高二数学竞赛班讲义-第五讲--组合恒等式

高二数学竞赛班二试第五讲 组合恒等式班级 姓名一、知识要点：数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。

解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。

同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。

因此，在各类数学竞赛中经常被采用。

1．基本的组合恒等式简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。

事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。

课本中的组合恒等式有：①r n r n nC C -=； ②111r r rn n n C C C +++=+；③11k k n n kC nC --=； ④r m m r mn r n n m C C C C --=；⑤0122n nn n n n C C C C ++++=L ；⑥()01210.nnn n n n C C C C -+++-=L2．解题中常用方法① 运用基本组合恒等式进行变换；② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标；⑤ 运用赋值法进行证明；⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。

二、经典例题例1．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L .例1．证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：左边0121111112n n n n n n nC nC nC nC n ------=++++=⋅=L 右边例2．求和式21nk nk k C=∑的值。

例2．基本思路：将2k n k C 改写为k n k kC ⋅，先将k n kC 用恒等式3提取公因式n ，然后再将11k n kC --变形成为()11111k k n n k C C -----+，而()111k n k C ---又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数中均不含有变动指标k 了。

解：()21111111111111nn nnnk k k k k nnn n n k k k k k k Ck kC k nCn k Cn k C ------======⋅=⋅=⋅=-+⋅∑∑∑∑∑()()112111211111nnk k k k n n n n k k n k CCn n C C --------==⎡⎤⎡⎤=-⋅+=-⋅+⎣⎦⎣⎦∑∑ ()()21212121212111n n n nk k k k n n n n k k k k n n C C n n C n C --------====⎡⎤=-⋅+=-+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑()()21212212n n n n n n n n ---=-+=+例3．求()2004200501kkk C =-∑的值。

例3．解：()()2004200412200420052005200520050111kk k C C C C =-=-+-+-∑L()()()()20041122003200420042004200420042004200411C C C C CC =-+++-+-+L1= 。

例4．设,m n N +∈，求证：()()()122013313n k nm k m k mmn n -=+++=++-∑。

例4．基本思路：由两个连续自然数m k +与1m k ++的积，联想到可化为212m k C ++，进一步运用1111r r r r r r r r r k r r r k C C C C C C +++++++++=+++L L ，反复运用基本的组合恒等式2即可化简。

证明：()()()122212012n m m m n k m k m k CC C -+++=+++=+++∑L()()22222222231232m m m n m C C C C C C C C ++⎡⎤=++++++-+++⎣⎦L L L()()33221123313m n m nC C m mn n +++=-=++- 例5．当m n ≤时，求证()()110mnrrm nrr m C C =⎧-⎪-=⎨⎪⎩∑例5．基本思路：利用基本组合恒等式4化简原式左边各项，使得化简后仅有r mn m C --中含有变动指标r 。

证明：显然，当m n =时，原式左边()()11mmmmm m C C =-=-。

当m n <时，利用基本组合恒等式4可得：()()m n m n =<左边()()11nnrrm r m m r m n n mnn m r mr m C CCC ----===-=-∑∑。

只要令r m k -=，原式即可变为：()()()()11110nn m n m rm kmkmr m m k m k nn mnn mnn m r mk k CCCCCC --+----===-=-=--=∑∑∑。

即原式成立。

说明：变换求和指标是解决较复杂的组合记数的一种常见技巧，它可以起到简化计算的目的。

变换求和指标时，要注意求和指标的上、下限需要同时变换。

例6．求证：()21202!22!!nk n n k n C n n -==+⋅⋅∑。

例6．证明：()22222122222222201122nnnnk k k nk n n n nnnnnn n n k k k n k n CC CCC C C ++===+=+=-=-=-+++∑∑∑∑L()12120222222220222n nnn n nknk nnnnnn n k k CCCC C C ---===-+++=-=-+∑∑L所以()22121222202!22,2222!!nnnk nn k n n n nnnk k n C CC C n n --===+=+=+=⋅⋅∑∑右边。

例7．求证：()()()()222012!!!n nn n n C C C n n +++=⋅L例7．基本思路1：此题若考虑用基本组合恒等式来证明是比较困难的，注意到左端各项恰好是二项展开式中各项系数的平方，考虑构造两个二项展开式。

证明：因为：()1011111,1n nnn nn nnnn n n x C C x C x C C C x x x ⎛⎫⎛⎫+=++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L显然，()111nnx x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项即为所求证等式的左端。

不妨设0x >，将原式变形为：()()211111112n nn n nx x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦将上式展开，其中常数项为2nn C ，由此可知，原式成立。

基本思路2：注意到恒等式r n r n nC C -=，要证的等式的左边可变形为： 0110n n n n n n n n n C C C C C C -+++L ；而等式右边即为：()()()22!2!!!!2!n nn n C n n n n n ==⋅⋅-，因此可以考虑建立适当的组合记数模型来加以证明。

证明：设袋子中有n 个白球，n 个红球，现从这2n 个小球中随机抽取n 个小球，其方法种数为：()22!!!nn n C n n =⋅。

另一方面，可以看成1n +次如下的取球活动：从n 个白球中取出r 个，再从n 个红球中取出n r -个，其取法种数为：()2,0,1,2,,rn rrn n n C C C r n -==L ，所以符合题意的取球方法种数是：()()()22201n nn n C C C +++L 。

因此原式成立。

说明：本题的两种证明方法均采用了构造思想。

构造法是解决竞赛问题的一种常用方法。

例8．求证：∑=+--+=⋅-nk kk n k n kn C 01222.12)1(例8．【分析】考虑到恒等式12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，【证明】令∑=+--⋅⋅-=nk kk n k n kn C a 01222,2)1(因为，12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，.2)1(2)1(2)1(,1.2)1(2)1()(2)1(22)1(211)1(2102)1(21)1(212)1(21121221212202221212222112222-+---=--+---=--+--=---=-=----=--=+---=--=⋅-=⋅--=⋅-+⋅-=+⋅-+=⋅-+=∑∑∑∑∑∑∑n r r n n r r n r rr n n r r n r k kn nk kn kk k n nk k n k nk kkn kn kk k n nk k k n k n k nnk kk n k n k nn a C C Ck r C C C C C a 则令所以令∑=---+==⋅-nk n n n n kk n k n ka ab b C 01222,2)1(则 ①.42)1(4)1()(2)1(2)1(2)1(21110)1(22)1(211121112222112222---=---------=----=---=⋅--=-++⋅-+=-+⋅-+=∑∑∑n n n j j jn j n j n n k k n n k k k n k n k nn k n k k n k n k nn b a C a C C C b 又于是由①式得1221112112,4,---------=+--=++=n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 即从而推知. 这说明{a n }为等差数列，而a 0=1,a 1=2，故公差d=1，且a n =n+1 .【说明】此题运用变换求和指标的方法，找出了a n ，a n －1，a n －2之间的线性关系式，再由 初始条件求得a n .这种利用递推关系求组合数的方法，在解决较复杂的计算或证明组事恒等式时经常用到.三、巩固练习 1．求证：11mm n n n m C C m--+=。

2．求证：当n 是偶数时，123411122232n n n n n n n n n C C C C C C --+++++++=⋅L 。

3．求证：1012311112123411n n nn n n n C C C C C n n +-+++++=++L 。

（利用111111k k n n C C k n ++=++）4．求121n k n k C--=∑的值。