四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期半期考试 数学(含答案)
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)
成都七中高2026届高一下期期末考试数学试题一.单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2i z =-,则z z -=（）A.B.2iC.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据共轭复数写出z ，即可求出模长.【详解】2i z =- ，2i z ∴=+，即(2i)(2i)2i 2z z -=+--==.故选：C.2.若2,a a = 与b 夹角为60，且()b a b ⊥- ，则b = （）.A.32B.1C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直，结合数量积的定义即可列方程求解.【详解】由()b a b ⊥- ，得20b a b ⋅-= ，故22cos600b b ⋅-=，故1b = 或0b = ，若0b = ，则,a b共线，不满足题意，故1b = ，故选：B3.已知tan 2α=，α为锐角，则πsin()4α+=（）. A.1010B.1010 C.31010-D.31010【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式把πsin()4α+展开，然后利用同角三角函数基本关系即可求解.【详解】πππ2sin(sin coscos sin (sin cos )4442ααααα+=+=+ ,，,α为锐角，sin 0,cos 0αα∴>>，sin tan 2cos ααα== ，sin 2cos αα∴=，又22sin cos 1αα+= sin ,cos 55αα∴==，即35sin cos 5αα+=，得0π2sin()31n cos 4201ααα+=+=.故选：D.4.将函数()sin f x x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 的一条对称轴可能为（）.A.5π12B.π12C.5π3D.π3【答案】D 【解析】【分析】根据平移伸缩得到三角函数解析式再求对称轴即可.【详解】将函数()sin f x x =的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()1πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则对称轴为πππ,Z 232x k k +=+∈,所以对称轴为π2π,Z 3x k k =+∈，当0k =时对称轴为π3x =.故选：D.5.已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，且m αβ⋂=，给出下列四个命题:①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则n α⊥或n β⊥③若,αβγβ⊥⊥，则//αγ④若,//n m n γβ⋂=，则//γα则上述命题中正确的个数为（）.A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用直线、平面间的位置关系判断即可.【详解】对于①，若,//m m n αβ⋂=，则如图所示，第一种情况，n 在,αβ外，可得//n α或//n β；第二种情况，n 在β内，可得//n α；第三种情况，n 在α内，可得//n β，综上所述，//n α或//n β，故①正确；对于②，若,m m n αβ⋂=⊥，则n 与α相交或在α内，n 与β相交或在β内，故②错误；对于③，若m αβαβγβ⊥⋂=⊥，，，则,αγ相交或//αγ，故③错误；对于④，若,,//m n m n αβγβ⋂=⋂=，则//γα或γ与α相交，故④错误.故选：B.6.同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数之差绝对值小于2的概率为（）.A.23B.59C.49D.13【答案】C 【解析】【分析】|根据古典概型计算即可.【详解】同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子，则所得点数分别为,x y ，共有36种情况，点数之差绝对值小于2的情况有()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5共16种点数之差绝对值小于2的概率为()1642369P x y -<==.故选：C.7.羌族是中国西部地区的一个古老民族，被称为“云朵上的民族”，其建筑颇具特色.碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑，一般多建于村寨住房旁.现有一碉楼，其主体部分可以抽象成正四棱台1111ABCD A B C D -，如图，已知该棱台的体积为311224m 8m 4m AB A B ==，，，则二面角1A AB C--的正切值为（）.A.3B.2C.D.32【答案】A 【解析】【分析】先求出正四棱台的高，再取正四棱台上下底面的中心为1,O O ，取11,AB A B 的中点,E M ，作1//MN OO 交OE 于点N ，则MEN ∠为二面角1A AB C --的平面角，即可求解．【详解】解：设正四棱台的高为h ，则(221843V h =++，得()12246416323h =++，得6h =，取正四棱台上下底面的中心为1,O O ，如图所示：取11,AB A B 的中点,E M ，作1//MN OO 交OE 于点N ，则MEN ∠为二面角1A AB C --的平面角，则184=6,22MN OO h EN -====，得6tan 32MN MEN EN∠===，故选：A8.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知160a A == ，，设O G ，分别是ABC 的外心和重心，则AO AG ⋅的最大值是（）A.12B.13 C.14D.16【答案】B 【解析】【分析】设D 为BC 边中点，连接OD ,作OH AC ⊥于H ，即H 为AC 中点，求得212AO AC AC ⋅= ，212AO AB AB ⋅= ，化解得221166AO AG AB AC +=⋅ ，再通过余弦定理及均值不等式即可求解.【详解】设D 为BC 边中点，连接OD ,作OH AC ⊥于H ，即H 为AC 中点，因为21|||cos |||||2AO AC AO AC OAC AH AC AC ⋅=⋅∠=⋅= ,同理21|||cos 2|AO AB AO AB OAB AB ⋅=⋅∠= ,则()221332AO AG AO AD AO AB AC ⎛⎫⋅=⋅=⋅+ ⎪⎝⎭()()222211113666AO AB AC AB b c =⋅+=+=+，在ABC 中，1,60a A ==︒，由余弦定理得2222cos60a b c bc ︒=+-，即221b c bc +=+，由均值不等式，2212bc b c bc +=+≥，所以1bc ≤（当且仅当1b c ==等号成立），所以()()()2211111116663AO AG c b bc ⋅=+=+≤+= .故选：B．二.多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知()()1,,2,3a b ==+λλr r，则（）.A.“1λ=”是“a ∥b”的必要条件B.“3λ=-”是“a ∥b”的充分条件C.“12λ=-”是“a b ⊥ ”的必要条件D.“12λ=”是“a b ⊥ ”的充分条件【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ：根据向量平行的坐标表示结合充分必要条件分析判断；对于CD ：根据向量垂直的坐标表示结合充分必要条件分析判断.【详解】因为()()1,,2,3a b ==+λλr r，对于选项AB ：若a ∥b，则()23+=λλ，解得1λ=或3λ=-，可知a ∥b，等价于1λ=或3λ=-，若a ∥b ，不能推出1λ=，所以“1λ=”不是“a ∥b”的必要条件，故A 错误；若3λ=-，可以推出a ∥b ，所以“3λ=-”是“a ∥b”的充分条件，故B 正确；对于选项CD ：若a b ⊥，则230++=λλ，解得12λ=-，可知a b ⊥ ，等价于12λ=-，若a b ⊥ ，可以推出12λ=-，所以“12λ=-”是“a b ⊥ ”的必要条件，故C 正确；若12λ=，不能推出a b ⊥ ，“12λ=”不是“a b ⊥ ”的充分条件，故D 错误；故选：BC.10.已知一组样本数据()12201220,,,,x x x x x x ≤≤≤ 下列说法正确的是（）.A.该样本数据的第60百分位数为12x B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数C.若样本数据的方差2022112520i i s x ==-∑，则这组样本数据的总和为100D.若由()21,2,,20i i y x i == 生成一组新的数据1220,,,y y y ，则这组新数据的平均值是原数据平均值的2倍【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合百分位数、数据方差，以及平均数与方差的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A ，由200.612⨯=，可得第60百分位数为12132x x +，错误；对于B ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，正确；对于C ，由()11222202011252020i i i i s x x x ===∑-=∑-，则20202221150020i i i i x x x ==-=-∑∑，所以5x =,故这组样本数据的总和等于20100x =，正确；对于D ，若由()21,2,,20i i y x i == 生成一组新的数据1220,,,y y y ，则这组新数据的平均值是原数据平均值的2倍，正确．故选：BCD ．11.如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，2,4,AB BC AA '===N 为棱C D ''中点，1,2D M P '=为线段A B '上一动点，下列结论正确的是（）.A.线段DP 长度的最小值为655B.存在点P ,使AP PC +=C.存在点P ，使A C '⊥平面MNP D.以B 为球心，176为半径的球体被平面AB C '所截的截面面积为6π【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，在三角形中，由垂线段最短即可计算得到；对于B ，通过平面翻折，化空间到平面，利用两点之间线段最短计算出AP PC +的最小值，再与C ，依题意作出经过三点,,M N P 的平面，再证明A C '与平面垂直即得；对于D ，利用球的截面圆的性质，先通过等体积求得球心到平面的距离，再由垂径定理求出截面圆半径即得.【详解】对于A ，如图1，因A B A D ''===,BD =,故当DP A B ⊥'时，线段DP 长度最小，此时由等面积，1122DP ⨯⨯，解得655DP ==，故A 正确；对于B ，如图2，将平面A D CB ''旋转至平面11BC D A ',使之与平面A AB '共面，连接1AC 与A B '交于点1P ，此时1111AP PC AC +=为最小值.sinA BA '∠==,190A BC '∠=,故1cos cos(90)sinABC A BA A BA ''∠=∠+=-∠=-由余弦定理，2221122222cos 88(8AC ABC =+-⨯⨯∠=-⨯-=+,故1AC =>因此不存在这样的点P ，使AP PC +=B 错误；对于C ，如图3，取131,,22B E B F A G =='=''，连接FG 交A B '于P ，下证AC MN '⊥.连接D C ',由2D N D DD M DC''=='可得ND M D DC '' ,则得D C MN '⊥,因D A ''⊥平面DCC D '',因MN ⊂平面DCC D '',则D A MN ''⊥,因D C D A D ''''⋂=,,D C D A '''⊂平面A D C ''，故MN ⊥平面A D C ''，又A C '⊂平面A D C '',故A C MN '⊥.同理，A C EN '⊥,因MN EN N ⋂=,,MN EN ⊂平面MEN ,故A C '⊥平面MEN .下证//EF GM .取线段A G '的三等分点,J K ,取A D ''的中点H ，连接,,,EH HJ JF D K ',易证////,EH A B FJ EH A B FJ ''''==,则得EFJH ,得//EF JH ,易得//JH D K ',因//,D M GK D M GK ''=,得D MJK ' ,得//D K GM ',故得//EF GM .同理可得//MN FG ，因此,,,,M N E F G 五点共面．由A C '⊥平面MEN 可得A C '⊥面MNEFG .所以存在这样的点P 使A C '⊥面MNP ，故C正确；对于D ，如图4，以点B 为球心，176为半径的球面被面AB C '所截的截面为圆形，记其半径为r，则r =（*），其中d 为点B 到平面AB C '的距离．由B ABC B AB C V V --''=可得，1133ABC AB C S BB S d ''⨯⨯=⨯⨯ ，则122442132d ⨯⨯⨯==⨯，代入（*），得52r =，所以截面面积225ππ4S r ==，故D 错误．故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查多面体中与动点有关的距离最值，截面性质问题，属于难题.解题关键在于处理距离和的最小值常常需要平面翻折，截面问题，一般应先作出截面，再根据条件分析截面性质，对于球的截面圆，常通过垂径定理求解.三.填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.习主席曾提出“绿水青山就是金山银山”的科学论断，为响应国家号召，农学专业毕业的小李回乡创业，在自家的田地上种植了,A B 两种有机生态番茄共5000株，为控制成本，其中A 品种番茄占40%.为估计今年这两种番茄的总产量，小李采摘了10株A 品种番茄与10株B 品种番茄，其中A 品种番茄总重17kg ，B 品种番茄总重23kg ，则小李今年共可收获番茄约_______kg .【答案】10300【解析】【分析】求解两种番茄的种植株数，利用比例即可求解.【详解】由题意，知A 品种番茄共40%5000=2000⨯株，B 品种番茄3000株，故共可收获番茄约172320003000103001010⨯+⨯=kg ，故答案为：1030013.已知三棱锥A BCD,ABC - 是边长为2的等边三角形，BCD △是面积为2的等腰直角三角形，且平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为_______.【答案】28π3##28π3【解析】【分析】判断出等腰直角三角形BCD △的直角，根据面面垂直的性质说明四边形1O EGO 为矩形，求出相关线段长，即可求得三棱锥外接圆半径，即可求得答案.【详解】由于ABC 是边长为2的等边三角形，故2BC =，BCD △是面积为2的等腰直角三角形，假设BDC ∠为直角，则BD DC ==112BCD S ==△不合题意；故DBC ∠或DCB ∠为直角，不妨设DBC ∠为直角，则2BD BC ==；设ABC 的中心为G ，E 为BC 的中点，则,,A G E 共线，且AE BC ⊥，由于平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AE ⊂平面ABC ，故⊥AE 平面BCD ，设O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，1O 为DC 中点，即为BCD △的外接圆圆心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BCD ，则1OO AE ∥，连接1OG,O E ，则OG ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ,则OG AE ⊥，又⊥AE 平面BCD ，1O E ⊂平面BCD ，则1AE O E ⊥，则四边形1O EGO 为矩形，则112122323OG O E DB ,AG ====⨯=,故22273OA OG AG =+=，故三棱锥A BCD -的外接球表面积为228π4π3OA ⨯=，故答案为：28π314.在ABC 中，43AB AC AB AC P ⊥==，，，为斜边BC 上一动点，点Q 满足2PQ =，且AQ mAB nAC =+，则2m n +的最大值为______________.【答案】1323+【解析】【分析】取AB 中点D ，连接CD 交AQ 于点E ，由平面向量的线性运算得2AQ m n AE+=，过Q 作QF CD ∥交直线AB 于点,AQ AF F AEAD=，如图，当P 与B 重合，FQ 与P 相切时，AF AD取得最大值，即可求解．【详解】AB 中点D ，由题可知点Q 点在以P 为圆心，以2为半径的圆上，则2AQ mAB n AC mAD n AC =+=+；连接CD 交AQ 于点E ，()1AE AD AC λλ=+-，则()()1AQ AQ AQ AE AD AC AE AEλλ=⋅=⋅+- ，故2AQ m n AE+=．过Q 作QF CD ∥交直线AB 于点,AQ AF F AEAD=．如图，当P 与B 重合，FQ 与P 相切时，AF AD取得最大值．则3tan tan 2∠=∠=BFQ ADC，得sin ∠=BFQ ，得2,223sin 33BQ AB BF BF m n BFQAD +===+==∠．故答案为：1323+四.解答题:本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是1AA 的中点，点F 在AB上.（1）当F 是AB 的中点时，证明:平面//EFO 平面11A D C ;（2）当F 是靠近B 的三等分点时，求异面直线FO 与1AC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3015．【解析】【分析】（1）利用OF OE ，分别为11,BC A C A D 的中位线，得到//OF 平面11A D C ，//OE 平面11A D C ，借助面面平行的判定定理证明即可;（2）由1//OE A C 可知EOF ∠或其补角为异面直线FO 与1AC 所成角，借助余弦定理求出即可.【小问1详解】由正方体1111ABCD A B C D -可知，,O E 是1,AC AA 中点，所以1//,OE A C 因为11A D ⊂平面11,A D C OE ⊄平面11A D C ，所以//OE 平面11A D C .因为F 是AB 中点，O 是AC 中点，所以OF 为ABC 的中位线，故11////OF BC A D ．又由于1AC ⊂平面11,A D C OF ⊄平面11A D C ，所以//OF 平面11A D C ．又,,OE OF O OE OF =⊂ 平面EFO ，故平面//EFO 平面11A D C ．【小问2详解】由1//OE A C 知，异面直线FO 与1AC 所成角即为EOF ∠或其补角．由于1AA ⊥平面,,ABCD AB AO ⊂平面ABCD ，则1AA 与,AB AO 都垂直，所以90EAF EAO ∠=∠=︒，由题意得4AF =，在Rt EAF △中，由勾股定理可得5EF =．易得3AO AE ==，在Rt EAO △中，由勾股定理可得EO =在OAF △中，45CAB ∠=︒，由余弦定理得FO ==，在EOF 中，由余弦定理可得2222cos EF EO FO EO FO EOF =+-⋅⋅∠，代入解得cos 015EOF ∠==>．所以异面直线FO 与1AC 所成角的余弦值为3015．16.2024年4月26日，主题为“公园城市、美好人居”的世界园艺博览会在四川成都正式开幕，共建成113个室外展园，涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格，吸引了全球各地游客前来参观游玩.现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了50名游客，统计他们的参观时间(从进入至离开该展园的时长，单位:分钟，取整数)，将时间分成[)[)[]455555658595 ，，，，，，五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值;（2）由频率分布直方图，试估计该展园游客参观时间的第75百分位数(保留一位小数);（3）由频率分布直方图，估计样本的平均数¯(每组数据以区间的中点值为代表).【答案】（1）0.015a =；（2）78.3（3）69x =．【解析】【分析】（1）应用频率和为1求参数；（2）应用频率分布直方图求百分位数步骤求解；（3）应用频率分布直方图求平均数步骤求解.【小问1详解】由样本频率分布直方图可知()0.0120.0250.035101a +++⨯=，解得0.015a =；【小问2详解】样本频率直方图前三组频率之和为()0.0100.0250.035100.70.75++⨯=<，前四组频率之和为()0.0100.0250.0350.015100.850.75+++⨯=>，所以样本数据的第七十五百分位数在第四组内，设其为x ，则()750.0150.700.75x -⨯+=，解得78.3=x ，所以样本数据的第七十五百分位数为78.3．由样本估计总体，估计该展园游客参观时间的第七十五百分位数也为78.3；【小问3详解】0.0110500.03510600.02510700.01510800.0151090x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，计算可得，样本的平均数69x =．17.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下:在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球;若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权;比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为23，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.（1）求甲至少赢1个回合的概率;（2）求第二回合中有选手得分的概率;（3）求甲乙两人在比赛中平局的概率.【答案】（1）2627（2）59（3）427．【解析】【分析】（1）根据对立事件概率求法及乘法公式结合条件即得；（2）结合对立事件和独立事件，应用和事件求概率；（3【小问1详解】设事件=i A “第i 回合甲胜”，事件M =“甲至少赢一回合”，故M =“甲每回合都输”．i A 为i A 对立事件，()23i P A =，故()13i P A =．()()()()()()31231231261111327P M P M P A A A P A P A P A ⎛⎫=-=-=-=-=⎪⎝⎭，故甲至少赢1个回合的概率为2627．【小问2详解】设事件N =“第二回合有人得分”，由题可知1212N A A A A =⋃，且12A A 和12A A 互斥，则()()()()()()()1212121259P N P A A P A A P A P A P A P A =+=⋅+⋅=，故第二回合有人得分的概率为59．【小问3详解】设事件Q =“甲乙两人平局”，由题可知，只有0:0与1:1两种情况，因此123123Q A A A A A A =⋃，故()()()()()()()()()123123123123427P Q P A A A P A A A P A P A P A P A P A P A =+=+=，故甲乙两人平局的概率为427．18.记ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知4,2,sin sin 2sin a c a A c C b B ==+=，D 是线段AC 上的一点，满足13AD AC =，过D 作一条直线分别交射线BA 、射线BC 于M N 、两点.（1）求b ，并判断ABC 的形状;（2）求BD 的长;（3）求BM BN ⋅的最小值.【答案】（1）b =，钝角三角形（2）2133（3）409【解析】【分析】（1）由正弦定理得b =cos 0A <，得到π2A >，ABC 是钝角三角形；（2）,BA BC 可作为一组基底，求出5cos ,cos 8BA BC B 〈〉== ，根据题目条件得到2133BD BA BC =+ ，平方后2BD，从而求出答案；（3）设,BM xBA BN yBC ==，根据向量共线得到()()1,0,1BD t BM tBN t =-+∈ ，由向量基本定理得到()21,313x y t t ==-，表达出()291BM BN BA BC t t⋅=⋅-⋅ ，其中50BA BC ⋅=>，由基本不等式求出最小值.【小问1详解】由正弦定理得，222sin sin 2s n 2i a a c A c C b B b ⇒+=+=，又4,2a c ==，解得b =．又因为22220b c a +-=-<，故222cos 02+-=<b c a A bc，因为0πA <<，故π2A >，所以ABC 是钝角三角形．【小问2详解】由平面向量基本定理，,BA BC可作为一组基底向量，且有2,4BA BC == ，2225cos ,cos 28a cb BA BC B ac+-〈〉===．由于13AD AC = ，所以()13BD BA BC BA -=- ，故2133BD BA BC =+ ．BD ==3===；【小问3详解】由题意可设,BM xBA BN yBC == ．由于,,M D N 三点共线，设MD tMN =，01t <<，故()BD BM t BN BM -=- ，故()()1,0,1BD t BM tBN t =-+∈．所以()21133BD t x BA ty BC BA BC =-⋅+⋅=+ ，由平面向量基本定理，解得()21,313x y t t ==-，所以()21,313BM BA BN BC t t ==-．因此()()21231391BM BN BA BC BA BC t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭⎝⎭，而||||cos 50BA BC BA BC B ⋅=⋅⋅=>，其中()11122t t t t -+-≤=，当且仅当1t t -=，即12t =时，等号成立，因此当12t =时，409BM BN ⋅= 为最小值．【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.19.如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，90ABC ∠= ，四边形11ABB A 是菱形，D 为AB 中点，1A D ⊥平面ABC ，点1A 到平面11BCC B 1AA 与1CC 的距离为2.（1）求证:CB ⊥平面11ABB A ;（2）求1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值;（3）若E F ，分别为1AA AC ，的中点，求此斜三棱柱被平面1B EF 所截的截面面积.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）53412．【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；（2）先根据线面垂直判定定理证明线面垂直，几何法得出线面角，再计算得出正弦值；（3）先找到截面，再计算截面即可.【小问1详解】因为1A D ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，故1A D BC ⊥．又由90ABC ∠=︒，即1,,AB BC AB A D D AB ⊥⋂=⊂平面11ABB A ,1A D ⊂平面11ABB A ，因此BC ⊥平面11ABB A ．【小问2详解】由于菱形11ABB A ，且1A D 为AB 的垂直平分线，因此可知1A AB △和11B A B 均为等边三角形．由BC ⊥平面11,ABB A BB ⊂平面1ABB A ，可得1BC BB ⊥，斜三棱柱进一步可得11B BCC 是矩形．此时作1111,A P BB AQ CC ⊥⊥，连接1,,PQ PC AC ．由题知，112,AQ A P =⊂平面11ABB A ，可得111,BC A P BC BB B BB ⊥⋂=⊂，平面11,BCC B BC ⊂平面11BCC B ，因此1AP ⊥平面11BCC B ，因此由题知，1,A P PQ PC =⊂平面11BCC B ，所以也有11,A P PQ A P PC ⊥⊥．因此，1ACP ∠为1AC 与平面11BB C C 所成角．在1Rt A PQ △中，1PQ ==，由矩形可知1BC PQ ==．由于1A P =1B AB △中，可以解得12,BB P =为1BB 中点，1BP =．所以，在Rt BCP △中，PC =1Rt ACP △中，1AC =．因此，111115sin ,5A P ACP AC AC ∠===与平面11BB C C所成角的正弦值为5．【小问3详解】延长1,EF C C 交于点M ，连接1MB ，交BC 于N ，连接FN ，如图，故四边形1B EFN 即为所得截面．上一问可知，菱形11ABB A 的边长为2，矩形11B BCC 中1BC =，平行四边形11ACC A中111112,AA CC AC AC AC =====．要计算截面1B EFN 的面积，首先研究1B EM △．在11A B E △中，由于11120EA B ∠=︒，由余弦定理可得1B E =,E F 为中点，因此12EM EF AC ===，此时有1MC AE ==，在直角11MB C中1MB N =为BC 的三等分点．因此1B EM △中，由余弦定理可得2221111cos 25EM MB EB EMB EM MB +-∠==⋅⋅，第21页/共21页所以可以计算得117sin 5EMB ∠=．设截面面积为S ，由于111,23MF ME MN MB ==，有11111115534sin sin 22612B EM NFM B EM S S S ME MB EMB MF MN EMB S =-=⋅⋅∠-⋅⋅∠==△△△因此，此斜三棱柱被平面1B EF 所截的截面面积为53412．。
2024四川省成都市第七中学高一下学期6月月考化学试题及答案
成都七中2023-2024学年度下期6月考试化学试卷（考试时间：75分钟；试卷满分：100分）可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Mg-24 Al-27一、单项选择题（本题共14小题，每题3分，共42分）1. 我国科技自立自强。
近年来，取得了重大进展。
下列有关科技成果说法正确的是A ．“异域深海，宝藏无穷”——自主开采的可燃冰燃烧时，环境温度升高，体系温度降低B ．“科技冬奥，温暖护航”——发热服饰材料中的石墨烯与C 60互为同分异构体C ．“高产水稻，喜获丰收”——高产水稻中的淀粉属于天然有机高分子D ．“浩渺太空，无限征途”——飞船返回舱“外衣”中的合成树脂属于新型无机非金属材料A ．某灶具使用煤气做燃料，改用天然气后其进风口应改大B ．乙烯、乙醇都能使酸性KMnO 4褪色，但反应类型不同C ．聚乙烯分子的单体为—CH 2—CH 2—D ．动物油脂经氢化后可生产人造奶油4. 化学离不开实验。
下列实验操作正确的是A B C DA ．制备并收集乙酸乙酯B ．测定一定质量镁铝合金中金属铝的含量C ．配制0.10 mol ·L －1 NaOH 溶液D ．制备NH 35. 宏观辨识与微观探析是化学学科核心素养之一。
下列反应方程式书写错误的是A ．Cu 与浓硝酸反应：Cu ＋2NO -3＋4H ＋＝Cu 2＋＋2NO 2↑＋2H 2OB ．以石英砂为原料制粗硅：SiO 2＋C =====高温Si ＋CO 2↑C ．用足量Na 2CO 3溶液吸收NO 2尾气：2NO 2＋2CO 2-3＋H 2O ＝NO -3＋NO -2＋2HCO -3D ．汽车发动机中产生NO 尾气：N 2＋O 2=====高温2NO10. 一定温度下，向恒容密闭容器中投入E 和M 发生如下反应：E(g)+M(g)====① F(g)⇌③②G(g)。
已知反应初始c 0(E)＝c 0(M)＝0.10 mol ·L -1，部分物质的浓度(c )随时间(t )的变化关系如图所示，t 2后反应体系达到平衡状态。
2019年4月四川省成都市第七中学2018-2019学年高2021届高2018级高一下学期半期考试数学试题及参考答案
ab
ab
的序号是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4. 我国古代数学典籍≪九章算术≫第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的 墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半， 则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为 1200 尺，则需要几天时 间才能打穿（结果取整数）（ ）
������1 +1 ������2 +1
������������ +1
A.120
B. 121
C.122
D.123
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 若关于x的不等式ax2 6x a2 0的解集是（1，m ）,则m=______.
14.已知正数 a, b 满足 a b, 且ab 1 ，则 ������ − 1 + 2������������ 的最小值为
成都七中 2019-2020 学年度下期高 2021 届半期考试
数学试卷
考试时间：120 分钟 第Ⅰ卷
满分：150 分
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1.cos15°cos75°+ sin15°sin75°=（ ）
A. 12
B. 11
C. 10
D.9
5. 如图，点 A, B 在圆 O 上，且点 A 位于第一象限，圆 O 与 x 正半轴的交点是 C ，
点 B 的坐标为 ( 4， 3) ， AOC ，若 AB 1,则 sin 的值为（ ） 55
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（ ）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ． 或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上） 则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜ ＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0， ＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ． 则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（ ）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ． 或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π） ．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0， ）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0， ）∪（ 4π 2π故答案为：[0， ）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论 ＞△0， ＝0 以及 ＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时， ＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时， ＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时， ＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)． （1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式 进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时， 数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列， 此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。
2019-2020学年成都七中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年成都七中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数为上的减函数，则满足的实数的取值范围是()A. B.C. D.2.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()．A. B. − C. ± D. −3.已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β.②若m//α，n//α，则m//n，③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β.④若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β，其中真命题有()A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④4.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−2sin2x−m在[0,π2]上有两个零点，则实数m的取值范围是()A. [1,√2)B. [1,√2]C. (1,√2)D. [1,+∞)5.如果直线y=2x−1和y=kx互相垂直，则实数k的值为()A. 2B. 12C. −2 D. −126.设x，y满足约束条件{x+3y≤3x−y≤1x+y≥1，则z=x+2y的最大值为()A. 3B. 2C. 1D. 527. 已知{a n }是等差数列，a 1=−9，S 3=S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 8. 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a =bcosC +csinB ，且sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC ，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 9. 已知函数f(x)={ln(−x),x <0x e x−1．x ≥0，若方程[f(x)]2+mf(x)−m(m +1)=0有四个不等的实数根，则m 的取值范围是( )A. −1≤m <45B. m ≤−1或m >1C. m =−1或m >1D. m =−1或0<m <1 10. 若f(x)=4sin(2x +2π3)在[−π12,θ]上的值域为[−2,4]，则θ的值是( ) A. 0 B. π12 C. π6 D. π4 11. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，则( )A. a,b,c 依次成等差数列B. a,b,c 依次成等比数列C. a,c,b 依次成等差数列D. a,c,b 依次成等比数列12. 在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚．现有直径为2m 的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚．设正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于______ ．14. (理科做)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2AA 1，则直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，则两圆的位置关系为(1)(填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，它们的公切线条数为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R))的值；(I)求f(3π8(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．17.在四棱锥P−ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．(Ⅰ)求证：BE//平面APD；(Ⅱ)求证：BC⊥平面PBD．18.如图，鱼雷快艇在A处发现正北方向上有一敌舰在B处以30nmile/ℎ的速度朝正东北方向行驶，此时立刻发射鱼雷，鱼雷速度50nmile/ℎ，且经过th后在C处击中敌舰，求鱼雷发射方向与正北方向的夹角α的正弦值．(n≥2,n∈N)，首项为a1>1．19.已知数列{a n}满足a n=4a n−1−6a n−1−1(1)若a1>a2，求a1的取值范围；(n∈N∗)，当2<a1<3时，求证：数列{b n}是等比数列；(2)记b n=a n−3a n−2(3)若a n>a n+1(n∈N∗)恒成立，求a1的取值范围．20.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=3×2n−3，其中n∈N∗．(I)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)数列{b n}为等差数列，T n为其前n项和，b2=a5，b11=S3，求T n的最值．21.在平面内，已知圆P经过点F(0,1)且和直线y+1=0相切．(1)求圆心P的轨迹方程；(2)过F的直线l与圆心P的轨迹交于A、B两点，与圆M：(x−1)2+(y−4)2=4交于C、D两点，若|AC|=|BD|，求三角形OAB的面积．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查函数单调性的应用，绝对值不等式.属于中档题．解：因为函数为上的减函数，且满足，那么：，解不等式有：．故选．2.答案：B解析：如图，∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤，当∠AOB=时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d=．设AB方程为y=k(x−)(k<0)，即kx−y−k=0．由d==，得k=−.(也可k=−tan∠OPH=−).3.答案：B解析：解：α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，①，若m⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质定理可得α//β，故①正确；②，若m//α，n//α，可得m//n或m，n相交或异面，故②错误；③，若m⊂α，m⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故③正确；④，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，若α⊥β，可得m⊥β，若α、β相交，则m⊥β不成立，故④错误．可得①③正确，②④错误．故选：B．由垂直于同一直线的两个平面平行，可判断①；由线面平行的性质和线线的位置关系可判断②；由面面垂直的判定定理可判断③；由面面垂直的性质定理可判断④．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的性质，利用函数的零点求参数的取值范围，属于中档题．首先把三角函数式通过恒等变换转化成正弦型函数，进一步利用函数的零点转化成求方程的根，最后通过求y1=m与y2=(sinx+cosx)2−2sin2x有两个交点，求出参数的范围．解：已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−2sin2x−m在[0,π2]上有两个零点，即方程f(x)=0在[0,π2]上有两个实根．即：设函数y1=m与y2=(sinx+cosx)2−2sin2x有两个交点，y2=(sinx+cosx)2−2sin2x=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，x∈[0,π2]，π4≤2x+π4≤5π4，根据函数的图象求得：1≤m<√2，故选：A．5.答案：D解析：解：∵直线y=2x−1和y=kx互相垂直，∴2k=−1，解得k=−12．故选：D利用直线垂直的条件求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．6.答案：D解析：解：x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≤1x +y ≥1的可行域如图：当目标函数经过图中A 时使得z 最大；由{x +3y =3x −y =1得到A(32,12)， 所以z 最大值为32+2×12=52；故选：D ．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 7.答案：B解析：试题分析：，令，所以前5项和最小 考点：等差数列求和求通项点评：本题还可求出前n 项和，再求其取得最值的条件 8.答案：C解析：本题考查三角形形状的判定，考查正弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．由a =bcosC +csinB ，利用正弦定理化边为角，求得B =π4；由sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC 再由正弦定理化角为边，求得A =π4，则答案可求．解：由a =bcosC +csinB ，由正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ，即sin(B +C)=sinBcosC +sinCsinB ，∴sinBcosC +cosBsinC =sinBcosC +sinCsinB ，得cosBsinC =sinCsinB ，∵sinC ≠0，∴sinB =cosB ，即tanB =1．又B ∈(0,π)，∴B =π4；又sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC ， 由正弦定理得a 2=b 2+c 2−√2bc ，即√2bc =b 2+c 2−a 2，又b 2+c 2−a 2=2bc ⋅cosA ，∴√2bc =2bc ⋅cosA ，得cosA =√22， 又A ∈(0,π)，∴A =π4．则C =π−π4−π4=π2．即△ABC 的形状为等腰直角三角形．故选：C ． 9.答案：D解析：解：作出函数f(x)的图象如图：令t =f(x)，由图可知，当t <0或t >1时，方程f(x)=t 有1解；当t =0或t =1时，方程f(x)=t 有2解；当0<t <1时，方程f(x)=t 有3解．若方程[f(x)]2+mf(x)−m(m +1)=0有四个不等的实数根，则方程t 2+mt −m(m +1)=0必有两个不等的实数根，∴△=m 2+4m(m +1)>0，解得m >0，或m <−45．不妨设这两个根为t 1<t 2且t 1<t 2，则{t 1=0t 2=1或{t 1<00<t 2<1或{0<t 1<1t 2>1， 令g(t)=t 2+mt −m(m −1)，则{m(m −1)=01+m −m(m −1)=0或{m(m −1)>01+m −m(m −1)>0或{m(m −1)<01+m −m(m −1)<0， 解得0<m <1或m =−1．故选D ．作出f(x)的函数图象，得出方程f(x)=t的解得个数，从而确定关于t的方程t2+mt−m(m+1)=0的解得分布情况，根据二次函数的性质列出不等式解出m的范围．本题考查了方程的解与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．10.答案：D解析：解：因为f(x)=4sin(2x+2π3)；且x∈[−π12,θ]⇒2x+2π3∈[π2,2θ+2π3]；∵值域为[−2,4]，则2θ+2π3=5π6⇒θ=π4；故选：D．根据x的范围求出2x+2π3的范围；再结合正弦函数的图象和性质即可解题本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力，需要熟练掌握三角函数的图象和性质．11.答案：B解析：解：因为sin A、sin B、sin C依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列．本题考查等比中项的性质，以及正弦定理的应用，属于基础题．12.答案：C解析：解：设△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=30°，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α．要使S△ABD最大，只需DF最大．在△CFD中，CFsin30∘=DFsin(150∘−α)．∴DF=CF⋅sin(150°−α)sin30∘．∵CF为定值，∴当α=60°时，DF最大．故圆面与阴影面所成角的大小为60°．故选：C．设△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，为了使遮阴影面ABD的面积最大，作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α，进而可知要使S△ABD最大，只需DF最大．利用正弦定理求得DF的表达式，利用正弦函数的性质求得圆面与阴影面所成角的大小．本题考查解三角形的实际应用、正弦定理、立体几何的应用，考查三角形、正弦定理、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．13.答案：725解析：根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cosθ−5sinθ=1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2θ的值，然后根据θ的范围求出2θ的范围即可判断出cos2θ的正负，利用同角三角函数间的基本关系由sin2θ即可求出cos2θ的值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．本题的突破点是将已知的两等式两边平方．解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．∴5cosθ−5sinθ=1，∴cosθ−sinθ=15．∴两边平方得：1−sin2θ=125，∴sin2θ=2425．∵θ是直角三角形中较小的锐角，∴0<θ<π4,0<2θ<π2．∴cos2θ=√1−sin 22θ=725． 故答案为 725．14.答案：√55 解析：解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2AA 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =BC =2AA 1=2，则A(2,0，0)，C 1(0,2，1)，B 1(2,2，1)，C(0,2，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，1)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，−1)，设直线AC 1与B 1C 所成角为θ，则cosθ=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√9⋅√5=√55． ∴直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为√55． 故答案为：√55． 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：相交2解析：解：圆C 1：x 2+y 2+2x +2y −2=0，可化为(x +1)2+(y +1)2=4，其圆心坐标C 1(−1,−1)，半径为2，圆C 2：x 2+y 2−4x −2y +1=0，可化为(x −2)2+(y −1)2=4，其圆心坐标C 2(2,1)，半径为2， 又|C 1C 2|=√(2+1)2+(1+1)2=√13<2+2=4，．则两圆的位置关系为：相交，故它们的公切线有2条．故答案为：相交；2．依题意可求得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径，计算两圆心之间的距离即可得到答案．本题考查圆与圆的位置关系的判定，分别求得两圆的圆心坐标与半径是判断的关键，属于中档题．16.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=1+cos2x2+12sin2x=√22(√22sin2x+√22cos2x)+12 =√22sin(2x+π4)+12∴f(3π8)=√22sinπ+12(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2∴2kπ−3π4≤2x≤2kπ+π4，即kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)时，f(x)单调递增．∴f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)解析：本题考查二倍角的正弦与余弦，考察辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的单调性，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角的正弦与余弦和辅助角公式将f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)化简为：f(x)=√2 2sin(2x+π4)+12.即可求f(3π8)的值；(Ⅱ)由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2即可求得f(x)的单调递增区间．17.答案：证明：(1)取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，∴EF//CD，且EF=12CD=1，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，∴EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，∴BE//AF，BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE//平面PAD(2)平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD在直角梯形ABCD中，BD=BC=√2,DC=2，∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．解析：(1)取PD 的中点F ，连结EF ，AF ，证明EF//CD ，EF//AB ，推出BE//AF ，通过直线与平面平行的判定定理证明BE//平面PAD ．(2)证明DB ⊥BC.PD ⊥BC ，然后证明BC ⊥平面PBD ．本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力． 18.答案：解：由题可得，在△ABC 中，∠ABC =135°，AC =50t ，BC =30t ，由正弦定理，得30t sinα=50t sin135∘，得sinα=3√210． 解析：根据示意图，直接利用正弦定理即可得到答案．本题主要考查解三角形的实际应用，属于基础题．19.答案：(1)解：∵a 2=4a 1−6a 1−1， ∴由a 1>a 2，即4a 1−6a1−1−a 1<0，∴a 12−5a 1+6a 1−1>0，∵a 1>1，∴a 12−5a 1+6>0，(2分)∴a 1>3或1<a 1<2；(4分)(2)证明：由b n =a n −3a n −2=4a n−1−6a n−1−1−34a n−1−6a n−1−1−2=12⋅a n−1−3a n−1−2=12b n−1(6分) ∵b 1=a 1−3a 1−2≠0 ∴{b n }是等比数列，且b n =(12)n−1⋅b 1(10分) (3)解：由(1)有a 1>3或1<a 1<2.于是b 1=a 1−3a 1−2>0， 由(2)可知b n =(12)n−1⋅b 1，又b n =a n −3a n −2，得a n =11−b n +2，(12分) 故a n+1−a n =11−b n+1+2−11−b n+1+2=b n+1−b n (1−b n+1)(1−b n ) =⋯=−(12)n b 1[1−(12)n ⋅b 1][1−(12)n−1⋅b 1]<0.(14分) 所以[1−(12)n ⋅b 1][1−(12)n−1⋅b 1]>0，从而0<b 1<2n−1或b 1>2n 恒成立．因此0<b 1<1，(16分)即0<a 1−3a 1−2<1，则a 1的范围为a 1>3.(18分)解析：(1)先求出a 2，利用a 1>a 2，a 1>1，即可求出a 1的取值范围；(2)由b n =a n −3a n −2，代入条件，利用等比数列的定义，即可证明； (3)利用a n+1−a n >0，确定b 1的范围，即可确定a 1的范围．本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ) 由S n =3×2n −3，(i)当n =1时，a 1=S 1=3×2−3=3，(ii)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3×2n −3)−(3×2n−1−3)=3×2n−1(∗)其中，n =1时，a 1=3也满足(∗)式，所以，对任意n ∈N ∗，都有a n =3×2n−1；(Ⅱ)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，b 2=a 5=3×24=48，b 11=S 3=3×23−3=21，由等差数列的通项公式得，{b 2=b 1+d =48b 11=b 1+10d =21，解得{b 1=51d =−3， 所以b n =54−3n ；可以看出b n 随着n 的增大而减小，b 1=51>0，令b n =0，解得n =18，所以T n 有最大值，且T 18(或T 17)为前n 项和T n 的最大值，且T 18=18(b 1+b 18)2=9×(51+0)=459．解析：(Ⅰ) 运用数列的递推式：(i)当n =1时，a 1=S 1，(ii)当n ≥2时，a n =S n −S n−1，计算可得所求通项公式；(Ⅱ)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，运用等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，讨论b n 随着n 的增大而减小，可得所求和的最大值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的前n 项和的最值，注意分析数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)设圆心P(x,y)，由圆P 经过点F(0,1)且和直线y +1=0相切，可得√x 2+(y −1)2=|y +1|，两边平方化简得x 2=4y ；(2)显然直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，由于l 过焦点F(0,1)，所以直线l 的方程为y =kx +1，取CD 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥CD ，由于|AC|=|BD|，所以N 点也是线段AB 的中点，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、N(x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，由{x 2=4y y =kx +1得x 2−4kx −4=0，所以x 1+x 2=4k ， ∴x 0=2k ，y 0=2k 2+1，即N(2k,2k 2+1)，∵k MN =−1k ，即(2k 2+1)−42k−1=−1k ， 整理得2k 3−k −1=0，即(k −1)(2k 2+2k +1)=0，∴k =1，∵|AB|=y 1+y 2+2=(x 1+1)+(x 2+1)+2=8，原点到直线AB 的距离为d =√2=√22， ∴S △OAB =12⋅|AB|⋅d =2√2． 解析：本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和两点距离公式，考查三角形的面积的求法，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、抛物线的定义，考查运算能力，属于中档题．(1)设圆心P(x,y)，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，平方后化简整理可得P 的轨迹方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +1，取CD 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥CD ，由直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得N 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，求得k ，|AB|，再由三角形的面积公式计算可得所求值．。
2019-2020学年四川省成都市高一第二学期期末考试数学(理)试题(解析版)
【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得 的值，然后利用二倍角的正切公式可求 的值；
（2）利用两角差的正弦公式求得 的值，结合角 的取值范围，进而可求得角 的值.
【解】
（1） ， ， ，
，因此， ；
（2） ， ，
， ，
，
， .
【点睛】
本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求值，同时也考查了利用三角函数值求角，考查计算能力，属于中等题.
20．已知函数 .
（1）当 时，求当 时，函数 的值域；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】(1)利用 代入化简 ，再用基本不等式求值域即可；
(2)对 因式分解得到两根，对两根分类讨论写不等式解集即可.
【详解】
解：（1）当 时，
∵ ，∴
当且仅当 时，即 时，上式取“ ”，
10．若数列 满足 （ ， ），且 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在等式 两边取倒数，可推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得 .
【详解】
当 且 ，在等式 两边取倒数得 ，
，且 ，所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，
因此， .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用倒数法求数列通项，考查计算能力，属于基础题.
本题主要考查等差数列的通项公式及性质.
16．已知 、 、 为△ 的三内角，且角 为锐角，若 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】由三角形内角的性质结合 ，可得 ，由目标函数式 并利用基本不等式即可求得其最小值，注意基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，其中 为锐角，
2019年4月四川省成都市第七中学2018-2019学年高2021届高2018级高一下学期半期考试数学试题
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分）
17.已知函数������(������)
=
√3������������������
������ 4
������������������
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���4���.
(1)若������(������) = 1，求������������������ (2������ − ������)的值；
A. 40
B. 30
C. 20
D. 10
10. 已知函数 f x 2sin x ( 0, ) ，过点 A( , 0) ，B( , 2) ，则
2
12
3
当 x [ , 5 ] ，且 g x 2mf x sin(4x ) 的最大值为 3 ，则������的值为（ ）
12 12
6
2
5
A.
1
B.
C. 5 和 1
D. 5 和- 1
8
2
82
82
11.已知 f x m x 2m x m 3, g x 4x 2，若对任意 x R, f x 0或g x 0 ，则������的取
值范围是（ ）
A. (0, 1是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4. 我国古代数学典籍≪九章算术≫第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的 墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半， 则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为 1200 尺，则需要几天时 间才能打穿（结果取整数）（ ）
2019年4月四川省成都市第七中学2018-2019学年高2021届高2018级高一下学期半期考试数学试题参考答案
成都七中2019-2020学年度下期高2021届半期考试数学答案一、选择题：（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13.214.2√215.78612 16. 167[]73，三、解答题17.解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12. ⋯⋯2分由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝12.令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π3，sin θ＝12.cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12. ⋯⋯5分(2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3， ⋯⋯7分B ＋C ＝2π3，所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2， ⋯⋯8分所以f (B )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)．所以f (B )的取值范围是(1，32)．⋯⋯10分18.（1）解：∵ 4csinC =(b +a)(sinB −sinA) ，∴ 4sin 2C =sin 2B −sin 2A ，∴ 4c 2=b 2−a 2 .假设 a ， b ， c 依次成等差数列，则 b =a+c 2，则 4c 2+a 2=(a+c 2)2，即 15c 2+3a 2=2ac ，又 15c 2+3a 2≠2ac ，从而假设不成立，故 a ， b ， c 不可能依次成等差数列. ⋯⋯6分 （2）解：∵ 4c 2=b 2−a 2 ，∴ c 2=b 2−a 24. ∵ cosC =a 2+b 2−c 22ab ，∴ cosC =a 2+b 2−b 2−a 242ab =5a 2+3b 28ab.∴ cosC =5a 2+3b 28ab≥2√5a 2×3b 28ab=√154，⋯⋯9分当且仅当 5a 2=3b 2 ，即 b =√153a 时，取等号. ⋯⋯10分∵ c 2=b 2−a 24=(√153a)2−a 24=a 26，∴ c a=√66. ⋯⋯12分19.解412511325=1=a a d a a a d a d =+⎧⎨+=+⎩⇒由题意得：，-1⋯⋯4分（2）解：解： b n+1−b n =(2−n)2n ，有 {b 2−b 1=1×21b 3−b 2=0×22……b n −b n−1=(3−n)×2n−1(n ≥2) 累加整理b n =1+1×21+0×22+⋯+(3−n)×2n−1，(n ≥2) ①⋯⋯8分 2b n =2+1×22+0×23+⋯+(3−n)×2n ，(n ≥2) ② ② − ① 得 b n =1−2+1×221−2n−21−2+(3−n)2n =(4−n)2n −5(n ≥2)b 1=1 满足上式，故 b n =(4−n)2n −5 . ⋯⋯12分20．【答案】 （1）{a 1+2a 2+a 3=48a 1+a 3=4a 2−6∴{a 2=9q =3∴a n =3n ⋯⋯4分(2)因为b n =3n(3n −1)(3n+1−1)=12(13n −1−13n+1−1) . ⋯⋯5分 所以S n =b 1+b 2+⋯b n = 12(12−132−1+132−1−133−1+⋯+13n −1−13n+1−1)=12(12−13n+1−1)⋯⋯7分又因为存在 使S n<1a n+m 成立，所以12(12−13n+1−1)<13n+m 有解，即(12(12−13n+1−1)−13n )min<m ,令f (x )=14−12(3x+1−1)−13x ，则函数y =f (x )在[1,+∞)上单调递增⋯⋯10分所以，当x =1时，f (x )=−748 ， 所以，m >−748⋯⋯12分21.解:过点 F 作 FM ⊥BE ，垂足为 M . 在 RtΔFME 中, MF =2,∠EMF =π2,∠FEM =θ 所以 EF =2sinθ,ME =2tanθ 故 AF =BM =EF −EM =2sinθ−2tanθ所以 f(θ)=12(AF +BE)×AB =12×(2sinθ−2tanθ+2sinθ)×2=4sinθ−2tanθ⋯⋯3分据题意， AF <BE ，所以 θ<π2且当点 E 重合于点 C 时， EF =EB =2√2,FM =2,θ=π4 所以函数 f(θ)=4sinθ−2tanθ的定义域为 [π4,π2)⋯⋯5分（2）解:由（1）可知， f(θ)=4sinθ−2tanθ=4(sin 2θ2+cos 2θ2)2sin θ2cos 2θ2−22tanθ21−tan 2θ2=2(tan θ2+1tan θ2)−(1tan θ2−tan θ2)=3tan θ2+1tan θ2≥2√3tan θ2×1tan θ2=2√3⋯⋯9分当且仅当 3tan θ2=1tan θ2时，不等号取等号又 θ∈[π4,π2),θ2∈[π8,π4) 故 tan θ2=√33,θ2=π6,θ=π3BE =2sinθ=4√33,AF =2sinθ−2tanθ=2√33答：当 BE,AF 的长度分别为4√33米，2√33米时，裁剪出的四边形 ABEF 的面积最小，最小值为 2√3 平方米. ⋯⋯12分 22、【答案】（1）解：在 中令 ，得 即，∵解得当 时，由 ，得到则1131(1)222n nn na a +++=+又 ，则数列 12n na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以 为首项，为公比的等比数列，，即⋯⋯4分（2）解： ，则 ，当 时 ，当时，，=2−1n综上，⋯⋯8分（3）解：当 恒成立时，即（ ）恒成立设 （），当 时， 恒成立，则满足条件；当 时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是⋯⋯12分。
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成都七中2019—2020学年度下期⾼2022届半期考试⾼⼀数学试卷
考试时间：120分钟满分：150分
⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题列出的
四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．
1.
2．已知等差数列中，，则公差的值为
3．已知，则的值为
4．若，则下列结论中不正确的是
5．在中，内⻆的对边分别为，且,则边的⼤⼩是
6．等差数列中，,那么的值是
7.设为等⽐数列的前项和，，则的值为
8.
9.在，
10.已知数列为各项均为正数的等⽐数列，是它的前项和，若，且，则的值为
11.有⼀块半径为，圆⼼⻆为的扇形钢板，从这个扇形中切割下⼀个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的⼀边在扇形的半径上），则这个内接矩形的⾯积最⼤值为
12.实数满⾜且，则下列关系成⽴的是
⼆、填空题：本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共计20分
13.已知直线斜率的取值范围是，则的倾斜⻆的取值范围是
14.已知，则
15.不等式的解集是
16.已知正数满⾜，若恒成⽴，则实数的取值范围是
三、解答题：本⼤题共6⼤题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本⼩题满分10分）解关于的不等式
18.（本⼩题满分12分）在内，⻆所对的边分别为且
（1）求⻆的⼤⼩；
（2）若的⾯积为，，求的值．
19.（本⼩题满分12分）在等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列是⾸项为，公⽐为的等⽐数列，求的前项和。