2019湛江高考数学文科试题及答案

【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 1 页 共 13 页】试卷类型：A湛江市2019届高三调研测试题数学（文科）本试卷共6页，共23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上。

在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}5,2,1{=A ，{|2}=≤B x x ，则=B A A ．}1{B ．}5{C ．}2,1{D ．}5,2{2．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为A ．10B ．40C ．30D ．20 3．满足i ziz =+（i 是虚数单位）的复数=z A ．i 2121- B ．i 2121+ C ．i 2121+-D ．i 2121-- 4．双曲线1422=-y x 的焦点到渐近线的距离为 A ．2 B ．2C ．1D ．3小学 4500人初中3500人高中 2000人【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 2 页 共 13 页】5．已知非零向量m 、n 满足|n ||4=m |，且m 2(⊥m +n )，则m 、n 的夹角为A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为A ．53B ．54C ．158D ．263 7．曲线2+=x xy 在点)1,1(--处的切线方程为 A ．12+=x y B ．12-=x y C ．22--=x yD ．32--=x y8．正三棱锥的正视图如图所示，则侧视图的面积为 A ．212 B ．312 C ．26 D ．36 9．使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π 10．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．n =βα ，α⊂m ，β//m n m //⇒B ．βα⊥，m =βα ，n m ⊥β⊥⇒nC ．n m ⊥，α⊂m ，β⊂n βα⊥⇒D ．α//m ，α⊂n ，n m //⇒11．已设函数122,1,()1log ,1-⎧=⎨->⎩≤x x f x x x ，则满足()2≤f x 的x 的取值范围是A ．]2,1[-B ．]2,0[C ．],1[∞+D ．],0[∞+12. 点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3===AC BC AB ，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为 A ．16169π B ．16289π C ．1625πD ．π8【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 3 页 共 13 页】第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．若a x f x+-=121)(是奇函数，则=a ．14．设x 、y 满足不等式组10401--⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥x y x y y ，则y x z +=2的最大值为 ．15．圆心在直线x y 4-=上，且与直线01=-+y x 相切于点)2,3(-P 的圆的标准方程为 ．16．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足121+=-n n a a （*N n ∈，2≥n ），且11=a ，1+=n n a b ．（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ．【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 4 页 共 13 页】18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，PD PA =，AB PA ⊥，N 是棱AD 的中点．（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若2===AP AD AB ，求点N 到平面PAC 的距离．19．（本小题满分12分）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．频率16..0科目：语文 频率10.026.0.0科目：数学 A【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 5 页 共 13 页】20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率36=e ，且右焦点为)0,22(．斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为)2,3(-P ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求△PAB 的面积．21.（本小题满分12分）设函数)1(ln 2)(2xx a x x x f ---=（0>a ）． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）记函数)(x f 的最小值为)(a g ，证明：1)(<a g ．【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 6 页 共 13 页】请考生在第22、23二题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数1|72|)(+-=x x f . （Ⅰ）求不等式()≤f x x 的解集；（Ⅱ）若存在x 使不等式()2|1|--≤f x x a 成立，求实数a 的取值范围.【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 7 页 共 13 页】湛江市2019届高三调研测试题数学（文科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. B3. A4. C5. C6. A7. A8. D9. B 10. A 11. D 12. B6．提示：正视图中的虚线是三棱锥的高，可求得此高为4，底面边长为6，故侧视图的底边长为32．12．提示：O 为球心，O '为△ABC 的中心，易知当O D '过球心O 时四面体ABCD 的体积最大．433=∆ABC S ，331='=∆-O D S V ABC ABC D ，求得4='O D连结O C '并延长交AB 于E ，2360sin ==AC CE ，1='O C ， 由222O C O O OC '+'=，OD OC =得：1)4(22+-=OD OD ，所以817=OD 所以表面积16289)817(42ππ=⋅=S ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.21； 14. 7； 15.8)4()1(22=++-y x ； 16. 426-． 16．提示：依题意由正弦定理可得：b a c 2221+=，2221()322cos 28444+-+==+-a b a a b C ab b a （当且仅当abb a 483=时取等号）426-=． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵当2≥n 时，121+=-n n a a ，∴)1(222111+=+=+--n n n a a a ．………………………………………2分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 8 页 共 13 页】∴21=-n nb b ，2111=+=a b ． ∴数列{}n b 是以2为首项，公比为2的等比数列．…………………………4分（Ⅱ）解：n n n b b 2211=⋅=-…………………………………………………………………6分∵n n n n n T 22)1(232221132⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ， ①…………7分 ∴143222)1(2322212+⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ，② ………8分 ①-②：14322222221+⋅-+++++⨯=-n n n n T ， ……………10分∴112)1(2221222++⋅-+=⋅+-⋅--=n n n n n n T ． ………………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：依题意：AB AD ⊥，又∵AB PA ⊥，⊂PA 平面PAD ，⊂AD 平面PAD ，A AD PA = ，∴AB ⊥平面PAD ．……………………2分 ∵⊂AB 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ． ……………4分 （Ⅱ）解：在PAD ∆中，PD PA =，N 是棱AD 的中点， ∴PN AD ⊥，323==AP PN ．…………………………………………5分 由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ， ∴AB PN ⊥． 又∵A AD AB = ，∴PN ⊥平面ABCD ．…………………………………………………………6分 ∵AB CD //，AB ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ． 而⊂PD 平面PAD ，∴PD CD ⊥．∵2==PA PD ，2==AB CD ∴2222=+=CD PD PC ．………………………………………………8分A C【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 9 页 共 13 页】∵2==AD AB ，∴2222=+=AD AB AC ．∴等腰△PAC 中，7)21(2122=-⋅⋅=∆AP PC AP S PAC ．…………10分 设点N 到平面PAC 的距离为d ，∵NAC P PAC N V V --=，∴PN S d S NAC PAC ⋅⋅=⋅⋅∆∆3131．……………………………………………11分 ∴321217⨯⨯⨯=⋅d ，∴721=d ．∴所求距离为721． …………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意：获数学二等奖的考生的比例是24.04.026.01.01=---， 所以考生总人数为：5024.012=（人）． ………………………………………2分 所以该考场考生中语文成绩为一等奖的人数为：4)238.016.01(50=⨯--⨯（人）． ………………………………………3分（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为1x 、2x 、21s 、22s ，88592909384811=++++=x ，……………………………………………4分85587868489792=++++=x ，……………………………………………5分225425472222221=++++=s ， …………………………………………6分6.115112462222222=++++=s ． …………………………………………7分所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．……………………………………………8分（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人……………………………………………9分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 10 页 共 13 页】设两科成绩都是一等奖的3人分别为1A 、2A 、3A ，只有数学一科为一等奖的2人分别是1B 、2B ,只有语文一科为一等奖的1人是C ，所以随机抽取两人的基本事件为21A A 、31A A 、11B A 、21B A 、C A 1、32A A 、12B A 、22B A 、C A 2、13B A 、23B A C A 3、21B B 、C B 1、C B 2共15种． …………………………………10分而两人两科成绩均为一等奖的基本事件为21A A 、31A A 、32A A 共3种．所以两人的两科成绩均为一等奖的概率51153==P . …………………………12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得22=c ，36=a c ，解得32=a ． ………………………………1分 4222=-=c a b ，…………………………………………………………………2分∴椭圆的标准方程141222=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为m x y +=，代入椭圆方程得01236422=-++m mx x …………①， ………………………………………6分设),(11y x A 、),(22y x B ，AB 中点为),(00y x E ，………………………7分 则432210mx x x -=+=，400m m x y =+=．……………………………………8分因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以AB PE ⊥． ………………………………9分所以PE 的斜率为143342-=+--=m mk ，解得2=m ， 此时方程①为01242=+x x ． …………………………………………………10分 解得31-=x ，02=x ，所以11-=y ，22=y ，所以23||=AB ， 此时，点)2,3(-P 到直线AB ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， ………………………………………………………11分 所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． ……………………………………12分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 11 页 共 13 页】21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）显然)(x f 的定义域为),0(∞+．…………………………………………………1分 32322232))(2(22)21(21)(x a x x x x a x x x x a x x f -+=+⋅-+=+-+='．………3分 ∵022>+x ，0>x ，∴若),0(a x ∈，0<-a x ，此时0)(<'x f ，)(x f 在),0(a 上单调递减； 若),(∞+∈a x ，0>-a x ，此时0)(>'x f ，)(x f 在),(∞+a 上单调递增； 综上所述：)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(∞+a 上单调递增．…………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：a a a a a a a a a a f x f 1ln )1(ln 2)()(2min --=---==， 即：aa a a a g 1ln )(--=． ………………………………………………………6分 要证1)(<a g ，即证明11ln <--a a a a ，即证明a a a 11ln 12<--， 令111ln )(2-++=a a a a h ，则只需证明0111ln )(2>-++=aa a a h ，……8分 ∵33232)1)(2(2211)(a a a a a a a a a a h +-=--=--='，且0>a ， ∴当)2,0(∈a ，02<-a ，此时0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(上单调递减；当),2(∞+∈a ，02>-a ，此时0)(>'a h ，)(a h 在),2(∞+上单调递增， ∴0412ln 141212ln )2()(min >-=-++==h a h ． ………………………11分 ∴0111ln )(2>-++=aa a a h ． ∴1)(<a g ． ……………………………………………………………………12分22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）对曲线1C ：3cos 22x =θ，22sin y =θ， ∴曲线1C 的普通方程为1322=+y x ．…………………………………………2分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（文科） 第 12 页 共 13 页】对曲线2C ：24)cos (sin 22)4sin(=+⋅=+θθρπθρ， ∴8cos sin =+θρθρ．∴曲线2C 的直角坐标方程为08=-+y x ．…………………………………5分（Ⅱ）设曲线1C 上的任意一点为)sin ,cos 3(θθP ， ……………………………6分 则点P 到曲线2C ：08=-+y x 的距离2|8)3sin(2|2|8sin cos 3|-+=-+=πθθθd ， ……………………………8分 当1)3sin(=+πθ，即6πθ=时，23min =d ，此时点P 的坐标为)21,23(． …………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由()≤f x x 得：|27|1-+≤x x ， ………………………………………………1分∴270271-⎧⎨-+⎩≥≤x x x 或270271-<⎧⎨-++⎩≤x x x， 解得：762≤≤x 或8732≤≤x ．……4分 ∴不等式()≤f x x 的解集是]6,38[． …………………………………………5分 （Ⅱ）令1|1|2|72||1|2)()(+---=--=x x x x f x g ， 则6,17()410,1274,2⎧⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤x g x x x x ， ……………………………………………7分 ∴4)(min -=x g ． …………………………………………………………………8分 ∵存在x 使不等式()2|1|--≤f x x a 成立，∴min ()≤g x a ． ∴4-≥a ．…………………………………………………………………………10分注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.【湛江市2019届高三调研测试题数学（文科）第13 页共13 页】。