数学联赛考前练习题七套

高中数学奥林匹克模拟真题（一）第一试一、填空题1、设()102011201022222f x x =----- ，则()2011f = ．2、,x y 为实数，若对于满足cos cos 0αβ-≠ 的任何实数,αβ，都成立等式：sin sin 66cot cos cos 2x y ππαβαβαβ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+-，则(), x y = ．3、二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,6)A 和1,62B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若其与X 轴的两个交点,C D 的距离满足12CD =，则函数的具体表达式为y = ． 4、在用1,2,,8 这八个数码所组成的全部无重复数字的八位数中，能被11整除的数共有 个．5、设数集{},,,M a b c d =，而,,,a b c d 两两之和构成集合{}5,8,9,11,12,15S =，则集合M = ．6、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段 对．7、对于给定的正整数n ，则由直线2y n =与抛物线2y x =所围成的封闭区域内（包括边界）的整点个数是 ．8、若四面体的六条棱长分别为2,3,4,5,6,7，则不同的形状有 种． （若两个四面体经适当放置后可完全重合，则认为是相同的形状）.二、解答题9、试确定，是否存在2011个实数122011,,,a a a ，满足：()1. 1, 1,2,,2011ia i <= ；()2. 1220111220112010a a a a a a +++-+++= ．10、设数列{}{},n n a b 满足：00111, 57, 710n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+． 证明：,m n N ∀∈，m n m n m n m n a b a a b b +++=+．11、设,,x y z R +∈，1xy yz xz ++=，证明不等式：()()()2226xy xz yz xyz x y z zyx+++≥++．第二试（加试题）一、 以任意方式，把空间染成五种颜色（每点属于一色，每色的点都有）；()1．证明：存在一个平面，至少含有四种不同颜色的点； ()2．是否一定存在五色平面？二、如图，△PAB 中，,E F 分别是边,PA PB 上的点，在,AP BP 的延长线上分别取点,C D ，使 , PC AE PD BF ==，,M N 分别是△P C D ，△PEF 的垂心.证明：MN AB ⊥.三、数列{}n a 为：1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4, ，其构作方法是：首先给出11a =，接着复制该项1后，再添加其后继数2，于是得231,2a a ==；接下来再复制前面所有的项1,1,2，再添加2的后继数3，于是得45671,1,2,3a a a a ====；接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加3的后继数4，于是得前15项为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3 如此继续．试求2011a 以及数列前2011项的和2011s ．四、边长为n 的菱形ABCD , 其顶角A 为o 60,今用分别与,AB AD 及BD 平行的三组等距平行线，将菱形划分成22n 个边长为1的正三角形(如图所示).试求以图中的线段为边的梯形个数()s n .2012年高中数学奥林匹克模拟真题（一）答案第一试一、填空题 1、答案：1．解：注意0a ∀>，当[]0, 2t a ∈时，有t a a -≤，而()101011110201120112222<=<⋅，所以 102011201110201120102010201122, 2011222-≤--≤，……， 10201120102201122222-----≤ ，又因()2011f =奇数，故()20111f =．2、答案：1 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．解：条件cos cos 0αβ-≠中蕴含sin02αβ-≠，故所涉各式皆有意义；于所给等式中，取, 26ππαβ==，得1x y -+；再取 , 26ππαβ=-=，得13x y =-+，由此解得，1 22x y =-=．3、答案：2253y x x =-+．解：由条件得16(3)()2y a x x -=-+，于是二次函数2y ax bx c =++又可表为253622a a y ax x =--+，设其两根为12,x x ，有1252x x +=，1212x x -=，12632x x a =-， 据22121212()()4x x x x x x +=-+，得2a =，代入得2253y x x =-+． 4、答案：4608.解：由于1,2,,8 中有4个奇数，故任意添加正负符号后其代数和皆为偶数．因1,2,,8 中最大的四数和与最小的四数和之差不大于16，于是符合条件的每个八位数，其奇数数位上的四个数码和必等于偶数数位上的四个数码和，由于12836+++= ，再将1,2,,8 分成和为18的两组，每组四个数，并考虑含8的组，该组另三数的和为10，只有四种情况：()()()()1,2,7,8,1,3,6,8,1,4,5,8,2,3,5,8.对于每种情况，可将含8的组排在奇数数位上或者偶数数位上，得到24!4!⋅⋅个数，四种情况下共得84!4!4608⋅⋅=个符合条件的八位数． 5、答案：{}1,4,7,8或{}2,3,6,9．解：设 a b c d <<<，由于集S 中有246C =个元，即知,,,a b c d 两两的和互不相同，因 a b a c a d b d c d +<+<+<+<+，且 a c b c b d +<+<+，只有两种情况：()1．a d b c +<+，则 ()(,,,,,)5,8,9,11,12,15a b a c a d b c b d c d ++++++=，由3, 11c b b c -=+=，得 4, 7b c ==，进而得 1, 8a d ==，{}{},,,1,4,7,8a b c d =；()2．b c a d +<+，则 ()(,,,,,)5,8,9,11,12,15a b a c b c a d b d c d ++++++=，于是3, 9c b b c -=+=，得 3, 6b c ==，进而得 2, 9a d ==，{}{},,,2,3,6,9a b c d =．6、答案：50．解：五角星的外围是由10条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这10条线段中，任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得到25220C =对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有30对；因此总共有50个“异面直线段对”． 7、答案：()()2121233n n n +-+． 解：如图，直线2y n =与抛物线2y x =的交点A 、B 的坐标为31()2,A n n ，()2,B n n -， 设直线x k =上位于区域内的线段的线段为CD ，其坐标为()()22, , , C k n D k k ，线段CD 上的整点数为{}221, ,,1,0,1,2,, n k k n n -+∈-- ，故区域内的整点数为()()()()()22222111211221233nnk nk nk n n k n n n =-=-+=++-=+-+∑∑． 8．答案：10种．解：将长为k 的线段记为{}, 2,3,4,5,6,7k l k ∈，考虑23, l l ： 情形甲：23, l l 共面，则该面的另一边必为4l()01.若234,,l l l 按顺时针方向组成三角形（如图，均指从形内向该面看三边的绕向，下同），则边DA 不能取6l （否则将使BCD ∆的三边为2,5,7，矛盾）．若取5DA l =，{}{}67,,DB DC l l =，有两种情况；若取7DA l =，{}{}56,,DB DC l l =，也有两种情况．共得4种情况．()02.234,,l l l 按反时针方向组成三角形，类似也得4种情况．情形乙：23, l l 异面，设23, AB l CD l ==，则其余四条边，每一条皆与23,l l 相邻；于是27,l l 所在面的另一条边必为6l ，()03.若267,,l l l按顺时针方向组成三角形，不妨设67, AC l BC l ==（如图），剩下两条边，BD 不能取4l ， 故只有54, BD l AD l ==，得一种情况；()04.若267,,l l l按反时针方向组成三角形，不妨设76, AC l BC l ==（如图），剩下两条边，AD 不能取4l ， 故只有54, AD l BD l ==，得一种情况； 因此，本题中不同的情况共10种． 二、解答题9、解：假若存在满足以上条件的2011个实数122011,,,a a a ，设122011a a a t +++= ，则0t ≥，去掉绝对值符号，并分开其正、负部，可记为，()()12201112122011k k a a a x x x y y y -+++=+++-+++ ，即有 ()()12122011k k x x x y y y t -+++-+++= ……○1， 其中12,,,k x x x ；122011,,,k y y y - 是122011,,,a a a 的某个排列．从而由条件()2，()()121220112010k k x x x y y y t -+++++++=+ ……○2 所以，121005k x x x t +++=+ ； 1220111005k y y y -+++= ．………○3 由于 01, 01i j x y ≤<≤<，1,2,,i k = ；1,2,,2011j k =- ． 则 121005k k x x x t >+++=+ ； 12201120111005k k y y y -->+++= ． 由此，1006, 20111006k k ≥-≥，相加得，20112012≥，矛盾． 因此这样的2011个实数不存在．10、证：若0m n +=，则0m n ==，结论显然；若1m n +≥，固化m n +，改证以下命题：, 0k N k m n ∀∈≤≤+，有 m n m n m n k k m n k k a b a a b b +++-+-+=+ ……○1 对k 归纳：0k =时结论显然；设对于k r =时○1式成立，即m n m n m n r r m n r r a b a a b b +++-+-+=+ ……○2，当()1, k r r m n =+<+时，由于 ()()111157710m n r r m n r r m n r m n r r m n r m n r r a a b b a b a a b b +-+-+--+--+--+--+=+++()()11111157710m n r r r m n r r r m n r r m n r r a a b b a b a a b b +--+--+--++--+=+++=+ ……○3 由○2○3得1111m n m n m n r r m n r r a b a a b b +++--++--++=+，即当()1, k r r m n =+<+时 ○1式成立，因此○1得证，今在○1中取k n =，得m n m n m n m n a b a a b b +++=+． 11、证：()()()()()3x y z x y z xy yz zx xy x y yz y z xz x z xyz ++=++++=++++++，故即要证，()()()()()()2223xy xz yz xyz xy x y yz y z xz x z zyx+++≥+++++……○1． 据对称，可设x y z ≥≥，由于，()()()()2xy xyxyz xy x y x z y z zz+-+=--……○2；同理有，()()()()2yz yzxyz yz y z y x z x xx+-+=--……○3， ()()()()2xz xzxyz xz x z x y z y yy+-+=--……○4 注意()()()()0, 0xy yz x z y z y x z x z x --≥--≥，而 ()()0xzx y z y y--≤，又由 x y z ≥≥知，()()()()()()xy xz xzx z y z x y y z x y z y z y y--≥--=---，即有 ()()()()0xy xzx z y z x y z y z y--+--≥，从而由○2+○3+○4得， ()()()()()()22230xy xz yz xyz xy x y yz y z zx z x zyx+++-+-+-+≥，即○1成立，当且仅当x y z ==时取得等号．从而所证结论成立．第二试（加试题）一． ()1．证：若存在四色线l ,则含有l 的平面为所求；若存在三色线l ，则在线l 外可再取到一个第四色的点M ，过点M 和线l 的平面为所求；假若任一直线上都不多于两色，为此，用[][][][][],,,,A B C D E 分别表示这五种颜色的点所构成的点集，今取点[][]11, A A B B ∈∈，过11,A B 的直线记为a ，则直线a 上其余的点也属于[]A 或[]B 色，不妨设，直线a 上有点2A 属于[]A ；在空间分别取点[][]11, C C D D ∈∈，过111,,B C D 的平面记为u ，则直线a 与平面u 有公共点1B ．若a u ⊂，则平面u 为所求；（这时平面u 上含有[][][][],,,A B C D 四色）.若a u ⊄，在空间再取一点[]1E E ∈，过点1E 和直线a 作平面w ，则平面u 和平面w 的交线为过1B 的直线b ，在平面w 内，过点1E 的两条直线11E A 和12E A 中，至少有一条要与直线b 相交，不妨设，12E A b P = （如图），则点P 属于[]A 或[]E 色，于是平面u 至少含有四色(或含[][][][],,,B C D A ；或含[][][][],,,B C D E ).()2．不一定存在五色面，例如，若将四面体ABCD 的四个顶点分别染成[][][][],,,A B C D 四色，空间其余的点全染[]E 色，这时不存在五色面．二．证：如图，设线段,,DE CF PF 的中点分别为,,G H K ，则K 也是BD 的中点，据中位线知，在△BDE 中，KG ∥BE ，12KG BE =；在△PCF 中，KH ∥PC ，12KH PC =，即 KH ∥AE ，12KH AE =，所以△KHG △EAB ，且HG ∥AB ，12HG AB =.为证MN AB ⊥，只要证MN HG ⊥.以G 为圆心，DE 为直径作G ，其半径记为R ；以H 为圆心，CF 为直径作H ，其半径记为r ，设直线AC 交MD 于Q ，MC 交BD 于W ，由于点M 是△PCD 的垂心，则MD PQ ⊥，MC PD ⊥，所以DWCQ 共圆，故有 MQ MD MC MW ⋅=⋅ … … ○1 另一方面，由于90, 90,EQD FWC ︒︒∠=∠=可知，Q 在G 上，W 在H 上，从而2222, MQ MD MG R MC MW MH r ⋅=-⋅=-，因此○1化为2222MG R MH r -=-， 即 2222MG MH R r -=- … … ○2又设直线NF 交AC 于S ，NE 交BD 于T ，由于点N 是△PEF 的垂心，，则NS PE ⊥，NE PF ⊥，所以ETFS 共圆，故有 NT NE NF NS ⋅=⋅ … … ○3再由 90, 90,DTE CSF ︒︒∠=∠=可知，T 在G 上，S 在H 上，从而 2222, NT NE NG R NF NS NH r ⋅=-⋅=-，因此○3化为2222NG R NH r -=-， 即 2222NG NH R r -=- … … ○4据○2、○4得，2222MG MH NG NH -=-，所以 MN GH ⊥，而HG ∥AB ，所以MN AB ⊥.三、解：据{}n a 的构作方法，易知137151,2,3,4,,a a a a ==== 一般地，我们有21,n a n -=即数n 首次出现于第21n -项，并且，若()21,121n n m k k =-+≤≤-，则有A Bm k a a =，由于10201121988,=-+ 998821477,=-+ 847721222,=-+ 7652222195,952132,32211=-+=-+=-+，所以 2011988477222953211a a a a a a a =======为求2011s ，先计算21n s -，由{}n a 的构作方法知，数列的前21n-个项中，恰有1个n ，2个1n -，22个2,n - ，2k 个,n k - ，12n -个1，所以有，21n s -()()22121222221n n n n n --=+-+-++⋅+⋅ ○1，从而 212n s -()()23122122222n n n n n -=+-+-++⋅+ ○2，据○1，○2得， 21n s -()()211222222n n n n n -+=-+++++=-+ ○3 其次，当()21,121n nm k k =-+≤≤-，则()()()2121121221n n n n m k s s a a a --+-+-+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()1221n k s a a a -=++++ 21n k s s -=+因此，10982011988988477477222212121,,,s s s s s s s s s ---=+=+=+72229521,s s s -=+ 6953221s s s -=+，5321121,1s s s s -=+=，因此由○3得， ()()()()()()11109876201121221121029282713996s =-+-+-+-+-+-+=．四、边长为n 的菱形ABCD , 其顶角A 为o 60,今用分别与,AB AD 及BD 平行的三组等距平行线，将菱形划分成22n 个边长为1的正三角形(如图所示).试求以图中的线段为边的梯形个数()s n .解一:由于图中任两条线段所在的直线，或者平行,或者相交成o 60的锐角, 因此,由图中线段组成的所有梯形都是底角为o 60的等腰梯形. 对于这种梯形, 若两腰延长线的交点在菱形内部或周界上,则称为“内置梯形”;若交点在菱形外,就称为“外延梯形”.一．先求“内置梯形”的个数()f n .将边长为k 的正三角形称为“k 级三角形”,相应地,下底(较长底边)的长为k 的梯形称为“k 级梯形”,再将腰长为() r r k <的k 级梯形称为(),k r 式梯形.并且,图中所有正三角形,要么顶点朝上, 要么顶点朝下,分别称作“顺置三角形”与“倒置三角形”.易见,每个(),k r 式梯形,可看作由一个k 级三角形切去一个k r -级三角形而得到.每个k 级三角形所切出的k 级梯形有()31k -种情况, (其中()()(),1,,2,,,1k k k k - 式梯形各三个).今计算图中k 级三角形的个数: 取A 为原点,,AB AD 为,X Y 轴,建立斜角坐标系,每个k 级顺置三角形,下底左端点P 的横坐标可取0,1,,n k - 共1n k -+个值,P 的纵坐标也可取0,1,,n k - 共1n k -+个值.因此,k 级顺置三角形有()21+-k n 个,据对称性, k 级倒置三角形也有()21+-k n 个.从而k 级三角形有()221n k -+个,于是k 级内置梯形有()[]()1162---k k n 个,求和得:()=n f ()()111122223111116116()6()66nn n n n k i j j j n k k n i i jn j n j j ----=====---=-=-=-⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑∑2)1(2)1(66)12)(1(6222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⋅=n n n n n n n n . 二．再求“外延梯形”的个数()g n ． 先考虑外延交点在线段AB 外侧的情况,任取,i j ，使n i j ≤<≤1,设诸点的斜角坐标为:)0,(i T i ,),0(j P j , )0,(j Q j ,),(j i R ij , 延长j j Q P ；交直线x i =于ij M ，位于j j Q P 延长线上的交点共有n j -个，对于确定的j ，三角形ij M ij j R P 为一个倒置正三角形，当i T 在AB 上移动时，点ij R 在直线y=j 上移动，由于j ij P R ∥AB ，这两条线段间的平行线共j+1条（包括这两条线在内），任两条这种平行线都在三角形ij j ijM P R 上截出一个梯形。