构造平行四边形证题的技巧
证明面面平行的方法
证明面面平行的方法面面平行是几何学中的一个重要概念，它指的是两个平面在空间中没有交点，且它们的法向量平行。
在实际问题中，我们常常需要证明两个平面是平行的，下面将介绍几种常用的方法来证明面面平行的情况。
首先，最直接的方法是利用平面的法向量来进行证明。
设有两个平面分别为平面α和平面β，它们的法向量分别为n1和n2。
要证明这两个平面平行，只需证明它们的法向量平行即可。
具体来说，如果n1与n2平行，则可以得出平面α和平面β是平行的。
因此，我们可以通过计算这两个法向量的夹角来判断它们是否平行。
若夹角为0度或180度，则说明这两个法向量平行，从而得出这两个平面是平行的。
其次，我们可以利用平面上的直线来证明平面的平行关系。
如果两个平面平行，那么它们在空间中的任意一条直线在这两个平面上的投影也是平行的。
因此，我们可以通过构造一条直线，然后在这两个平面上找到它们的投影，如果这两个投影是平行的，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
另外，我们还可以利用平行四边形的性质来证明平面的平行关系。
如果在空间中存在两个平行四边形，那么它们所在的平面也是平行的。
因此，我们可以通过构造平行四边形来证明两个平面的平行关系。
具体来说，我们可以在这两个平面上分别找到两个平行四边形，如果这两个平行四边形是平行的，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
最后，我们还可以利用向量的线性组合来证明平面的平行关系。
如果两个平面平行，那么它们上任意一点的法向量之间存在线性关系。
因此，我们可以通过选取这两个平面上的三个点，然后计算它们的法向量，如果这三个法向量之间存在线性关系，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
综上所述，我们可以利用平面的法向量、平面上的直线投影、平行四边形的性质以及向量的线性组合等方法来证明两个平面的平行关系。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明，以便更加方便和准确地得出结论。
通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和运用平面的平行关系，为解决实际问题提供更多的思路和方法。
构造平行四边形证题的技巧
构造平行四边形证题的技巧构造平行四边形证题的技巧一. 构造平行四边形证两线段平行例1. 已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。
求证：GF//EH。
证明：连结GE、FH四边形ABCD是平行四边形又四边形EHFG是平行四边形二. 构造平行四边形证两线段相等例2. 如图，中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE连结DE，交BC 于F，∠BAC外角的平分线交BC的延长线于G，且AG//DE。
求证：BF=CF分析：过点C作CM//AB交DE于点M，可以证明BD=CM，然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF证明：过点C作CM//AB交BE于点M，连接BM、CD，则∠CME=∠ADE四边形BMCD为平行四边形故BF=CF三. 构造平行四边形证线段的不等关系例3. 如图，AD是的边BC上的中线，求证：分析：欲证，即要证，设法将2AD、AB、AC归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。
注意到AD为的中线，故可考虑延长AD到E，使DE=AD，则四边形ABEC为平行四边形。
从而问题得证。
证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE、EC四边形ABEC是平行四边形在中，AE 即2AD<ab+ac< p="">点评：此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定，通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解。
四. 构造平行四边形证线段的倍分关系例4. 如图，分别以中的AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，M是BC 的中点，求证：FH=2AM证明：延长AM到D，使MD=AM，连结BD、CD，是BC的中点四边形ABDC为平行四边形又AF=BA，AH=AC=BD故FH=2AM五. 构造平行四边形证两线段互相平分例5. 平面上三个等边三角形两两共有一个顶点，如图所示，求证：CD与EF互相平分分析：要证CD与EF互相平分，须证四边形DFCE是平行四边形证明：连结DE、DF、AF易知AD=AB=BD又AE=AC，AD=AB∠DAE=60°-∠EAB=∠BAC四边形DECF是平行四边形故CD与EF互相平分六. 构造平行四边形证角的`不等关系例6. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC>BD求证：∠DBC>∠ACB证明：过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，则四边形ACED 是平行四边形又在中，∠DBE>∠E七. 构造平行四边形证线段的和差关系例7. 如图，中，点E、F在边AB上，AE=BF，ED//AC//FG，求证：ED+FG=AC证明：过E作EH//BC交AC于H四边形CHED为平行四边形又AE=BF，同步练习：1. 如图1，在梯形BCED中，DE//BC延长BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD。
数学平行四边形证明题技巧思路与方法
数学平行四边形证明题技巧思路与方法
证明平行四边形的一般方法是使用平行线的性质和几何定理，以下是一些常用的技巧思路和方法：
1. 平行线的性质：平行线具有许多重要的性质，例如对应角相等、内错角相等、同旁内角互补等等。
可以利用这些性质来推导出平行四边形的相关结论。
2. 逆向思维：当需要证明一个四边形是平行四边形时，可以从相反的方向思考。
即首先假设该四边形不是平行四边形，然后推导出矛盾结论，从而得出原命题的正确性。
3. 利用已知条件：观察已知条件，比如已知两条边平行或已知两条边等长，然后利用这些已知条件进行推导证明。
例如，通过使用平行线的性质证明两组对应边相等等。
4. 使用平行四边形的定义：平行四边形的定义是对角线互相平分，可以利用这一定义来证明平行四边形的性质。
例如，通过证明对角线的中点连线平行于两边，或证明对角线互相垂直等。
5. 利用其他几何定理：除了平行线的性质外，还可以利用其他几何定理来证明平行四边形的性质。
例如，利用三角形的一些性质或相似三角形的性质来推导出平行四边形的相关结论。
总的来说，证明平行四边形的关键是灵活运用几何定理和性质，善于利用已知条件进行推导，并运用逆向思维来证明。
在证明
过程中，需要详细演算和陈述每一步的推导过程，注重逻辑严密和证明的完整性。
平面几何的证明平行四边形的对角线性质及其证明
平面几何的证明平行四边形的对角线性质及其证明平面几何的证明——平行四边形的对角线性质及其证明平行四边形是平面几何中常见的一类图形，它具有独特的性质和特点。
其中，对角线是平行四边形中的重要元素，它与平行四边形的其他线段有着密切的联系。
本文将探讨平行四边形的对角线性质，并进行相应的证明。
1. 平行四边形的对角线性质在平行四边形中，对角线具有以下重要性质：性质1：平行四边形的对角线互相平分。
设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，我们需要证明AO=CO和BO=DO。
证明：根据平行四边形的定义，对边平行且等长，可得AO=CO和BO=DO。
性质2：平行四边形的对角线互相垂直。
证明：根据平行四边形的性质，对边平行，因此AD∥BC和AB∥CD。
又知道对角线AC和BD相交于点O，根据垂直的定义，若AC和BD相交于O点，则AO⊥BO，CO⊥DO。
因此可得到对角线互相垂直的结论。
性质3：平行四边形的对角线互相等长。
证明：根据平行四边形的性质，对边平行且等长，可得AB=CD和AD=BC。
再根据性质1和性质2可知，AO=CO，BO=DO，结合AD=BC和AB=CD，可得AO=CO=BO=DO。
因此，平行四边形的对角线互相等长。
2. 平行四边形对角线性质的证明下面我们将对平行四边形的对角线性质进行证明，以确保其准确性和可信度。
证明1：平行四边形的对角线互相平分。
给定平行四边形ABCD，点O为其对角线AC和BD的交点。
我们需要证明AO=CO和BO=DO。
证明过程：构造平行四边形的辅助线段：连接点O和点A，连接点O和点C。
由平行四边形的定义可知，AD∥BC，因此∠OAB=∠OCD（对应角相等）。
同理可得，∠OAD=∠OBC。
由于∠OAB=∠OCD和∠OAD=∠OBC，根据直线平分角定理可得AO=CO和BO=DO。
因此，平行四边形的对角线互相平分得证。
证明2：平行四边形的对角线互相垂直。
给定平行四边形ABCD，点O为其对角线AC和BD的交点。
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的基本方法判定一个四边形是平行四边形共有五种方法： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一、运用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定，证两组对边分别平行。
1、如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，求证：四边形AECF 是平行四边形证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，∴AF ∥EC . 又∵∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，∴∠1=∠2. ∵AD ∥BC ， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AE ∥CF .∴四边形AECF 是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）1.如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE ≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC ，∠ACD =60°∵CD =CE ，∴BD =AE ，△EDC 是等边三角形∴DE =EC ，∠CDE =∠DEC =60° ∴∠BDE =∠FEC =120°又∵EF =AE ，∴BD =FE ，∴△BDE ≌△FECAFB D CE图1A B C D E 1 32 F（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EF A=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF是平行四边形。
平行四边形几何辅助线专题详解
平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。
例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。
二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。
（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。
因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。
因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。
例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。
例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。
初中数学中的平行四边形解题技巧详解
初中数学中的平行四边形解题技巧详解平行四边形是初中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在解题过程中，我们需要掌握一些基本的解题技巧。
本文将详细介绍初中数学中平行四边形的解题方法及技巧。
一、平行四边形的基本性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
在解题过程中，我们首先需要掌握平行四边形的基本性质。
1. 两对对边分别平行：平行四边形的两对对边分别平行，这是平行四边形的最基本的性质。
2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
这意味着平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。
3. 同底三角形面积相等：若两个三角形有一个共同的底，且底上的高相等，则这两个三角形的面积相等。
利用这一性质，我们可以简化解题过程。
二、平行四边形解题技巧1. 判断平行四边形的条件：在解题过程中，首先要判断给定的四边形是否为平行四边形。
我们可以通过观察边的长度和夹角的关系来判断是否为平行四边形。
2. 利用平行四边形的性质：在解题过程中，我们可以利用平行四边形的性质简化问题。
例如，判断一条线段是否平行于另一条线段，可以利用平行四边形的对角线互相平分的性质。
3. 利用同底三角形的性质：在解题过程中，若需要比较两个三角形的面积，我们可以利用平行四边形的同底三角形面积相等的性质简化问题。
比如，如果需要判断两个三角形的面积大小，我们可以找到它们的共同底，并比较高的长度。
4. 应用平行四边形的周长公式：在解题过程中，如果已知平行四边形的一些边长，我们可以利用平行四边形的周长公式求解未知边长。
5. 运用平行四边形的扩充性质：平行四边形具有很多扩充性质，例如，平行四边形的对角线相等、平行四边形的同位角相等等。
在解题过程中，我们可以利用这些扩充性质进行推理和求解。
三、实例分析为了更好地理解平行四边形的解题技巧，下面我们通过一些实例进行详细分析。
例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，求平行四边形的周长和对角线长度。
数学教案-平行四边形的判定
数学教案－平行四边形的判定数学教案－平行四边形的判定（精选3篇）数学教案－平行四边形的判定篇1教学建议1.重点平行四边形的判定定理重点分析平行四边形的判定方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本节的重点.2.难点灵活运用判定定理证明平行四边形难点分析平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点.3.关于平行四边形判定的教法建议本节研究平行四边形的判定方法，重点是四个判定定理，这也是本章的重点之一.1.教科书首先指出，用定义可以判定平行四边形.然后从平行四边形的性质定理的逆命题出发，来探索平行四边形的判定定理.因此在开始的教学引入中，要充分调动学生的情感因素，尽可能利用形式多样的多媒体课件，激发学生兴趣，使学生能很快参与进来.2.素质教育的主旨是发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识.本章重点中前三个判定定理的顺序与它的性质定理相对应，因此在讲授新课时，建议采用实验式教学模式或探索式教学模式：在证明每个判定定理时，由学生自己去判断命题成立与否，并根据过去所学知识去验证自己的结论，比较各种方法的优劣，这样使每个学生都积极参与到教学中，自己去实验，去探索，去思考，去发现，在动手动脑中得到的结论会更深刻――同时也要注意保护学生的参与积极性.3.平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点.因此在例题讲解时，建议采用启发式教学模式，根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发，由学生自己去思考，去分析，充分发挥学生的主体作用，对学生灵活掌握熟练应用各种判定定理会有帮助.教学设计示例1[教学目标] 通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理,并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。
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构造平行四边形证题的技巧
吴健
在证明某些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造出平行四边形，并利用其性质可使问题化难为易，化繁为简，下面举例说明。
一. 构造平行四边形证两线段平行
例1. 已知如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O ，E 、F 分别为OB 、OD 的中点，过O 任作一直线分别交AB 、CD 于G 、H 。
求证：GF//EH 。
证明：连结GE 、FH
四边形ABCD 是平行四边形
COH AOG DCO BAO ,OC OA ∠=∠∠=∠=∴又 OH OG COH
AOG =∴∆≅∆∴
又OF OE =
∴四边形EHFG 是平行四边形 EH //GF ∴
二. 构造平行四边形证两线段相等
例2. 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=CE 连结DE ，交BC 于F ，∠BAC 外角的平分线交BC 的延长线于G ，且AG//DE 。
求证：BF=CF
分析：过点C 作CM//AB 交DE 于点M ，可以证明BD=CM ，然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF
证明：过点C 作CM//AB 交BE 于点M ，连接BM 、CD ，则∠CME=∠ADE CM
BD BD
CE CM E CM E 2E ,1ADE 2
1DE //AG //
===∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠ 且
∴四边形BMCD 为平行四边形 故
BF=CF
三. 构造平行四边形证线段的不等关系
例3. 如图，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，求证：)AC AB (2
1
AD +<
分析：欲证)AC AB (2
1
AD +<
，即要证AC AB AD 2+<，设法将2AD 、AB 、AC 归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。
注意到AD 为ABC ∆的中线，故可考虑延长AD 到E ，使DE=AD ，则四边形ABEC 为平行四边形。
从而问题得证。
证明：延长AD 到E ，使DE=AD ，连结BE 、EC DC BD ,DE AD ==
∴四边形ABEC 是平行四边形 AC BE =∴
在ABE ∆中，AE<AB+BE 即2AD<AB+AC
)AC AB (2
1
AD +<∴
点评：此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定，通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解。
四. 构造平行四边形证线段的倍分关系
例4. 如图，分别以ABC ∆中的AB 、AC 为边向外作正方形ABEF 和正方形ACGH ，M 是BC 的中点，求证：FH=2AM
证明：延长AM 到D ，使MD=AM ，连结BD 、CD ，
M
是BC 的中点 ∴四边形ABDC 为平行四边形 ABD
FAH 180BAC FAH 90HAC FAB 180ABD BAC ∠=∠∴︒
=∠+∠∴︒=∠=∠︒
=∠+∠∴而
又AF=BA ，AH=AC=BD AD FH ABD
FAH =∴∆≅∆∴
故FH=2AM
五. 构造平行四边形证两线段互相平分
例5. 平面上三个等边三角形BCF ABD ACE ∆∆∆、、两两共有一个顶点，如图所示，求证：CD 与EF 互相平分
分析：要证CD 与EF 互相平分，须证四边形DFCE 是平行四边形 证明：连结DE 、DF 、AF 易知AD=AB=BD EC AC DF DBF
ABC ABC
FBA 60DBF BC BF ==∴∆≅∆∴∠=∠-︒=∠=，
又AE=AC ，AD=AB
∠DAE=60°－∠EAB=∠BAC FC
BC DE ABC
ADE ==∴∆≅∆∴
∴四边形DECF 是平行四边形 故CD 与EF 互相平分
六. 构造平行四边形证角的不等关系
例6. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC>BD
求证：∠DBC>∠ACB
证明：过点D 作DE//AC 交BC 的延长线于点E ，则四边形ACED 是平行四边形 DE AC ,E ACB =∠=∠∴
又BD AC >
BD DE >∴
在BDE ∆中，∠DBE>∠E ACB DBC ∠>∠∴
七. 构造平行四边形证线段的和差关系
例7. 如图，ABC ∆中，点E 、F 在边AB 上，AE=BF ，ED//AC//FG ，求证：ED+FG=AC
证明：过E 作EH//BC 交AC 于H AC //ED ,BC //EH
∴四边形CHED 为平行四边形 BFG
A ,
B AEH AC
//FG ,BC //EH ∠=∠∠=∠∴
又AE=BF ， AC
HC AH FG ED ED
HC FG AH FBC
AEH =+=+∴==∴∆≅∆∴
同步练习：
1. 如图1，在梯形BCED 中，DE//BC 延长BD 、CE 交于A ，在BD 上截取BF=AD 。
过F 作FG//BC 交EC 于G ，求证：DE+FG=BC 。
2. 如图2，ABC ∆中，AB=AC ，E 是AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，BE=CF ，EF 交BC 于D 。
求证：DE=DF
3. 如图3，平行四边形ABCD 中，E 、G 、F 、H 分别是四条边上的点，且AE=CF ，BG=DH ，求证：EF 与GH 互相平分
4. 如图4，已知AB=AC ，B 是AD 的中点，E 是AB 的中点，求证CD=2CE
5. 已知：如图5在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点E 在BC 上，点F 在AD 上，AF=CE ，EF 与对角线BD 相交于点O ，求证：O 是BD 的中点。
提示：
1. 过点F 作FM//AC 交BC 于点M ，则有平行四边形FMCG 。
2. 过E 作EG//AC 交BC 于G ，连结CE 、GF 。
3. 连结FH 、HE 、EG 、GF
4. 延长CE 至F ，使EF=CE ，连结AF 、BF 。
5. 连结BF 、DE
BC AD ,DC AB ==
∴四边形ABCD 是平行四边形 BE //FD ∴
又CE AF ,BC AD ==
BE
∴
FD=
∴四边形BEDF是平行四边形∴O是BD的中点。