江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1．集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为．2．函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为．3．幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（x）=．4．计算：（）﹣lg﹣lg=．5．若α∈（﹣，0），cosα=，则tan（α﹣）=．6．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为cm2．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，x＜0时，f（x）=，则f（2）=．8．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，则其解析式是．9．已知sin（α+）=，则sin（2α﹣）=．10．把函数y=3sin（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所的函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．11．已知函数f（x）=则y=f[f（x）]﹣3的零点为．12．在△ABC中，BC=8，BC边上的高为6，则•的取值范围为．13．函数y=cos2x+2sinx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，则θ的取值范围是．14．函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围．二、解答题.（本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x﹣m＜5}，B={x|＜2x＜4}．（1）当m=﹣1时，求A∩∁U B；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．16．已知平面内点A（1，3），B（﹣2，﹣1），C（4，m）．（1）若A，B，C三点不共线，求m的取值范围；（2）当m=3时，边BC上的点D满足=2，求•的值．17．设π＜α＜2π，向量=（﹣2，1），=（sinα，2cosα），=（cosα，﹣2sinα）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sinα+cosα的值．18．保持合理车流密度是保证高速公路畅通的重要因素，距车管部门测算，车流速度v与车流密度x满足如下关系；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度可以达到90千米/小时；当车流密度达到400辆/千米时，发生堵车现象，即车流速度为0千米/小时；当车流密度在40辆/千米时到400辆/千米范围内，车流速度v与车流密度x满足一次函数关系．（1）求车流速度v与车流密度x的函数关系式v（x）；（2）试确定合理的车流密度，使得车流量（车流量=车流速度v（x）×车流密度（x））最大，并求出最大值．19．已知函数f（x）=4sinωxcos（ωx+）+2（ω＞0）．（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值取得最值时x 的值；（2）若y=f（x）在区间[﹣，]上为增函数，求ω的最大值．20．已知函数f（x）=x+，其中k∈R．（1）当k≥0时，证明f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）若对任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣﹣1|）﹣3k﹣2=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.）1．集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．【解答】解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故答案为：4．【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．2．函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为（﹣1，3]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得：﹣1＜x≤3．∴函数f（x）=lg（x+1）+的定义域为（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．3．幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（x）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】先设幂函数f（x）=xα，再根据其图象经过点，求出指数的值即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数f（x）的图象经过点，∴∴，∴幂函数f（x）=，故答案为：【点评】本题以幂函数为载体考查函数的值域，属于基本题．4．计算：（）﹣lg﹣lg=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（）﹣lg﹣lg=﹣==．故答案为：．【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力．5．若α∈（﹣，0），cosα=，则tan（α﹣）=3．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】转化思想；定义法；三角函数的求值．【分析】根据三角函数同角的关系式，求出tanα，然后利用两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：∵α∈（﹣，0），cosα=，∴sinα=﹣=﹣=﹣，则tanα===﹣2，则tan（α﹣）==，故答案为：3．【点评】本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的同角关系式以及两角和差的正切公式是解决本题的关键．6．已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题．【分析】根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π【点评】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，x＜0时，f（x）=，则f（2）=．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的奇偶性将f（2）转化为f（2）=﹣f（﹣2），然后直接代入解析式即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=﹣f（﹣2），∵x＜0时，f（x）=，∴f（2）=﹣f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（2）转化到已知条件上是解决本题的关键．8．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，则其解析式是f（x）=3sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由图知A=3，T=π，从而可求ω，再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z）求得φ，即可得其解析式．【解答】解：由图知，A=3，T=﹣（﹣）=π，∴ω==2，又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），即×2+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），∴f（x）=3sin（2x+），故答案为：f（x）=3sin（2x+）．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定φ是难点，属于中档题．9．已知sin（α+）=，则sin（2α﹣）=﹣．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．【解答】解：sin（2α﹣）=sin[2（a+）﹣]=﹣cos2（a+）=﹣[1﹣2sin2（a+）]=﹣（1﹣2×）=﹣，故答案为：﹣【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．10．把函数y=3sin（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所的函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象变换可得函数解析式为y=3sin（x+﹣φ），由图象的对称性可得φ﹣=kπ+，解得φ给k取值可得．【解答】解：把函数y=3sin（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到y=3sin[（x﹣φ）+）]=3sin（x+﹣φ）的图象，∵所的函数y=3sin（x+﹣φ）图象关于y轴对称，∴φ﹣=kπ+，解得φ=2kπ+，k∈Z，∵φ＞0，∴当k=0时，φ取最小值．故答案为：【点评】本题考查三角函数图象变换和图象的性质，属基础题．11．已知函数f（x）=则y=f[f（x）]﹣3的零点为﹣3．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】由分段函数及复合函数知f（x）=1，从而代入解得．【解答】解：∵f（x）=，∴2f（x）+1﹣3=0，即f（x）=1，∴sin x=1或2x+1=1，解得，x=﹣3；故答案为；﹣3．【点评】本题考查了分段函数的应用及复合函数的应用．12．在△ABC中，BC=8，BC边上的高为6，则•的取值范围为[20，+∞）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】建立平面直角坐标系，代入坐标计算数量积，求最值．【解答】解：以BC中点为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图，则B（﹣4，0），C（4，0），设A（a，6）．∴=（﹣4﹣a，﹣6），=（4﹣a，﹣6），∴•=（﹣4﹣a）（4﹣a）+36=a2+20≥20，∴则•的取值范围为[20，+∞）．故答案为[20，+∞）．【点评】本题考查了平面向量在几何中的应用，建立平面直角坐标系是解题关键．13．函数y=cos2x+2sinx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，则θ的取值范围是[]．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】利用平方关系化为关于sinx的一元二次方程，配方后由最小值为﹣，可得sinx=﹣，再结合x∈[﹣，θ]求得θ的范围．【解答】解：y=cos2x+2sinx=﹣sin2x+2sinx+1=﹣（sinx﹣1）2+2．∵函数y=cos2x+2sinx在区间[﹣，θ]上的最小值为﹣，∴﹣（sinx﹣1）2的最小值为，∴（sinx﹣1）2的最大值为，则sinx=﹣，∵x∈[﹣，θ]，∴θ∈[]．故答案为：[]．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．14．函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，若函数f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围[﹣1，1]．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】化简可得f（x）=，从而利用分段函数及二次函数的性质可得，从而解得．【解答】解：f（x）=x|2a﹣x|+2x=，由二次函数的性质可知，，解得，﹣1≤a≤1；故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了分段函数的性质的应用及二次函数的性质的应用．二、解答题.（本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x﹣m＜5}，B={x|＜2x＜4}．（1）当m=﹣1时，求A∩∁U B；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】（1）m=﹣1时，求出集合A与∁U B，再计算A∩（∁U B）；（2）利用A∩B=∅，列出不等式m+5≤﹣1或m﹣1≥2，求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m=﹣1时，A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|﹣1＜x＜2}；∴∁U B={x|x≤﹣1或x≥2}，∴A∩（∁U B）={x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜4}；（2）A={x|m﹣1＜x＜m+5}，若A∩B=∅，则m+5≤﹣1或m﹣1≥2；解得m≤﹣6或m≥3，∴m的取值范围是m≤﹣6或m≥3．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．16．已知平面内点A（1，3），B（﹣2，﹣1），C（4，m）．（1）若A，B，C三点不共线，求m的取值范围；（2）当m=3时，边BC 上的点D 满足=2，求•的值．【考点】平面向量数量积的运算；三点共线． 【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】（1）利用共线定理求出三点共线的条件，取补集即可；（2）求出的坐标，代入数量积公式计算．【解答】解：（1），，若A ，B ，C 三点共线，则，解得m=3．∴m 的取值范围是m ≠3．（2）m=3时，=（6，4），==（4，）. =（1，），∴•=6+=．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．17．设π＜α＜2π，向量=（﹣2，1），=（sin α，2cos α），=（cos α，﹣2sin α）．（1）若⊥，求α；（2）若|+|=，求sin α+cos α的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；函数思想；转化法；平面向量及应用． 【分析】（1）利用数量积的运算性质即可得出；（2）利用向量模的计算、三角函数的值的符号，即可求出答案．【解答】解：（1）=（﹣2，1），=（sin α，2cos α），=（cos α，﹣2sin α），⊥， ∴﹣2sin α+2cos α=0， ∴tan α=1， ∵π＜α＜2π，∴α=；（2）由|+|=，得||2+||2+=3，∴5﹣6sin αcos α=3，∴2sin αcos α=， ∴sin α与cos α同号， ∵π＜α＜2π，∴π＜α＜，∴sinα＜0，cosα＜0，∴sinα+cosα＜0，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=1+=，∴sinα+cosα=﹣．【点评】本题考查了数量积的运算性质、向量的模、三角函数的值等基础知识与基本技能方法，属于中档题．18．保持合理车流密度是保证高速公路畅通的重要因素，距车管部门测算，车流速度v与车流密度x满足如下关系；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度可以达到90千米/小时；当车流密度达到400辆/千米时，发生堵车现象，即车流速度为0千米/小时；当车流密度在40辆/千米时到400辆/千米范围内，车流速度v与车流密度x满足一次函数关系．（1）求车流速度v与车流密度x的函数关系式v（x）；（2）试确定合理的车流密度，使得车流量（车流量=车流速度v（x）×车流密度（x））最大，并求出最大值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数模型的选择与应用．【专题】应用题；分类讨论；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】（1）当40≤x≤400时，设函数v（x）=ax+b，根据题意即可确定a，b的值，进而求出v（x）完整的表达式；（2）先求出各分段的最值，再进行综合比较，得出当x=200时，函数取得最大值．【解答】解：（1）由题意：当40≤x≤400时，设v（x）=ax+b，由已知得，解得，故函数v（x）的表达式v（x）=；（2）设车流量为f（x），则f（x）=x•v（x），根据（1）得，f （x ）=，①当0≤x ＜40时，f （x ）为增函数， 当x=40时，其最大值为90×40=3600；②当40≤x ≤400时，f （x ）=﹣ [（x ﹣200）2﹣40000]， 当x=200时，函数取得最大值为10000； ③当x ＞400时，f （x ）=0，综合以上讨论得，当x=200（辆/千米）时，f （x ）max =10000（辆/小时）．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，以及分段函数的表示和最值的确定，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．19．已知函数f （x ）=4sin ωxcos （ωx+）+2（ω＞0）．（1）若f （x ）的最小正周期为π，求f （x ）在区间[﹣，]上的最大值和最小值取得最值时x的值；（2）若y=f （x ）在区间[﹣，]上为增函数，求ω的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）=2sin （2ωx+）+，可得周期和最值；（2）由三角函数的单调性和题意可得[﹣，]⊂[﹣，+]对某个k ∈Z 成立可得ω范围，可得最大值．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f （x ）=4sin ωx （cos ωx ﹣cos ωx ）+2=2sin ωxcos ωx ﹣2sin 2ωx ）+2=sin2ωx+cos2ωx+=2sin （2ωx+）+，∴f （x ）的最小正周期为=π，解得ω=1，∴f （x ）=2sin （2x+）+∵x ∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，当x=﹣时，f（x）取最小值﹣1；当x=时，f（x）取最大值2；（2）由2kπ﹣≤2ωx+≤2kπ+可解得﹣≤x≤+，k∈Z，由题意可得[﹣，]⊂[﹣，+]对某个k∈Z成立，必有k=0时，﹣≤﹣且≥，解得ω≤，∴ω的最大值为【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属中档题．20．已知函数f（x）=x+，其中k∈R．（1）当k≥0时，证明f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）若对任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣﹣1|）﹣3k﹣2=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，利用导函数在[，+∞）上大于0说明f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）对k分类求出函数在x∈[2，3]上的最小值得答案；（3）设2x﹣1=t，将问题转化为求方程t2﹣（3k+2）t+（2k+1）=0在（0，+∞）有2个交点，方程t2+（3k+2）t+（2k+1）=0在（﹣1，0）有1个交点求解．【解答】（1）证明：由f（x）=x+，得f′（x）=1﹣=，当k≥0时，若x∈[，+∞），则x2﹣（2k+1）≥0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增；（2）解：由k∈[1，7]，得2k+1∈[3，15]，函数f（x）=x+在（0，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，当，即2k+1∈[3，4）时，；当，即2k+1∈（9，15]时，＞6；当，即2k+1∈[4，9]时，≥4．∴对任意k∈[1，7]，不等式f（x）≥m在x∈[2，3]上恒成立，则实数m的取值范围是m；（3）设2x﹣1=t，则t＞﹣1，且t≠0，方程f（|2x﹣1|）﹣3k﹣2=0，即|t|+=3k+2，当t＞0时，方程可化为：t2﹣（3k+2）t+（2k+1）=0，由题意得，解得：＜k或k＞0 ①，当﹣1＜t＜0时，方程可化为：t2+（3k+2）t+（2k+1）=0，设f（t）=t2+（3k+2）t+（2k+1），只需对称轴x=﹣＜﹣1，f（﹣1）＜0，f（0）＞0即可，∴，解得：k＞0 ②，①，②取交集得：k＞0，∴实数k的取值范围是（0，+∞）．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查了函数的最值及其几何意义，训练了根的存在性及根的个数的判定方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．。