用动态圆解决磁场中粒子源问题

用动态圆解决磁场中粒子源问题
郭总福（甘肃省武威第六中学 733099）
在电磁学的学习中，经常遇到“粒子源”的问题，由于这类问题涉及的研究对象不明确，对空间想象能力要求较高，有的题目还需要挖掘隐含条件和分析临界状态，因此学生求解这类问题感到很困难。

本文试图通过认识动态圆来解决“粒子源”问题。

高中物理中粒子源问题有两类：第一类是在同一平面内沿某一方向发射的速率不同的同种带电粒子；第二类是在同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子。

第一类粒子源问题
粒子源能在同一平面内沿某一方向发射速率不同的同种带电
粒子（如电子、质子、α粒子等）。

这些带电粒子垂直于磁感线射
入匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动，它们的轨迹是如图1
所示的一簇与初速度方向相切的随速度增大而逐渐放大的动态圆。

它们有下列特点：
（1）各带电粒子的轨迹有一个公共切点，且它们的圆心分布
在同一条直线上的一簇动态圆。

（2）各带电粒子做匀速圆周运动的周期相等。

（3）速率大的带电粒子所走过的路程大，对应大圆。

例1：如图2所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，宽度为d ，边界为CD 和EF 。

一电子从CD 边界外侧以速率0v 垂直射入匀强磁场，入射方向与CD 夹角为θ。

已知电子的质量为m ，电荷量为e ，为使电子从EF 边界射出。

求电子的速率至少多大？
【解析】电子速率不同，其轨道半径不同，随着速率增加，其轨迹构成如图所示的一簇动态圆，为使电子EF 边界射出，轨道半径R 至少大于与EF 相切圆的半径。

由几何关系得
d R R =+θcos R
v m evB 2= )
cos 1(θ+==m eBd m eBR v 为使电子从EF 边界射出，其速率)cos 1(θ+≥m eBd v 【总结】带电粒子在磁场中以不同的速率运动时，圆周运动
的半径随着速率的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R 0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R 与R 0的大小关系确定范围。

第二类粒子源
粒子源能在同一平面内，沿各个方向发射相同速率的同种带电粒子，这些带电粒子垂直于磁感线射入匀强磁场，做同方向旋转的匀速圆周运动。

这类问题可以归结为这样一个几何模型:如图3所示,有一半径为R 的圆，绕圆周上的一点O 转动一周，圆平面扫过的区域就是以O 为圆心，2R 为半径的圆。

要准确把握这一模型，需要认识和区分三种圆
θ v 0 图2 C D E F
R 图3 O 图4
O 图1
（1）轨迹圆：各带电粒子的圆轨迹半径相等，运动周期相等。

随着入射速度方向的改变，它们构成一簇绕粒子源O 旋转的动态圆（图4中细实线所示）
（2）圆心圆：各带电粒子轨迹圆的圆心分布在以粒子源O 为圆心，qB
m v R =为半径的一个圆周上（图4中细虚线所示）。

（3）边界圆：带电粒子在磁场中可能经过的区域是以粒子源O 为圆心，2R 为半径的大圆（图4中粗虚线所示）。

例2（05年全国理综）如图5所示，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。

许多质量为m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率v ，沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域。

不计重力，不计粒子间的相互影响。

下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中qB
m v R =。

图6中哪个图是正确的？
【分析】：如图7所示，粒子在磁场中沿逆时针方
向运动，射入磁场的方向如图7所示。

不同粒子的轨迹
不同，这些轨迹是以半径为R 且绕O 点转动的一簇圆，
由于所有带电粒子在磁场中可能经过的区域应该是轨迹
圆扫过的区域，所以，只要判定出区域右侧边界是速度
沿ON 方向的粒子的圆轨道，就能迅速地得到A 答案。

【总结】本题通过“轨迹圆”的旋转形成“边界圆”
来确定粒子达到的范围。

例3：如图8所示，S 为电子射线源，能在图示纸面上360°范围内向各个方向发射速率相等的质量为m 、电量为e 的电子。

MN 是一块足够大的竖直挡板且与S
的水平距离OS ＝L ，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；
①若电子的发射速率为V 0，要使电子一定能经过点O ，则磁场的磁感
应强度B 满足什么条件？
②若磁场的磁感应强度为B ，要使S 发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？
③若磁场的磁感应强度为B ，从S 发射出的电子的速度为m
eBL 2，则档板上出现电子的范围多大？
【分析】 电子从S 发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆
周运动，由于电子从S 射出的方向不同，其受洛仑兹力方向不同，导致
电子的轨迹不同，分析可知，只有从点S 向与SO 成锐角且位于SO 上方
发射出的电子才可能经过点O 。

由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S 点旋转的
一簇动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最
高点与最低点的轨迹，如图9所示，最低点为动态圆与MN 相切时的交点
P 1，最高点为动态圆与MN 相割的P 2点，且SP 2为直径。

【解析】①要使电子一定能经过点O ，即SO 为圆周的一条弦，
O
M N S 图8 P 2 P 1
S O 图9
图7 O N
则电子做圆周运动的轨道半径必满足2L R ≥，由2L eB mv 0≥ 得：eL mv 2B 0≤ ②要使电子从S 发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的O 点，故仍有粒子圆周运动半径2L R ≥， 由2L eB mv 0≥ 有：m
2eBL v 0≥ ③当从S 发出的电子的速度为m eBL 2时，电子在磁场中的运动轨迹半径L qB
m v R 2=='作出图示的临界轨迹 ⌒ SP 1
， ⌒ SP 2 ，故电子击中档板的范围在P 1P 2间； 对 ⌒ SP 1由图知L 3L )L 2(OP 221
=-= 对 ⌒ SP 2由图知L L L OP 15)4(222=-= 【总结】本题通过“轨迹圆”的旋转，且充分利用“直径是圆的最大弦”这一临界条件
来寻找引起范围的“临界轨迹”，进而解决问题。

例4.如图10所示，电子质量为m ，电荷量为e ，从坐标原点O 沿xoy 平面射入第一象限，射入时速度方向不同，但大小都为v ,现在某一区域加一垂直于xoy 平面向外的匀强磁场。

磁感应强度为B 。

若这些电子穿过磁场后都能垂直打到平行于
y 轴的荧光屏MN 上。

求：
（1）荧光屏上光斑的长度。

（2）所加磁场范围的最小面积。

【解析】（1）如图11所示，若粒子的速度方向从x 轴正方
向逐渐偏向y 轴正方向，则其轨迹将是绕O 点转动的一簇动态圆，
这些轨迹的圆心绕着 ⌒ DEF 移动。

要使粒子能垂直打到荧光屏MN 上，粒子射出磁场时速度方向必与其轨道半径垂直，所以粒子射出磁场的轨道半径应该与y 轴平行，且绕着 ⌒ DEF 向下平移，故磁场的左边界应该是 ⌒ DEF 向上平移eB mv R =形成的，即 ⌒ ABC 。

沿x 轴正方向射出的粒子运动到A 点后，沿直线AG 打到G 点。

沿y 轴正方向射出的粒子运动到C 点后，沿直线CH 打到H 点。

其他方向射入的粒子应打在GH 之间，荧光屏上光斑的长度为： eB mv R GH == （2）沿任一方向射入第一象限的电子经过磁场偏转后
都能垂直打在荧光屏MN 上，所加磁场的最小面积是如图11
中阴影部分（包括边界）的面积。

此面积： 2222))(12(4143eB
mv R R R S +=-+=πππ 【总结】本题利用了动态园法，通过圆心圆的平移来寻找磁场的“临界边界”，然后利用几何关系确定光斑的长度和所加磁场范围的最小面积。

综上所述，求解粒子源问题，同学们一定要建立动态圆的模型，充分利用动态圆的缩放、平移、旋转来确定“临界条件”和“边界条件”，这是解决粒子源问题的关键。

O M N
y
x V 0 图10 A
B
C
图11 y
x O
D F E
M N
H G。