山东省新高考质量测评联盟2020-2021学年高二上学期12月联考数学试题
2021-2022学年山东省学情高三上学期质检数学试卷(12月份)(含答案解析)
2021-2022学年山东省学情高三上学期质检数学试卷(12月份)一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）1.已知集合A={x|−1<x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=()A. {x|−1<x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|0≤x≤1}D. {x|−1<x≤0}2.复数z=52−i的虚部是()A. iB. 53C. 53i D. 13.已知角α的终边过点P(1,2)，则2sinα+cosα3sinα−cosα=()A. 0B. 1C. −1D. −24.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a7>0，S11<0，则S n的最小值为()A. S4B. S5C. S6D. S75.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A. y23−x2=1B. y2−x23=1C. y29−x23=1D. y23−x29=16.2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为()A. 25B. 12C. 815D. 357.已知三棱锥P−ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，球O的表面积为649π，则三棱锥P−ABC的体积的最大值为()A. 2√3B. 2√33C. 4√33D. 4√398.已知直线l 1：mx −y −3m +1=0与l 2：x +my −3m −1=0相交于点P ，线段AB 是圆C ：(x +1)2+(y +1)2=4的一条动弦，且AB =2√3，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是( )A. 2√2B. 4√2C. 2√2−2D. 4√2−29.若复数z 满足iz =1−i(其中i 为虚数单位)，则复数z −在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|lnx ≤1}，则A ∩B =( )A. (1,e]B. [1,3]C. (0,e]D. (0,3]11. 已知等比数列{a n }的公比为q ，则q >1是{a n }为增数列的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. 如图所示，正方体的棱长为√3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为( )A. π6 B. π C. 4π3 D. 4π13. 北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有( )A. 90种B. 125种C. 150种D. 243种14. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X 近似服从正态分布N(100,225)，从中任取3名同学，至少有2人的数学成绩超过100分的概率为( )A. 12B. 23C. 34D. 7815. 已知抛物线C ：y 2=4x ，圆F ：(x −1)2+y 2=1，直线l ：y =k(x −1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M 1，M 2，M 3，M 4四点，则下列各式结果为定值的是( )A. |M 1M 2|⋅|M 3M 4|B. |FM 1|⋅|FM 4|C. |M 1M 3|⋅|M 2M 4|D. |FM 1|⋅|M 1M 2|16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)={2|x−1|−1,0<x ≤212f(x −2),x >2，若关于x 的方程[f(x)]2−(a +1)f(x)+a =0(a ∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为( )A. −4B. 4C. 8D. −4或8二、多选题（本大题共8小题，共40.0分） 17. 下列命题中，真命题的是( )A. 若样本数据x 1，x 2，⋯，x 10的方差为2，则数据2x 1−1，2x 2−1，⋯，2x 10−1的方差为8B. 若回归方程为y ̂=−0.45x +0.6，则变量y 与x 负相关C. 若随机变量X 服从正态分布N(3,σ2)，P(X ≤4)=0.64，则P(2≤X ≤3)=0.07D. 在线性回归分析中相关指数R 2用来刻画回归的效果，若R 2值越小，则模型的拟合效果越好18. 如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面所成的角为θ=45°的平面所截，截面是一个椭圆，则( )A. 椭圆的长轴长为4B. 椭圆的离心率为√24C. 椭圆的方程可以为x 24+y 22=1 D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2−√219. 对于函数f(x)=13x 3+12x 2+cx +d ，c ，d ∈R ，下列说法正确的是( )A. 存在c ，d 使得函数f(x)的图像关于原点对称B. f(x)是单调函数的充要条件是c ≥14C. 若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，则x 14+x 24>18D. 若c =d =−2，则过点P(3,0)作曲线y =f(x)的切线有且仅有2条20. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是( )A. 若N 为DD 1中点，当AM +MN 最小时，CM CC 1=1−√22B. 当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C. 直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为[√33,√22]D. 若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为9221.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到X2=50×(13×20−10×7)223×27×20×30≈4.844，根据临界值表，以下说法正确的是()参考数据：A. 有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关C. 95%的数学成绩优异的同学选择物理D. 若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化22.已知x>0，y>0，2x+y=1，则下列说法正确的是()A. xy的最大值是18B. 2x+1y的最小值是8C. 4x2+y2的最小值是12D. x2+y2的最小值是1523.已知函数f(x)=cos(ωx−π4)(ω>0)，则下列说法正确的是()A. 若将f(x)图象向左平移π4个单位长度，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为4B. 若f(π6)=f(π3)，则ω的最小值为1C. 若f(x)在(π2,π)内单调递减，则ω的取值范围为[12,54]D. 若f(x)在(π2,π)内无零点，则ω的取值范围为[32,74]24.长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，则下述结论正确的是()A. 若点P为底面四边形A1B1C1D1内的一个动点，且AP=2，则点P的轨迹长度为√32πB. 若点P为侧面四边形D1C1CD内的一个动点，且AP⊥D1C，则点P的轨迹长度为√32C. 若点P为侧面四边形B1C1CB内的一个动点，且AP与平面ABCD所成的角为30°，则点P的轨迹为双曲线的一部分D. 若点P 为底面四边形A 1B 1C 1D 1内的一个动点，且平面ABP 与平面ABCD 所成的角为45°，则点P 的轨迹为椭圆的一部分三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）25. 已知f(x)为奇函数，当x <0时，f(x)=x 2−sin(πx)，则f(2)=______． 26. 若(13x 3−x)n 的展开式中第r +1项为常数项，则rn =______．27. 已知函数f(x)={e x −1,x ≤λ−x 2+6x −8,x >λ，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是______．28. 已知扇形POQ 的半径为2，∠POQ =π3，如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点B ，C 在弧PQ ⏜上)，则矩形ABCD 面积的最大值为______．29. 曲线f(x)=ln(2x)+x 2在点(1,f(1))处的切线方程为______．30. 某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.9810的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是______．31. 已知在△ABC 中，AB =3，AC =5，其外接圆的圆心为O ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 32. 已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，设S 1，S 2分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆的面积，则S 1+S 2的取值范围为______． 四、解答题（本大题共12小题，共142.0分）33. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m ⃗⃗⃗ =(c,b)，n ⃗ =(√32,sinB)，m⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (1)求C ；(2)求sinA +sinB 的取值范围．34. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n+1=2S n +n +1． (1)证明：数列{a n +1}为等比数列；(2)在a k 和a k+1(k ∈N ∗)中插入k 个数构成一个新数列{b n }：a 1，2，a 2，4，6，a 3，8，10，12，a 4，⋯，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列，求数列{b n }的前30项和T 30．35. 如图，在三棱锥P −ABC 中，BC ⊥平面PAC ，AD ⊥BP ，AB =2，BC =1，PD =3BD =3．(1)求证：PA ⊥AC ；(2)求二面角P −AC −D 的余弦值．36. 某校开展“学习新中国史”的主题学习活动．为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试，答题测试的规则如下：每位参与测试的学生最多有两次答题机会，每次答一题，第一次答对，答题测试过关，得5分，停止答题测试；第一次答错，继续第二次答题，若答对，答题测试过关，得3分；若两次都答错，答题测试不过关，得0分．某班有12位学生参与答题测试，假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为m ，0.5，两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为p ．(1)若m =0.5，求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望；(2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为f(p)，当f(p)取最大值时，求p ，m ．37. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左，右焦点，M 为椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长为4+2√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)P 为圆x 2+y 2=5上任意一点，过P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，判断PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．38. 已知函数f(x)=2ax −x 2−2lnx ．(1)若数f(x)在定义域内单调，求实数a 的取值范围；(2)若a ≤52，m ，n 分别为f(x)的极大值和极小值，求m −n 的取值范围．39. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3tanAtanB −tanA −tanB =√3，角C 的平分线CD 交AB 于D ． (1)求证：√3CD =1CA +1CB；(2)若CD =CB =2，求△ABC 的面积．40.已知数列{a n}满足a n−1−a n=a n−a n+1(n≥2)，且a1=1，a7=13；数列{b n}的前n项和为S n，且S n=3n−12．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若数列c n={a n,n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前n项和T n．41.如图，四边形ABCD为梯形，AD//BC，AD⊥AB，侧面PAB为等边三角形，平面ABP⊥平面ABCD，AD=2BC=2，点M在边PC上，且PM=2MC．(1)证明：PA//平面BDM；(2)当二面角C−BM−D的平面角的正切值为√6时，求四棱锥P−ABCD的体积．42.购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性．某礼品店2021年1月到8月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月销售量/千个3456791012月利润/万元 3.64.14.45.26.27.57.99.1(1)求出月利润y(万元)关于月销售量x(千个)的回归方程(精确到0.01)；(2)2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4个装有“雪容融”玩偶的盲盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学．用X表示3个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求X的分布列和数学期望．参考数据：∑x i 28i=1=460，∑x i 8i=1y i =379.5．附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．43. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1,0)，F 2(1,0).过F 2与x 轴垂直的直线与椭圆C 交于点D ，点D 在x 轴上方，且|DF 1|=3√22． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在一定点M 使得k MA +k MB 为定值，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．44. 已知函数f(x)=ln(x+1)x，g(x)=xsinx −ln(x +1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当x ∈[π2,π]时，xsinx >2cosx +1； (3)判断g(x)在区间(π2,2π)上零点的个数．。
山东省2021-2022学年高二12月联考数学试题
②
由①②解得
，
所以圆的方程为 .
故答案为：
16．
【分析】
由离心率为 ，可得 ， ，再由 轴，结合双曲线的定义可表示出 ，从而可表示出 的内切圆和外接圆半径，进而可求得答案
【详解】
由 ，得 ，则 ，
设 ， ，
因为 轴，所以 ，
所以 ，
所以 的内切圆半径为
，
的外接圆半径为 ，
所以 的内切圆和外接圆半径之比 ，
对于②，当 与 的夹角为钝角时，可得 ，且 与 不共线，若 ，则 ，得 ，若 与 共线，则 ，得 ，所以当 与 的夹角为钝角时， 且 ，所以②错误，
对于③，直线 可化为 ，所以直线 的一个方向向量为 ，所以③正确，
对于④，由于实数 不全为零，所以不妨设 ，则由 ，可得 ，所以由共面向量定理可知 共面，所以④共面，
①若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；
②向量 ，若 与 的夹角为钝角，则实数m的取值范围为 ；
③直线 的一个方向向量为 ；
④若存在不全为0的实数 使得 ，则 共面．
其中正确命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
7．等差数列 满足： ．数列 的前n项和 取最大值时， （）
A．12B．13C．14D．15
故选：A
6．C
【分析】
对于①，由向量的定义判断即可，对于②，当 与 的夹角为钝角时，可得 ，且 与 不共线，从而可求出实数m的取值范围，对于③，由已知条件求出直线的斜率，从而可求得答案，对于④，由空间向量共面定理判断即可，
【详解】
对于①，因为向量是自由向量，所以空间中任意两个向量都共面，所以①错误，
（1）求抛物线的标准方程；
高三数学12月联考答案页
2020—2021学年度上学期高三12月份联考
数学答案页
姓名：
班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
18.（本题12分）
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。
山东省青岛市2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测高二数学试题答案
2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8:CCDB BADA 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.BCD ;10.ABD ;11.AB ;12.BD ;三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.22(1)(2)1x y ++-=；14.12y x =±；15.5；222n n -+；16.2；四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系·····················································································1分设AE x =，则1(1,2,1)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E x ，(1,2,0)B ．···········2分（1）因为11(1,0,1)(1,,1)0CB D E x ⋅=⋅-= ·······················································4分所以11D E B C ⊥．························································································5分（2）因为E 为AB 的中点，则()1,1,0E ，从而1(1,1,1)D E =- ，(1,1,0)EC =- ，(1,0,0)BC =- ，设平面1D EC 的法向量为(,,)n a b c = ，则100n D E n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，也即00a b c a b +-=⎧⎨-+=⎩，取1a =，从而(1,1,2)n = ，···········································································8分所以点B 到平面1D EC 的距离为6||6||n BC h n ⋅=== ．·······························10分18.（12分）解：（1）由题知：12123224,36,a a a a a a +=++==所以：121,2,1,n a a d a n ====····································································2分因为111(`1)1n n n n =-++···············································································3分所以111111111......122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++·······················6分（2）因为22n a n n b ==，所以1122n n n n b b +=+················································8分所以111(1)2(12)111222*********(1)2n n n n n n nW ++--=+⨯=-+-=----······················12分19.（12分）解：（1）因为122n n S a +=-，所以122n n S a -=-(2)n ≥两式相减得122n n n a a a +=-，即112n n a a +=(2)n ≥··············································3分A D C B 1C 1D 1A 1B E y xz因为当1n =时，1222a a =-，11a =，所以212a =，2112a a =·····························4分所以数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列所以112n n a -=·····························································································5分（2）由（1）知，112n n a -=，所以当122n n m -≤<时，m b n =所以，当1n =时，11b =当2n =时，232b b ==当3n =时，4573b b b ==== 当4n =时，89154b b b ==== 当5n =时，1617315b b b ==== ·······················································11分所以301223448515106W =+⨯+⨯+⨯+⨯=················································12分20.（12分）解：（1）由题知：圆2211(24x y +-=的最高点恰为椭圆C 的上顶点所以，1b =·································································································1分又因为2e a==，解得a 2分所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=·······························································3分在PFQ ∆中，332(242P p p y --==-+，所以33||242P p p PF y =-=+······················4分又因为||(3)322p p FQ =---=-·······································································5分所以3353||||()(3)142242p p p PF FQ -=+--=-=，解得2p =所以，抛物线D 的标准方程为24x y =-···························································6分（2）设),(),,(2211y x B y x A ，则12,1222222121=+=+y x y x ······································7分做差可得：12122212122()222()4(4nn AB n n x y y x x k x x x y y x n -+==-=-==-+-····························8分解得：212n n n x -=···························································································9分因为2221(1)22122n n n n n n n n x x ++----==-···················································10分当12n ≤≤时，22102n n n --->；当3n ≥时，22102n n n ---<；·····················11分所以123x x x <<且345x x x >>> 所以394n x x ≤=··························································································12分21．（12分）解：（1）由题知：AO ⊥平面BOC ，所以AO OC ⊥·········································1分所以在三棱锥O ABC -中，222AC AO OC =+···············································2分所以在直角梯形12AO O C 中，取1AO 的中点E ，则ACE ∆是直角三角形所以，22212AC O O AE =+，解得124O O =······················································3分所以，118363O ABC BOC V S OA OC OB OA -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=·······································4分（2）由（1）知：AO OC ⊥，AO OB ⊥，又BO OC ⊥；以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OA 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O xyz -，································································6分所以(0,0,4),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)A B C F ，(2,0,2)CF =- ，(0,2,4)AB =- ···································································7分设异面直线OC 与AB 所成角为α所以cos 5CF AB OC AB α⋅== （3）由题知：002020400(,,333G ++++++················································8分所以224(,,333OG = ，(2,0,0)OC = 设(,,)n x y z = 为平面OGC 的法向量，由00n OG n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：224020x y z x ++=⎧⎨=⎩，令2y =得：(0,2,1)n =- ············································································10分OB 为平面OAC 的法向量，·········································································11分设平面GOC 和平面AOC 夹角为θ，所以||cos =5||||OB n OB n θ⋅== ，所以平面GOC 和平面AOC 夹角的余弦值为255············································12分22．（12分）解：（1）由题知：||2W p FW x p =+=，所以,2W W p x y p ==所以：525||==p OW ，解得2=p ···························································1分所以抛物线D 的标准方程为24y x =，)0,1(F ···················································2分设动圆Z 的半径为r ，由题意知：ZF r '=，4ZF r=-所以42ZF ZF FF ''+=>=····································································3分所以Z 点的轨迹是以,F F '为焦点的椭圆.························································4分其长轴长24,a =焦距为22c =，b ==所以曲线E 的标准方程为：22143x y +=···························································5分（2）（ⅰ）设点(,)G x y ，z y x O A B C因为1(2)y k x =-，所以12y k x =-；因为2y k x =+，所以2y k x-=因为1234k k =，所以33()(24y y xx =-··························································7分整理得，(2)(20y y +-=因为ABCD 为四边形，所以20y +-≠所以点G 20y -=上···································································8分（ⅱ）由题知：)1,0(),0,2(B A ，直线323:+-=x y AB ·································9分设1122(,),(,)C x y D x y ，直线m kx y CD +=:将m kx y +=代入22143x y +=得：222(34)84120k x kmx m +++-=所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++························································10分所以22121211212112121212233()3()2(2)2yy y y k x x km x x m kx m k k x x x x x x x ++++=⨯==---222222222241288()()()343434412234m km km k km m x k k k m x k -+-+---+++=--所以2223222231243333(34)34122(34)4m k m k k x m k x -+-+=--+所以322222418)(43)36480k x k k ++++-+-=所以322224180(43)36480k k k ⎧+++=⎪⎨-+-=⎪⎩····························································11分解得32k =-，所以CD AB //······································································12分。
2020-2021学年山东省中学联盟高三(上)大联考数学试卷(12月份)(附答案详解)
2020-2021学年山东省中学联盟高三（上）大联考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1. 若集合A ={−3,−1,1，3}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∩B =( )A. {−3,−1,1}B. {−1,1，3}C. {−3}D. {3}2. 已知i 是虚数单位，则(1+√3i2i)2在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量a ⃗ =(2,3，−4)，b ⃗ =(−3,x ，y)分别是平面α，β的法向量，若α//β，则( ) A. x =92，y =6 B. x =−92，y =6 C. x =−92，y =−6D. x =92，y =−64. 已知圆C ：x 2+y 2+4x −2y −4=0关于直线l ：x −2ay +4=0对称，则原点O到直线l 的距离为( )A. 4√3737B. 1C. 4√55D. √555. “∀x ∈[−2,1]，x 2−2a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a ≥0B. a ≥1C. a ≥2D. a ≥36. 设p =ln2，q =lg3，则( )A. p −q >pq >p +qB. p −q >p +q >pqC. p +q >pq >p −qD. p +q >p −q >pq7. 已知实数x ，y 满足x +1x +9y +1y =17，其中x >0，y >0，则1x +1y 的最小值为( )A. 116B. 1C. 2D. 168. 正三角形ABC 的内切圆圆心为Q ，点P 为圆Q 上任意一点.若QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的取值范围( )A. [−1,1]B. [−12,12]C. [−√22,√22] D. [−√2,√2]二、多选题（本大题共4小题，共12.0分）9. 函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +1的图象的一个最值点为( )A. (π3,32)B. (5π6,12)C. (5π6,52)D. (4π3,52)10. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，若双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0，焦距为4√2，则下列说法正确的是( )A. 实轴长√2B. 双曲线的离心率为2C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为√6D. 存在点P ，使得|F 2P|=111. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x −1)=f(x +1)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x.设函数g(x)=f(x)−kx −k ，下列结论成立的是( )A. 函数f(x)的一个周期为2B. f(43)=−23C. 当实数k >−1时，函数g(x)在区间[1,2]上为单调递减函数D. 在区间[−1,3]内，若函数g(x)有4个零点，则实数k 的取值范围是(0,14]12. 棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是正方形ADD 1A 1(含边界)上的动点，若PB 1与A 1C 垂直，下列结论成立的是( )A. PB 1//平面BC 1DB. 动点P 一定在线段AD 1上C. |PB 1|∈[1,√2]D. PB 1与平面BC 1所成角的正弦值可以是√32三、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 与棱长为√2的正方体所有棱都相切的球的体积为______ ． 14. 近两年，中国移动推动5G 和4G 技术共享、资源共享、覆盖协同、业务协同，充分利用原4G 线路传输资源，并高效建设5G 基站.如图，南北方向的公路l ，城市A 地(看作一点)在公路正东√3km 处，城市B 地(看作一点)在A 北偏东60°方向2km 处，原有移动4G 线路PQ 曲线上任意一点满足到公路l 和到城市A 地距离相等.现要在线路PQ 上一处M 建一座5G 基站，则这座5G 基站到城市A ，B 两地的总距离最短时为______ km ．15. 已知数列{1(2n−1)(2n+3)}的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N ∗，不等式6T n <a 2−a 恒成立，则实数a 的取值范围是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx −π6)(ω>0)在[0,π]有且仅有3个零点，则函数f(x)在[0,π]上存在______ 个极小值点，实数ω的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b =5，cosB =35．(1)求△ABC 的面积的最大值； (2)若√2csin B+C 2=asinC ，求△ABC 的周长．18. 已知数列{a n }的前n 项和是A n ，数列{b n }的前n 项和是B n ，若A 3=14，a n+1=2a n ，n ∈N ∗.再从三个条件：①B n =−n 2+21n ；②B n+1+2=B n +b n ，b 1=20；③b n =22−2log 2a n ，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答． (1)求数列{b n }的通项公式；(2)定义：a ∗b ={a,a ≤bb,a >b .记c n =a n ∗b n ，求数列{c n }的前100项的和T 100．19. 某工厂有一批材料被预定制作“阳马”(中国古代算数中的一种几何体，是底面为长方形，两个三角侧面与底面垂直的四棱锥体)，材料是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的几何体，每一块材料制作一个“阳马”.材料的尺寸如图所示，BE =1，DG =4，AB =2．(1)求通过此材料制作成的“阳马”中，最长的棱的长度；(2)求平面AEFG与底面ABCD所夹锐角的余弦值．20.某地方舱医院的建设中，为了使得内部环境更加温馨，在儿童病区采用了如图所示的一个窗户(该图为轴对称图形)，其中上半部分曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线E1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cosx−1，此时记窗户的最高点O到BC边的距离为ℎ1(t)；曲线E2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记窗户的最高点O到BC边的距离为ℎ2(t)；窗户的下半部分中，AB，BC，CD是矩形ABCD的三条边，由总长度为6米的材料弯折而成，记BC边的长度为2t米(1≤t≤32).(1)分别求函数ℎ1(t)、ℎ2(t)的表达式；(2)为了使得点O到BC边的距离最大，窗户的上半部分应选择曲线E1还是曲线E2？请说明理由，并求出此时矩形部分的BC边长度应设计成多少米．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(−1,√32)，短轴的一个端点到焦点的距离为2．(1)求椭圆E的方程；(2)定义k PQ为P，Q两点所在直线的斜率，若四边形ABCD为椭圆的内接四边形，且AC，BD相交于原点O，且k AC=14kBD，试判断k AB与k BC的和是否为定值.若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．22.函数m(x)=alnx+x2．(1)当a≠0时，若函数m(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)=−x2m′(x)+lnx+2x3，a∈R．(ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+n，求实数a，m的值；(ⅰ)对于曲线y=f(x)上的两个不同的点M=(x1,f(x1))，N=(x2,f(x2))，记直线)<k．MN的斜率为k，若；的导函数为f′(x)，证明：f′(x1+x22答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合B={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，又集合A={−3,−1,1，3}，所以A∩B={−1,1，2}．故选：B．先利用一元二次不等式的解法求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合交集定义的理解和应用，一元二次不等式的解法，考查了运算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为(1+√3i2i )2=(1+√3i)2(2i)2=−2+2√3i−2=1−√3i，所以(1+√3i2i)2在复平面内对应的点的坐标为(1,−√3)，位于第四象限．故选：D．先利用复数乘法的运算法则将复数化为代数形式，然后利用复数的几何意义进行分析求解即可．本题考查了复数乘法运算法则的运用，复数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：向量a⃗=(2,3，−4)，b⃗ =(−3,x，y)分别是平面α，β的法向量，∵α//β，∴a⃗//b⃗ ，∴−32=x3=y−4，解得x=−92，y=6．故选：B．由α//β，得a⃗//b⃗ ，利用向量平行的性质能求出x，y．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：圆C 的标准方程为(x +2)2+(y −1)2=9，则圆心C(−2,1)， 因为圆C 关于直线l ：x −2ay +4=0对称，则圆心C(−2,1)在直线l 上，则有−2−2a +4=0，解得a =1， 故直线l 的方程为x −2y +4=0， 所以原点O 到直线l 的距离为d =√12+(−2)2=4√55． 故选：C ．先求出圆C 的标准方程，从而得到点C 的坐标，利用圆的对称性，可知点C 在直线l 上，从而求出a 的值，得到直线l 的方程，由点到直线的距离公式求解即可． 本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆关于直线对称性问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意可知2a ≥x 2在[−2,1]上恒成立． 由函数y =x 2图象可知在[−2,1]上y 的最大值是4，∴2a ≥4， ∴a ≥2． 故选：D ．解出a 的取值集合，从选项中找其真子集可解决此题．本题考查充分不必要条件的意义、函数思想，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为1<2<e ，所以ln1<ln2<lne ，即0<p <1， 而1<3<10，所以lg1<lg3<lg10，即0<q <1， 所以p +q >p −q ，故A ，B 错误，因为0<lg3<lg1012=12，0<lne 12=12<ln2，所以p >12,0<q <12，因为p−q pq =1q −1p >0，所以p −q >pq ，故选项C 错误，综上可得，p +q >p −q >pq ，故选项D 正确． 故选：D ．利用对数函数的单调性求出0<p <1，0<q <1，从而判断选项A ，B ；再将p ，q 与特殊值0，12比较，即可判断选项C ，D ．本题考查了函数值大小的比较，主要考查了利用对数的单调性将函数值与特殊值进行比较，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：设a =1x +1y ，b =x +9y ，则a +b =17， ∵ab =(1x+1y )(x +9y)=9y x+x y+10≥2√9+10=16，当且仅当9y x=xy时取等号，∴ab ≥16，又∵a +b =17，∴a(17−a)≥16，即a 2−17a +16≤0，解得1≤a ≤16， ∴1≤1x +1y ≤16，∴1x +1y 的最小值为1． 故选：B ．设a =1x +1y ，b =x +9y ，得到a +b =17，再利用基本不等式求出ab ≥16，转化为a 的一元二次不等式即可求解．本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，设圆Q 的半径为r ，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，又由QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则QP⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mn QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 变形可得：(m +n)2−3mn =14， 又由mn ≤(m+n)24，则有(m +n)2≤1，解可得：−1≤m +n ≤1，即m +n 的取值范围为[−1,1]； 故选：A ．根据题意，设圆Q 的半径为r ，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，|QP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量数量积的运算性质可得QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(m QC ⃗⃗⃗⃗⃗ +n QA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=m 2QC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+n 2QA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2mn QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形可得：(m +n)2−3mn =14，结合基本不等式的性质，变形分析可得(m +n)2≤1，解可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及正三角形的性质和基本不等式的性质和应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：f(x)=sin 2x +√3sinxcosx +1=1−cos2x 2+√32sin2x =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+32，当sin(2x −π6)=1，即2x −π6=π2+2kπ,k ∈Z ，即x =π3+kπ,k ∈Z 时，f(x)取得最大值52，当sin(2x −π6)=−1，即2x −π6=−π2+2kπ,k ∈Z ，即x =−π6+kπ,k ∈Z 时，f(x)取得最大值12，故选项A ，C 错误，选项B ，D 正确． 故选：BD ．先利用二倍角公式以及辅助角公式化简f(x)的解析式，然后利用正弦函数的最值以及整体代换，求出f(x)的最值情况，对照选项判断即可．本题考查了三角函数最值问题的求解，涉及了二倍角公式以及辅助角公式的运用，正弦函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，双曲线的渐近线方程为√3x ±y =0，焦距为4√2，可得2c =4√2，即c =2√2，ba =√3，8=a 2+b 2，解得a =√2，b =√6， 所以实轴长为2√2，A 不正确；双曲线的离心率为：2√2√2=2，所以B 正确；双曲线的焦点到渐近线的距离为b =√6，所以C 正确； c −a =2√2−√2=√2>1，所以D 不正确． 故选：BC ．利用双曲线的渐近线方程以及焦距，求解a ，b ，c ，然后判断选项的正误即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A ，因为函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(x −1)=f(x +1)， 令x −1=t ，则x =t +1，所以f(t)=f(t +1+1)=f(t +2)，所以对于任意的x ∈R ，f(x +2)=f(x)， 则函数f(x)的周期为2，故选项A 正确； 对于B ，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，所以f(43)=f(−23+2)=f(−23)=f(23)=23，故选项B 错误； 对于C ，设x ∈[1,2]，则2−x ∈[0,1]，所以f(2−x)=2−x ，因为f(2−x)=f(−x +2)=f(−x)=f(x)， 所以f(x)=2−x ，x ∈[1,2]， 因为函数g(x)=f(x)−kx −k ，所以当x ∈[1,2]时，g(x)=2−x −kx −k =−(k +1)x −k +2， 当k >−1时，k +1>0，所以−(k +1)<0， 所以g(x)在[1,2]上为单调递减函数，故选项C 正确； 对于D ，因为g(x)=f(x)−kx −k ，所以函数g(x)在[−1,3]内的零点个数等价于函数f(x)的图象与直线y =kx +k =k(x +1)在[−1,3]内交点的个数， 作出两条函数图象如图所示，在区间[−1,3]内，因为函数g(x)由4个零点，则实数k 的取值范围为0<k ≤1−03−(−1)=14，即k ∈(0,14]，故选项D 正确． 故选：ACD ．利用偶函数的性质以及周期函数的定义判断选项A ；利用周期性，将f(43)转化为f(23)，再利用已知的解析式求解，即可判断选项B ；求出f(x)在x ∈[1,2]上的解析式，从而得到g(x)在x ∈[1,2]上的解析式，由解析式即可确定函数g(x)的单调性，从而判断选项C ；将函数的零点问题转化为两个图象的交点问题，利用数形结合法进行分析求解，即可判断选项D ．本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的周期性、奇偶性、单调性的应用，函数解析式的求解，函数零点的应用，综合性强，对学生的能力要求较高，属于中档题．12.【答案】AB【解析】解：作出图形如图所示，对于B ，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1，所以AD 1⊥CD ，因为AD 1⊥A 1D ，且CD ∩A 1D =D ，A 1D ，CD ⊂平面A 1CD ，所以AD 1⊥平面A 1CD ，因为A 1C ⊂平面A 1CD ，所以A 1C ⊥AD 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，因为AB 1∩AD 1=A ，AB 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1C ⊥平面AB 1D 1，因为P 是正方形ADD 1A 1(含边界)上的动点，若PB 1与A 1C 垂直，则PB 1⊂平面AB 1D 1，因为平面AB 1D 1∩平面ADD 1A 1=AD 1， 所以P ∈线段AD 1，故选项B 正确；对于A ，因为在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB//CD//C 1D 1，且AB =CD =C 1D 1， 所以四边形ABC 1D 1是平行四边形，故AD 1//BC 1，又AD 1⊄平面BC 1D ，BC 1⊂平面BC 1D ，所以AD 1//平面BC 1D ， 同理可证AB 1//平面BC 1D ，又AB 1∩AD 1=A ，AB 1⊂平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1//平面BC 1D ，又B 1P ⊂平面AB 1D 1，故B 1P//平面BC 1D 1，故选项A 正确；对于C，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，所以AB1=B1D1=AD1=√2，故△AB1D1是边长为√2的正三角形，所以|PB1|∈[(√2)，故|PB1|∈[√62,√2]，故选项C错误；对于D，在在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ADD1A1//平面BCC1B1，所以PB1与平面BCC1B1(即平面BC1)所成的角等于PB1与平面ADD1A1所成的角，连结A1P，因为A1B1⊥平面ADD1A1，所以∠B1PA1就是PB1与平面ADD1A1所成的角，因为√22≤A1P≤1，所以在Rt△B1A1中，B1P=√A1B12+A1P2=√1+A1P2∈[√62,√2]，所以sin∠B1PA=|A1B1||B1P|=1|B1P|∈[√22,√63]，因为√32>√63，所以PB1与平面BC1所成角的正弦值不可能是√32，故选项D错误．故选：AB．利用线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理和性质定理即可判断选项A；利用平面的基本定理判断选项B；利用△AB1D1是边长为√2的正三角形，求解|PB1|的范围，即可判断选项C；利用线面角的定义找到对应的角，然后由边角关系求解，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何知识的综合应用，涉及了线面位置关系，点与直线位置关系，线面角等知识的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．13.【答案】4π3【解析】解：正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：2，故R=1，所以该球的体积为43πR3=4π3．故答案为：4π3．正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长，即可求出该球的体积．本题是基础题，考查球的体积，确定与正方体的棱相切球的半径，是解决本题的关键．14.【答案】2√3【解析】解：建立如图所示的坐标系：直线l 方程为：x =−√32，A(√32,0)，B(3√32,0)， 弧线PQ 的方程为，y 2=2√3x ，由抛物线的定义可知点M 到点A 的距离与到直线l 的距离相等， 故当直线BN 垂直直线l 且与曲线PQ 相交于点M 时MB +MA 的值最小， 此时最小值为2√3， 故答案为：2√3．利用题中的条件，建立直角坐标系，转化成抛物线的问题，进而可以解决．本题考查了抛物线的定义，学生的逻辑推理能力，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】(−∞,−1]∪[2,+∞)【解析】解：由1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，可得T n =14(1−15+13−17+15−19+...+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3) =14(1+13−12n+1−12n+3)=13−14(12n+1+12n+3)<13， 任意的n ∈N ∗，不等式6T n <a 2−a 恒成立， 可得a 2−a ≥6×13， 解得a ≥2或a ≤−1，则a 的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)． 故答案为：(−∞,−1]∪[2,+∞)．由1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，运用数列的裂项相消求和可得T n ，由不等式的性质可得T n <13，由不等式恒成立思想，结合二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查数列的裂项相消求和和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】1 [13π6,19π6)【解析】解：当x ∈[0,π]时，ωx −π6∈[−π6,ωπ−π6]，由于函数f(x)在[0,π]上有且仅有3个零点，则2π≤ωπ−π6<3π， ∴136≤ω<196，∴ω的取值范围为[13π6,19π6).令t =ωx −π6，则2π≤t <3π，作出函数y =sint 在区间[−π6,ωπ−π6]上的图象如图所示，∴函数f(x)在[0,π]上有且仅有1个极小值点． 故答案为：1，[13π6,19π6).由x ∈[0,π]可得，ωx −π6∈[−π6,ωπ−π6]，根据题意可得2π≤ωπ−π6<3π，令t =ωx −π6，作出函数y =sint 的图象，利用数形结合即可．本题考查了正弦型函数求解零点的个数问题，涉及到换元法，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为cosB =35，所以sinB =45，由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2accosB ，即25=a 2+c 2−65ac ≥2ac −65ac ， 当且仅当a =c 时取等号， 故ac ≤1254，所以S =12acsinB ≤12×1254×45=252，所以△ABC的面积的最大值为252；(2)因为√2csin B+C2=asinC，由正弦定理得√2sinC⋅sinπ−A2=sinA⋅sinC，因为sinC≠0，所以√2sinπ−A2=sinA，即√2cos A2=sin A2⋅cos A2，又cos A2≠0，故sin A2=√22，则A=90°，又因为sinB=45=ba，所以a=254，则c=a⋅cosB=254⋅35=154，故周长为a+b+c=254+5+154=15．【解析】(1)由同角三角函数关系求出sin B，由余弦定理以及基本不等式求出ac的最大值，利用三角形的面积公式求解即可得到答案；(2)利用正弦定理将已知的等式边化角，再利用三角恒等变换进行化简，求出角A，利用边角关系求出a，c，即可得到△ABC的周长．本题考查了解三角形问题，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式求最值的应用，三角恒等变换以及三角形面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知得，{a n}为等比数列，公比为q=2，则a1+2a1+22a1=14∴a1=2∴a n=2n选择①当n=1时，b1=B1=20，当n≥2时，b n=B n−B n−1=22−2n，∴b n=22−2n．选择②B n+1−B n=b n−2，即b n+1=b n−2，所以{b n}是首项为20，公差−2的等差数列，∴b n=22−2n．选择③b n=22−2log22n=22−2n．(2)由(1)知：c n=a n∗b n={2n,1≤n≤322−2n,n≥4(n∈N∗)所以，T 100=a 1+a 2+a 3+b 4+b 5+b 6+⋅⋅⋅+b 100=a 1(1−q 3)1−q+97(b 4+b 100)2=2(1−23)1−2+97(14−178)2=24−2−7954=−7940．【解析】(1)由已知得，{a n }为等比数列，公比为q =2，求出通项公式， 选择①，利用b n =B n −B n−1求解通项公式即可．选择②B n+1−B n =b n −2，推出{b n }是首项为20，公差−2的等差数列，求解通项公式． 选择③，利用已知条件化简求解即可．(2)利用新定义，化简通项公式，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设点F(0,0，ℎ)，且有A(2,2，0)，G(2,0，4)，E(0,2，1)，因为几何体是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的， 所以平面ADG//平面BCFE ，又平面ADG ∩平面AEFG =AG ，平面BCFE ∩平面AEFG =EF ， 所以AG//EF ，同理AE//GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(0,−2,4)=(0,−2,ℎ−1)，得ℎ=5 易知制作成的阳马F −ABCD 中，最长的棱长为FA ， 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+4+25=√33， 所以FA 的长为√33．(2)根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 由(1)知，AG⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,4)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1) 设平面AEFG 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则由{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2y +4z =0−2x +z =0，即{y =2z x =z 2 令z =2，所以n⃗ =(1,4,2)，所以cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1×√1+16+4=√21=2√2121， 所以平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值为2√2121．【解析】(1)以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz.判断四边形AEFG 是平行四边形．说明制作成的阳马F −ABCD 中，最长的棱长为FA ，利用空间向量的距离公式求解即可．(2)求出平面ABCD 的一个法向量，平面AEFG 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值即可．本题考空间点、线、面距离的求法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)曲线E 1解析式为y =cosx −1，所以点D 的坐标为(t,cost −1)，点O 到AD 的距离为1−cost ，而AB =DC =3−t ，则ℎ1(t)=(3−t)+(1−cost)=−t −cost +4，(1≤t ≤32)， 关于曲线E 2，可知抛物线的方程为x 2=−94y ．所以点D 的坐标为(t,−49t 2)，点O 到AD 的距离为49t 2， 又AB =DC =3−t ，可得ℎ2(t)=49t 2−t +3(1≤t ≤32)． (2)因为ℎ′(t)=−1+sint <0， 所以ℎ1(t)在[1,32]上单调递减，所以当t =1时，ℎ1(t)取得最大值为3−cos1． 又ℎ2(t)=49t 2−t +2(1≤t ≤32)二次函数开口向上，在[1,98]上单调递减，在[98,32]上单调递增， 当t =32时，ℎ2(t)取得最大值为52经比较，cos1>cos π3=12，所以3−cos1<3−12=52 所以，选用曲线E 2，满足点O 到BC 边的距离最大， 此时2t =3，即矩形部分的BC 边长度设计成3米．【解析】(1)利用题中的条件易解出ℎ1(t)，ℎ2(t)，即可解出； (2)由(1)知分别对两个函数进行求导，解出最值，即可解决．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−1,√32)，所以1a 2+34b 2=1， 又由题意知，短轴的一个端点到焦点的距离为2，即a =2， 联立方程{1a 2+34b 2=1a =2．解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)k AB +k BC =0.理由如下：设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 2+4y 2=4，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， ∴△=(8km)2−4(4k 2+1)×4(m 2−1)=16(4k 2−m 2+1)≥0，{x 1+x 2=−8km1+4k 2x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2， 因为k AC =14k BD，所以k OA k OB =14，所以4y 1y 2=x 1x 2，又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， ∴(4k 2−1)x 1x 2+4km(x 1+x 2)+4m 2=0． ∴(4k 2−1)4(m 2−1)1+4k 2+4km −8km1+4k 2+4m 2=0．整理得4k 2=1，∴k =±12， ∵A ，B ，C ，D 可以轮换，∴AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是−12， ∴k AB +k BC =0．【解析】(1)利用椭圆过点P(−1,√32)，结合短轴的一个端点到焦点的距离为2，求解a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率，推出结果即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．22.【答案】解：(1)函数m(x)=alnx +x 2(a ≠0)的定义域为(0,+∞)，∴m′(x)=ax +2x =2x 2+a x，①当a >0时，m′(x)>0，所以m(x)在(0,+∞)上单调递增， 取x 0=e −1a ，则(e −1a )=−1+(e −1a )2<0，因为m(1)=1，所以m(x 0)m(1)<0，此时函数m(x)有一个零点， ②当a <0时，令m′(x)=0，解得x =√−a2，当0<x <√−a2时，m′(x)<0，所以m(x)在(0,√−a2)m′(x)<0上单调递减，当x >√−a2时，m′(x)>0，所以m(x)在(√−a2,+∞)上单调递增，要使函数m(x)有一个零点，则m(√−a 2)=aln √−a 2−a2=0，即ln(−a2)=1，解得：a =−2e ，综上，若函数m(x)恰有一个零点，则a =−2e 或a >0． (2)(ⅰ)∵f(x)=lnx −2a ，∴f′(x)=1x −a ，∵曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =2x +m ， ∴{f′(1)=1−a =2f(1)=−a =2×1+m ，解得：{a =−1m =−1； (ⅰ)证明：f(x 1)−f(x 2)=lnx 1−lnx 2+a(x 2−x 1)， k =f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=lnx 1−lnx 2+a(x 2−x 1)x 1−x 2=lnx 1−lnx 2x 1−x 2−a ，又f′(x)=1x −a =1−ax x，f′(x 1+x 22)=2x 1+x 2−a ，f′(x 1+x 22)−k =2x1+x 2−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x1−x 2[2(x 1−x 2)x 1+x 2−ln x 1x 2]=1x1−x 2[2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x1x 2]，不妨设0<x 2<x 1，t =x 1x 2，则t >1，即2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x 2=2(t−1)t+1−lnt ．令ℎ(t)=2(t−1)t+1−lnt(t >1)，则ℎ′(t)=−(t−1)2(1+t)2t <0，因此ℎ(t)在(1,+∞)上单调递减，所以ℎ(t)<ℎ(1)=0， 又0<x 2<x 1，所以x 1−x 2>0，所以f′(x 1+x 22)−k <0，即f′(x 1+x 22)<k ．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a 的范围即可；(2)(i)结合切线方程得到关于a ，m 的方程组，解出即可； (ii)表示出k ，不妨设0<x 2<x 1，t =x 1x 2，则t >1，得到2(x 1x 2−1)x 1x 2+1−ln x 1x 2=2(t−1)t+1−lnt.令ℎ(t)=2(t−1)−lnt(t>1)，求出函数ℎ(t)的导数，结合函数的单调性证明即可．t+1本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。
2020年12月山东省新高考质量测评联盟2021届高三上学期12月调研联考数学试题及解析
对于选项 ：若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，因为“租赁和商务服务业”生产总值占比 ，所以第三产业生产总值为 亿元，
2020年12月山东省新高考质量测评联盟2021届高三上学期12月调研联考
数学试题
★祝考试顺利★
(含答案)
考试用时120分钟，满分150分．
一、选择题
1.已知集合 ，集合 ，则 （）
A. B. C. D.
————D
分析：求出集合 后可得 .
解答： ，故 ，
故选：D.
2. ，若 为实数，则 的值为（）
又由 ， 为奇函数，
在区间 上， ， ， ，
在区间 上， ， ， ，符合题意，
对于 ， ，有 ，解可得 ，即 的定义域为 ，
在区间 上， ， ， ，与图象不符，不符合题意，
对于 ， ，有 ，解可得 ，即 的定义域为 ，与图象不符，不符合题意，
对于 ， ，有 ，解可得 ，即 的定义域为 ，与图象不符，不符合题意，
A B. C. D.
————D
分析：利用复数代数形式的除法运算法则计算可得；
解答：解： ，
为实数， ，
，解得 ．
故选： ．
3.若非零向量 ， 满足 ，则“ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件，B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
————C
分析：将 两边平方可得， ，再根据数量积的定义可知，“ ”是“ ”的充要条件．
2020-2021学年山东省东营市胜利一中高二上学期12月份质量检测数学(解析版)
胜利一中2019级高二年级12月份质量检测考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆2241x y +=的长轴长为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．4 2. 在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为( ) A. 1-B. 1C.D.733．“2<m<6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A ．若m α⊂，m n ⊥，则n α⊥ B ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ C ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则m n ⊥ D ．若//m α，n β⊥，//αβ，则m n ⊥ 5．直线cos 40x y α--=的倾斜角的取值范围是（ ） A.0,B. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ C. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭6. 美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）种 A ．216 B ．180C ．120D ．967. 已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 和圆O ：x 2＋y 2＝b 2，若C 上存在点M ，过点M 引圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，使得△MEF 为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡121，B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122，C.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡123，D.⎥⎦⎤ ⎝⎛220，8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 在棱AB 上，且1AM =，点P 是正方体下底面ABCD 内（含边界）的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为16，则动点P 到B 点的最小值是（ ）．A ．72B ．22C ．6D ．2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【物理】山东省新高考质量测评联盟2020-2021学年高二上学期12月联考试卷(解析版)
周期
故B错误，D正确 故选D。
7.如图所示，一个夹层中空的圆柱形零件内部放有一个略比夹层宽度小一点的小圆柱体，初始时小圆柱体位于大圆柱夹层的顶部，此时大圆柱体与地面的接触位置为A点，如甲图所示，现小圆柱体受到微小的扰动，从顶部滚下，截面图如乙图所示，忽略一切接触部位的摩擦，以下说法中正确的是（ ）
山东新高考质量测评联盟12月联考试题
高二物理
本试卷分选择题与非选择题两部分，共8页，满分100分，考试时间90分钟。
一、单项选择题,本题共8小题,每小题3分,共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.下列说法正确的是（ ）
A.受迫振动系统在非共振状态时，同一振幅对应的驱动力频率一定有两个
B.简谐运动平衡位置一定是运动过程的中心位置，但不一定处于平衡状态
A.前车速度大于后车速度B.前后两车速度相同
C.前车速度小于后车速度D.前车一定处于静止状态
【答案】C
【解析】因为 时，说明接收到的频率增大，说明两车距离减小，表明前车速度小于后车速度，不一定前车处于静止状态。故选C。
5.2020年11月10日，全国皮划艇静水锦标赛在浙江省丽水市水上运动中心开幕。大赛前，甲、乙两个运动员分别划动两艘皮划艇沿同一方向进行赛前训练，他们分别划动了一段时间后让各自的皮划艇自由滑行，一段时间后停下。他们及各自的皮划艇总质量相等，测速器测得甲、乙的v-t图像分别如图中的OAB、O＇CD所示，图中AB//CD，则（ ）
A.小圆柱体会再次到达顶部，此时大圆柱体与地面的接触位置仍在A点
B.小圆柱体不会再次到达顶部，此时大圆柱体与地面的接触位置在A点右侧
C.小圆柱体会再次到达顶部，此时大圆柱体与地面 接触位置要看二者的质量关系而定
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山东省新高考质量测评联盟2020-2021学年高二上学期12月
联考数学试题
一、选择题
1．点()2,1,3A -关于xOy 平面的对称点为（ ）
A ．()2,1,3A --
B ．()2,1,3
C ．()2,1,3-
D ．()2,1,3--
2．已知直线l 50y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 3．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若//l m ，//m α，则//l α
B ．若//αβ，m α⊂，则//m β
C ．若l m ⊥，m α⊂，//αβ，则l β⊥
D ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥
4．山东省高考改革后实施选科走班制度，小明需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理中选择三科作为自己的选科组合，物理和历史不能同时选择，则小明不同的选科情况有（ ）
A ．14种
B ．16种
C ．18种
D ．20种 5．直线l 过点()2,1M 且与椭圆22416+=x y 相交于A ，B 两点，若点M 为弦AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）
A ．12-
B ．12
C ．1-
D ．1
6．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，
1AB AD ==，12AA =，1O 是11A C 与11B D 的交点，则1AO =（ ）
A ．112
B ．2
C ．132
D ．2
7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC =，120ABC ∠=︒．M 为
11A C 的中点，则直线BM 与平面11ABB A 所成的角为（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
8．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D 9．已知曲线C ：22
212x y m m
==+（R m ∈），则下列结论正确的是（ ） A ．若0m <，则曲线C 表示双曲线
B ．曲线
C 可能表示一个圆
C ．若曲线C 是椭圆，则其长轴长为
D ．若1m =，则曲线C 中过焦点的最短弦长为3
10．已知曲线C 上任意一点到直线4x =-的距离比它到点()2,0F 的距离大2，则下列结论正确的是（ ）
A ．曲线C 的方程为28y x =
B ．若曲线
C 上的一点A 到点F 的距离为4，则点A 的纵坐标是4±
C ．已知曲线C 上的两点M ，N 到点F 的距离之和为10，则线段MN 的中点横坐标是5
D ．已知()3,2A ，P 是曲线C 上的动点，则PA PF +的最小值为5
11．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA AB ==，以AB 为直径的
圆O 经过点C ，60AOC ∠=︒，则下列结论正确的是（ ）
A ．平面SAC ⊥平面SBC
B ．三棱锥O SB
C -的体积为2
C ．二面角S OC B --的正切值为3
- D ．三棱锥S ABC -外接球的表面积为8π
12．如图，1F ，2F 是双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，Q 是圆2F ：()2
2536x y -+=上一动点，线段1F Q 的垂直平分线与直线2QF 的交点P 恰好在双曲线C 上，则下列结论正确的是（ ）
A ．双曲线C 的渐近线方程为34y
x B ．双曲线C 的离心率为53
C ．焦点2F 到双曲线C 的渐近线距离为4
D ．12PF F △内切圆圆心的横坐标为3或3-
13．计算：5274C A -=______．
14．已知圆1C ：()2
214x y -+=与圆2C ：()2211x y +-=相交于A ，B 两点，则AB =______．
15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为CD ，1DD 的中点，
则平面BMN 截正方体所得的截面面积为______；以点M
与对角面11BB D D 的交线长度为______．
16．已知空间中三点()1,0,1A -，()2,1,1B ，()2,0,3C -，设a AB =，b AC =． （1）求向量a 与b 夹角的余弦值；
（2）若a 与a kb -互相垂直，求实数k 的值．
17．已知直线l ：10x ay -+=与圆C ：224210x y x y +--+=交于A ，B 两点，
AB =．
（1）求a 的值；
（2）求与直线l 平行的圆C 的切线方程．
18．从①AB BC ⊥；②直线SC 与平面ABCD 所成的角为60°；③ACD △为锐角三角形且三棱锥S ACD -的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．
（1）求证：直线//EF 平面SAD ；
（2）若SA =，2AD =，______，求平面SBC 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．
19．如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部AB 宽8米，顶点O 距离地面6米．
（1）以拱门顶点O 为原点，对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程；
（2）节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．（灯笼看作点P ）
20．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ABEF ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯
形，//AD BC ，AB BC ⊥，122
AB AD BC ===，//AB EF ，AF ==
（1）证明：CD BF ⊥；
（2）在线段CE 上是否存在点M ，使得点M 到平面BDF 的距离为3
？若存在，求出CM CE
的值；若不存在，说明理由． 21．已知()1,0F 为椭圆C 的一个焦点，B 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点，椭圆C 上的点P 满足3OP OF OB =+． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，若以PQ 为直径的圆经过原点，求证：原点到直线l 的距离为定值．
二、填空题
22．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________。