2011年广州市一模数学(理科)
2011年广州市普通高中毕业班综合测试数学试卷(理科)
12011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部记作()Im z b =，则1Im 2i ⎛⎫=⎪+⎝⎭A ．13B ．25C ．13-D ．15-2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U A B == ，(){}2,4,6U A B = ð，则集合B =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,3,5,7D ．{}1,2,3,4,5,6,7 3．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为A ．73B ．53C ．5D ．34．已知函数()()32120f x x ax xa a =++>，则()2f 的最小值为A． B ．16 C ．288a a++D ．1128a a++5．已知()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2011f x =A ．sin cos x x --B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x + 6．一条光线沿直线220x y -+=入射到直线50x y +-=后反射，则反射光线所在的直线方程为A ．260x y +-=B ．270x y -+=C ．30x y -+=D ．290x y +-= 7．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且1=a ，2=b ，3=c ，则a +b +c 等于AB ．6 C． 6D ．3或68．正方形A B C D 的边长为2，点E 、F 分别在边A B 、B C 上，且1A E =，12B F =，将此正方形沿D E 、D F 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P D EF -的体积是A ．13B．6C．9D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）29．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为3π，则ω的值为 ．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为 ．11．若1223211C 3C 3C 3C385n n n nn n n---+++++= ，则 n 的值为 ． 12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = 厘米．13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()*,p q p q p q ⨯≤∈N且是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()p f n q=，例如()3124f =.关于函数()f n 有下列叙述：①()177f =，②()3248f =，③()4287f =，④()914416f =.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）在梯形A B C D 中，AD BC ，2AD =，5B C =，点E 、F 分别在A B 、C D 上，且EF AD ，若34A E E B=，则E F 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，则直线l 的极坐标．．．方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图2，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．17．（本小题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆图160ABC东南西北 α3能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．力为中等或中等以上的概率为25．（1）试确定a 、b 的值；（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． 18．（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11AD D A 和三棱锥E A B C -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，A B A C =，2A E =．（1）求证：A C B D ⊥；（2）求二面角A B D C --的平面角的大小．19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和()12nn n a S +=，且11a =．（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．AODE正（主）视图 E A侧（左）视图A 1 D 1A D 1A 1E BCOD 图3420．（本小题满分14分） 已知双曲线C ：()222210x y a b ab-=>>和圆O ：222x y b +=（其中原点O 为圆心），过双曲线C 上一点()00,P x y 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若双曲线C 上存在点P ，使得90APB ∠= ，求双曲线离心率e 的取值范围； （2）求直线A B 的方程；（3）求三角形O A B 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a 的值； （2）若k ∈Z ，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值；（3）当4n m >≥时，证明()()mnn m m n nm >．参考答案一、选择题：二、填空题： 9．3210．()32f x x x =-- 11．4 12．11 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20θρθ--=三、解答题：16．解：（1）依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220A C =⨯=，B C A α∠=．在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠60ABC东南西北 α522122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=． 解得28B C =．所以渔船甲的速度为142B C =海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠= ，28B C =，B C A α∠=，由正弦定理，得sin sin 120A B B C α=．即12sin 1202sin 2814AB BCα⨯===． 答：sin α14方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28B C =，B C A α∠=，由余弦定理，得222cos 2AC BC ABAC BCα+-=⨯．即22220281213c o s 2202814α+-==⨯⨯．因为α为锐角，所以sin α===14． 答：sin α1417．解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则102()405a P A +==，解得6a =．所以40(32)40382b a =-+=-=．答：a 的值为6，b 的值为2．（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以332340C 124123()1()11C247247P B P B =-=-=-=．答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以()122138328328340C C C C C 123C247P B ++==．答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．6（3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416C C k k -，所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340C C ()Ck kP k ξ-==，()0,1,2,3k =．ξ的可能取值为0，1，2，3，因为032416340C C 14(0)C247P ξ===， 122416340C C 72(1)C247P ξ===，212416340C C 552(2)C 1235P ξ===，32416340C C 253(3)C 1235P ξ===． 所以ξ的分布列为0E ξ=⨯142471+⨯722472+⨯55212353+⨯25312352223912355==．答：随机变量ξ的数学期望为95．18．方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以E A A C ⊥，即E D A C ⊥． 又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以A C ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以A C B D ⊥． （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4B C =，AB AC ==过点C 作C H BD ⊥于点H ，连接A H ，由（1）知，A C B D ⊥，AC CH C = ，所以B D ⊥平面A C H ．因为AH ⊂平面A C H ，所以BD AH ⊥．所以A H C ∠为二面角A B D C --的平面角．由（1）知，A C ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ，所以A C A H ⊥，即△C A H 为直角三角形．在R t △BAD 中，AB =2AD =，则BD ==AB AD BD AH ⨯=⨯，解得3AH =．因为tan A C AH C A H∠==A H C ∠60=．所以二面角A B D C --的平面角大小AD 1A 1EBCO D7为60 ．方法2：（1）证明：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径． 设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4B C =，AB AC ==以点D 为原点，1DD 、D E 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()2,2,0AC =- ，()2,2,2DB =．因为()()2,2,02,2,20A CD B =-=，所以A C D B⊥．所以A C B D ⊥．（2）解：设(),,x y z =n 是平面BC D 的法向量，因为()0,4,0BC =-，所以0,0.B C D B ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面B C D 的一个法向量．由（1）知，A C B D ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ，所以A C ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．因为1cos ,2ACAC AC⋅===⋅ n n n ，所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A B D C --的平面角，所以二面角A B D C --的平面角大小为60 ．方法3：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以E A A C ⊥，即ED AC ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以A C ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以A C B D ⊥． （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以B C 为圆O 的直径． 设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得2,2.r h =⎧⎨=⎩ 所以4B C =，AB AC ==AD 1A 1E BCODAD 1A 1EBC O D8以点D 为原点，1DD 、D E 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()0,4,0BC =- ，()2,2,2DB =设(),,x y z =n 是平面BC D 的法向量，则0,0.B C D B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BC D 的一个法向量．由（1）知，A C B D ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ，所以A C ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．因为1cos ,2ACAC AC⋅===⋅n n n ，所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A B D C --的平面角，所以二面角A B D C --的平面角大小为60 ．19．解：（1）解法1：当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-，即11n n a a nn -=-()2n ≥． 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =的常数列．所以1n a n =，即n a n =()n ∈*N ．所以数列{}na 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．解法2：当2n ≥时，()11122nn n n n n a na a S S --+=-=-， 即11n n a n a n -=-()2n ≥．所以1321122113211221n n n n n a a a a nn a a n a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ．因为11a =，符合n a 的表达式．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．（2）假设存在k ()2,,k m k ≥∈*N ，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列，则2k k b b +=21k b +．因为ln ln n n b a n ==（n≥2），所以()()2222ln 2ln ln 2ln ln(2)22k k k k k k b b k k +⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥=⋅+<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦9()()22221ln 1ln 12k k k b +⎡⎤+<=+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦．这与2k k b b +=21k b +矛盾． 故不存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．20．解：（1）因为0a b >>，所以1b a<，所以c e aa===<．由90APB ∠= 及圆的性质，可知四边形P A O B是正方形，所以OP =．因为OP a =≥，所以2b a≥，所以c e aa===2≥．故双曲线离心率e的取值范围为2⎡⎢⎣⎭． （2）方法1：因为22222200PA O P O A x y b =-=+-，所以以点P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．因为圆O 与圆P 两圆的公共弦所在的直线即为直线A B ， 所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩消去2x ，2y ，即得直线A B 的方程为200x x y y b +=． 方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ，则P A k =0101y y x x --，11O A y k x =()101,0x x x ≠≠其中．因为P A O A ⊥，所以1PA O A k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--． 整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．因为O A O B =，PA PB =，根据平面几何知识可知，A B O P ⊥．因为00O P y k x =，所以00AB x k y =-．所以直线A B 方程为()0110x y y x x y -=--．即0010x x y y x xy y +=+．所以直线A B 的方程为200x x y y b +=．方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则P A k =0101y y x x --，11O A y k x =()101,0x x x ≠≠其中．10因为P A O A ⊥，所以1PA O A k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--．整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．这说明点A 在直线200x x y y b +=上． 同理点B 也在直线200x x y y b +=上．所以200x x y y b +=就是直线A B 的方程．（3）由（2）知，直线A B 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线A B的距离为2bd =．因为A B ===，所以三角形O A B 的面积20012S AB d x y =⨯⨯=+以下给出求三角形O A B 的面积S 的三种方法： 方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，所以2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．设t ==≥322b t S t b=+．因为()()()3222bt b t b S tb-+-'=+，所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．所以322b t S t b=+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．当b ≤，即b a <≤时，322212b b S b b b⨯==+最大值，当b >，即a >时，2S ab==+最大值综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S a=最大值．11方法2：设t =33222b t b S b t bt t==++．因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，即2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．所以t ==≥令()2b g t t t=+，则()()()2221t b t b b g t tt+-'=-=．所以当0t b <<时，()0g t '<，当t b >时，()0g t '>．所以()2b g t t t=+在()0,b 上单调递减，在(),b +∞上单调递增．当b ≤，即b a <≤时，32212b S b bb b==+最大值，当b >，即a >时，322bbS a==最大值．综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，S a=最大值．方法3：设2200t x y =+，则S bt==．因为点()00,P x y 在双曲线22221x y ab-=上，即2200221x y ab-=，即22222002b x a by a-=()22xa≥．所以22222200021b t x y x b a a ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭．令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 当22112b a≤，即b a <≤时，()22max1124g u g b b ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值．当22112ba>，即a >时，()2224m ax1a bg u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时S a=最大值．12综上可知，当b a <≤时，212S b =最大值；当a >时，2bS a=最大值．21．（1）解：因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3，所以()e 3f '=，即l n e 13a ++=．所以1a =．（2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立．令()ln 1x x x g x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x xx-'=-=>，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln 30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，所以函数()ln 1x x x g x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000m in001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3． （3）证明1：由（2）知，()ln 1x x x g x x +=-是[)4,+∞上的增函数，所以当4n m >≥时，l n l n 11n n n m m m n m ++>--．即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+．整理得 ()l n l n l n l n m n n m mm n mn nn m+>++-． 因为n m >， 所以ln ln ln ln m n n m m m n m n n +>+． 即ln ln ln ln mn m mn nn m m n +>+．即()()ln ln mnmmnnn mmn>． 所以()()mnn mm n nm>．证明2：构造函数()ln ln ln ln f x mx x m m mx m x x =+--，则()()1l n 1l n f x m x mm m '=-+--．因为4x m >≥，所以()()1ln 1ln 1ln 0f x m m m m m m m '>-+--=-->．所以函数()f x 在[),m +∞13上单调递增．因为n m >， 所以()()f n f m >．所以ln ln ln ln m n n m m m n m n n +-->22ln ln ln ln 0m m m m m m m m +--=． 即ln ln ln ln m n n m m m n m n n +>+． 即ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+． 即()()ln ln mn m mn n n m m n >．所以()()mnn m m n nm >．。
2011年广州市白云区中考一模数学试题及答案
新世纪教育网-- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
版权所有@新世纪教育网番禺区2011年九年级数学综合训练试题(1)本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1．不等式组3030xxì+>ïïíï-?ïî的解集是（※）.（A）3x>-（B）3x³（C）33x-<?（D）33x-?2．在三个数022,2,2-中，最大的数是（※）.（A）02（B）22-（C）2Ｄ．不能确定3．在下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（※）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个4．点（1，2）在反比例函数1kyx-=的图象上，则k的值是（※）.（A）0 （B）1 （C）-1 （D）-25. 如图2所示是由几个小立方块所搭成的几何体，那么这个几何体的主视图是（※）.6．下列命题中，正确的是（※）.（A）对顶角相等（B）梯形的对角线相等（C）同位角相等（D）平行四边形对角线相等7．一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图3所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（※）.（A）0.4米（B）0.5米（C）0.8米（D）1米8. 如图4，直线a b∥，则A∠的度数是（※）.（A）28 （B）31 （C）39 （D）42（A）（B）（C）（D）图2y图5O x1 3图3ABCDab70°31°图4图1新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
版权所有@新世纪教育网9. 二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图5所示，则关于x 的一元二次方程 022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x （※）.（A ）1 （B ）1- （C ）2- （D ）010．已知正比例函数y kx =（0k ≠）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y kx k=+的图象大致是（※）.第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．分解因式：24x -= ．12．函数1y x=-中自变量x 的取值范围是 ． 13．如图7，Rt ABC △的斜边10AB cm =，3cos 5A =,则_____.BC =14．一个盒子里装有1个红球、1个黄球和2个蓝色球，它们除颜色外都相同。
2011年广州市高三年级调研测试数学理科
试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（理科）本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。
考试用时120 分钟。
2011. 01 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 函数()3g x x =+的定义域为A ．{3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{3x x ≤-} D ．{3x x <-}2. 已知i 为虚数单位, 则复数i (1+i )的模等于A .12 B. 22C. 2D. 23. 已知,x y 满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为A . 3- B. 32-C. 32D. 34. 已知:2p x ≤，:02q x ≤≤，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于 图1A. 720 B . 360 C . 240 D. 120图2侧视图俯视图正视图4x33x46. 已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=， ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<=A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.27187. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85123π+，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 28.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为A. sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B. sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C. 1sin 124⎛⎫=+-⎪⎝⎭y x π D. 1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 某社区有500个家庭, 其中高收入家庭125户, 中等收入家庭280户, 低收入家庭95户. 为了调查社会购买力的某项指标, 采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样 本, 若高收入家庭抽取了25户, 则低收入家庭被抽取的户数为 .10. 已知直线l 经过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的 方程为 .11. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若246,30S S ==，则6S = . 12. 922()2x x -展开式的常数项是 .（结果用数值作答） 13. 设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 .图3ON M DCBAMDCBAP（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35︒=,则D ∠= .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,14x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为22sin ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知向量=m 2cos,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, =n c o s,2s i n 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1=-m n . (1) 求cos A 的值;(2) 若23a =, 2b =, 求c 的值.17．（本小题满分12分）某商店储存的50个灯泡中, 甲厂生产的灯泡占60%, 乙厂生产的灯泡占40%, 甲厂生产 的灯泡的一等品率是90%, 乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1) 若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 则它是甲厂生产的 一等品的概率是多少?(2) 若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等), 这两个灯泡中是甲 厂生产的一等品的个数记为ξ, 求E ξ的值.18．（本小题满分l4分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，1AB =,BM PD ⊥于点M ． (1) 求证：AM ⊥PD ；(2) 求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.图4OP n+1Q n +1P nP 1Q 1l 0P 0yx19．（本小题满分14分）已知椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于 不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ∆的面积的最大值.20．（本小题满分14分） 已知函数()(af x x a x=+∈R ), ()ln g x x =. (1) 求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；(2) 若关于x 的方程()()22g x f x e x=-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.21．（本小题满分14分）如图5，过曲线C ：x y e =上一点0(0,1)P 作曲线C 的切线0l 交x 轴于点11(,0)Q x ，又过1Q 作 x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)P x y ，然后再过111(,)P x y 作曲线C 的切线1l 交x 轴于点22(,0)Q x ，又过2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点222(,)P x y ，，以此类推，过点n P 的切线n l与x 轴相交于点11(,0)n n Q x ++，再过点1n Q +作x 轴的垂线交曲线C 于点111(,)n n n P x y +++（n ∈N *）． (1) 求1x 、2x 及数列{}n x 的通项公式；(2) 设曲线C 与切线n l 及直线11n n P Q ++所围成的图形面积为n S ，求n S 的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列{}n S 的前n 项和为n T ，求证：11n n n nT x T x ++<(n ∈N *).图52011年广州市高三调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题 5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．19 10．33y x =- 11. 126 12. 212- 13.()(),22,-∞-+∞14．125︒15．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、解三角形等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ∵=m 2cos ,sin 22A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,=n cos ,2sin 22A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 1=-m n , ∴ 222cos2sin 122A A-=-. ……2分 ∴ 1cos 2A =-. ……4分(2)解: 由(1)知1cos 2A =-,且0A π<<,∴ 23A π=. ……6分∵23a =,2b =,题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDBBBCB由正弦定理得sin sin a b A B=,即2322sin sin3B π=, ∴1sin 2B =. ……8分 ∵0,B B A π<<<, ∴6B π=. ……10分∴6C A B ππ=--=.∴2c b ==. ……12分17. （本小题满分12分）(本小题主要考查条件概率、数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解法1: 设事件A 表示“甲厂生产的灯泡”, 事件B 表示“灯泡为一等品”, 依题意有()0.6P A =, ()0.9P B A =,根据条件概率计算公式得()()()0.60.90.54P AB P A P B A ==⨯=. ……4分 解法2: 该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30⨯=个, 乙厂生产的灯泡 有5040%20⨯=个, 其中是甲厂生产的一等品有3090%27⨯=个, 乙厂生产的 一等品有2080%16⨯=个,故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡, 它是甲厂生产的一等品的概率是 270.5450P ==. ……4分 (2) 解: ξ的取值为0,1,2, ……5分()22325025301225C P C ξ===, ()11272325062111225C C P C ξ===, ()22725035121225C P C ξ=== ……8分 ∴ξ的分布列为:∴2536213511323012 1.081225122512251225E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……12分ξ 0 1 2P2531225 6211225 3511225zyxMD CB AP18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ,∴PA AB ⊥.∵AB AD ⊥，,AD PA A AD =⊂平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD∴AB PD ⊥， ……3分 ∵BM PD ⊥, AB BM B =,AB ⊂平面ABM ,BM ⊂平面ABM ,∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ,∴AM ⊥PD . ……6分 （2）解法1：由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =， 则M 是PD 的中点, 在Rt △PAD 中,得2AM =，在Rt △CDM 中,得223MC MD DC =+=,∴1622ACM S AM MC ∆=⋅=. 设点D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACD V V --=， ……8分 得111332ACM ACD S h S PA ∆∆=. 解得63h =， ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为θ，则6sin 3h CD θ==， ……12分 ∴3cos 3θ=.∴ 直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33. ……14分解法2： 如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1M . ∴()()()1,2,0,0,1,1,1,0,0AC AM CD ===-. ……8分设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由,n AC n AM ⊥⊥可得：20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩令1z =，得2,1x y ==-.∴(2,1,1)n =-. ……10分设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则6sin 3CD n CD nα⋅==. ……12分 ∴3cos 3α=. ∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33. ……14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, ∴2312a a -=. …… 2分解得2a =.∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C 的半径为21232t r -=． …… 6分∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴ 212302t t -<<，即22107t <<．∴ 弦长22222123||221274t AB r d t t -=-=-=-． …… 8分∴ABC ∆的面积211272S t t =⋅- …… 9分 ()21712727t t =⨯-()2271271227t t +-≤⨯377=. …… 12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立. ∴ ABC ∆的面积的最大值为377． …… 14分 解法2：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C 的半径为21232t r -=． …… 6分∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，∴ 212302t t -<<，即22107t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中，令0x =，得21272t y -=±，∴ 弦长2||127AB t =-． …… 8分 ∴ABC ∆的面积211272S t t =⋅- …… 9分 ()21712727t t =⨯-()2271271227t t +-≤⨯377=. ……12分当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立. ∴ ABC ∆的面积的最大值为377． …… 14分 20.（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln aF x f x g x x x x=+=++的定义域为()0,+∞. ∴()'211a F x x x =-+22x x ax+-=. ① 当140a ∆=+≤, 即14a ≤-时, 得20x x a +-≥,则()'0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ∆=+>, 即14a >-时, 令()'0,F x = 得20x x a +-=, 解得121141140,22a ax x --+-++=<=. (ⅰ) 若104a -<≤, 则211402a x -++=≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分(ⅱ)若0a >,则1140,2a x ⎛⎫-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x <; 114,2a x ⎛⎫-++∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时, ()'0F x >, ∴函数()F x 在区间1140,2a ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间114,2a ⎛⎫-+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. …… 6分 综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为1140,2a ⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭, 单调递增区间为114,2a ⎛⎫-+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. …… 8分 (2) 解: 由()()22g x f x e x=-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2x x ex a x =-+. 令()ln x h x x =, 则()'21ln x h x x-=. 令()'0h x =, 得x e =.当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'0h x <.∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1h e e=. …… 10分 而函数()()2222m x x ex a x e a e =-+=-+-,当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2m e a e =-. …… 12分∴ 当21a e e -=, 即21a e e =+时, 方程()()22g x f x e x=-只有一个根. …… 14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数、数列、不等式、定积分等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 由x y e '=，设直线n l 的斜率为n k ，则n xn k e =.∴直线0l 的方程为1y x =+.令0y =，得11x =-， ……2分 ∴111xy e e ==， ∴11(1,)P e -. ∴111x k e e==. ∴直线1l 的方程为11(1)y x e e-=+.令0y =，得22x =-. ……4分 一般地，直线n l 的方程为()nn x x n y ee x x -=-，由于点11(,0)n n Q x ++在直线n l 上，∴11n n x x +-=-.∴数列{}n x 是首项为1-，公差为1-的等差数列.∴n x n =-. ……6分 （2）解：11(1)(1)111()()222|nn x x n n n n n n n n n n S e dx x x y e y e e e ------+-+-+=--=-=--⎰ =212ne e e -⋅. ……8分 （3）证明：1211[1()]2111221(1)1222(1)1n n n n e e e e e T e e e e e ee e e----⎛⎫=⋅+++=⋅=⋅- ⎪-⎝⎭-. ……10分∴111111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e+++++---===+---，1(1)11n n x n x n n +-+==+-. 要证明11n n n nT x T x ++<，只要证明111n e e e n +-<-，即只要证明1(1)n e e n e +>-+. ……11分 证法1：（数学归纳法）① 当1n =时，显然222(1)021(1)e e e e e e ->⇔>-⇔>-+成立；② 假设n k =时，1(1)k ee k e +>-+成立，则当1n k =+时，21[(1)]k k e e e e e k e ++=⋅>-+，而2[(1)][(1)(1)](1)(1)0e e k e e k e e k -+--++=-+>.∴[(1)](1)(1)e e k e e k e -+>-++.∴2(1)(1)k ee k e +>-++.这说明，1n k =+时，不等式也成立.由①②知不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法2: 110111111[1(1)](1)(1)n n n n n n n e e C C e C e +++++++=+-=+-++- 0111(1)1(1)(1)(1)n n C C e n e e n e ++>+-=++-=-+. ∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分 证法3:令()()11x f x e e x e +=---,则()()'11x fx e e +=--,当0x >时, ()()'11x f x e e +=--()110e e >--=>,∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增.∴当0x >时, ()()00f x f >=.∵n ∈N *, ∴()0f n >, 即()110n ee n e +--->.∴()11n ee n e +>-+.∴不等式11n n n nT x T x ++<对一切n ∈N *都成立. ……14分。
2011广州各区中考数学一模试题分类——计算
2011广州各区一模试题分类——计算1、（2011白云17）解下列不等式组，并把其解集在所给的数轴（图7）上表示出来：431630x x ->⎧⎨-≤⎩2、（2011从化17）因式分解：a ax 42-．3、（2011从化19） 先化简，再求值：2241222x x x x x⎛⎫-⨯ ⎪--+⎝⎭，其中14x =．4、（2011海珠17）解分式方程：02311=-+-x x5．（2011海珠18）若)0,0(0422>>=-y x y x ，求yx y x 2345-+的值。
-1 -2 -3 1 3 2 0 图7解不等式x 23-≤12x +．7、（2011花都19）已知0142=+-a a ,求代数式)2)(2(2)2(2-+-+a a a 的值．8、（2011萝岗17） 解不等式组34.............(1)121......(2)25x x x x +>⎧⎪--⎨≤⎪⎩并在所给的数轴上表示出其解集． 4- 3- 2- 1- 5- 0 1 2 3 4 5 x9、（2011萝岗18）先化简代数式231()339x x x x +÷+--，然后选取一个合适．．的x 值，代入求值．如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b ---11、（2011天河18）若m 满足式子322m m +>，试判断关于x 的一元二次方程240x x m -+=的根的情况.12、（2011南沙17）解不等式组20260x x ->⎧⎨-+>⎩ ，并把解集在数轴上表示出来．13、（2011南沙21） 先化简再求值：221121ab a b b b b +-+--+，其中22236120b a b ab -++-=解方程组：)2()1(1272⎩⎨⎧=-=+y x y x15、（2011番禺18）先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=+，．。
2011年普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题(二) 理(广东卷)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学(必修+选修II) 第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B 、互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题(1)．设i 为虚数单位，复数121,21z i z i =+=-，则复数21Z Z •在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．设(1)xy a =-与1()x y a=（1a >且a ≠2）具有不同的单调性，则13(1)M a =-与31()N a=的大小关系是 （ ）A ．M<NB ．M=NC ．M>ND ．M ≤N（3）.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则132+++=x y x z 的取值X 围是 （ ）A ．]11,23[B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡11,23C ．[3，11]D ．[)11,3（4）．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．15（5）．已知)(x f 是R 上的增函数，点A （－1，1）,B （1，3）在它的图象上，)(1x f -为它的反函数，则不等式1|)(log |21<-x f的解集是（）A ．（1，3）B ．（2，8）C ．（－1，1）D ．（2，9） （6）．2011年哈三中派出5名优秀教师去大兴安 岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ） A ．80 B ．90 C ．120 D ．150 （7）．已知函数a x f x x x f =∈=)(),3,2(,cos )(若方程ππ有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值可能是 （ ） A ．21B ．22 C ．21-D ． -22 （8）ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为（ ） A ．1BC．D ．3（9）．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为（ ）A ．36πBC ．9π D ．6π （10）．设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值X 围是 ( ) A ．(0,1) B ．)0,(-∞ C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）.定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是 （ ）A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（12）.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 ( )第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
2011年高考数学(广东卷,理科)word版(全解全析)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ , ay b x =- . 其中,x y 表示样本均值.n 是正整数，则()n na b a b -=-12(n n a a b --++ (21)n n ab b --+）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 【解析】B ;依题意得211z i i==-+，故选B .2．已知集合{(,)|A x y =,x y 为实数,且}221x y +=,{(,)|B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】C;题意等价于求直线y x =与圆221x y +=的交点个数,画大致图像可得答案为C . 3. 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则⋅(2)=c a +bA ．4B ．3C ．2D ．0 【解析】D;因为a ∥b 且a ⊥c ,所以b ⊥c ，从而⋅⋅⋅(2)=20c a +b c a +c b =，故选D . 4. 设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 【解析】A;依题意()(),()()f x f x g x g x -=-=-,故()|()|()|()|f x g x f x g x -+-=+,从而()|()|f x g x + 是偶函数，故选A .5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A ．B ．C ．4D ．3【解析】C;目标函数即z y =+,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当2x y ==时z 取得最大值4,故选C ．6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获 得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．34【解析】D;设甲队获得冠军为事件A ,则A 包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A =+⨯=,从而选D ．7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．【解析】B ;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为 3的四棱柱，又平行四边形的底边长为3,,所以面积 S=从而所求几何体的体积V Sh ==故选B ． 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z = 且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B . ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C . ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D . ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【解析】A;因为T V Z = ,故必．有．1∈T 或1∈V ,不妨设1∈T ,则令1c =,依题意对,a b T ∀∈,有ab T ∈,从而T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T N =,则V 为所有负整数组成的集合,显然T 封闭,但V 显然是不封闭的,如(1)(2)2V -⨯-=∉;同理,若{T =奇数}，{V =偶数}，显然两者都封闭，从而选A ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 1．（B ）．22(1)11(1)(1)iz i i i i-===-++- 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点 3．若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0 3．（D ）．依题意得⊥c a ，⊥c b ，则(2)20⋅+=⋅+⋅=c a b c a c b4．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数正视图 图1侧视图 图2俯视图 图3C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数4．（A ）．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f x g x +与()()f x g x -都是偶函数，()()f x g x +与()()fx g x -的奇偶性不能确定5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OMOA =⋅的最大值为A ．．．4 D ．3 5．（C ）．zy =+，即y z =+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z 取得最大值，max 24z ==6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军． 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12 B ．35 C ．23 D ．346．（D ）．乙获得冠军的概率为111224⨯=，则甲队获得冠军的概率为13144-=7．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A．． C ．．7．（B ）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3则33V Sh ===8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 8．（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式13x x +--≥0的解集是 ． 9．[1,)+∞．13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x-的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）10．84．72()x x x -的通项7821772()(2)r r r r r r r T xC x C x x--+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -=11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ． 11．10．方法1：由94S S =得93646d d +=+，求得16d =-，则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k = 12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：COPBA上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176x y ==12221()()00361033()niii nii x x y y b x x ==--++⨯===++-∑∑，3a y bx=-= 线性回归方程3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．14．． sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y ≤≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x = 22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去）， 又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为(1,515．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作 圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________．15由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠，则△PAB ∽△ACB ，则PB AB AB BC=，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求5()4f π的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：（1）515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-== （2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β== ∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯= 17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：CDPF（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则98145a =，解得35a = 所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=（件） （3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ=== 1123256(1),10C C P C ξ=== 22251(2),10C P C ξ===∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯=18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的 菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==2PB =，,E F 分别是BC ,PC 的中点．CDPAE FH （1）证明：AD ⊥平面DEF ；（2）求二面角P AD B --的余弦值．18．（1）证明：取AD 的中点H ，连接,,PH BH BD∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ∴△ABD 是等边三角形∴AD HB ⊥，PH HB H = ∴AD ⊥平面PHB ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是BC ,PC 的中点 ∴EF ∥PB ，HB ∥DE∴AD DE ⊥，AD EF ⊥，DEEF E =∴AD ⊥平面DEF（2）解：由（1）知PH AD ⊥，HB AD ⊥ ∴PHB ∠是二面角P AD B --的平面角 易求得22PH BH==∴2227334cos 2PH HB PB PHB PH HB+--+-∠====⋅ ∴二面角P AD B --的余弦值为19．（本小题满分14分）设圆C 与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切． （1）求C 的圆心轨迹L 的方程； （2）已知点M ，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标．19．解：（1）设(F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -= （2）2MP FP MF -≤= ∴MP FP - 如图所示，P 必在L 直线MF 的斜率2k =-:2MF y x =-+22142x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x -+=6)0--=12x x ==∵P x >P x =，P y = ∴MP FP - 的最大值为2，此时P 为(55-20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．20．（1）解：∵1122n n n nba a a n --=+-∴1122n n n a ba n a n --=+- ∴1211n n n n a b a b--=⋅+ ① 当2b =时，1112n n n n a a ---=，则{}nna 是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22n n n a =+-⨯，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时，122(2)n n a b b b +=-- ∴1{}2n n a b+-是以2(2)b b -为首项，2b 为公比的等比数列 ∴112()22n n n a b b b+=⋅-- ∴212(2)2(2)n n n n nn n b a b b b b b-=-=--- ∴(2)2nn n nn b b a b-=- 综上所述(2),02222nn n n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩ 且， （2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)n n n n n n b b b b b -----=-++++1221222nnnn n n n n n b a b b b ----⋅=≤=++++1112111111222222222n n n n n n n n n n b b b b+++----+++=====<=⋅1112n n b +++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n n n n nb b b b ++-≤+-， 即证1(2)122n n n nn b b b b +-≤+-即证1221112222n n n n n n n b b b b b ----+≤+++++即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b n b b b b---+-+++++++++≥ ∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b bb b---+-+++++++++ 2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b bb b b b b b----+=++++++++122n nb n -≥+=，∴原不等式成立 ∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=； （2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=； （3）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为1x =，2x =则012p p p x --=，022p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022p x = ∵00122p px -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p = ② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p px p -==- ∵00222p px ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p = 综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ= （2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴1,2p a =① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔1p a =+2p a =-⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔1p a =-2p a =+⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ， 点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ= ∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ= ③由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a - 若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥ ∴12p p > ∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④ 综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N 2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H 由（2）知200240x px q -+=，解得0x p =，①若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=，∴0m min in )12(x ϕ==． 由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =+≤t =，则2122p t =-+，02t ≤≤ ∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤ ∴0max max 5)24(x ϕ==② 若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为012p p x x --=，022p p x x +-=即01,22x x =或02x p - ∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x xp q x x p p ϕ==-=-p ==51(,)4p q ϕ≤≤ 综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学
19．（本小题满分14分）已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M 在直线上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程. 20．（本小题满分14分）已知函数. （I ）当的单调区间；（II ）若函数的最小值；…（III ）若求证：.21．（本小题满分14分）设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y 有：且．⑴、一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n 项和,求数列的通项公式；．⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：对一切成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由．．10x y +-=22221(0)x y a b a b+=>>A BM AB AM BM =-1:2l y x=2c e a ∴==l 221x y +=2212x y +=()(2)(1)2ln f x a x x =---1,()a f x =时求[)2,+∞单调增区间为1()(0,),2f x a 在上无零点求24ln 2.a -则的最小值为,0m n <<m nm nm 2ln ln <--()f x ()0,+∞()()()f xy f x f y =+1()12f =-{}n a ()()(1)1n n n f s f a f a =++-n S {}n a {}n a n a n ∴=1212221(21)(21)(21)n n n aa a M n a a a ⋅≥+---*n N ∈∴03M <≤（第20题）19．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．(1)综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值； 当0a e <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ；当a e ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ae．(2) 故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．20．（本小题满分14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；（II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程． (1)当且仅当22b =S 取到最大值1． (2) 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =-- 21．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有0n a >，33312n n S a a a =+++．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）证明：21221n n nn n n a a a +-+≥．(1) 22a =． (2) n a n =．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合2{|20},{|11},A x x x B x x A B =-≤=-<<⋂=则
（ ）
A ．{|01}x x ≤<
B ．{|10}x x -<≤
C ．{|11}x x -<<
D ．{|12}x x -<≤
2．若复数(1)()i a i -+是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 （ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
3．已知向量(2,3),(,6),//,p q x p q =-=且则|p+q|的值为
（ ）
A B C ．5 D ．13
4．函数ln x
y x
=在区间（1，+∞）上 （ ）
A ．是减函数
B ．是增函数
C ．有极小值
D ．有极大值
5．阅读图1的程序框图，若输入5n =，则输出k 的值为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．“a b >”是“2
2a b ab +⎛⎫> ⎪
⎝⎭
”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每
校至少有一个名额 且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为 （ ） A ．96 B ．114 C ．128 D ．136
8．如图2所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1
上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 的中点的轨迹的
面积为 （ ） A ．4π B ．2 π C ．π
D ．
2
π
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，
满分20分。
（一）必做题（11-13题） 9．为了了解某地居民每户月均用电的基本情况，抽取出该地区若
干户居民的用电数据，得到频率分布直方国科如图3所示，
若用均用电量在区间[110,120)上共有150户，则月均用电量在区间[120,150)上的居民共有 户。
10．以抛物线2
:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点， 那么该圆的方程
为 。
11．已知数列{}n a 是等差数列，若468212a a a ++=，则该数列前11项的和为 。
12．ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为,,a b c ，已知3,,23
c C a b π
==
=，则b 的值
为 。
13．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x y 和须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
则该校招聘的教师人
数最多是 名。
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）如图4，CD 是圆O 的切线， 切点为C ，点A 、B 在圆O 上，1,30BC BCD =∠=︒，
则圆O 的面积为 。
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点（1，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρ
θ=于
A 、
B 两点，则||AB = 。
图
3
图4
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数
()2sin cos cos2().f x x x x x =+∈
（1）当x 取什么值时，函数()f x 取得最大值，并求其最大值。
（2）若θ为锐角，且
83f πθ⎛⎫+=
⎪⎝
⎭，求tan θ的值。
17．（本小题满分12分） 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）
如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2。
若从这批产品中随
表1
表2
（1）求,a b 的值；
（2）从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率。
18．（本小题满分14分）
如图5，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱1
AA ⊥底面ABC ，
AB BC ⊥，D 为AC 的中点，1 2.A A AB ==
（1）求证：AB 1//平面BC 1D ；
（2）若四棱锥B —AA 1C 1D 的体积为3，
求二面角C —BC 1—D 的正切值。
19．（本小题满分14分）
已知直线2y =-上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP OQ ⊥（O
为坐标原点），记点P 的轨迹为C 》 （1）求曲线C 的方程；
（2）若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点（0，2）到直线2l 的距离最短时，求直线2l 的方程。
20．（本小题满分14分）
已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足
(0)0f =，对于任意x R ∈都有()f x x ≥，且
11,()()|1|(0).22f x f x g x f x x λλ⎛⎫
⎛⎫
-+=--=--> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
令 （1）求函数
()f x 的表达式；
（2）求函数()g x 的单调区间；
（3）研究函数()g x 在区间（0，1）上的零点个数。
21．（本小题满分14分）
已知函数
()y f x =的定义域为R ，且对于任意12,x x R ∈，存在正实数L ，使得
1212|()()|||f x f x L x x -≤-都成立。
（1
）若
()f x =L 的取值范围；
（2）当01L <<时，数列{}n a 满足1(),1,2,.n n a f a n +==
①证明：
1121
1
||||1n
k
k k a
a a a L
+=-≤
--∑； ②令12(1,2,3,)k
k
a a a A k k
+++=
= ，
证明：1121
1
||||1n
k k k A A a a L
+=-≤
--∑。