高考数学：几何综合法与向量坐标法,孰优孰劣
向量法与综合法,孰优孰劣
向量法与综合法,孰优孰劣作者：陈名树来源：《广东教育·高中》2011年第08期近几年的高考中，对于新课改地区的立体几何解答题一般都可以选择两种方法：一种综合法；一种是向量法（主要是指坐标向量法）.基于目前大部分学生计算能力不强，根据快速、不易错的标准，到底这两种方法孰优孰劣？我们在下笔之前该如何做出合理的选择？现以2011年广东高考理科数学第18题为例分析如下，供参考与研讨.如图5，在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60°,PA=PD=■，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点，（1）证明：AD⊥平面DEF;（2）求二面角P-AD-B的余弦值.综合法解之如下：（1）取AD的中点G，又PA=PD，∴PG⊥AD，由题意知△ABC是等边三角形，∴BG⊥AD，又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，∴AD⊥平面PGB，∵EF∥PB，DE∥GB，∴平面DEF∥平面PGB∴AD⊥平面DEF.(2) 由（1）知∠PGB为二面角P-AD-B的平面角，在Rt△PGA中，PG2=■2-（■）2=■；在Rt△BGA中，BG2=12-（■）2=■；在△PGB中，cos∠PGB=■=-■.向量法解之如下：(1)∵AD=AB=1,∠DAB=60°,ABCD是边长为1的菱形，∴△ABD、△CBD均为边长为1的正三角形.∵E为BC的中点，∴BC⊥DE.又∵AD//BC，∴AD⊥DE.以D为原点，■，■的方向分别为X轴，Y轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则有D（0，0，0），C（-■，■，0），A（1，0，0），取AD的中点G，连PG，GB.由GB// DE，AD⊥BG，可得B（■，■，0），G（■，0，0）.∵PA=PD，∴PG⊥AD，∴可设P（■，y，x）.于是■=（0，■-y，-z），■（■，y，z）（或用■=（■，-y，-z））∴|■|2=（■-y）2+z2=4……①|■|2=■+y2+z2=4……②解得P（■，-■，1），又C（-■，■，0），∴ F（0，0，■）.■=（1，0，0）.∴ ■=（0，0，■）,■=（0，■，0）. ∵■·■=0,■·■=0 ，∴■·■，■⊥■，∴AD⊥平面DEF.(2)由(1)得■=（■，-■，1），■=（1，0，0），设面PAD的法向量为■=（x，y，z），由于■·■=■x-■y+z=0，且■·■=x=0，所以取■=（0，-1，-■）.又∵面ABD的法向量■=（0，0，1），∴cos ＜■，■>=■=■=-■.分析：本题主要考查空间中线面关系、二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力和运算能力.若选综合法证明（1），证AD⊥DE比较容易，但要证AD⊥DF或证AD⊥EF却有一定的困难，如果先选择做第二问求二面角，由于找中点用定义法找二面角平时训练比较多，比较容易入题，找到二面角之后再回过来看第一问，那真是“柳暗花明又一村”！若选用向量法，固定的程序：建系、写坐标、数量积、求法向量、套公式、作答.但大部分考生在第一个环节建系就被卡住了：没有现存的两两垂直的直线！即使勉强建系了也面临着P点的坐标不好确定.两种方法相比之下，综合方法优势明显.后者尽管思路人尽皆知，但由于解答程序多，出错可能性自然就大.笔者曾在高二理科班做过实验，分别找了A、B两组各10人数学水平相当的考生限定15分钟内完成此题，要求A组用向量法，B组用综合法.实验结果：A组全对2人，B组5人；做错的同学大都是计算问题，A组错法几乎分布在各个环节：写点的坐标、向量坐标、法向量、套公式.高考立体几何解答方法的选择策略高考立体几何题所占分值在20分左右，倾向于“一大一小”或“两小一大”，题目难度适中，命题形式比较稳定.因此，立体几何题向来是兵来必争之地.但近几年高考考生在立体几何这个知识点上答题情况却不是很理想，比如今年广东的这个题全省得分只有5.85分（总分13分）.面对立体几何题特别是解答题，要想在这个题上在有限的时间内拿到稳定的分数，审题之后，如何迅速决策采用综合法还是向量法或兼而用之就成为了一个关键.通过前面这道例题，我们发现：用向量法（本质是代数法）来解决中学几何问题，克服了综合法（本质是几何法）常常需要添置若干辅助线而显得思路曲折的缺点，以算代证，数形结合，因而使解题思路更加清晰、简捷，解法顺理成章.尤其是求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法.但是，我们也注意到：向量法尽管易操作但过程多，一个坐标写错就会导致“满盘皆输”，综合方法，有时只需用一个定理、作一条辅助线就可搞定.基于此，作为一个策略，笔者建议：1．题设背景不容易建系或者非坐标向量法亦不好用，没有考虑的余地应用传统的综合法解之.2．题设背景在以正方体、长方体、直棱柱、正棱锥为背景或是具备两两垂直(有时需要通过线面垂直、面面垂直的性质定理证出)的问题中，这时往往两种方法均可运用但不可急于建系解决，先要看看是否较容易证（平行、垂直）、较容易找（线线角、线面角、面面角）、较容易求（距离、体积、面积），如果综合法不可以或不方便再用向量法亦不迟.练习：1．（2011年全国新课标理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.思路点拨：本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明.（II）用综合法“作-证-求”二面角的平面角在此有一定难度，用向量法，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小.答案：-■.2．（2011年陕西卷理科）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设E为BC的中点，求■与■夹角的余弦值．思路点拨：（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．答案：■.（作者单位：东莞市塘厦中学）责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。
高考数学立体几何题大纲详解
高考数学立体几何题大纲详解在高考数学中，立体几何题一直是许多同学感到棘手的部分。
然而，只要我们掌握了相关的知识和解题方法，就能在考试中轻松应对。
接下来，让我们详细了解一下高考数学立体几何题的大纲。
一、基础知识1、空间几何体的结构特征我们要熟悉常见的空间几何体，如棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征。
知道它们的定义、性质以及如何通过直观图和三视图来识别这些几何体。
2、表面积与体积对于不同的几何体，我们需要掌握其表面积和体积的计算公式。
例如，正方体的表面积为 6a²（a 为边长），体积为 a³；圆柱的表面积为2πr(r ＋ l)（r 为底面半径，l 为母线长），体积为πr²h 等等。
3、点、线、面的位置关系这部分包括线线平行、线线相交、线面平行、线面相交、面面平行、面面相交等关系。
要理解这些关系的定义、判定定理和性质定理。
二、空间向量在立体几何中的应用1、空间向量的概念与运算了解空间向量的定义、坐标表示以及加减乘等运算规则。
2、利用空间向量证明平行与垂直通过计算向量的数量积来判断线线、线面、面面的平行与垂直关系。
3、利用空间向量求空间角和距离例如，利用向量的夹角公式求异面直线所成的角、线面角、二面角；利用向量的模长求点到直线、点到平面的距离等。
三、解题方法1、几何法通过直观的图形观察和几何定理的运用来解题。
比如，证明线面平行时，可以通过构造平行四边形或者找线线平行来实现。
2、向量法建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量的运算问题。
这种方法往往计算量较大，但思路相对清晰。
四、常见题型1、证明题要求证明线线、线面、面面的平行或垂直关系。
在解题时，要根据题目所给条件，选择合适的定理和方法。
2、计算题计算几何体的表面积、体积、空间角或距离。
此类题目需要我们准确运用相关公式和方法，注意计算的准确性。
3、综合题将证明和计算结合在一起，考查我们对立体几何知识的综合运用能力。
高考数学中的向量与坐标系运算技巧
高考数学中的向量与坐标系运算技巧高考数学考试中，向量与坐标系运算技巧是一个重要的考点。
在解答相关题目时，合理运用向量与坐标系的知识，能够帮助我们更快地得出答案。
本文将介绍一些常见的向量与坐标系运算技巧，希望能对备战高考的同学有所帮助。
一、向量的加减法在高考数学考试中，向量的加减法是必不可少的内容。
在进行向量的加减法时，我们需要明确向量的起点与终点，并按照相应的规则进行计算。
下面以一个例题来说明：例题：已知向量OA=2i+3j，向量OB=-i-4j，求向量AB的坐标表示。
解析：根据向量的定义，向量AB等于向量OB减去向量OA，即AB = OB - OA。
将向量的坐标分量相减，可以得到AB = (-1-2)i + (-4-3)j = -3i - 7j。
二、向量的数量积与数量积的性质1. 数量积的定义和性质数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要形式。
两个向量的数量积定义如下：若已知向量a = a1i + a2j，向量b = b1i + b2j，则向量a与向量b的数量积记作a·b，其计算方式为：a·b = a1b1 + a2b2。
数量积具有以下性质：(1) 交换律：a·b = b·a(2) 结合律：(ka)·b = k(a·b)(3) 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c2. 数量积的应用数量积在几何与物理中有广泛的应用。
其中，角的余弦可以通过数量积来计算，即cosθ = (a·b) / (|a| |b|)，其中θ为向量a与向量b之间的夹角。
另外，在解决向量共线、向量垂直等问题时，也可以运用数量积的性质进行计算。
三、坐标系运算技巧坐标系是高考数学中常见的概念，也是解答相关题目的基础。
在解答坐标系相关题目时，我们通常需要明确坐标系的类型（如直角坐标系、极坐标系等），并合理运用坐标系的性质进行计算。
解析几何与向量代数
解析几何与向量代数解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们在几何学和代数学中有着广泛的应用。
本文将重点介绍解析几何和向量代数的基本概念、性质和应用，以及它们之间的关系。
一、解析几何解析几何是几何学的一种方法，它利用坐标系统的概念和代数方法来研究几何问题。
在解析几何中，我们可以通过将点、直线、平面等几何对象与坐标系中的点和向量相对应，将几何问题转化为代数问题，从而进行分析和求解。
1.1 坐标系在解析几何中，我们通常使用笛卡尔坐标系作为基本坐标系。
笛卡尔坐标系由一个二维平面上的横轴和纵轴组成，通过将横轴和纵轴上的某一点相交得到原点，以及通过度量轴上的距离来确定点的位置。
在三维空间中，我们可以使用三维笛卡尔坐标系来描述点的位置。
1.2 点、直线和平面的表示在解析几何中，我们可以用坐标来表示点、直线和平面。
对于平面上的点，我们可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x和y分别表示点在横轴和纵轴上的坐标。
对于空间中的点，我们可以用一个有序数三元组(x, y, z)来表示。
直线可以通过一个点和一个方向向量来表示，其中方向向量表示了直线的方向和倾斜程度。
平面可以通过一个点和两个不共线的方向向量来表示。
根据点和向量的关系，我们可以使用向量来进行点和直线、平面之间的运算和推导。
1.3 距离和角度的计算在解析几何中，我们可以通过坐标计算点之间的距离和角度。
对于平面上的点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过勾股定理来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。
对于空间中的点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以通过三维勾股定理来计算。
角度的计算可以使用向量的点积和模长来实现。
对于平面上的两个向量a和b，它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a||b|)，其中·表示向量的点积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
向量法与综合法解题比较
．
例 ５ 在 平行 四边形 Ｊ Ｅ ； Ｃ 中， Ｚ ＢＡ Ｄ 是钝角， 且Ａ Ｃ ２ ． ＢＤ２ ＝Ａ Ｂ ４ ＿ ＋ Ｄ４ ． 求Ｚ ＢＡ Ｄ． 解法 １ ： ＡＣ ． ＢＤ２＝ ＡＢ４ ＋ Ｄ４ 即ｆ 百 ＋Ａ １ ９ ） ２． （ Ａ Ｂ 一Ａ１ ９ ） ２＝ Ａ Ｂ ４ ＋
△ＢＦＭ △ ＥＭ ，ＦＭ ＝ ＥＭ ，点 Ｍ 是 直
（ １ －ｔ ）
于是 ｔ
解 得
．
＋（ １
ＡＢ －ＢＥ
，
＝
＿１ ｊ
角 △ＥＦ Ｄ 斜边 ＥＦ 中点， 所 以 Ｍ Ｅ ＝Ｍ Ｄ． 例 ３ 给 定一 圆及 圆上两 点 和 Ｂ， 求圆 上 点 ， 使得 ＡＣ ＋ＢＣ 达 到 最 大值 ．
Ｆ交 Ｊ Ｅ ； 于 点 Ｄ．求 证 ： Ｄ ＝ ＤＦ．
例２ 如图２ △ Ｂ 中， 过点 Ａ作
‘ 直
线， 过 点 Ｂ 和 点 向该直 线 作 垂 线段 ＢＤ 和 Ｃ ， 点 Ｍ 是 Ｂ 中点 ． 求证 ： Ｍ Ｅ ＝ Ｍ Ｄ．
Ｃ
Ｂ
Ｆ
Ｄ
图２
解法 １ ：ＭＥ ２＝ Ｍ Ｄ２等 价 于 （ Ｍ ＋ Ｃｆ ： ） ２ ＝ｆ Ｍ Ｂ＋Ｂ ｚ ） ） ２ ，
理 证 明． ．
要 想 取 得 最 大 值 ，必 须 ｃ ｏ ｔ Ｃ 为 非 负 数 ，且 Ｓ ａＡ Ｂ Ｃ 取得 最 大值 ．
上述 两种解法都 表明， Ａ Ｂ 的垂直平分线 与 圆有两个交 点， 点 是远 离 Ａ Ｂ 的那个． 若 线段 Ａ Ｂ 恰好是 圆的直径， 那么这样 的点有 两
图１
即
２ ＋２
．
：
２ ＋２
．
高考数学如何有效利用坐标系解决几何题
高考数学如何有效利用坐标系解决几何题高考数学中的几何题一直是考生们的一个难点，尤其是在利用坐标系解决几何题方面更是令人头疼。
然而，如果我们能够熟练地运用坐标系，就能够在解决几何题时事半功倍。
本文将探讨如何有效地利用坐标系解决高考数学中的几何题。
1. 直角坐标系的应用直角坐标系是解决几何问题时最常用的一个工具。
我们可以将平面上的点与坐标系中的点一一对应，通过坐标运算来求解。
举个例子，假设有一个点A(x1, y1)和一个点B(x2, y2)，我们可以通过计算两点间的距离来判断它们的位置关系。
如果AB的距离等于0，那么A和B 就是同一个点；如果距离大于0，那么A和B就是不同的点。
除了计算距离，直角坐标系还可以帮助我们解决平面几何中的直线和曲线问题。
例如，我们可以通过计算两点间的斜率来确定直线的斜率、直线的方程等等。
此外，坐标系还可以帮助我们判断直线的相交情况，以及曲线的图形特征等。
2. 极坐标系的应用在解决某些几何问题时，使用极坐标系比直角坐标系更加方便。
极坐标系中，我们将一个点的位置通过极径和极角来表示。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点与极轴（通常为x轴）的夹角。
通过极坐标系，我们可以更加方便地描述圆、椭圆、双曲线等图形。
例如，对于一个圆来说，我们只需要知道它的圆心和半径即可完全确定它的位置和形状。
在利用极坐标系解决几何问题时，我们可以通过计算两点之间的极径和极角之差来确定它们的位置关系。
同时，我们还可以通过计算极坐标方程的导数来求解曲线的斜率，以及曲率等相关问题。
3. 三维坐标系的应用在高考数学中，我们不仅会遇到平面几何问题，还会涉及到空间几何问题。
针对空间几何问题，我们需要运用三维坐标系进行求解。
三维坐标系由x轴、y轴和z轴组成，用于表示空间中的点的位置。
类似于二维坐标系，我们可以通过计算两点之间的距离来确定它们的位置关系。
此外，三维坐标系还可以帮助我们解决直线、平面的方程问题，判断直线与平面的相交情况，以及与坐标轴的夹角等问题。
如何理解高中数学的向量和坐标系
如何理解高中数学的向量和坐标系高中数学的向量和坐标系是数学学科中重要的概念，对于理解几何和代数的关系、解决实际问题以及深入学习数学的其他领域都至关重要。
本文将介绍向量和坐标系的定义、性质以及它们在高中数学中的应用，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、向量的定义和性质向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在高中数学中，一般用字母加箭头（如A→）表示向量。
向量的大小表示了它的长度或者模，用符号|A→|表示；向量的方向用箭头的方向表示。
1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量进行相应的运算。
假设A→和A→是两个向量，则它们的加法和减法定义如下：向量的加法：A→ + A→ = A→向量的减法：A→ - A→ = A→其中，A→表示向量A→与A→的和向量，A→表示向量A→与A→的差向量。
2. 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是两种重要的运算。
向量的数量积又称为点乘，表示了两个向量之间的夹角关系。
向量的向量积又称为叉乘，表示了两个向量之间的垂直关系。
向量的数量积：A→ · A→ = |A→||A→|cos A向量的向量积：A→ × A→ = |A→||A→|sinAA→其中，A表示向量A→和A→之间的夹角，A→表示垂直于A→和A→所在平面的单位向量。
二、坐标系的定义和性质坐标系是一种用来描述点的位置的工具，通常用于平面和空间的几何研究中。
在高中数学中，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系由两条相互垂直的数轴组成，分别称为A轴和A轴。
每个点在直角坐标系中都可以用一对有序数$(x, y)$来表示，A表示点在A 轴上的位置，A表示点在A轴上的位置。
直角坐标系可以被用来描述平面上的点、直线和曲线。
2. 极坐标系极坐标系是由一个原点A和一条从原点出发的射线构成的。
每个点可以用$(r, A)$表示，其中A是点到原点的距离，A是射线与某一固定射线之间的夹角。
高三数学解析几何与立体几何知识总结与应用
高三数学解析几何与立体几何知识总结与应用解析几何和立体几何是高中数学中非常重要的两个分支，它们不仅在高考中占据较大的比重，而且在日常生活和工作中也有广泛的应用。
本文将从知识总结和应用两个方面进行讨论，帮助高三学生巩固解析几何和立体几何的知识，为将来的考试和实际运用做好准备。
一、解析几何知识总结1. 坐标系与向量解析几何的基础是坐标系和向量。
坐标系是通过数轴的标定，将平面或空间上的点与对应的坐标一一对应的方法。
一维坐标系为数轴，两维坐标系为平面直角坐标系，三维坐标系为空间直角坐标系。
向量由大小和方向组成，可以表示平面或空间上的位移和方向。
2. 直线与圆的性质直线是解析几何中最基本的图形，直线上的点可以用一元一次方程表示。
圆是由平面内到定点距离相等的点的集合，可以用圆心和半径表示。
掌握直线和圆的性质，可以利用它们进行图形的分析和计算。
3. 曲线与方程曲线是平面上的一组点的集合，可以通过方程来表示。
常见的二次曲线有抛物线、椭圆、双曲线等。
掌握曲线的方程，可以确定曲线的形状和性质，对应用问题进行解决。
二、立体几何知识总结1. 空间几何体空间几何体包括点、线、面以及由线和面组成的多面体。
常见的多面体有正方体、长方体、棱锥、棱台等。
掌握空间几何体的性质，可以进行图形的分析和计算。
2. 空间几何体的投影空间几何体的投影是指通过垂直于某个平面的直线，将空间几何体的影子投射到平面上形成的图形。
常见的投影有正交投影和斜投影。
掌握空间几何体的投影方法，可以在实际应用中进行物体的测量和分析。
3. 空间几何体的体积和表面积空间几何体的体积是指几何体所占据的空间大小，常用单位是立方米。
空间几何体的表面积是指几何体外表面的总面积，常用单位是平方米。
掌握计算空间几何体的体积和表面积的方法，可以在实际问题中进行数据的计算和估算。
三、解析几何与立体几何的应用1. 工程测量解析几何和立体几何在工程测量中有广泛的应用。
如通过测量矩形房间的长、宽、高，可以计算出房间的体积和表面积，从而确定材料的用量；通过测量地表和建筑物的坐标，可以进行道路和建筑物的规划和设计等。
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经典品读：几何综合法与向量坐标法，孰优孰劣
新课标要求我们能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量法在研究几何问题中的作用.其意图表明向量是一种数学工具，具有广泛的应用，同时也为研究立体几何提供了新的视角.但新课标又要求我们在学习中能灵活选择运用向量法与综合法，从不同角度解决立体几何问题.而实际上，我们在处理立体几何问题时，几何综合法和向量坐标法的使用情况怎么样呢？
分析对于题1，由于本题△ABO所在的平面就是空间直角坐标系xOy，所寻找的点M 是在△ABO内，其坐标设为（x，y，0），未知数仅有两个，列方程和解方程都比较方便. 因此，题1使用坐标法得分率比较高. 对于题2，从本题所提供的几何图形来看，建坐标系比较方便，多数同学开始就选择了坐标法，把求直线与平面所成角的问题转化为直线与平面法向量所成角问题. 绝大多数的同学按平常的解题思路，直接设H（x，y，z）. 从统计中发现，有三分之二的同学，根据条件OH∥平面PAB得到OH与平面PAB的法向量垂直，即（3，-3，4）·（x，y，z）=3x-3y+4z=0，有一半以上的同学不会建立第二个等式. 为什么只能列出一个式子，而不会列出第二个等式？其原因是，在高中阶段，当点在已知直线上时，多数同学知道利用向量共线来处理. 对于点在平面上（除特殊条件约束外），在空间直角坐标下，中学没有提及平面方程，绝大多数同学缺少处理点在平面上的经验. 这也是导致本题用坐标法处理得分低的重要原因之一. 从以上解法知，本题即使将直线PH与平面ABC所成角的正弦值表示为x的函数，求这个函数的值域并不是一件容易的事，其中求变量x的取值范围也并非易事.
向量坐标法的一般的操作步骤是：第一步，建立空间直角坐标系；第二步，计算相关点坐标及各线段对应向量；第三步，通过解方程求相应平面的法向量；第四步，根据向量数量积的公式列式并计算. 其解题实质就是将几何问题转化为数量问题进行量化处理. 坐标法虽
然运算要求较高，但技巧性不高，容易操作，解题过程程式化，可以通过做一定量的试题来进行强化训练. 我们处理立体几何解答题习惯使用坐标法，但对一些点或直线不在特殊位置上，即一些关键点不易用坐标表达时，解题思路容易被坐标法捆住. 题2得分低的主要原因就在于此.
2.2 综合法
对于题1，此题要求我们能从“平面PAC⊥平面ABC”和“△PAC与△ABC是等腰三角形”联想到平面与平面垂直的判定定理和性质定理，然后在△PAC中过P作PQ⊥OE，交OE于Q，交OA于H，并通过这些定理证明PH⊥平面BOE，再过F作FM∥PH，交BH 于M，点M即为所求.
分析此题为什么只有5%的同学选用综合法呢？对于题1，欲直接在△ABO内找一点M，使FM⊥平面BOE，会遇到两个较难处理的问题：一个是M点在哪里；另一个是平面BOE内能比较容易证明与FM垂直的两条直线在哪里. 对此，好多同学感到束手无策，因为要寻找所满足条件的FM离已知条件有些“远”. 俗话说：此处不留人，自有留人处. 能否在靠近已知条件比较“近”的平面上寻找解题突破口？由已知条件，不难发现平面PAC与平面BOE具有垂直关系. 解决此题的关键是将条件“平面PAC⊥平面ABC”转化为“平面BOE⊥平面PAC”，其“OB⊥AC”是连接两者的媒介. 从答题情况来看，我们除了心理上信奉坐标法外，还缺乏对条件“平面PAC⊥平面ABC”的深入思考，以及对平面与平面垂直判定定理和性质定理的理解，致使提取信息时思维通道被堵. 从统计中我们还发现，在平面POA内作出PH⊥OE，交OA于H后，有60%的同学在计算OH长时出现错误或思维发生障碍.。