21.2.2公式法1
21.2.2公式法-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步课件+练习(人教版)
人教版数学九年级上册
（2）b2-4ac=0时，
b 2 4ac
=0 ，由①可知，方程有两个相等的实数根
这时
2
4a
（3）b2-4ac＜0时，
b
x1 x2
2a
2
b
b 4ac
这时
＜0 ，而x取任何实数
＜0 ，由①可知 x
2
2a
4a
2
b
都不能使 x ＜0 ，因此方程无实数根.
根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练
人教版数学九年级上册
2.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方
程一定有两个实数根．
证明：方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)，
其中a=k，b=k+3，c=3，
5
小试牛刀
人教版数学九年级上册
1．用公式法解方程 4x 2－12x=3，得到（ D
3 6
A．x=
2
3 6
B．x=
2
3 2 3
C．x=
2
3 2 3
D．x=
2
）．
小试牛刀
人教版数学九年级上册
2.不解方程，判别下列方程的根的情况.
(1)x2-6x+1=0 (2)2x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-2)2+3=1
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号.
(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解.
21.2.2解一元二次方程 公式法【人教九上数学精彩课堂教案】
21.2解一元二次方程21.2.2公式法实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣置疑探究在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(1)x2+4x+2=0;(2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0;(4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四个方程的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每个方程的其中一个系数,得到四个新的方程:(1)3x2+4x+2=0;(2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0;(4)3x2+x+7=0.思考1:新方程与原方程的解答过程相比,有什么变化?由学生的观察讨论得到:用配方法解不同的一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程(程序化的操作),不同之处是方程的根的情况及其方程的根.思考2:既然过程是相同的,为什么根会不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?[教学提示] 1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望;3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系,从而引导学生去探究.在学生利用配方法解一元二次方程时,为了节约时间,可以让学生分组解答,比如:将学生按列随机分成若干个组分别解答,再分别展示答案,充分让学生感受到解答过程的共性.复习探究(1)在上一节课中,我们学习了用配方法解一元二次方程,那么请回忆一下用配方法解一元二次方程的步骤是什么?①移项:方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项.(注意移项要变号)②化1:把二次项系数化为1.(方程两边同时除以二次项系数,注意不要漏项)③配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方.(注意分数的平方要加括号)④变形:方程左边分解因式,右边合并同类项,使方程转化为(x+m)2=n的形式.(当n≥0时,方程有实根;当n<0时,方程无实根)⑤开方:根据平方根的意义,方程两边开平方.(注意别漏了正负号,带根号的根式应化成最简二次根式)⑥求解:解一元二次方程.⑦定解:写出原方程的解.(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+ba x=-ca.配方,得x2+ba x+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2.因为a≠0,所以4a2>0.当b2-4ac>0时,得x+b2a =±√b2-4ac2a,所以x=-b2a±√b2-4ac2a,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a.当b2-4ac=0时,得x1=x2=-b2a.当b2-4ac<0时,方程无实数根.[教学提示] 以提问和练习的方式让学生回顾旧知,一方面是为了培养学生的语言表达能力,另一方面是为了加深学生对配方法的理解,为推导公式法做准备.全班同学在练习本上运算,请两名小组代表去黑板上练习,老师巡回指导,适时点拨,并注意对学习有困难的学生进行辅导,对表现比较突出的学生及时进行鼓励.教材母题——第11页例2用公式法解下列方程:(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.【模型建立】用公式法解一元二次方程,首先将方程化成一般形式,确定各项的系数(注意符号),当b2-4ac≥0时,将各系数代入求根公式求解.注意只有在b2-4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解.【变式变形】1.用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时,b2-4ac的值为(C)A.52B.32C.20D.-122.用公式法解方程3x 2+4=12x ,下列代入公式正确的是 (D)A .x 1,2=12±√122-3×42B .x 1,2=-12±√122-3×42C .x 1,2=-12±√-(-12)2-4×3×42×3D .x 1,2=-(-12)±√(-12)2-4×3×42×33.一元二次方程x 2+2√2x-6=0的根是 (C)A .x 1=x 2=√2B .x 1=0,x 2=-2√2C .x 1=√2,x 2=-3√2D .x 1=-√2,x 2=3√24.已知a 是一元二次方程x 2-3x-5=0的较小的根,则下面对a 的估计正确的是 (A)A .-2<a<-1B .2<a<3C .-3<a<-4D .4<a<5 5.一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5的根的情况是 (D)A .无实数根B .有一个正根,一个负根C .有两个正根,且都小于3D .有两个正根,且有一根大于36.方程x 2-2x-2=0的解是 x 1=1+√3,x 2=1-√3 .7.小明用公式法解方程2x 2+7x=4的过程如下: ∵a=2,b=7,c=4,∴b 2-4ac=72-4×2×4=17. ∴x=7±√174. ∴x 1=7+√174,x 2=7-√174.你认为小明的解答过程正确吗?如果不正确,请给出正确的解答过程. 解:小明的解答过程不正确. 正确的解答过程如下: 移项,得2x 2+7x-4=0,∵a=2,b=7,c=-4,∴b 2-4ac=72-4×2×(-4)=81. ∴x=-7±√812×2=-7±94.∴x 1=-4,x 2=12.教材母题——第17页习题21.2第13题无论p 取何值,方程(x-3)(x-2)-p 2=0总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由. 【模型建立】“一元二次方程的根的个数”与“Δ=b2-4ac与0的大小关系”有关,所以牢记如下结论是解决此问题的关键.①当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根,即x1=-b+√b2-4ac2a ,x2=-b-√b2-4ac2a;②当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2=-b2a;③当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.【变式变形】1.不解方程,判断关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.[答案:有两个实数根]2.已知k≠1,一元二次方程(k-1)x2+kx+1=0有实数根,则k的取值范围是 (D)A.k≠2B.k>2C.k<2且k≠1D.k为一切不等于1的实数3.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数根,则p与q的关系是p2-4q=0.4.已知关于x的一元二次方程ax2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是a>-1且a≠0.5.已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.[答案:(1)略(2)1或2]【评价角度1】利用b2-4ac判断一元二次方程根的情况方法指引:b2-4ac的值的情况对应了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况,很多时候不用解方程就可以判断方程根的情况:若b2-4ac>0,则方程有两个不等的实数根;若b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根;若b2-4ac<0,则方程无实数根.例1一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是(D)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根例2关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定例3已知关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0.试说明:无论m取何实数,此方程总有实数根.解:∵在关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0中,Δ=4(2-m)2-4(3-6m)=4(m+1)2≥0,∴无论m取何实数,此方程总有实数根.【评价角度2】利用公式法解一元二次方程方法指引:用公式法解一元二次方程是将解方程的过程程序化,规范性要求较高,在代入公式求值前必须通过b2-4ac的值来判断方程解的情况,只有方程有解才能代入公式求解.在求b2-4ac的值时要先将方程转化为一般形式,再确定a,b,c的值.例解方程:x2+4x-1=0.[答案:x1=-2+√5,x2=-2-√5]【评价角度3】根据方程根的情况求解字母系数的值或取值范围方法指引:利用方程根的情况与b2-4ac的值的对应关系列出含有字母系数的方程或不等式,从而确定字母系数的值或取值范围.在实际操作过程中,要关注二次项的系数不能等于0这一条件的应用.例1若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为(B)A.m>94B.m<94C.m=94D.m<-94例2若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(A)A.-1B.1C.-2或2D.-3或1例3若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k≤5且k≠1.【评价角度4】一元二次方程的根的情况的实际应用方法指引:在解决实际问题时,有时可以通过列出一元二次方程,利用根的判别式判断一元二次方程解的情况.例小林准备进行如下操作试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由.解:小峰的说法是对的.理由:假设这两个正方形的面积之和可以等于48 cm2.设此时其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长是(10-x)cm.由题意可得x2+(10-x)2=48.化简得x2-10x+26=0.因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根.所以小峰的说法是对的.课题21.2.2公式法授课人教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程.3.能够理解一元二次方程根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.4.经历探索求根公式的过程,发展学生合情合理的推理能力.5.引导学生熟记一元二次方程的求根公式x=-b±√b2-4ac2a,并理解公式成立的条件b2-4ac≥0.6.通过运用公式法解一元二次方程,提高学生的运算能力,并让学生在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心.教学重点一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算.教学难点一元二次方程求根公式的推导.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题:问题1:配方法解一元二次方程的步骤有哪些?总结用配方法解一元二次方程的一般步学生回答,教师点评,并做好指导工作.(1)移项.(2)二次项系数化为1.(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方).(4)变形:原方程变形为(x+m)2=n的形式.(5)开方:如果n是非负数,那么可以直接开平方求出方程的解;如果n是负数,那么一元二次方程无解.(6)定解.问题2:当一元二次方程的二次项系数不为1时,应该如何应用配方法求解?当一元二次方程的二次项系数不为1时,只要在方程两边同时除以二次项的系数,将方程转化为二次项系数为1的方程即可.骤,为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】张老师要求同学们解一元二次方程2x2+x+1=0,大家才动笔,小强突然站起来说这个方程无实数解,同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师,只见张老师微笑地点了点头,你知道小强是如何快速作出判断的吗?下面让我们一起探究今天的新知吧!通过情景,使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”,激发深入探究新知的欲望,从而顺利完成本课知识的学习.活动二: 探究与应用问题1:利用配方法,你能解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)吗?学生自主解方程,确定一名学生进行板演.教师点拨:我们不妨把a,b,c也当成一个具体的数字,根据配方法的解题步骤一步步推下去.解:移项,得ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+bax=-ca.配方,得x2+bax+b2a2=-ca+b2a2.变形,得x+b2a2=b2-4ac4a2.当b2-4ac≥0时,两边开平方,得x+b2a=±√b2-4ac2a.1.学生回顾配方法的解题思路,从数字系数过渡到字母系数进行配方,推导公式.所以方程的解为 x 1=-b+√b 2-4ac2a,x 2=-b -√b 2-4ac2a.【应用举例】例1 用公式法解下列方程:题目的设置存在梯度,给予学生层次递进(1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0;(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x.师生活动:教师指导学生观察方程的特点,指导学生阐述做题的思路,然后学生书写解题过程,教师做好评价和辅导.变式练习:用公式法解下列方程:(1)x2-3x-1=0;(2)2x2-3x+1=0;(3)x2+2√2x-6=0.教师做好总结:用公式法解一元二次方程的步骤:①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值.②求出b2-4ac的值.③若b2-4ac≥0,则代入求根公式计算;若b2-4ac<0,则原方程无实数解.④写出方程的解.用公式法解一元二次方程应注意:①化方程为一般形式;②方程有实根的前提条件是“Δ≥0”;③若方程有根,则它应该有两个根;④求解得出的根应适当化简.例2不解方程,判别下列一元二次方程根的情况.(1)x2+x-6=0;(2)2x2-x+5=0.的学习过程.活动二: 探究与应用变式练习:不解方程,判别关于x的方程x2-2kx+(2k-1)=0的根的情况.教师做好总结:利用根的判别式判别方程根的个数问题时应注意:①考虑“二次项系数不为0”这一条件;②“一元二次方程有根”与“一元二次方程有两个不相等的根”的区别.【拓展提升】例3已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,当a为何非负整数时:(1)方程只有一个实数根?学生不断质疑、解惑,不但完善了思维,而且锻炼了能力,使学生形成对知识的总体把(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程有两个不相等的实数根?教师重点关注:学生对问题的分析能力(本题涉及了哪些知识点);给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到解答方法;鼓励学生大胆猜想,发表见解.握.活动三: 课堂总结反思【达标测评】1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列叙述正确的是(B)A.方程总有两个实数根B.当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根C.当b2-4ac<0时,方程只有一个实数根D.当b2-4ac=0时,方程无实数根2.方程x2-3x=0的根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定是否有实数根3.如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根,那么实数a的值为-1或2.4.关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k<1.5.解下列方程:(1)2x2-3x-5=0;(2)23x2+13x=2.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.通过设置达标测评,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”.活动三: 课堂总结反思【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在复习回顾的环节中,复习用配方法解一元二次方程,为学习公式法打下基础;在探究新知的环节中,引导学生积极思考,配方的关键是添项,学生能够明确添加的常数项即可突破难点.②[讲授效果反思]重点内容做到重点讲解:(1)用公式法解一元二次方程的步骤;(2)公式的记忆和理解;(3)一元二次方程根的判别式的应用.③[师生互动反思]从学生课堂表现,师生互动分析,学生能够对基本知识进行掌握,同时对根的判别式有一定的了解.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二导学案设计”案例,word 排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。
21.2.2-一元二次方程的解法(2)公式法
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
b c x x （2）方程两边同除以a，得 a a
2
.
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
b b2 4ac x . 2a
2
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得 b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a （4）开平方…
（3）
（ 4）
六、拓展练习 提升新知
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac x 2a 4 44 4 2 11 . 2 1 2 2 11
21.2.2_一元二次方程的解法_公式法
总结提高
判别式逆定理 若方程有两个 不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个 相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个 实数根,则b2-4ac≥0
即一元二次方程：ax 当 当 当
2
bx c 0 a 0
0 时，方程有两个不相等的实数根； 0 时，方程有两个相等的实数根； 0 时，方程没有实数根。 0；
用公式法解一元二次方 求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0 解: a=2, b=5, c= -3, ① ② ③ (a≠0, b2-4ac≥0) = 4、写出方程的解： x1=?, x2=? 程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : X=
解: a 4, b 3, c 2 b 2 4ac 9 32 23 0
方程没有实数根.
当 b2-4ac＜0 时，一元 二次方程没有实数根。
2 x1 x2 . 2
x
b
例4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b2 4ac 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
21.2.2公式法接一元二次方程(2)
21.2.2 公式法
1.我们都学过了一元二次方程的哪几种解法？
1）直接开平方法： 2）配方法：3）公式法
2. 什么是求根公式？用求根公式法解一元二次方 程的一般步骤是什么？
b b 2 4ac x 2a
3. 什么是根的判别式？ 式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx&的方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根, 求k的取值范围。
达标测试
1. 用公式法解下列方程：
(1) x2＋x－6=0
（2）3x2－6x+2=0 (4) 4x2－6x=0
达标测试
2. 判断关于x的方程 x2＋x＋k2－k+2=0的根的情况
3. 关于x的方程(m－1)x2－2mx+m=0有两实数根，求 m的取值范围。 变式：
随堂练习
1. 用公式法解方程 4 x 2 12x 3 得到方程的根 是 。 2.已知 y x 2 6 x 5 能使y的值等于-4的x的值 是 。 3.若代数式 4 x 2 2 x 5 与 2 x 2 1 的值是互 为相反数，则的值为 。
随堂练习
4.关于的一元二次方程 4( x m) 2 2m 2 0 的 常数项为0，则关于x的一元二次方程的一般式 为 . 5. 利用根的判别式判断下列方程根的情况：
例1：不解方程，判断方程根的情况 (1) x2+x-6=0
1 x 3x 0 (2) 4
2
(3) x2+4x+8=4x+11
(4)
x(2x-4)=5-8x
ax2+bx+c=0(a≠0)
Δ=b2-4ac 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根。
第二十一章21.2.2公式法
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易错点二 对形如ax2+bx+c=0的方程有实数根的问题理解错误 例2 (2018河南新乡辉县二模)关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根,则a的 取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a>-1 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1且a≠0 解析 当a≠0时,∵原方程有实数根, ∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1; 当a=0时,-2x-1=0有实数根.故选A.
根的判别 式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
21.2.2 公式法
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例1 (2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 解析 A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,∴有两个不相等的实数根; B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴有两个不相等的实数根; C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴有两个相等的实数根; D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D选项中的方程没有实数根,故选D. 答案 D 点拨 不解方程可通过计算Δ的值来判断根的情况.特殊的方程可不必 计算Δ的值,如:当a与c异号,或b≠0且c=0时,方程有两个不相等的实数 根.
答案 A 点拨 首先根据一次函数的定义确定字母的取值范围,然后由字母的取 值范围得出判别式的取值范围,最后得出根的情况.
21.2.2 公式法
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题型三 根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若关于x的一元二次方
《21.2.2公式法》学历案-初中数学人教版12九年级上册
《公式法》学历案（第一课时）一、学习主题本课学习主题为“初中数学课程《公式法》”，主要围绕公式法的基本概念、应用场景及其实践操作展开，旨在让学生掌握公式法的运用，提高数学运算能力和问题解决能力。
二、学习目标1. 理解公式法的基本概念和原理，了解其在数学运算中的重要性。
2. 掌握常见数学公式的记忆方法和应用技巧。
3. 学会运用公式法解决简单的数学问题，提高数学运算的准确性和速度。
4. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，提高学生的数学学习兴趣。
三、评价任务1. 评价学生对公式法基本概念和原理的理解程度，通过课堂提问和小组讨论的方式进行。
2. 评价学生对常见数学公式的记忆和应用能力，通过课堂小测验和课后作业的方式进行。
3. 评价学生运用公式法解决实际问题的能力，通过期中和期末考试的方式进行。
四、学习过程1. 导入新课：通过实际问题引出公式法的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：讲解公式法的基本概念和原理，介绍常见数学公式的记忆方法和应用技巧。
3. 实例演示：通过具体例题演示公式法的应用，让学生直观了解公式法的实际操作。
4. 学生练习：学生自主完成相关练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组进行讨论，分享解题经验和技巧，加深对公式法的理解。
6. 课堂小结：总结本课所学内容，强调公式法的重要性和应用价值。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验检查学生对所学公式的掌握情况，及时发现和纠正学生的错误。
2. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高运用能力。
3. 期中和期末考试：通过期中和期末考试的方式，评价学生运用公式法解决实际问题的能力。
六、学后反思1. 教师反思：教师应对本课教学进行反思，总结教学经验和不足之处，为今后的教学提供借鉴。
2. 学生反思：学生应反思自己在学习过程中的表现，总结学习方法和技巧，提高学习效率。
3. 改进措施：针对教学中出现的问题，提出改进措施，如调整教学进度、加强公式法的实际应用等，以提高教学效果。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.2.2 公式法
21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程 （一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274x x -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=，112x =+212x =-2. 用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3） 学生口答：化：把原方程化成 x 2＋px ＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. x 2＋px ＋(2p )2=－q ＋(2p)2 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. (x+2p )2=－q ＋(2p )2 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知 探究一 公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5） 学生答：ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c. 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca. 配方，得x 2+b a x+2()2b a =-ca+2()2b a ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a当240,-b ac ≥.2b x a +=±x 1=-b+√b 2-4ac 2a ， x 2=-b -√b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x=2b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0; （出示课件9） 学生思考后，共同解答如下： 解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.=x∴12=+x 22=-x(2)2x 2x+1=0;（出示课件10） 教师问：这里的a 、b 、c 的值分别是什么？解：2, 1.==-=a b c224(4210.△=-=--⨯⨯=b ac则方程有两个相等的实数根：122==-=-=b x x a（3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --= 1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根46.10±===x12464611,.10105+-====-x x（4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=ac b △方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根; ⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根; ⑶当∆=b 2-4ac ＜0时，一元二次方程没有的实数根. 教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 学生思考后，共同总结如下：（出示课件14） 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.将方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值. 2.求出 ∆ 的值.3. (1)当 ∆ >0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答. 解：a=3, b=-6, c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.=x1=x 2=x探究二 一元二次方程的根的情况 出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x －1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x ＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴x 2＋2x －8=0； ⑵x 2=4x －4； ⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根. 教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解. 师生共同总结如下：（出示课件18） 一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac ＞0 时，有两个不等的实数根：12,;x x ==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a -== （3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子 b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x ²-2mx+4（m-1）=0. 师生共同讨论解答如下： 解：⑴a ＝﹣1，b＝，c ＝﹣6, ∵△= b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0. ∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3 ，c＝1,∵△= b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,∵△= b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D ⑵D出示课件23：例2 m 为何值时，关于x 的一元二次方程 2x 2-（4m+1）x+2m 2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程： 解：a=2，b=-（4m+1），c=2m 2-1,b 2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m 2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b 2-4ac ＞0，即8m+9＞0，∴m ＞98-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=98-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac ＜0即8m+9＜0, ∴m ＜98-.∴当m ＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m ＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b 2−4ac=[−(m −1)]2−4[−3(m+3)] =m 2+10m+37 =m 2+10m+52−52+37 =(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0, ∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根. （三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ＜12.解方程x 2﹣2x ﹣1=0．3.方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k 的取值范围是（ ）A.k>-1B.k>-1且k ≠ 0C.k<1D.k<1且k ≠05.已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案： 1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b 2﹣4ac=4+4=8＞0， 所以方程有两个不相等的实数根，2x 12±===±1211x x ==-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.对于方程 x 2＋mx ＝1-2m ，即. ，∵，∴△>0.∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。
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（1）x＝ 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式. （2）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. （3）由求根公式可知，一元二次方程最多有 1 个 实数根，也可能有 个实根或者没有实根. （4）一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它， 即Δ＝b2－4ac.
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互 为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
ax 2 bx c 0 a 0 的解为：
ห้องสมุดไป่ตู้
b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
1 m ∧ 解：（1） 4
1 m = (2) 4
(3)
m∨
1 4
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
想一想：
2 ax bx c 0 a 0 ，当 关于一元二次方程
学习目标
• 1.经历推导求根公式的过程， 加强推理技能的训练
• 2.会用判别式求一元二次方程 的根的情况。
如何用配方法解一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
自学指导
• 自学课本9-11页例2上面的内容，思考下列 问题 • 1.什么是根的判别式？它与方程的根有什么 关系？ • 2.在利用公式法求一元二次方程的根时，关 键是确定谁的范围？ • 3注意第10页归纳中的内容及求根公式。
b b 2a 2a
b 0
当堂检测：见堂清
小结：
1.写出一元二次方程的根的判别式。 2.根的判别式与一元二次方程的根有什么关系。
3如果方程有根，那么对判别式有什么要求。
4一元二次方程的求根公式是什么？ 5思考：公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
作业：课本P17，第4题，
b b2 4ac 2a
随学随练
• • • • 不解方程，判定方程根的情况 （1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0 （3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0
小组合作
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根 2. 当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？