且仅有1和0；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (2).证明：A i属于λ=1的特征向量是A j属于λ=0的特征向量(i≠j)；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (3).若α1，α2，α3分别是A1，A2，A3属于λ=1的特征向量，证明α1，α2，α3线性无关．（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________已知2 5.00）(1).若|A|＜0，判断A可否对角化，并说明理由；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).若ad-bc=1，|a+d|＞2，判断A可否对角化，并说明理由．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________5.00）(1).求参数a，b的值；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).问A能否相似于对角阵?说明理由．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________56.设3r(A) ＜3，并已知矩阵B有3个特征值λ1=1，λ2=-1，λ3=0，对应的特征向量分别为5.00）__________________________________________________________________________________________57. 5.00）__________________________________________________________________________________________ 设α，β是3维单位正交列向量，令A=αβT+βαT，证明：（分数：5.01）(1).|A|=0；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________(2).α+β，α-β是A的特征向量；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (3).A相似于对角阵，并写出该对角阵．（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=8，λ2=λ3=2，矩阵A属于特征值λ1=8的特征向量为α1=(1，k，1)T，属于特征值λ2=λ3=2的一个特征向量为α2=(-1，1，0)T．（分数：8.00）(1).求参数k及λ2=λ3=2的另一个特征向量；（分数：4.00）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值．若α1=(1，a，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(0，1，-1)T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．（分数：5.01）(1).求a的值；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (2).求A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ (3).若β=(-2，2，-1)T，求A nβ．（分数：1.67）__________________________________________________________________________________________ 58.求一正交变换，将二次型5.00）__________________________________________________________________________________________59. 5.00）__________________________________________________________________________________________60. 5.00）__________________________________________________________________________________________61.已知A为3阶实对称矩阵，二次型f=x T Ax经正交变换x=Qy Q=(α1，α2，α3)，5.00）__________________________________________________________________________________________ 62.已知(1，-1，0)T是二次型5.00）__________________________________________________________________________________________5.00）(1).试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用坐标变换；（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________ (2).如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值．（分数：2.50）__________________________________________________________________________________________63.已知二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax经正交变换x=Py P的第1数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 64.设A为n×n实对称矩阵，证明：r(A) =n的充分必要条件是存在n×n实矩阵B，使得AB+B T A正定，其中B T为B的转置．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________。
特征值、特征向量与二次型
4、特征多项式性质 1）、若x是A的对应于λ的特征向量，则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2）、设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值， p1, p2分别 是与之对应的特征向量，则p1+ p2不是A的特征向量 3）、方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4）、对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
3）、以这n个两两正交的单位特征向量为列向量构 成正交矩阵P,这时P-1AP = PTAP = Λ,其中对角方阵Λ 的元素排列顺序依次与P的列向量的排列顺序相对应 三、二次型及其标准形 1、实二次型及矩阵 含n个变量的二次齐次函数
f (x1, x2 ,L, xn )
= a x + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +L+ 2a1n x1xn 2 + a22 x2 + 2a23x2 x3 +L+ 2a2n x2 xn +L 2 + ann xn
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
线性组合 k x + k x +L+ k x 1 1 2 2 m m 也是A的对应于λ的特征向量. 的对应于λ
特征值问题及二次型
ϕ (λ ) = a 0 + a1λ + L + a s λs , ϕ ( A) = a 0 I + a1 A + L + a s A s 。
3）若 A 可逆，则（ 1 / λ ， ξ ）是 A 的特征对。
−1
证明
1）假设 λξ = Aξ = µξ ， λ ≠ µ 。故 (λ − µ )ξ = θ ，因为 ξ ≠ θ ， λ =
λi ， 所以 ai = 0 ， (i = 1,2, L, k ) .
代入（1）式，得 a k +1ξ k +1 = θ .因为 ξ k +1 ≠ θ ，所以 a k +1 = 0 ，故 ξ1 , ξ 2 , L , ξ k +1 线性无关。 ■
97
பைடு நூலகம்
例3
⎛ −1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 设 A = ⎜ − 4 3 0⎟ 。 ⎜ 1 0 2⎟ ⎝ ⎠
λI − A = (λ − 4) − 1 λ − 2
−1
λ1 = 4 ， λ 2 = λ3 = 1 . − 1 = (λ − 4) (λ − 1) 2 =0， λ −2
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 对于 λ1 = 4 ，解 ( 4 I − A) x = θ ，得 α 1 = ⎜1⎟ . 属于 λ1 = 4 的特征向量全体为 kα 1 。 ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 ( I − A) x = θ ， 得无关的 α 2 = ⎜ 1 ⎟ ，α 3 = ⎜ 0 ⎟ . 属于 λ 2 = λ3 = 1 对于 λ 2 = λ3 = 1 ， ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−1
因为 P 可逆，故 P = P 1 P2 L Ps 。 于 是 有 ■
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设向量组x1, x2, , xr线性无关,我们可以用以下办法把
x1, x2 , , xr标准正交化.
取 y1 x1
线
y2
x2
[ y1, x2 ] [ y1, y1]
y1
性
y3
x3
[ [
y1, y1,
x3 ] y1 ]
y1
[ y2, [ y2,
=
=
当x, y为行向量时,向量内积用矩阵表示为:[x, y] xyT 线 当x, y为列向量时,向量内积用矩阵表示为:[x, y] xT y
向量的内积满足以下的运算规律 :
性
(x, y, z为任意3个n为向量,为实数)
(1)可换性 [x, y] [ y, x]
代
(2)线性性 [ x, y] [x, y] [x, y]
, xr线性无关.
数
但是,若向量组x1, x2, , xr线性无关,在一般情况下,x1, x2, , xr
= 未必是正交向量组.不过我们可以从线性无关组x1, x2, , xr构造出
与之等价的两两正交的单位向量组,这一过程称为标准正交化.
= 下面我们介绍如何把线性无关向量组x1, x2, , xr标准正交化,
2
线
一般地,我们有下面的定义 :
性
定义3 对于n维向量x, y,若满足[x, y] 0,则称x与y正交.代
由定义不难看出，零向量与任何同维向量都正交。
定义4
数
一组两两正交的非零向量组称为正交向量组
1 2 2
=
例如,
x
2
,
y
1 ,
z
2
是正交向量组.
2 2 1
=
定理1 若n维向量组x1, x2, , xr是正交向量组,则向量组
然后再把它们单位化,即取
= e1
y1 y1
, e2
y2 y2
,
, er
yr yr
, 就得到r个正交单位向量组e1, e2,
, er
b1 c2
a1; 为a2在
b1
几 上的
何解释 a
投影向量,即
3
b3
线
c2 [a2 , b1 ] b1 b1 b1
[a2 ,b1] b1 2
b1
,
b2 a2 c2;
x3 ] y2 ]
y2
代
yr
xr
[ y1, xr ] [ y1, y1]
y1
[ y2 , xr ] [ y2, y2 ]
y2
[ yr1, xr ] [ yr1, yr1]
yr 1
(5.3)
数
= 可以证明y1, y2 , , yr两两正交,且y1, y2 , , yr与x1, x2 , , xr等价,
数
[x y, z] [x, z] [ y, z]
n
(3)非负性 [x, x] xi2 0,[x, x] 0 x 0
=
i 1
=
定义2 令
线
x x, x x12 x22 xn2 ,
称 x 为n维向量 x的长度或范数 .
性
对于任何非零向量x,可以证明 x 是单位向量.从向量 x
c3 为a3 在平行于b1 , b2的
c32
c3
c31
c2
b2
性 代
a2
平面上的投影向量,
a1 b1
由于b1 b2 ,故 c3等于a3分别在b1,b2上的投影
数
向量c31及 c32之和,即
=
c3
c31
c32
[a3
,
b1]
2
b1
[a3
,
b2]
2
b2
,
b3 a3 c3 .
b1
b2
=
例2 试用施密特正交化方法把向量
1 1 1
1
1 ,2
1
,3
2
标准正交化.
线
1
1
3
解 : 先正交化取
1 1
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้
4 3
性
2
2
[2 , [1,
1 ] 1 ]
1
1 1
1 3
1 1
2 3 2
3
3
[3, 1] [1, 1]
1
[3, 2 ] [2, 2]
2
3
1 1 2 2 1 3 1
3 4
4 3
2
代
x到 x 的过程叫做把向量x单位化. x
数
=
=
向量长度(范数)具有下列性质 :
线
(1)非负性 x 0; x 0 x 0;
(2)正齐性 x | | x ;(为任意实数) 性
(3)三角不等式 x y x y ;
代
(4)Cauchy Shwarz不等式 |[x, y] | x y 数
特征值、特征向量与二次型
线
本章将把几何空间R3中数量积的概念 推广到向量空间Rn中，以使Rn中能有向量 性 长度、正交等概念。然后讨论：对一个n阶 方阵A，如何求出一个可逆的n阶方阵P， 代 使P-1AP具有尽可能简单的形式，即矩阵的 相似化简问题。最后讨论二次型化为标准 数 形问题，特别是用正交线性变换将二次型
n
n
n
即
| xi yi|
xi2
yi2
=
i 1
i 1
i 1
=
例1设 (2, 1, 2)T , (2, 2, 1)T , 求
(1) [, ];
(2) 把向量, 单位化;
线
解 : (1) [, ] 2 2 (1) 2 2 (1) 0
性
(2) 1 ( 2 , 1 , 2)T
化为标准形的方法，并给出判定二次型正 =
定性的充要条件。
=
§5.1 向量的内积
线
一、向量的内积
性
二、向量组的正交化
代
三、正交矩阵
数
=
=
一、向量的内积
线
定义1 设有n 维向量
x1
y1
性
x
x2
,
y
y2
,
代
xn
yn
数
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
称x, y为向量 x与 y的内积 .
x1, x2, , xr线性无关.
证 : 设有一组数k1, k2, , kr使
线
k1x1 k2 x2 kr xr 0
性
以x1T 左乘上式两端,得
k1x1T x1 0
代
又因x1 0,故x1T x1=
x1
2
0
,所以必有
k =0.类似地,可证 1
k =0, 2
,k r
=0,故向量组x1,
x2
,
9 3 33
代
1 ( 2 , 2 , 1)T
9 33 3
数
有Cauchy Shwarz不等式 可知, x y 0时,有
1 [x, y] 1
=
xy
称 arccos [x, y] 为向量x和y的夹角.
=
xy
二、向量组的正交化
由例1可知,向量 与的夹角为 arccos 0
即向量 和 垂直(也称为正交);
3
2
0
1
2
1
代 数
= =
3 2
再把它们单位化,得
3
e1
1 1
1 3
1 1 1
3
3
3
3
线
3
性
e2
2 2
3 26
4 3
2
3
2
3
6 3 6 6 6 6
代 数
0 0
=
e3
3 3
2
1
2