广东省东莞市高三数学模拟考试试题 理(一)新人教A版

东莞市2015届高三理科数学模拟试题(一)（满分150分） 考试时间：120分钟参考公式：柱体的体积公式V Sh =，锥体的体积公式13V Sh=. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置） 1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,4,3,5U A B ===，则图中阴影部分所表示的集合为( ）A.{}2,3B.{}1,4 C.{}5D.{}62.已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∨C.p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝3.已知向量()()()5,2,4,3,,a b c x y ==--=，若320a b c -+=，则c =（ ）A.()23,12-- B.()23,12C.()7,0D.()7,0-4.下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（ ）A.x xy e e -=+B.y x =-C.tan y x=D.1ln1xy x +=- 5.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A.263B.83π+C.143πD.73π6.已知等差数列{}n a 中，10,0a d >>，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，44b a =，前n 项和为n T ，则（ ）A.44S T > B.44S T < C.44S T = D.44S T ≤7.已知直线()1:2110l ax a y +++=，()()2:110l a x a y ++-=,若12l l ⊥，则a =（ ）A.2或12B.13或1- C.13 D.1-U AB111122主视图 侧视图俯视图8.已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数：①()2,xf x x R-=∈ ②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+； ④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞为有界函数的是（ ） A.②④ B.②③④ C.①③ D.①③④ 二、填空题：（本大题共7小题，其中9~13题为必做题，14，15为选做题，每小题5分，总分30分.）（必做题部分） 9. 函数()ln f x x x=在点()(),e f e 处的切线方程为___________________.10.在ABC ∆中，45,75,2A B c =︒=︒=，则此三角形的最短边的长度是________.11.已知递增的等差数列{}n a 满足21252,6a a a ==+，则na =___________.12.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为45，以其焦点为顶点，左右顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为____ __.13.如图，为了测量两座山峰上两点P 、Q 之间的距离，选择山坡上 一段长度为3003米且和P ,Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点 作为观测点，现测得四个角的大小分别是90PAB ∠=︒,PAQ PBA ∠=∠,60PBQ =∠=︒，可求得P 、Q 两点间的距离为 米.（选做题部分）14.（参数方程极坐标选做题）在极坐标系中，过点(2,)4π作圆2cos ρθ=的切线，切线的极坐标方程是 .15.（平面几何选讲选做题）如图，AB 为O 的直径，AC 切O 于点A ，且22AC =,过C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ，若CM MN ND ==,则BD= .三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）ABC DONM16.（本小题满分12分）已知函数()sin3cos1f x x xωω=-+（其中0,x Rω>∈）的最小正周期为6π.⑴求ω的值；⑵设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217fπα⎛⎫-=⎪⎝⎭，()1135fβπ+=，求()cosαβ+的值.17．（本小题满分12分）某工厂从一批产品中随机抽取40件进行检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[]96,106，样本数据分组为[)[)[)96,98,98,100,100,102，[)[]102,104,104,106.⑴求图中x的值；⑵若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至少有2件产品的净重在[)98,100中的概率；⑶若产品净重在[)98,104为合格产品，其余为不合格产品.从这40件抽样产品中任取2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD-A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边(),02AB t t=<<，连接A1B,A1C,A1D.⑴当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B-A1C-D的值；⑵线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.t t2t-2t-C1AB CD A1B 1D110.050.075x0.1250.1596 98 100 102 104 106 克频率组距19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1141,13n n a a a +==-+ ，数列{}n b 满足()*1,1n n b n N a =∈+.⑴ 求数列{}n b 的通项公式；⑵ 证明：222121117nb b b +++<.20.（本小题满分14分）已知直角坐标系中，圆O 的方程为222x y r +=()0r >，两点()()4,0,0,4A B ，动点P 满足(),01AP AB λλ=≤≤.⑴ 求动点P 的轨迹C 方程；⑵ 若对于轨迹C 上的任意一点P ，总存在过点P 的直线l 交圆O 于M,N 两点，且点M 是线段PN 的中点，求r 的取值范围.21.（本小题满分14分） 已知函数()()ln f x x a ax =++.⑴ 求函数()f x 的单调区间和极值； ⑵ 若()1,0a ∈-，函数()()g x a f x'=的图像上存在12,P P 两点，其横坐标满足1216x x <<<，且()g x 的图像在此两点处的切线互相垂直，求a 的取值范围.东莞市2015届高三理科数学模拟试题(一)参考答案 一、选择题：CBAD DABC 二、填空题：9.20x y e --=； 10.263； 11.2n 12.34y x=±； 13. 900； 14.sin 10ρθ-=； 15.477三、解答题：16. 解：⑴ ()sin 3cos 12sin()13f x x x x πωωω=-+=-+ …………3分 26T ππω==，所以13ω=. ………………………………………………6分()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α=………………………………………………………………7分()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+=⎪⎝⎭ 所以3sin 5β=…………………………………………………………………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22154sin 1cos ,cos 1sin 175ααββ=-==-=，10分 所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-. …………………………12分17.解：⑴ 由频率分布直方图知：()0.050.0750.1250.1521x ++++⨯=，解得：0.1x =……………………2分⑵ 由⑴知，这批产品中净重在[)98,100中的频率为0.2，根据题意概率为0.2，记从这批产品中有放回地随机抽取3件时，净重在[)98,100中的产品件数为η，则()~3,0.2B η，故()()()2233332230.20.80.20.104P P P C C ηηη≥==+==⨯⨯+⨯= (5)分⑶ 40件抽样产品中不合格品的件数为()400.050.075210⨯+⨯=件，合格品件数为401030-=件………………………………6分ξ的可能取值为0,1,2 三种情况()()()21123010301022240404029530,1,2521352C C C C P P P C C C ξξξ=========………………9分所以ξ的分布列为ξ0 1 2P2952 513 352295310125213522E ξ∴=⨯+⨯+⨯=……………12分18.解：法一：⑴ 根据题意，长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭ ……2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形 ……4分作BM ⊥A1C 于M ，连接DM ，BD ……………5分 因为四边形ABCD 为正方形，所以1A BC ∆与1A DC ∆全等，故DM ⊥A1C ，所以BMD ∠即为所求二面角的平面角 ……6分 因为BC ⊥平面AA1B1B ，所以1A BC ∆为直角三角形又112,3AB AC ==，所以112633A B BC BM AC ⨯===，同理可得，63DM =A BC DA 1B 1C 1DM在∆BMD 中，根据余弦定理有：662199cos 266233BMD +-∠==-⨯⨯………………8分因为()0,180BMD ∠∈︒︒，所以120BMD ∠=︒即此时二面角B-A1C-D 的值是120︒. ……………………………………………………9分 ⑵ 若线段A1C 上存在一点P ，使得 A1C ⊥平面BPD ，则A1C ⊥BD ………………10分 又A1A ⊥平面ABCD,所以A1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A1AC所以BD ⊥AC ……………………………………………………………………12分 底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A1C 上存在点P 满足要求，否则不存在由⑴知，所求点P 即为BM ⊥A1C 的垂足M此时，211122333A B A P AC ===……………………………………………………14分 法二：根据题意可知，AA1, AB,AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：⑴长方体体积为()()2221212t t V t t t t +-⎛⎫=-⨯=-≤= ⎪⎝⎭ ………………………2分当且仅当2t t =-，即1t =时体积V 有最大值为1 …………………………………3分 所以当长方体ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形 ……4分 则()()()()()110,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0A B C A B BC =-=，设平面A1BC 的法向量(),,m x y z =，则00x z y -=⎧⎨=⎩取1x z ==，得：()1,0,1m = ………………6分同理可得平面A1CD 的法向量()0,1,1n = ……7分所以，1cos ,2m nm n m n ⋅==⋅ ………………8分O(A)BCD A 1 B 1C 1D 1xy z又二面角B-A1C-D 为钝角，故值是120︒.…………9分（也可以通过证明B1A ⊥平面A1BC 写出平面A1BC 的法向量） ⑵ 根据题意有()()(),0,0,,2,0,0,2,0B t C t t D t --，若线段A1C 上存在一点P 满足要求，不妨11A P AC λ=，可得()(),2,1P t t λλλ--()()(),2,1,,2,0BP t t t BD t t λλλ=---=--1100BP AC BD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即：()()()()22221020t t t t t t λλλ⎧-+---=⎪⎨-+-=⎪⎩…………………………11分解得：21,3t λ==…………………………………………………………13分即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A1C 上1:2:1A P PC =处. ………………………………………………………14分19.解：⑴12241233nn n n a a a a +++=-=++ …………………………………………2分()()11123111112221122n n n n n n n n a a b b a a a a +++++====+=+++++ …………………6分又112b =，所以数列{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列，2nnb = …………8分（也可以求出12341234,,,2222b b b b ====，猜想并用数学归纳法证明，给分建议为计算前2项1分，计算前3项或者更多2分，猜想通项公式2分，数学归纳法证明4分数学归纳法证明过程如下：① 当1n =时，112b =符合通项公式2n nb =；② 假设当n k =时猜想成立，即112k k k b a ==+，21k a k =-那么当1n k =+时12111123113k k k a k k a a k k +----===++-+，1111111211k k k b k a k +++===-+++即1n k =+时猜想也能成立综合①②可知，对任意的*n N ∈都有2n nb =.⑵ 当1n =时，左边=21147b =<不等式成立；……………………………………9分 当2n =时，左边=2212114157b b +=+=<不等式成立； …………………………10分当3n ≥时，()2214411411n b n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--⎝⎭左边=22212111111111414()23341n b b b n n +++<++-+-++--11454()772n n =+-=-<不等式成立 …………………………………………………………………………14分 20.解：⑴ 设(),P x y ，因为(),01AP AB λλ=≤≤，所以444x y λλ-=-⎧⎨=⎩ 消去λ并注意到01λ≤≤可得动点P 的轨迹C 即为线段AB ，方程为：()40,04x y x +-=≤≤ ……5分，不写出x 的范围扣1分⑵ 设()()()00,,,4,04N x y P t t t -≤≤，则004(,)22x t y tM ++-方程组22200222004()()22x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨++-+=⎪⎩即2220022200()(4)4x y r x t y t r ⎧+=⎪⎨+++-=⎪⎩有解 ……7分法一：将方程组两式相减得：()()22200224430tx t y t t r +-++--= ………8分原方程组有解等价于点()0,0到直线()()222:224430l tx t y t t r +-++--=的距离小于或等于r ，即()()2222243444t t r rt t +--≤+- …………………………………………………………9分整理得：()()()22222221683444t t r t t r +--≤+-即()()22222816281690t t r t t r -+--+-≤也就是，22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+的图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2max281616tt -+=；当2t =时，()2min28168tt -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，4223r ≤≤ ……………………………………………………13分特别的，当22r =时，圆228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故22r ≠，即所求r 的范围为4,223r ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. ……14分 法二：上述方程组有解即以()0,0为圆心，r 为半径的圆与以(),4t t --为圆心，2r 为半径的圆有公共点，故对于任意的04t ≤≤都有()()220043r t t r≤++-+≤成立 ……9分整理得：22228169r t t r ≤-+≤对任意的04t ≤≤恒成立 ……………………10分根据二次函数22816y t t =-+图像特征可知，在区间[]0,4上，当0t =或者4t =时，()2m a x281616tt -+=；当2t =时，()2min28168t t -+= …………………………12分所以21689r ≤≤，4223r ≤≤ ……………………………………………………13分特别的，当22r =时，圆228x y +=与40x y +-=切于点()2,2，此时过C 上的点()2,2P 没有合乎要求的直线，故22r ≠，即所求r 的范围为4,223r ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. ……14分 21.解：⑴函数()()ln f x x a ax=++的定义域为(),a -+∞，()1f x a x a '=++ ……1分当0a >时，原函数在区间(),a -+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值； 当0a =时，原函数在区间()0,+∞上有()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；……2分 当0a <时，令()10f x a x a '=+=+得：1x a a =-- ………………………………3分 当1(,)x a a a ∈---时，()0f x '>，原函数单调递增；当1(,)x a a ∈--+∞时，()0f x '<，原函数单调递减 …………………………………………………………………………………4分所以()f x 的极大值为()21ln 1f a a a a ⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭ ………………………………5分⑵ 由⑴知，当()1,0a ∈-时()()221,(,)11,(,)a a x a a x a a g x a f x a a a x a a x a x a a ⎧+∈---⎪⎪+'==+=⎨+⎪--∈--+∞⎪+⎩ ……………………6分 函数图像上存在符合要求的两点，必须12116x a x a <<--<<，得：1322a -<<-+； ………………………………………………………………………8分 当1(,)x a a a ∈---时，()2a g x a x a =++，函数在点1P 处的切线斜率为()121a k x a =-+； 当1(,)x a a ∈--+∞时，()2a g x a x a =--+，函数在点2P 处的切线斜率为()222a k x a =+；………………………………………………………………10分 函数图像在两点处切线互相垂直即为：()()22121aa x a x a ⋅=++，即()()22212x a x a a ++= ………………………………11分 因为121016a x a x a a a <+<+<-<+<+，故上式即为()()12x a x a a ++=- …12分 所以()()1116a a a a a a ⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-+>-⎪⎩，解得：1522a --<<综合得：所求a 的取值范围是15(1,)2a -∈-. ………………………………14分。