高三平面向量限时训练
高中数学新教材平面向量限时训练(基础、好用)
平面向量限时训练（30分钟）1、化简AC -BD +CD -AB ＝2、在ΔABC 中,060,43=∠==BAC ,则=⋅3、已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=4、已知(1,2)a =,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x =5、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A 、B 、C 三点共线,则x ＝6、已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝7、向量、3=5=7=-，则、的夹角为__．8、在△ABC 中，∠C=90°，(1,),(2,1),AB k AC ==则k 的值是 39、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ （用a 、b 表示）。
10、（解答题）已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，求2a b -的最大值。
平面向量小测限时训练答案1、化简AC -BD +CD -AB ＝02、在ΔABC 中,060,43=∠==BAC ,则=⋅ －63、已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=134、已知(1,2)a =,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x =34- 5、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A 、B 、C 三点共线,则x ＝ 106、若向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝－37、向量a 、b 3=5=7=-，则a 、b 的夹角为__︒120___．8、在△ABC 中，∠C=90°，(1,),(2,1),AB k AC ==则k 的值是 39、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于 23a ＋13b 10、已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，求2a b -的最大值。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
2021-2022年高考二轮复习专题限时集训第7讲《平面向量》
2021-2022年高考二轮复习专题限时集训第7讲《平面向量》(时间：10分钟＋35分钟)1．若向量a 、b 、c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．02．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则( )A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b |3．已知向量a ＝(7，1)，b ＝(－1,3)，c ＝(k ，7)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.4．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2, 若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．1．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( )A. 5B.10 C ．5 D ．252．在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，RA →＋RB →＋RC →＝CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶53．如图7－1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC→的值等于( )A ．0B ．4C ．8D ．－4 4．等腰直角三角形ABC 中，A ＝π2，AB ＝AC ＝2，M 是BC 的中点，P 点在△ABC 内部或其边界上运动，则BP →·AM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[1,2]C ．[－2，－1]D ．[－2,0]5．已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，则AO →·BC →＝________.6．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________．7.已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )．(1)求证：向量a 与向量b 不可能平行；(2)若a ·b ＝1，且x ∈[－π，0]，求x 的值．8．设平面向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(cos x ＋23，sin x )，c ＝(sin α，cos α)，x ∈R .(1)若a ⊥c ，求cos(2x ＋2α)的值；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，证明a 和b 不可能平行； (3)若α＝0，求函数f (x )＝a ·(b －2c )的最大值，并求出相应的x 的值．专题限时集训(七)【基础演练】1．D 【解析】 因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c·(a ＋2b )＝c·a ＋2b·c ＝0.2．C 【解析】 因为|a ＋b |＝|b |，所以a ·(a ＋2b )＝0，即a ⊥(a ＋2b )，因此|a |、|a ＋2b |、|2b |构成直角三角形的三边，|2b |为斜边，所以|2b |>|a ＋2b |，选择C.3．－7＋275 【解析】 因为a －2b ＝(7＋2，－5)，由a －2b 与c 共线，有k 7＝－7＋25，可得k ＝－7＋275. 4.54【解析】 因为a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22， 且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以2k －12－2＝0，即k ＝54. 【提升训练】1．C 【解析】 |a ＋b |＝52⇒|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝50⇒5＋20＋|b |2＝50⇒|b |＝5.2．B 【解析】 由P A →＋PB →＋PC →＝AB →，P A →＋PC →＝AB →－PB →，即P A →＋PC →＝AB →＋BP →，P A →＋PC →＝AP →，∴PC →＝2AP →，P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q 、R 的位置，△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，取△ABC 为正三角形，不难得出面积比为1∶3.3．B 【解析】 BD ＝AB cos30°＝23，所以BD →＝32BC →. 故AD →＝BD →－BA →＝32BC →－BA →. 又AC →＝BC →－BA →.所以AD →·AC →＝⎝⎛⎭⎫32BC →－BA →·(BC →－BA →)＝32BC →2－⎝⎛⎭⎫1＋32BA →·BC →＋BA →2. BC →2＝BA →2＝16，BC →·BA →＝4×4×cos30°＝83，代入上式得AD →·AC →＝83－⎝⎛⎭⎫1＋32×83＋16＝4. 4．D 【解析】 以点A 为坐标原点，射线AB ，AC 分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，M (1,1)．设P (x ，y )，则由于点P 在△ABC 内部或其边界上运动，故x ≥0，y ≥0且x ＋y ≤2.BP →＝(x －2，y )，AM →＝(1,1)，BP →·AM →＝x －2＋y ，所以BP →·AM →的取值范围是[－2,0]．5．6 【解析】 如图，由于三角形外心是三角形三边中垂线的交点，故取BC 的中点D ，则AO →＝AD →＋DO →，而DO →⊥BC →，这样所求的数量积就是AD →·BC →，再根据向量加法和减法的几何意义即可把所求的数量积用AC →，AB →表示．AO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝6.6.⎣⎡⎦⎤π6 ，5π6 【解析】 由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ＝12|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.7．【分析】 第(1)问利用反证法证明，先假设a ∥b ，易推出矛盾，故结论正确．第(2)问利用二倍角公式及辅助角公式将结果化为A sin(ωx ＋φ)的形式，易得x 的值．【解答】 (1)证明：假设a ∥b ，则2cos x (cos x ＋sin x )＝sin x (cos x －sin x )．即2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin x cos x －sin 2x,1＋sin x cos x ＋cos 2x ＝0，1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2＝0， 即2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－322. 而sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[－1,1]，－322<－1，矛盾． 故假设不成立，即向量a 与向量b 不可能平行．(2)a ·b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， a ·b ＝1⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝22. 又x ∈[－π，0]，∴2x ＋π4∈[－7π4，π4]， ∴2x ＋π4＝－7π4或2x ＋π4＝－5π4或2x ＋π4＝π4， ∴x ＝－π或x ＝－3π4或x ＝0. 8．【分析】 (1)利用a ·c ＝0解；(2)利用反证法证明a 与b 不可能平行；(3)通过数量积的运算，求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值．【解答】 (1)若a ⊥c ，则a ·c ＝0，cos x sin α＋sin x cos α＝0，sin(x ＋α)＝0，所以cos(2x ＋2α)＝1－2sin 2(x ＋α)＝1.(2)证明：假设a 和b 平行，则cos x sin x －sin x (cos x ＋23)＝0，即23sin x ＝0，sin x ＝0，而x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x >0，矛盾． 故假设不成立，所以a 和b 不可能平行．(3)若α＝0，则c ＝(0,1)，则f (x )＝a ·(b －2c )＝(cos x ，sin x )·(cos x ＋23，sin x －2)＝cos x (cos x ＋23)＋sin x (sin x －2)＝1－2sin x ＋23cos x ＝1＋4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，所以f (x )max ＝5，此时，x ＝2k π－π6，k ∈Z .24315 5EFB 廻32268 7E0C 縌•25293 62CD 拍36817 8FD1 近•29311 727F 牿 R/5,226910 691E 椞38965 9835 頵。
平面向量高三复习客观题专练(好题汇总)(1)
平面向量高三复习客观题专练1.设AB 是半圆O 的直径,点C 是弧AB 的一个三等分点,点D 是直径AB 的一个三等分点,且点,C D 均靠近B 点,若半圆O 的半径为3,则DC AB ⋅等于（ ） A.0 B.32 C.3 D.9322.已知向量e a ≠，1=e ，满足：对任意R t ∈，恒有e a e t a -≥-，则（ ） A. e a ⊥ B. )(e a a -⊥ C. )(e a e -⊥ D. )()(e a e a -⊥+3.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，PA PB PB PC PC PA •=•=•， 则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心4.已知b a ,是单位向量，0=•b a ，若向量c 满足1=--b a c ，则c 的取值范围是（ ）A. []12,12+-B. []22,12+-C. []12,1+D. []22,1+ 5.如图，在圆O 的内接三角形ABC ∆中，AB=2，AC=3，则AO AC AB •+)(=（ ）A.213 B.29 C.2 D.16.已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是 A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，512π C.⎣⎡⎦⎤512π，π2 D.⎣⎡⎦⎤π12，512π 7.已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足 ),0(),sin ||sin ||(+∞∈++=λλC AC AC B AB AB OA OP ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心 8.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．6B ．5C ．4D ．39.AD, BE 分别是∆ABC 的中线，若|→AD |=|→BE |=1，且→AD 与→BE 的夹角为120°，则→AB ·→AC =（ ）A ．89B ．49C ．23D ．13 10.若等边△ABC 边长为23，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋13OA →，则MA →·MB →＝( )A ．－1B ．2C ．－2D ．2311.ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅的值为（ ）A ．15- B ．15 C ．65- D ．6512.在四边形ABCD 中，AB =DC =（1，1），113BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是13.ABC ∆中，,3,15,10π=∠==BAC AC AB ，点D 是边AB 的中点，点E 在直线AC 上，且3=，直 线CD 与BE 相交于点P AP 为（ ） A . 37 B . 13 C .132D.72参考答案1.C2.C3.C4.A5.A6.D7.A8.D9.C10.C11.A13.A。
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
2021-2022年高三数学 专题7 平面向量练习
2021-2022年高三数学 专题7 平面向量练习一、前测训练1． (1)已知向量a ＝(0，2)，|b|＝2，则|a －b|的取值范围是 ．(2)若a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b)＝0，则b 的取值范围是 ． 答案：(1)[0,4]．(2)[－1,1]． 2．(1)在△ABC 中，∠BAC ＝120，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，E 为BC 边上的点，且AE ·BC ＝0．则AD ·BC ＝ ；AD ·AE ＝ ．(2)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，E 为CD 中点， 则−→AE ⋅−→BD ＝ ．(3)已知OA ＝OB ＝2，−→OA ·−→OB ＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝60，则−→AB ·−→OC ＝________________．答案：(1)－83,37．(2)1．(3)8－43．二、方法联想 1．向量的运算方法1 用向量的代数运算．方法2 结合向量表示的几何图形． 2．向量的应用方法 1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决三、例题分析 [第一层次]例1 （1）若向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝ ． （2）已知a ，b 都是单位向量，a ·b ＝－12，则|a －b|＝ ．（3）已知向量a ＝（－3，2），b ＝（－1，0），且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值是 ． （4）若平面向量a ，b 满足｜a ＋b ｜＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝ 答案：（1）－4；（2）3；（3）－17；（4）（－2，2）或（－2，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：ABCDE1．两个非零向量共线的充要条件（坐标形式和非坐标形式）． 2．单位向量与数量积的概念，求模长的基本方法． 3．向量垂直的充要条件（坐标形式和非坐标形式）． 4．坐标形式下向量模长的计算公式． 二、方法选择与优化建议：1．第（2）小题，方法1：将所求模长平方，转化为向量的数量积；方法2可以画图，通过解三角形求解；本题给出了两个向量的模长及数量积，因此方法1求解较为简单．2．第（4）小题，常规方法是设出向量b 的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a ＋b 的两要素，先求出向量a ＋b 的坐标，再求向量b 的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．例2 （1）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →•AD →＝ ．（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为 ．（3）已知A （－3，0），B （0，3），O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝60°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值是 ．（4）在△ABC 中，已知BC ＝2，AB·AC ＝1，则△ABC 面积的最大值是 ． 答案：（1）152；（2）2；（3）13；（4）2．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．解（1）小题可以是基底法（以AB →和BD →为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法．2．解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义． 3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 4．平面向量数量积的概念，建立目标函数利用基本不等式求最值．5．解（4）小题还可以用坐标法，得出点A 的轨迹方程，利用图形的直观性求解． 二、方法选择与优化建议：1．解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知． 2．解（4）小题由于建立目标函数有些难度，所以用坐标法求解来得简单易懂．例3 （1） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb （λ，μ∈R ），则λμ＝ ．（2）如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点．设AP →＝αAB →＋βAF →（α、β∈R ），则α＋β的取值范围是 ． 答案：（1）4；（2）[3，4]． 〖教学建议〗• CDE FP一、主要问题归类与方法：1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法． 二、方法选择与优化建议：1．解决这两题用坐标法优于基底法．2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易．[第二层次]例1 （1）已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a)∥b ，c ⊥(a ＋b)，则c ＝ ． （2）已知向量a ＝(2，1)，a·b ＝10，︱a ＋b ︱＝52，则︱b ︱＝ ． 变式：平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b|＝1，则|a ＋2b|＝ ．（3）若平面向量a ，b 满足｜a ＋b ｜＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝ ． （4）在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →•AB →＝ ．答案：（1）（－79 ，－73）；（2）5；变式：23．（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件．2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积．3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系．二、方法选择与优化建议：1．第（2）小题，方法1：设向量b 的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(a ＋b)的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单．2．第（3）小题，常规方法是设出向量b 的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a ＋b 的两要素，先求出向量a ＋b 的坐标，再求向量b 的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．3．第（4）小题解法1：基底法，选择CA →和与CA →垂直的12BD →为基底；解法2：以AC 、BD 为；两坐标轴建立直角坐标系．例2 （1）已知正△ABC 的边长为1，→CP ＝7→CA ＋3→CB ，则→CP ·→AB ＝ ．（2）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →（λ1，λ2∈R ），则λ1＋λ2的值为__________。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
高三数学高考最后30天冲刺练习：平面向量
2010高考数学最后30天冲刺练习：平面向量例1、已知︱︱=1，︱︱=3,•=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R )，则n m 等于 A.31B.3C.33D.3 解析：1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AB 上，且AOC ∠30o=。
设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0，3)，C 点的坐标为(x ，y)=(34，4)，(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则∴ m=43，n=41，mn=3，选B. 例2、已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 解析：,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根，则2||4a a b -⋅≥0，设向量,a b 的夹角为θ，cosθ=||||a ba b ⋅⋅≤221||1412||2a a =，∴θ∈],3[ππ，选B.例3、设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是(A)112λ≤≤ (B) 112λ-≤≤ (C) 1122λ≤≤+ (D) 1122λ-≤≤+ 【解析】(1)(1,),(1)(1,1),(,)AP AB OP OA OB PB AB AP AB AP AB λλλλλλλλλλλ=⇒=-+=-=-=-=--==-2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔--≥---⇒-+≤解得: 1122λ-≤≤+,因点P 是线段AB 上的一个动点,所以01λ≤≤,即满足条件的实数λ的取值范围是11λ-≤≤,故选择答案B.例4、 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 解析：非零向量与满足(||||AB ACAB AC +)·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 例5、与向量a =-⎪⎭⎫⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是(A) ⎪⎭⎫-⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 解析：与向量7117,,,2222a b ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量为(x ，y)，则22171172222x y x y x y⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选B. 例6、设向量a,b,c 满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a ⊥b,若｜a ｜=1,则｜a ｜22||b ++｜c ｜2的值是【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。
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高三理科数学《平面向量》定时训练一
1.若两个非零向量a ,b 满足||2||||a b a b a =-=+,则向量a b + 与
b a - 的夹角为 （
A ．6π
B ．3π
C ．32
π
D ．65π
2.如图,半圆的直径AB=6,O 为圆心,C 为半圆
上不同于A ．B 的 任意一点,若P 为半径
OC 上的动点, 则()PA PB PC +⋅ 的最小
值是( )
A ．29
- B ．29
C ．2
D ．2-
3.非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+ 成立的一个充分非必要条件是
（A ．//a b B ．20a b +=
C ．||||a b
a b =
D ．a b =
4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （2，－1），B （－1，3），若点C 满足OB OA OC βα+=其中0≤βα，≤1，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（ ）
（A ）0432=-+y x （B ）25)1()21
(22=-+-y x
（C ）0534=-+y x （－1≤x ≤2 （D ）083=+-y x （－1≤x ≤2）
5.设b a ，为非零向量，则下列命题中：①a b a b a ⇔-=+||||与b 有相等的模；②a b a b a ⇔+=+||||||与b 的方向相同；③a b a b a ⇔-<+||||||与b 的夹角为锐角；④||||||||a b a b a ⇔-=+≥||b 且a 与b 方向相反．真命题的个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
6.下列命题中，错误的命题是（ ）
（A ）在四边形ABCD 中，若+=，则ABCD 为平行四边形
（B ）已知b a b a +，，为非零向量，且b a +平分a 与b 的夹角，则||||b a =
（C ）已知a 与b 不共线，则b a +与b a -不共线
（D ）对实数1λ，2λ，3λ，则三向量1λ-a 2λb ，2λ-b 3λc ，3λ-c 1λa 不一定在同一平面上
7.下面五个命题：
⑴所有的单位向量相等；⑵长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线
向量；⑶若b a ，满足||||b a >且b a ，同向，则b a >；⑷由于零向量的方向不确定，故0与任何向量不平行；⑸对于任何向量b a ，，必有||b a +≤||||b a +．其中正确命题的序号为（ ）
（A ）⑴，⑵，⑶ （B ）⑸ （C ）⑶，⑸ （D ）⑴，⑸
8.在ABC ∆中，有命题 ①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）
（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④
9. 过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ，MB (A ，B 为切点，
则MA MB ⋅=
（A ．
B ．52 C
D ．3
2
10.已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则
（ ）
A a ⊥e
B a ⊥(a －e )
C e ⊥(a －e )
D (a ＋e )⊥(a －e )
11.在△ABC 中，=c , BC = a , CA =b ,则下列推导中错误的是
( )
A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形
B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形
C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形
D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形
12. 给出下面四个命题：
①对于任意向量a 、b ，都有|a ·b |≥a ·b 成立；
②对于任意向量a 、b ，若a 2=b 2，则a =b 或a = -b ；
③对于任意向量a 、b 、c ，都有a ·(b ·c )=(b ·c )·a 成立；
④对于任意向量a 、b 、c ，都有a ·(b ·c )=(b ·a )·c 成立.
其中错误的命题共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
13.如图,在△ABC 中,O 为BC 中点,若
AB=I,3AC =,,60AB AC = ,则
OA = ______________.
14.已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若
AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥ ,
则实数λ的值为_________ _.
15.把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移后，得到22x y =的图象，且a ⊥b ,c =(1,-1),b ·c =4,则b = .
16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a =b =0;
②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a·c |=|b·c |
④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线;
⑤若a 与b 共线,则a·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 .
17.已知向量、、、及实数x 、y ，且||=||=1，=+(x 2－3)，=－y +x ，⊥，若⊥，且||≤10。
（1）求y 关于x 的函数关系y=f(x)及定义域；（2）求函数f(x)的单调区间。
18.已知a =(2，2)，b 与a 的夹角为
4
3π，且a ·b =－2。
（1）求向量b ；（2）若=(1，0)，且⊥，=(cosA ，2cos 22C )，其中A 、C 是△ABC 的内角，若A 、B 、C 依次成等差数列，求|+|的取值范围。
19. 已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R ，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2), b =(2sin x ,2
1),c =(cos2x ,1),d =(1,2)。
（1）分别求a ·b 和c ·d 的取值范围；（2）当x ∈[0,π]时，求不等式f (a ·b )>f (c ·d )的解集。
20.已知向量)23sin ,23(cos x x =，)2
sin ,2(cos x x =，且]2,0[π∈x .
(Ⅰ)求b a ⋅+x f +-⋅=2)(的最小值为2
3-
，求实数λ的值.
21.已知向量(cos ,sin )OA λαλα= (0)λ≠，(sin ,cos )OB ββ=- ，其中O 为坐标原点。
（1）若6π
αβ-=且1λ=求向量OA 与OB 的夹角； （2）若2AB OB ≥ 对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围。
22.在ABC ∆中，若向量
m (sin A sin B sin C),n A sin C,sin A sin B)=--=-+ 且m 与n 共线
（1）求角B ；（2）若3sin A 5=，求cosC .。